单元形成性评价(一)(第一章)
(120分钟 150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若C＝28，则m等于( )
A．9 B．8 C．7 D．6
【解析】选B.C＝＝28(m>2，且m∈N＋)，解得m＝8.
2．已知A {0，1，2，3}，且A中至少有一个奇数，则这样的集合A共有( )
A．11个 B．12个 C．15个 D．16个
【解析】选B.根据题意，A中至少有一个奇数，包含两种情况，A中有1个奇数或2个奇数，若A中含1个奇数，分奇数1或3，当是1时有22＝4个集合A，同理当是3时也有22＝4个集合A; A中含2个奇数，有22＝4个集合A，由分类计数原理可得．共有8＋4＝12种情况．
3．(x3＋x2＋x＋1)(y2＋y＋1)(z＋1)展开后的不同项数为( )
A．9 B．12 C．18 D．24
【解析】选D.分三步：第一步，从(x3＋x2＋x＋1)中任取一项，有4种方法；第二步，从(y2＋y＋1)中任取一项，有3种方法；第三步，从(z＋1)中任取一项有2种方法．根据分步乘法计数原理知不同项数为4×3×2＝24.
4．小王有70元钱，现有面值分别为20元和30元的两种IC电话卡．若他至少买一张，则不同的买法共有( )
A．7种 B．8种 C．6种 D．9种
【解析】选A.要完成的“一件事”是“至少买一张IC电话卡”，分3类完成：买1张IC卡、买2张IC卡、买3张IC卡．而每一类都能独立完成“至少买一张IC电话卡”这件事．
买1张IC卡有2种方法，买2张IC卡有3种方法，买3张IC卡有2种方法．不同的买法共有2＋3＋2＝7种．
5．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有( )
A．144个 B．120个 C．96个 D．72个
【解析】选B.当五位数的万位数字为4时，个位数字可以是0，2，此时满足条件的偶数共有CA＝48(个)；当五位数的万位数字为5时，个位数字可以是0，2，4，此时满足条件的偶数共有CA＝72(个)，所以比40 000大的偶数共有48＋72＝120(个).
6．将7名学生分配到甲、乙两间宿舍中，每间宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的分配方案共有( )
A．252种 B．112种 C．70种 D．56种
【解析】选B.分两类：甲、乙两间宿舍中一间住4人、另一间住3人或一间住5人、另一间住2人，所以不同的分配方案共有CA＋CA＝35×2＋21×2＝112种．
7．在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为( )
A．30 B．20 C．15 D．10
【解析】选C.含x3的项是由(1＋x)6展开式中含x2的项与x相乘得到，又(1＋x)6展开式中含x2的项的系数为C＝15，故含x3项的系数是15.
【补偿训练】
(2019·全国卷Ⅲ)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中，x3的系数为( )
A．12 B．16 C．20 D．24
【解析】选A.由题意可知含x3的项为1·C·1·x3＋2x2·C·13·x＝12x3，所以系数为12.
8．甲、乙、丙、丁、戊5名学生进行投篮比赛，决出了第1至第5名的不同名次，甲、乙两人向裁判询问成绩，裁判对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军．”对乙说：“你当然不是最差的．”根据裁判的回答，5人的名次排列共有________种不同的情况．( )
A．54 B．108 C．210 D．96
【解题指南】甲、乙不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有3种情况；再排甲，也有3种情况；余下的问题是三个元素在三个位置全排列，根据分步乘法计数原理得到结果．
【解析】选A.第一名不是甲和乙，则只能是丙、丁、戊三人中某一个，有C种选法，而乙不是最差的，则乙只可能是第二、三、四名，有C种可能，再将剩下的三人排成一列，依次插入即可，由分步乘法计数原理可知，共有CCA＝54种不同的情况．
9．设复数x＝(i是虚数单位)，则Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cx2 019等于( )
A．i B．－i－1 C．－1＋i D．1＋i
【解析】选B.x＝＝－1＋i，Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cx2 019＝(1＋x)2 019－1＝i2 019－1＝i3－1＝－i－1.
10．(2021·焦作高二检测)在(1＋y)5的展开式中，记x3y2的系数为m，x5y3的系数为n，则m＋n＝( )
A．1 260 B．1 120
C．840 D．630
【解析】选B.由二项式展开式的通项为Tr＋1＝Cxr，(其中r＝0，1，…，8)，二项式5展开式的通项为TR＋1＝CyR，(其中R＝0，1，…，5)令r＝3，R＝2，可得Cx3Cy2＝CCx3y2，即m＝CC，令r＝5，R＝3，可得Cx5Cy3＝CCx5y3，即n＝CC，
所以m＋n＝560＋560＝1 120.
【补偿训练】
若n展开式的第4项为含x3的项，则n等于( )
A．8 B．9 C．10 D．11
【解析】选B.Tk＋1＝C·xn－k·k＝C·(－1)k·xn－2k，k∈{0，1，2，…，n}，因为当k＋1＝4时，n－2k＝3，所以n＝9.
11．在第二届乌镇互联网大会中， 为了提高安保的级别同时又为了方便接待， 现将其中的五个参会国的人员安排酒店住宿， 这五个参会国要在a，b，c三家酒店选择一家， 且每家酒店至少有一个参会国入住， 则这样的安排方法共有( )
A．96种 B．124种
C．130种 D．150种
【解析】选D.根据题意，分2步进行分析：
①五个参会国要在a，b，c三家酒店选择一家，且这三家至少有一个参会国入住，所以可以把5个国家的人员分成三组，一种是按照1，1，3；另一种是1，2，2，当按照1，1，3来分时共有C＝10种分组方法；当按照1，2，2来分时共有 eq \f(CC,A) ＝15 种分组方法；则一共有10＋15＝25 种分组方法．
②将分好的三组对应三家酒店，有A＝6 种对应方法；则安排方法共有25×6＝150 种．
12．甲、乙、丙、丁、戊五位妈妈相约各带一个小孩去观看花卉展，她们选择共享电动车出行，每辆电动车只能载两人，其中孩子们表示都不坐自己妈妈的车，甲的小孩一定要坐戊妈妈的车，则她们坐车不同的搭配方式有( )
A．12种 B．11种 C．10种 D．9种
【解析】选B.方法一：不对号入座的递推公式为：a1＝0，a2＝1，an＝，据此可得：a3＝2，a4＝9，a5＝44，即五个人不对号入座的方法为44种，由排列组合的对称性可知：若甲的小孩一定要坐戊妈妈的车，则坐车不同的搭配方式有＝11种．
方法二：设五位妈妈为ABCDE，五个小孩为abcde，对五个小孩进行排列后坐五位妈妈的车即可，
由于甲的小孩一定要坐戊妈妈的车，故排列的第五个位置一定是a，对其余的四个小孩进行排列：
bcde，bced，bdce，bdec，becd，bedc；
cbde，cbed，cdbe，cdeb，cebd，cedb；
dbce，dbec，dcbe，dceb，debc，decb；
ebcd，ebdc，ecbd，ecdb，edbc，edcb.
共有24种排列方法，其中满足题意的排列方法为：
bcde，bdec，bedc，cdbe，cdeb，cedb，dcbe，dceb，debc，ecdb，edbc，共有11种．
【延伸探究】
(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置).
(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．使(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为________．
【解析】由二项式定理得，Tr＋1＝C(3x)n－r·＝C3n－r，令n－r＝0，当r＝2时，n＝5，此时n最小．
答案：5
【补偿训练】
若8的展开式中x4的系数为7，则实数a＝________．
【解析】因为8的通项为Cx8－rar()r
＝Cr8arx8－r＝Car，
所以令8－r－＝4，
解得r＝3.
所以Ca3＝7，得a＝.
答案：
14．已知多项式＝x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x1＋a5，则a4＝________，a5＝________.
【解析】因为多项式(x＋1)3(x＋2)2＝x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x1＋a5，a4为x1项的系数，所以根据二项式定理得a4＝C12×22＋13×C×2＝16，a5是常数项，所以a5＝13×22＝4.
答案：16 4
15．在n的二项展开式中，若常数项为60，则n等于________．
【解题指南】利用二项展开式的通项公式列出通项，化简后令未知数x的指数等于0，从而确定通项公式中r与n的等式，再根据常数项等于60，得到另一个r与n的等式，解方程组即可得．
【解析】Tr＋1＝C＝2r·C，n，r∈N*，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n－3r＝0，,2r·C＝60，)) 解得n＝6.
答案：6
16．“渐升数”是指每个数字比它左边的数字大的正整数(如1 458)，若把四位“渐升数”按从小到大的顺序排列，则第30个“渐升数”是________．
【解析】渐升数由小到大排列，形如
1 2 × ×
的渐升数共有C＝21(个).
形如
1 3 4 ×
的渐升数共有5个．
形如
1 3 5 ×
的渐升数共有4个．
故此时共有21＋5＋4＝30(个).
因此从小到大的渐升数的第30个必为1 359.
答案：1 359
【补偿训练】
甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________．(用数字作答)
【解析】3个人各站一级台阶有A＝210种站法；3个人中有2个人站在一级，另一人站在另一级，有CA＝126种站法，共有210＋126＝336种站法．
答案：336
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知有6名男医生，4名女医生．
(1)选3名男医生，2名女医生，让这5名医生到5个不同地区去巡回医疗，共有多少种分派方法？
(2)把10名医生分成两组，每组5人且每组要有女医生，共有多少种不同的分法？若将这两组医生分派到两地去，又有多少种分派方法？
【解析】(1)共有C·C·A＝14 400种分派方法．
(2)把10名医生分成两组．每组5人，且每组要有女医生，有 eq \f(C·C,A) －C·C·C＝120种不同的分法；若将这两组医生分派到两地去，则共有120·A＝240种分派方法．
18．(12分)已知的展开式前三项中的系数成等差数列．
(1)求n的值和展开式系数的和．
(2)求展开式中所有x的有理项．
【解题指南】(1)根据题意，求出该二项式的展开式，分析其前三项的系数，由等差数列的性质可得2×＝1＋，解可得n的值；进而在中，令x＝1分析可得展开式系数的和．
(2)由(1)的结论，分析可得该二项式的展开式，分析其中的有理项，即可得答案．
【解析】(1)根据题意，的展开式的通项为Tr＋1＝C()n－r，其系数为×C，
其第一项的系数为C＝1，
第二项的系数为C＝，
第三项的系数为C＝，
因为其展开式前三项中的系数成等差数列，
所以2×＝1＋，
解得：n＝8或n＝1，
又n≥3，则n＝8.
在中，令x＝1可得：
＝＝.
(2)由(1)的结论，n＝8，
则的展开式的通项为
Tr＋1＝C()8－r
＝×Cx，
当r＝0时，有T1＝x4，
当r＝4时，有T5＝x，
当r＝8时，有T9＝x－2；
则展开式中所有x的有理项为x4，x，x－2.
【补偿训练】
求(1－x)6(1＋x)4的展开式中x3的系数．
【解析】方法一：因为(1－x)6的通项
Tk＋1＝C(－x)k＝(－1)kCxk，k∈{0，1，2，3，4，5，6}，(1＋x)4的通项Tr＋1＝C·xr，r∈{0，1，2，3，4}，
又k＋r＝3，则或或或
所以x3的系数为C－CC＋CC－C＝8.
方法二：因为(1－x)6(1＋x)4
＝[(1－x)(1＋x)]4(1－x)2
＝(1－x2)4(1－x)2
＝(1－Cx2＋Cx4－Cx6＋Cx8)(1－x)2，
所以x3的系数为－C·(－2)＝8.
19．(12分)某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7人，B型血的共有9人，AB型血的共有3人．
(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？
(2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？
【解析】从O型血的人中选1人有28种不同的选法，从A型血的人中选1人有7种不同的选法，从B型血的人中选1人有9种不同的选法，从AB型血的人中选1人有3种不同的选法．
(1)任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，这件“任选1人去献血”的事情都能完成，所以由分类加法计数原理，共有28＋7＋9＋3＝47种不同的选法．
(2)要从四种血型的人中各选1人，即要在每种血型的人中依次选出1人后，这件“各选1人去献血”的事情才完成，所以用分步乘法计数原理，共有28×7×9×3＝5 292种不同的选法．
20．(12分)设集合I＝{1，2，3，4，5}．选择I的两个非空子集A和B，求使B中最小的数大于A中最大的数的不同选择方法有多少种？
【解析】当A中最大的数为1时，B可以是{2，3，4，5}的非空子集，有24－1＝15种选择方法；
当A中最大的数为2时，A可以是{2}或{1，2}，B可以是{3，4，5}的非空子集，有2×(23－1)＝14种选择方法；
当A中最大的数为3时，A可以是{3}，{1，3}，{2，3}或{1，2，3}，B可以是{4，5}的非空子集，有4×(22－1)＝12种选择方法；
当A中最大的数为4时，A可以是{4}，{1，4}，{2，4}，{3，4}，{1，2，4}，{1，3，4}，{2，3，4}或{1，2，3，4}，B可以是{5}，有8×1＝8种选择方法．所以满足条件的集合共有15＋14＋12＋8＝49种不同的选择方法．
21．(12分)某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD(边长为2个单位)的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i(i＝1，2，…，6)，则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去．则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有多少种？
【解题指南】抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的表示三次骰子的点数之和是8，16，列举出在点数中三个数字能够使得和为8，16的有1，2，5；1，3，4；1，1，6；2，2，4；2，3，3；4，6，6；5，5，6，共有7种组合，利用分类加法计数原理能得到结果．
【解析】由题意知正方形ABCD(边长为2个单位)的周长是8，抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处表示三次骰子的点数之和是8，16，列举出在点数中三个数字能够使得和为8，16的有1，2，5；1，3，4；1，1，6；2，2，4；2，3，3；4，6，6；5，5，6，共有7种组合，前2种组合1，2，5；1，3，4，每种情况可以排列出A＝6种结果，共有2A＝2×6＝12种结果；1，1，6；2，2，4；2，3，3；4，6，6；5，5，6各有3种结果，共有5×3＝15种结果，根据分类加法计数原理知共有12＋15＝27种结果．
22．(12分)在(2x－3y)10的展开式中，求：
(1)各项的二项式系数的和．
(2)奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和．
(3)各项系数之和．
(4)奇数项系数的和与偶数项系数的和．
【解析】(1)各项的二项式系数的和为C＋C＋C＋…＋C＝210＝1 024.
(2)奇数项的二项式系数的和为C＋C＋…＋C＝29＝512；
偶数项的二项式系数的和为C＋C＋…＋C＝29＝512.
(3)设(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10 (*)，各项系数之和即为a0＋a1＋a2＋…＋a10，
由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求解．
令(*)中x＝y＝1，得各项系数之和为(2－3)10＝(－1)10＝1.
(4)奇数项系数的和为a0＋a2＋a4＋…＋a10，偶数项系数的和为a1＋a3＋a5＋…＋a9.
由(3)知a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1. ①
令(*)中x＝1，y＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510. ②
①＋②，得2(a0＋a2＋…＋a10)＝1＋510，故奇数项系数的和为 ；①－②，得2(a1＋a3＋…＋a9)＝1－510，故偶数项系数的和为.
【补偿训练】
已知m，n是正整数，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中x的系数为7.
(1)对于使f(x)的x2的系数为最小的m，n，求出此时x3的系数；
(2)利用上述结果，求f(0.003)的近似值(精确到0.01).
【解析】(1)根据题意得，C＋C＝7，
即m＋n＝7，①
f(x)中的x2的系数为
C＋C＝＋
＝.
将①变形为n＝7－m代入上式得，x2的系数为m2－7m＋21＝＋，
故当m＝3，或m＝4时，x2的系数的最小值为9.
当m＝3，n＝4时，x3的系数为C＋C＝5；
当m＝4，n＝3时，x3的系数为C＋C＝5.
(2)f(0.003)＝(1＋0.003)4＋(1＋0.003)3
≈C＋C×0.003＋C＋C×0.003
≈2.02.
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11单元形成性评价(一)(第一章)
(120分钟 150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若C＝28，则m等于( )
A．9 B．8 C．7 D．6
2．已知A {0，1，2，3}，且A中至少有一个奇数，则这样的集合A共有( )
A．11个 B．12个 C．15个 D．16个
3．(x3＋x2＋x＋1)(y2＋y＋1)(z＋1)展开后的不同项数为( )
A．9 B．12 C．18 D．24
4．小王有70元钱，现有面值分别为20元和30元的两种IC电话卡．若他至少买一张，则不同的买法共有( )
A．7种 B．8种 C．6种 D．9种
5．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有( )
A．144个 B．120个 C．96个 D．72个
6．将7名学生分配到甲、乙两间宿舍中，每间宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的分配方案共有( )
A．252种 B．112种 C．70种 D．56种
7．在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为( )
A．30 B．20 C．15 D．10
【补偿训练】
(2019·全国卷Ⅲ)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中，x3的系数为( )
A．12 B．16 C．20 D．24
8．甲、乙、丙、丁、戊5名学生进行投篮比赛，决出了第1至第5名的不同名次，甲、乙两人向裁判询问成绩，裁判对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军．”对乙说：“你当然不是最差的．”根据裁判的回答，5人的名次排列共有________种不同的情况．( )
A．54 B．108 C．210 D．96
9．设复数x＝(i是虚数单位)，则Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cx2 019等于( )
A．i B．－i－1 C．－1＋i D．1＋i
10．(2021·焦作高二检测)在(1＋y)5的展开式中，记x3y2的系数为m，x5y3的系数为n，则m＋n＝( )
A．1 260 B．1 120
C．840 D．630
【补偿训练】
若n展开式的第4项为含x3的项，则n等于( )
A．8 B．9 C．10 D．11
11．在第二届乌镇互联网大会中， 为了提高安保的级别同时又为了方便接待， 现将其中的五个参会国的人员安排酒店住宿， 这五个参会国要在a，b，c三家酒店选择一家， 且每家酒店至少有一个参会国入住， 则这样的安排方法共有( )
A．96种 B．124种
C．130种 D．150种
12．甲、乙、丙、丁、戊五位妈妈相约各带一个小孩去观看花卉展，她们选择共享电动车出行，每辆电动车只能载两人，其中孩子们表示都不坐自己妈妈的车，甲的小孩一定要坐戊妈妈的车，则她们坐车不同的搭配方式有( )
A．12种 B．11种 C．10种 D．9种
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．使(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为________．
【补偿训练】
若8的展开式中x4的系数为7，则实数a＝________．
14．已知多项式＝x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x1＋a5，则a4＝________，a5＝________.
15．在n的二项展开式中，若常数项为60，则n等于________．
16．“渐升数”是指每个数字比它左边的数字大的正整数(如1 458)，若把四位“渐升数”按从小到大的顺序排列，则第30个“渐升数”是________．
【补偿训练】
甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________．(用数字作答)
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知有6名男医生，4名女医生．
(1)选3名男医生，2名女医生，让这5名医生到5个不同地区去巡回医疗，共有多少种分派方法？
(2)把10名医生分成两组，每组5人且每组要有女医生，共有多少种不同的分法？若将这两组医生分派到两地去，又有多少种分派方法？
18．(12分)已知的展开式前三项中的系数成等差数列．
(1)求n的值和展开式系数的和．
(2)求展开式中所有x的有理项．
【补偿训练】
求(1－x)6(1＋x)4的展开式中x3的系数．
19．(12分)某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7人，B型血的共有9人，AB型血的共有3人．
(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？
(2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？
20．(12分)设集合I＝{1，2，3，4，5}．选择I的两个非空子集A和B，求使B中最小的数大于A中最大的数的不同选择方法有多少种？
21．(12分)某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD(边长为2个单位)的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i(i＝1，2，…，6)，则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去．则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有多少种？
22．(12分)在(2x－3y)10的展开式中，求：
(1)各项的二项式系数的和．
(2)奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和．
(3)各项系数之和．
(4)奇数项系数的和与偶数项系数的和．
【补偿训练】
已知m，n是正整数，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中x的系数为7.
(1)对于使f(x)的x2的系数为最小的m，n，求出此时x3的系数；
(2)利用上述结果，求f(0.003)的近似值(精确到0.01).
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