2021-2022学年华师大版八年级数学上册第14章勾股定理 单元综合达标测试(word版含答案)

2021-2022学年华师大版八年级数学上册《第14章勾股定理》单元综合达标测试（附答案）
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，CD⊥AB，垂足为D，CD＝1，则AB的长为（　　）
A． B．2 C． D．2
2．直角三角形的边长分别为a，b，c，且∠C＝90°，若a2＝9，b2＝16，那么c2的值是（　　）
A．5 B．7 C．25 D．49
3．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（　　）
A．9 B．6 C．4 D．3
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8．点P是边AC上一动点，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，D为线段PQ的中点，当BD平分∠ABC时，AP的长度为（　　）
A． B． C． D．
5．由下列线段为边组成的三角形是直角三角形的是（　　）
A．1，2，3 B．2，， C．8，24，25 D．9，12，15
6．如图，根据下列条件，能判断△ABC是直角三角形的是（　　）
A．AB＝32，BC＝42，AC＝52 B．（AB﹣BC）（AB+BC）＝AC
C．AB＝1，BC＝，AC＝ D．∠B＝3∠A，∠C＝8∠A
7．下列几组数中的勾股数是（　　）
A．0.3，0.5，0.4 B．﹣3，4，5
C．6，8，12 D．24，7，25
8．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，AD为∠BAC的角平分线，则三角形ADC的面积为（　　）
A．3 B．10 C．12 D．15
9．如图，在灯塔O的东北方向8海里处有一轮船A，在灯塔的东南方向6海里处有一渔船B，则AB间的距离为（　　）
A．9海里 B．10海里 C．11海里 D．12海里
10．如图，圆柱的高为4cm，底面周长为6cm，在圆柱下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面B处的食物，已知长方形ADBC的边AD、BC恰好是上、下底面的直径，则蚂蚁要吃到食物，至少要爬行（　　）
A．4cm B．5cm C．7cm D．10cm
二．填空题（共6小题，满分30分）
11．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，BC，AB为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，S3，若S3＝9π，则S1+S2等于　 　．
12．在△ABC中，AB＝AC＝5cm，BC＝8cm，D为BC的中点，动点P从B点出发，以每秒1cm的速度沿B→A→C的方向运动．设运动时间为t，如果过D、P两点的直线将△ABC的面积分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍，那么t＝　 　秒．
13．把图1中长和宽分别6和4的两个全等矩形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个全等的直角三角形拼成图2的正方形，则图2中小正方形ABCD的面积为　 　．
14．以直角三角形的三边分别向外作正方形，正方形A，B的面积分别是8cm2，10cm2，则正方形C的面积是 　 　cm2．
15．如图，在5×2的正方形网格中，点A，P，B为格点，则∠APB＝　 　．
16．如图，已知∠A＝90°，AC＝AB＝4，CD＝2，BD＝6．则∠ACD＝　 　度．
三．解答题（共9小题，满分60分）
17．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，AC＝10．
（1）求证：△ABC是直角三角形；
（2）若AD平分∠BAC，求AD的长．
18．如图是由边长为1的小正方形拼成的网格．
（1）在图1网格中找格点P，使得AP与AB垂直．
（2）在图2网格中找格点P，使得△ABP的面积是3．
（3）在图3网格中找格点P，使得PA＝PB．
19．现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝b，BC＝a，请你利用这个图形解决下列问题：
（1）试说明a2+b2＝c2；
（2）如果大正方形的面积是6，小正方形的面积是2，求（a+b）2的值．
20．定义：如果一个三角形中有两个内角α，β满足α+2β＝90°，那我们称这个三角形为“近直角三角形”．
（1）若△ABC是近直角三角形，∠B＞90°，∠C＝50°，则∠A＝　 　．
（2）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，若CD是∠ACB的平分线．
①求证：△BDC为近直角三角形．
②求BD的长．
21．如图，四边形ABCD，AB＝AD＝2，BC＝3，CD＝1，∠A＝90°，求∠ADC的度数．
22．如图，在四边形ABCD中，AB＝20cm，BC＝15cm，CD＝7cm，AD＝24cm，∠ABC＝90°．
（1）求∠ADC的度数；
（2）求出四边形ABCD的面积．
23．阅读下面材料：
勾股定理的逆定理：如果是直角三角形的三条边长a，b，c，满足a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
能够成为直角三角形三条边长的正整数，称为勾股数．例如：32+42＝52，3、4、5是一组勾股数．
古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，那么a，b，c为勾股数，你认为正确吗？如果正确，请说明理由，并利用这个结论得出一组勾股数．
24．如图，从电线杆离地面3米处向地面拉一条长为5米的拉线，这条拉线在地面的固定点距离电线杆底部有多少米？
25．如图，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8米处，已知旗杆原长16米，你能求出旗杆在离底部多少米的位置断裂吗？
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．解：在Rt△ACD中，∠A＝45°，CD＝1，
则AD＝CD＝1，
在Rt△CDB中，∠B＝30°，CD＝1，
则BD＝，
故AB＝AD+BD＝+1．
故选：C．
2．解：∵∠C＝90°，a2＝9，b2＝16，
∴c2＝a2+b2＝9+16＝25．
故选：C．
3．解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，
∵每一个直角三角形的面积为：ab＝×8＝4，
∴4×ab+（a﹣b）2＝25，
∴（a﹣b）2＝25﹣16＝9，
∴a﹣b＝3，
故选：D．
4．解：设BQ＝x，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，
由勾股定理得：AC＝＝＝6，
∵BD平分∠ABC，
∴∠QBD＝∠ABD，
∵PQ∥AB，
∴∠QDB＝∠ABD，
∴∠QBD＝∠QDB，
∴QD＝BQ＝x，
∵D为线段PQ的中点，
∴QP＝2QD＝2x，
∵PQ∥AB，
∴△CPQ∽△CAB，
∴＝＝，即＝＝，
解得：x＝，CP＝，
∴AP＝CA﹣CP＝，
故选：B．
5．解：12+22≠32，故选项A不符合题意；
22+（）2≠（）2，故选项B不符合题意；
82+242≠252，故选项C不符合题意；
92+122＝152，故选项D符合题意；
故选：D．
6．解：A．∵AB＝32＝9，BC＝42＝16，AC＝52＝25，
∴AB2+BC2＝92+162＝337，AC2＝252＝625，
∴AB2+BC2≠AC2，
即△ABC不是直角三角形，故本选项不符合题意；
B．∵（AB﹣BC）（AB+BC）＝AC，
∴AB2﹣BC2＝AC，
即△ABC不是直角三角形，故本选项不符合题意；
C．∵AB＝1，BC＝，AC＝，
∴AB2+BC2＝12+（）2＝1+＝，AC2＝（）2＝，
∴AB2+BC2＝AC2，
即△ABC是直角三角形，故本选项符合题意；
D．∵∠B＝3∠A，∠C＝8∠A，
又∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴12∠A＝180°，
∴∠A＝15°，
∴最大角∠C＝8∠A＝120°＞90°，
即△ABC不是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
7．解：A、不是正整数，不是勾股数，不符合题意；
B、（﹣3）2+42＝52，但不是正整数，不是勾股数，不符合题意；
C、62+82≠122，不是勾股数，不符合题意；
D、72+242＝252，是勾股数，符合题意．
故选：D．
8．解：作DH⊥AC于H，如图，
在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝＝10，
∵AD为∠BAC的角平分线，
∴DB＝DH，
∵×AB×CD＝DH×AC，
∴6（8﹣DH）＝10DH，解得DH＝3，
∴S△ADC＝×10×3＝15．
故选：D．
9．解：已知东北方向和东南方向刚好是一直角，
∴∠AOB＝90°，
又∵OA＝8海里，OB＝6海里，
∴AB＝＝10（海里）．
故选：B．
10．解：如图，将圆柱体沿着AC直线剪开，得到矩形，
则AB的长度为所求的最短距离，
根据题意圆柱的高为4cm，底面周长为6cm，
∴AC＝4cm，BC＝3cm，
根据勾股定理得：AB＝＝5（cm），
∴蚂蚁要吃到食物，至少要爬行5cm，
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分30分）
11．解：∵∠ACB＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，
∵S1＝π（）2×，S2＝π（）2×，S3＝π（）2×，
∴S1+S2＝π（）2×+π（）2×＝π（）2×＝S3，
∵S3＝9π，
∴S1+S2＝9π，
故答案为：9π．
12．解：分两种情况：
（1）P点在AB上时，如图1，过A作AD⊥BC于D，过P作PH⊥BC于H，
BP＝t，
∵AB＝AC＝5cm，BC＝8cm，D为BC的中点，
∴BD＝BC＝4，
∴AD＝＝＝3，
设△BPD高为h，由2S△BPD＝S△PDC，
2××4×h＝×8×3﹣×4×h，
解得：h＝2，
又∵∠PHB＝∠ADB＝90°，∠PBH＝∠ABD，
∴t＝（s）；
（2）P点在AC上时，如图2，过A作AD⊥BC于D，过P作PH⊥BC于H，
同理可得h′＝2，
∴CP＝，
则t＝5+5﹣＝（s），
故答案为：或．
13．解：6﹣4＝2，
2×2＝4．
故图2中小正方形ABCD的面积为4．
故答案为：4．
14．解：根据题意得：SA+SB＝SC，
∵正方形A，B的面积分别是8cm2，10cm2，
∴SC＝8+10＝18（cm2），
故答案为：18．
15．解：如图，延长AP交网格于点C，连接BC．
∵PC＝＝，BC＝＝，PB＝＝，
∴PC＝BC，PC2+BC2＝PB2，
∴△PBC是等腰直角三角形，
∴∠BPC＝45°，
∴∠APB＝180°﹣∠BPC＝135°．
故答案为：135°．
16．解：∵∠A＝90°，AC＝AB＝4，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°，
在Rt△ABC中，BC＝＝4，
CD2+BC2＝22+（4）2＝36，BD2＝62＝36，
∴CD2+BC2＝BD2，
∴∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝45°，
故答案为：45．
三．解答题（共9小题，满分60分）
17．（1）证明：∵AB2+BC2＝62+82＝102＝AC2，
∴∠B＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
（2）解：过D作DE⊥AC于E．
∵AD平分∠BAC，∠B＝90°，
∴BD＝DE，
在Rt△ABD中，AB＝，
同理AE＝，
∴AE＝AB＝6，
∴EC＝AC﹣AE＝4，
设BD＝x，则DE＝BD＝x，CD＝8﹣x，
∴x2+42＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
∴AD＝＝＝3．
18．解：（1）如图1，AP⊥AB．
（2）如图2，△ABP的面积＝＝3．
∴格点P使得△ABP的面积是3（答案不唯一）．
（3）如图3，∵PA＝＝，PB＝＝，
∴格点P使得PA＝PB（答案不唯一）．
19．解：（1）∵大正方形面积为c2，直角三角形面积为ab，小正方形面积为（b﹣a）2，
∴c2＝4×ab+（a﹣b）2＝2ab+a2﹣2ab+b2即c2＝a2+b2．；
（2）由图可知，（b﹣a）2＝2，4×ab＝6﹣2＝4，∴ab＝2，
∴（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab＝10．
20．解：（1）∠B不可能是α或β，
当∠A＝α时，∠C＝β＝50°，α+2β＝90°，不成立；
故∠A＝β，∠C＝α，α+2β＝90°，则β＝20°，
故答案为：20°；
（2）①如图1，设∠ACD＝∠DCB＝β，∠B＝α，
则α+2β＝90°，故△BDC是“近直角三角形”；
②如图2，过点D作DM⊥BC于点M，
∵CD平分∠ACB，DM⊥BC，DA⊥CA，
∴AD＝DM．
在Rt△ACD和Rt△MCD中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△MCD（HL）．
∴AC＝CM＝4．
∵AB＝3，AC＝4，
∴BC＝＝＝5．
∴BM＝1．
设AD＝DM＝x，
∵DM2+BM2＝DB2，
∴x2+12＝（3﹣x）2，
∴x＝，
∴BD＝AB﹣AD＝3﹣＝．
21．解：连接BD，
在Rt△BAD中，
∵AB＝AD＝2，
∴∠ADB＝45°，BD＝＝2，
在△BCD中，
DB2+CD2＝（2）2+12＝9＝CB2，
∴△BCD是直角三角形，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝45°+90°＝135°．
22．解：（1）连接AC，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，
∵AB＝20cm，BC＝15cm，
∴由勾股定理可得：AC＝＝＝25（cm）；
∵在△ADC中，CD＝7cm，AD＝24cm，
∴CD2+AD2＝AC2，
∴∠ADC＝90°；
（2）由（1）知，∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD的面积＝S△ABC+S△ACD＝+＝234（cm2）．
23．解：正确．理由：
∵m表示大于1的整数，
∴a，b，c都是正整数，且c是最大边，
∵（2m）2+（m2﹣1）2＝（m2+1）2，
∴a2+b2＝c2，
即a、b、c为勾股数．
当m＝2时，可得一组勾股数3，4，5．
24．解：在Rt△ABC中，BC＝3，AB＝5，
由勾股定理，得AC2＝AB2﹣BC2＝52﹣32＝42，
所以AC＝4（米）．
所以地面拉线固定点A到电线杆底部的距离为4米．
25．解：设旗杆在离底部x米的位置断裂，在给定图形上标上字母如图所示．
∵AB＝x米，AB+AC＝16米，
∴AC＝（16﹣x）米．
在Rt△ABC中，AB＝x米，AC＝（16﹣x）米，BC＝8米，
∴AC2＝AB2+BC2，即（16﹣x）2＝x2+82，
解得：x＝6．
故旗杆在离底部6米的位置断裂．