2021-2022学年华东师大版九年级数学下册 第26章二次函数综合达标训练 （word版含解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年华东师大版九年级数学下册 第26章二次函数综合达标训练 （word版含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 313.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-12 15:58:15 | ||
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文档简介
2021-2022学年华师大版九年级数学下册《第26章二次函数》综合达标训练（附答案）
1．下列函数中属于二次函数的是（ ）
A．y＝x B．y＝2x2﹣1 C．y＝ D．y＝x2++1
2．二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝ax+c，它们在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
3．抛物线y＝2（x﹣3）2+2的顶点坐标是（ ）
A．（﹣3，2） B．（3，2） C．（﹣3，﹣2） D．（3，﹣2）
4．已知二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1图象经过原点，则a的取值为（ ）
A．a＝±1 B．a＝1 C．a＝﹣1 D．无法确定
5．已知抛物线y＝x2经过A（﹣2，y1）、B （1，y2）两点，在下列关系式中，正确的是（ ）
A．y1＞0＞y2 B．y2＞0＞y1 C．y1＞y2＞0 D．y2＞y1＞0
6．下列关于二次函数y＝x2﹣3的图象与性质的描述，不正确的是（ ）
A．该函数图象的开口向上
B．函数值y随着自变量x的值的增大而增大
C．该函数图象关于y轴对称
D．该函数图象可由函数y＝x2的图象平移得到
7．已知关于n的函数s＝an2+bn（n为自然数），当n＝9时，s＜0；当n＝10时，s＞0．则n取（ ）时，s的值最小．
A．3 B．4 C．5 D．6
8．已知二次函数y＝ax2﹣1的图象经过点（1，﹣2），那么a的值为（ ）
A．a＝﹣2 B．a＝2 C．a＝1 D．a＝﹣1
9．将二次函数y＝x2﹣4x﹣1化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果为（ ）
A．y＝（x+2）2+5 B．y＝（x+2）2﹣5 C．y＝（x﹣2）2+5 D．y＝（x﹣2）2﹣5
10．若二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0）和（3，0），则方程ax2+bx+c＝0的解为（ ）
A．x1＝﹣3，x2＝﹣1 B．x1＝1，x2＝3
C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝﹣3，x2＝1
11．二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：
x … 0 1 3 4 …
y … 2 4 2 ﹣2 …
则下列判断中正确的是（ ）
A．抛物线开口向上 B．抛物线与y轴交于负半轴
C．当x＝﹣1时y＞0 D．方程ax2+bx+c＝0的负根在0与﹣1之间
12．已知函数y1＝ax2﹣4ax+c（a＞0），当1≤x≤4时，则﹣1≤y1≤3；当1≤x≤4时，y2＝﹣ax2+4ax+c的取值范围是（ ）
A．3≤y2≤7 B．3≤y2≤6 C．16≤y2≤19 D．7≤y2≤19
13．把160元的电器连续两次降价后的价格为y元，若平均每次降价的百分率是x，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝320（x﹣1） B．y＝320（1﹣x）
C．y＝160（1﹣x2） D．y＝160（1﹣x）2
14．已知关于x的二次三项式（m+1）x2﹣（2m﹣1）x+m的值恒为正，则m的取值范围是（ ）
A．且m≠ B．m＞﹣1 C．﹣1＜m＜ D．＜m＜1
15．如图，抛物线y＝﹣x﹣2交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，分别过点B，C作y轴，x轴的平行线，两线交于点D，将△BDC绕点C逆时针旋转，使点D旋转到y轴上得到△FEC，连接BF．在线段BC上存在点P，使得以点P，A，B为顶点的三角形与△BOC相似，则点P的坐标为 ．
16．关于x的方程x2﹣4x﹣t＝0在﹣1≤x≤4范围内有两个不等实数根，则实数t的取值范围是 ．
17．若抛物线y＝x2+（m﹣2）x+3的对称轴是y轴，则m＝ ．
18．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列四个代数式：①abc，②9a﹣3b+c，③b2﹣4ac；④2a+b中，其值小于0的有 （填序号）．
19．如图，过函数y＝ax2（a＞0）图象上的点B，分别向两条坐标轴引垂线，垂足分别为A，C．线段AC与抛物线的交点为D，则的值为 ．
20．将抛物线y＝2x2向左平移2个单位后所得到的抛物线为 ．
21．如图，P是抛物线y＝x2﹣x﹣4在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为 ．
22．若y＝ax2+bx+c是关于x的二次函数且a为整数，不等式4x≤ax2+bx+c≤2（x2+1）在实数范围内恒成立，则二次函数的解析式为 ．
23．某网店销售一种产品．这种产品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/件市场调查发现，该产品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示：
（1）当12≤x≤18时，求y与x之间的函数关系式；
（2）求每天的销售利润w（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式并求出每件销售价为多少元时．每天的销售利润最大？最大利润是多少？
24．如图，二次函数y＝ax2+bx﹣3（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且BO＝OC＝3AO．一次函数y＝kx+t（k≠0）的图象经过点B和线段AC中点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）根据图象，请直接写出ax2+bx﹣3＞kx+t的x的取值范围．
25．已知，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为A（s，t）（其中s≠0）．
（1）若抛物线经过（2，7）和（﹣3，37）两点，且s＝1．
①求抛物线的解析式；
②若n＞1，设点M（n，y1），N（n+1，y2）在抛物线上，比较y1、y2的大小关系，并说明理由；
（2）若a＝2，c＝﹣2，直线y＝2x+m与抛物线y＝ax2+bx+c的交于点P和点Q，点P的横坐标为h，点Q的横坐标为h+3，求出b和h的函数关系式；
（3）若点A在抛物线y＝x2+3x+c上，且2≤s＜3时，求a的取值范围．
26．一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元/件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：
x（元/件） 4 5 6
y（件） 10000 9500 9000
（1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；
（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？
（3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于15元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元（1≤m≤6），捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出m的取值范围．
27．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．
（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．解：A、y＝x是正比例函数，故本选项不符合题意；
B、y＝2x2﹣1是二次函数，故本选项符合题意；
C、y＝不是二次函数，故本选项不符合题意；
D、y＝x2++1不是二次函数，故本选项不符合题意．
故选：B．
2．解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0，c），
∴两个函数图象交于y轴上的同一点，排除B、C；
当a＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，排除D；
当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，A正确；
故选：A．
3．解：抛物线y＝2（x﹣3）2+2的顶点坐标是（3，2），
故选：B．
4．解：∵二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1 的图象经过原点，
∴a2﹣1＝0，
∴a＝±1，
∵a﹣1≠0，
∴a≠1，
∴a的值为﹣1．
故选：C．
5．解：∵抛物线y＝x2，
∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，
∴A（﹣2，y1）关于y轴对称点的坐标为（2，y1）．
又∵0＜1＜2，
∴y1＞y2＞0，
故选：C．
6．解：A、由a＝1＞0知抛物线开口向上，此选项描述正确；
B、∵抛物线的开口向上且对称轴为y轴，∴当x＞0时，y随x的增大而证得，故此选项描述错误；
由y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1知抛物线的顶点坐标为（1，1），此选项错误；
C、∵抛物线的对称轴为y轴，∴该函数图象关于y轴对称，此选项描述正确；
D、该函数图象可由函数y＝x2的图象向下平移3个单位得到，此选项描述正确；
故选：B．
7．解：∵函数s＝an2+bn（n为自然数），当n＝9时，s＜0；当n＝10时，s＞0，
∴a＞0，该函数图象开口向上，
∴当s＝0时，9＜n＜10，
∵n＝0时，s＝0，
∴该函数的对称轴n的值在4.5～5之间，
∴各个选项中，当n＝5时，s取得的值最小，
故选：C．
8．解：把（1，﹣2）代入y＝ax2﹣1得a﹣1＝﹣2，解得a＝﹣1．
故选：D．
9．解：y＝x2﹣4x﹣1＝x2﹣4x+4﹣5
＝（x﹣2）2﹣5．
故选：D．
10．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0）和（3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝3．
故选：C．
11．解：A、由图表中数据可得出：x＝1.5时，y有最大值，故此函数开口向下，故此选项错误；
B、∵x＝0时，y＝2，故抛物线与y轴交于正半轴，故此选项错误；
C、当x＝﹣1时与x＝4时对应y值相等，故y＜0，故此选项错误；
D、∵y＝0时，﹣1＜x＜0，∴方程ax2+bx+c＝0的负根在0与﹣1之间，此选项正确．
故选：D．
12．解：∵y1＝ax2﹣4ax+c＝a（x﹣2）2﹣4a+c，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，c﹣4a），
∵当1≤x≤4时，则﹣1≤y1≤3，
∴c﹣4a＝﹣1，
当x＝4时，y＝16a﹣16a+c＝3，
∴c＝3，
∴a＝1，
∵y2＝﹣ax2+4ax+c
∴y2＝﹣x2+4x+3＝﹣（x﹣2）2+7，
∴抛物线y2的对称轴为直线x＝2，
∵1≤x≤4，
∴在此范围内，当x＝2时，y2取最大值为7，当x＝4时，y2取最小值为﹣4+7＝3，
∴3≤y2≤7．
故选：A．
13．解：第一次降价后的价格是160（1﹣x），
第二次降价为160（1﹣x）×（1﹣x）＝160（1﹣x）2
则y与x的函数关系式为y＝160（1﹣x）2．
故选：D．
14．解：设y＝（m+1）x2﹣（2m﹣1）x+m，
∵二次三项式（m+1）x2﹣（2m﹣1）x+m的值恒为正，
∴（m+1）x2﹣（2m﹣1）x+m＞0且2m﹣1≠0，
∴在函数y＝（m+1）x2﹣（2m﹣1）x+m中，m+1＞0且△＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4（m+1） m＜0且2m﹣1≠0，
解得，m＞且m≠，
故选：A．
15．解：﹣x﹣2＝0
整理得，x2﹣6x+8＝0，
解得，x1＝2，x2＝4，
当x＝0时，y＝﹣2，
则点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，﹣2）
∴OA＝2，OB＝4，OC＝2，
则AB＝2，BC＝＝2，
如图1，作AP⊥x轴交BC于P，
当△BAP∽△BOC时，＝，即＝，
解得，AP＝1，
∴点P的坐标为（2，﹣1）；
如图2，作AP′⊥BC于P′，作P′Q⊥AB于Q，
当△BAP′∽△BCO时，＝，即＝，
解得，BP′＝，
∵P′Q⊥AB，∠BOC＝90°，
∴△BQP′∽△BOC，
∴＝＝，即＝＝，
解得，QP′＝，BQ＝，
∴OQ＝OB﹣BQ＝，
∴点P′的坐标为（，﹣），
综上所述，以点P，A，B为顶点的三角形与△BOC相似，点P的坐标为（2，﹣1）或（，﹣），
故答案为：（2，﹣1）或（，﹣）．
16．解：设y1＝x2﹣4x，
∵y1＝x2﹣4x的对称轴为直线x＝2，
∴一元二次方程x2﹣4x﹣t＝0的实数根可以看作y1＝x2﹣4x与函数y2＝t的交点，
∵方程在﹣1≤x≤4的范围内有实数根，
当x＝﹣1时，y1＝5；
当x＝4时，y1＝0；
函数y1＝x2﹣4x在x＝2时有最小值﹣4；
∴当﹣4＜t≤0时，y1＝x2﹣4x与函数y2＝t有两个交点，即方程x2﹣4x﹣t＝0在﹣1≤x≤4范围内有两个不等实数根；
故答案为：﹣4＜t≤0．
17．解：
∵y＝x2+（m﹣2）x+3，
∴其对称轴方程为x＝﹣，
∵其对称轴为y轴，
∴﹣＝0，解得m＝2，
故答案为：2．
18．解：①由二次函数的图象可知，该函数图象开口向下，则a＜0；
对称轴在y轴的右侧，b＞0．
该函数图象与y轴交于负半轴，则c＜0，
∴abc＞0；
②由图象可知，当x＝﹣3时，y＜0，
即y＝9a﹣3b+c＜0；
③由图象可知，抛物线与x轴有两个交点，
则b2﹣4ac＞0；
④由图象可知，对称轴为0＜﹣＜1
∵a＜0
∴2a+b＜0
综上，小于0的有②④．
故答案为：②④．
19．解：过点D作DE⊥OA，垂足为E，
设OC＝m，则点C（﹣m，0），B（﹣m，am2），A（0，am2），
∴BC＝OA＝am2，
设直线AC的关系式为y＝kx+b，把A、C两点坐标代入得，
b＝am2，k＝am，
∴y＝amx+am2，
∴点D的坐标是方程组的一个解，
解这个方程组得，x1＝m＞0（舍去），x2＝m，
即：DE＝|x2|＝m，
由△ADE∽△ACO得，
＝＝＝，
故答案为：．
20．解：∵将抛物线y＝2x2向左平移2个单位后所得到的抛物线是：y＝2（x+2）2．
故答案为y＝2（x+2）2．
21．解：设P（x，x2﹣x﹣4），
四边形OAPB周长＝2PA+2OA＝﹣2（x2﹣x﹣4）+2x＝﹣2x2+4x+8＝﹣2（x﹣1）2+10，
当x＝1时，四边形OAPB周长有最大值，最大值为10．
故答案为10．
22．解：∵4x≤ax2+bx+c≤2（x2+1）在实数范围内恒成立，
∴当x＝1时，a+b+c＝4成立
当x＝0时，有0≤c≤2
由4x≤ax2+bx+c得：
ax2+（b﹣4）x+c≥0在实数范围内恒成立
∴（b﹣4）2﹣4ac≤0
∵a+b+c＝4
∴b＝4﹣a﹣c
∴（4﹣a﹣c﹣4）2﹣4ac≤0
∴（a﹣c）2≤0
∴a＝c．
∵ax2+bx+c≤2（x2+1）
∴（a﹣2）x2+bx+c﹣2≤0在实数范围内恒成立
∴a﹣2＜0，b2﹣4（a﹣2）（c﹣2）≤0
∴（4﹣a﹣c）2﹣4（a﹣2）（c﹣2）≤0
整理得：（a﹣c）2≤0
∴a＝c
又∵0≤c≤2，且a为整数
∴只能取a＝1，c＝1，b＝2
故答案为：y＝x2+2x+1．
23．解：
（1）依题意，设y与x之间的函数关系式为：y＝kx+b
将点（12，30）（18，24）代入得
，解得
∴当12≤x≤18时，求y与x之间的函数关系式：y＝﹣x+42（12≤x≤18）
（2）依题意，得w＝y （x﹣10）
则有w＝
当10≤x＜12时，最大利润为w＝60元
当12≤x≤18时，w＝﹣x2+52x﹣420＝﹣（x﹣26）2+256
∵a＝﹣1＜0
∴抛物线开口向下，故当12≤x≤18时，w随x的增大而增大
∴当x＝18时，有最大值得w＝192元
故当x＝18元时．销售利润最大，最大利润是192元，此时销售的件数为24件．
24．解：（1）由二次函数y＝ax2+bx﹣3（a≠0）得，c＝﹣3，故OC＝3，
∵BO＝OC＝3AO，故OA＝1，OB＝3，
故点A、B的坐标为：（﹣1，0）、（3，0），
则抛物线表达式可设为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），
∵c＝﹣3，
∴﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3①；
（2）设AC的中点为D，由中点公式得点D的坐标为（﹣，﹣），而点B（3，0），
∵直线BD的表达式为：y＝kx+t，则，解得，
故直线BD的表达式为：y＝x﹣②，
联立①②并解得：x＝3或﹣，
即两个函数交点的横坐标为3或﹣，
故x＜﹣或x＞3时，ax2+bx﹣3＞kx+t，
即ax2+bx﹣3＞kx+b的x的取值范围为x＜﹣或x＞3．
25．解：（1）①设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2+t，
根据题意得：，解得：，
故抛物线的解析式为：y＝2（x﹣1）2+5＝2x2﹣4x+7；
②∵函数的对称轴为x＝1，
当n＞1时，y随x的增大而增大，
∵n＜n+1，
故y2＞y1；
（2）根据题意得：yP＝2h+m，yQ＝2h+6+m，
∴yQ﹣yP＝6，
又∵P、Q在抛物线上，
∴yQ﹣yP＝12h+18+3b＝6，
∴b＝﹣4h﹣4；
（3）设抛物线y＝a（x﹣s）2+t．
∵抛物线经过点（0，c），
∴c＝as2+t，即：c﹣t＝as2①，
又∵点A在抛物线y＝x2+3x+c上，
∴t＝s2+3s+c，即：c﹣t＝﹣3s﹣s2②，
由①②可得：as2＝﹣3s﹣s2．
当a＝﹣1时，
﹣s2＝﹣3s﹣s2，
解得s＝0，不成立；
当a≠﹣1时，
∵s≠0，
∴s＝﹣
∵2≤s＜3，
∴﹣≤a＜﹣2．
26．解：（1）设y与x的函数关系式为：y＝kx+b（k≠0），
把x＝4，y＝10000和x＝5，y＝9500代入得，
，
解得，，
∴y＝﹣500x+12000；
（2）根据“在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，”得，
，
解得，3≤x≤12，
设利润为w元，根据题意得，
w＝（x﹣3）y＝（x﹣3）（﹣500x+12000）＝﹣500x2+13500x﹣36000＝﹣500（x﹣13.5）2+55125，
∵﹣500＜0，
∴当x＜13.5时，w随x的增大而增大，
∵3≤x≤12，且x为正整数
∴当x＝12时，w取最大值为：﹣500×（12﹣13.5）2+55125＝54000，
答：这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54000元，售价为12元；
（3）根据题意得，w＝（x﹣3﹣m）（﹣500x+12000）＝﹣500x2+（13500+500m）x﹣36000﹣12000m，
∴对称轴为x＝﹣＝13.5+0.5m，
∵﹣500＜0，
∴当x＜13.5+0.5m时，w随x的增大而增大，
∵该商场这种商品售价不大于15元/件时，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．
∴15﹣（13.5+0.5m）＜13.5+0.5m﹣14，解得m＞2，
∵1≤m≤6，
∴2＜m≤6．
27．解：（1）将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：
，解得：，
∴抛物线的函数关系式为y＝﹣x2﹣2x+3；
设直线AC的函数关系式为y＝mx+n（m≠0），
将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝mx+n，得：
，解得：，
∴直线AC的函数关系式为y＝﹣x+1．
（2）过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，如图1所示．
设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1），
∴PE＝﹣x2﹣2x+3，EF＝﹣x+1，
PF＝PE﹣EF＝﹣x2﹣2x+3﹣（﹣x+1）＝﹣x2﹣x+2．
∵点C的坐标为（﹣2，3），
∴点Q的坐标为（﹣2，0），
∴AQ＝1﹣（﹣2）＝3，
∴S△APC＝AQ PF＝﹣x2﹣x+3＝﹣（x+）2+．
∵﹣＜0，
∴当x＝﹣时，△APC的面积取最大值，最大值为，此时点P的坐标为（﹣，）．
（3）当x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3，
∴点N的坐标为（0，3）．
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．
∵点C的坐标为（﹣2，3），
∴点C，N关于抛物线的对称轴对称．
令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，如图2所示．
∵点C，N关于抛物线的对称轴对称，
∴MN＝CM，
∴AM+MN＝AM+MC＝AC，
∴此时△ANM周长取最小值．
当x＝﹣1时，y＝﹣x+1＝2，
∴此时点M的坐标为（﹣1，2）．
∵点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（﹣2，3），点N的坐标为（0，3），
∴AC＝＝3，AN＝＝，
∴C△ANM＝AM+MN+AN＝AC+AN＝3+．
∴在对称轴上存在一点M（﹣1，2），使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为3+．
1．下列函数中属于二次函数的是（ ）
A．y＝x B．y＝2x2﹣1 C．y＝ D．y＝x2++1
2．二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝ax+c，它们在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
3．抛物线y＝2（x﹣3）2+2的顶点坐标是（ ）
A．（﹣3，2） B．（3，2） C．（﹣3，﹣2） D．（3，﹣2）
4．已知二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1图象经过原点，则a的取值为（ ）
A．a＝±1 B．a＝1 C．a＝﹣1 D．无法确定
5．已知抛物线y＝x2经过A（﹣2，y1）、B （1，y2）两点，在下列关系式中，正确的是（ ）
A．y1＞0＞y2 B．y2＞0＞y1 C．y1＞y2＞0 D．y2＞y1＞0
6．下列关于二次函数y＝x2﹣3的图象与性质的描述，不正确的是（ ）
A．该函数图象的开口向上
B．函数值y随着自变量x的值的增大而增大
C．该函数图象关于y轴对称
D．该函数图象可由函数y＝x2的图象平移得到
7．已知关于n的函数s＝an2+bn（n为自然数），当n＝9时，s＜0；当n＝10时，s＞0．则n取（ ）时，s的值最小．
A．3 B．4 C．5 D．6
8．已知二次函数y＝ax2﹣1的图象经过点（1，﹣2），那么a的值为（ ）
A．a＝﹣2 B．a＝2 C．a＝1 D．a＝﹣1
9．将二次函数y＝x2﹣4x﹣1化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果为（ ）
A．y＝（x+2）2+5 B．y＝（x+2）2﹣5 C．y＝（x﹣2）2+5 D．y＝（x﹣2）2﹣5
10．若二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0）和（3，0），则方程ax2+bx+c＝0的解为（ ）
A．x1＝﹣3，x2＝﹣1 B．x1＝1，x2＝3
C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝﹣3，x2＝1
11．二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：
x … 0 1 3 4 …
y … 2 4 2 ﹣2 …
则下列判断中正确的是（ ）
A．抛物线开口向上 B．抛物线与y轴交于负半轴
C．当x＝﹣1时y＞0 D．方程ax2+bx+c＝0的负根在0与﹣1之间
12．已知函数y1＝ax2﹣4ax+c（a＞0），当1≤x≤4时，则﹣1≤y1≤3；当1≤x≤4时，y2＝﹣ax2+4ax+c的取值范围是（ ）
A．3≤y2≤7 B．3≤y2≤6 C．16≤y2≤19 D．7≤y2≤19
13．把160元的电器连续两次降价后的价格为y元，若平均每次降价的百分率是x，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝320（x﹣1） B．y＝320（1﹣x）
C．y＝160（1﹣x2） D．y＝160（1﹣x）2
14．已知关于x的二次三项式（m+1）x2﹣（2m﹣1）x+m的值恒为正，则m的取值范围是（ ）
A．且m≠ B．m＞﹣1 C．﹣1＜m＜ D．＜m＜1
15．如图，抛物线y＝﹣x﹣2交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，分别过点B，C作y轴，x轴的平行线，两线交于点D，将△BDC绕点C逆时针旋转，使点D旋转到y轴上得到△FEC，连接BF．在线段BC上存在点P，使得以点P，A，B为顶点的三角形与△BOC相似，则点P的坐标为 ．
16．关于x的方程x2﹣4x﹣t＝0在﹣1≤x≤4范围内有两个不等实数根，则实数t的取值范围是 ．
17．若抛物线y＝x2+（m﹣2）x+3的对称轴是y轴，则m＝ ．
18．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列四个代数式：①abc，②9a﹣3b+c，③b2﹣4ac；④2a+b中，其值小于0的有 （填序号）．
19．如图，过函数y＝ax2（a＞0）图象上的点B，分别向两条坐标轴引垂线，垂足分别为A，C．线段AC与抛物线的交点为D，则的值为 ．
20．将抛物线y＝2x2向左平移2个单位后所得到的抛物线为 ．
21．如图，P是抛物线y＝x2﹣x﹣4在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为 ．
22．若y＝ax2+bx+c是关于x的二次函数且a为整数，不等式4x≤ax2+bx+c≤2（x2+1）在实数范围内恒成立，则二次函数的解析式为 ．
23．某网店销售一种产品．这种产品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/件市场调查发现，该产品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示：
（1）当12≤x≤18时，求y与x之间的函数关系式；
（2）求每天的销售利润w（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式并求出每件销售价为多少元时．每天的销售利润最大？最大利润是多少？
24．如图，二次函数y＝ax2+bx﹣3（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且BO＝OC＝3AO．一次函数y＝kx+t（k≠0）的图象经过点B和线段AC中点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）根据图象，请直接写出ax2+bx﹣3＞kx+t的x的取值范围．
25．已知，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为A（s，t）（其中s≠0）．
（1）若抛物线经过（2，7）和（﹣3，37）两点，且s＝1．
①求抛物线的解析式；
②若n＞1，设点M（n，y1），N（n+1，y2）在抛物线上，比较y1、y2的大小关系，并说明理由；
（2）若a＝2，c＝﹣2，直线y＝2x+m与抛物线y＝ax2+bx+c的交于点P和点Q，点P的横坐标为h，点Q的横坐标为h+3，求出b和h的函数关系式；
（3）若点A在抛物线y＝x2+3x+c上，且2≤s＜3时，求a的取值范围．
26．一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元/件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：
x（元/件） 4 5 6
y（件） 10000 9500 9000
（1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；
（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？
（3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于15元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元（1≤m≤6），捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出m的取值范围．
27．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．
（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．解：A、y＝x是正比例函数，故本选项不符合题意；
B、y＝2x2﹣1是二次函数，故本选项符合题意；
C、y＝不是二次函数，故本选项不符合题意；
D、y＝x2++1不是二次函数，故本选项不符合题意．
故选：B．
2．解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0，c），
∴两个函数图象交于y轴上的同一点，排除B、C；
当a＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，排除D；
当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，A正确；
故选：A．
3．解：抛物线y＝2（x﹣3）2+2的顶点坐标是（3，2），
故选：B．
4．解：∵二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1 的图象经过原点，
∴a2﹣1＝0，
∴a＝±1，
∵a﹣1≠0，
∴a≠1，
∴a的值为﹣1．
故选：C．
5．解：∵抛物线y＝x2，
∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，
∴A（﹣2，y1）关于y轴对称点的坐标为（2，y1）．
又∵0＜1＜2，
∴y1＞y2＞0，
故选：C．
6．解：A、由a＝1＞0知抛物线开口向上，此选项描述正确；
B、∵抛物线的开口向上且对称轴为y轴，∴当x＞0时，y随x的增大而证得，故此选项描述错误；
由y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1知抛物线的顶点坐标为（1，1），此选项错误；
C、∵抛物线的对称轴为y轴，∴该函数图象关于y轴对称，此选项描述正确；
D、该函数图象可由函数y＝x2的图象向下平移3个单位得到，此选项描述正确；
故选：B．
7．解：∵函数s＝an2+bn（n为自然数），当n＝9时，s＜0；当n＝10时，s＞0，
∴a＞0，该函数图象开口向上，
∴当s＝0时，9＜n＜10，
∵n＝0时，s＝0，
∴该函数的对称轴n的值在4.5～5之间，
∴各个选项中，当n＝5时，s取得的值最小，
故选：C．
8．解：把（1，﹣2）代入y＝ax2﹣1得a﹣1＝﹣2，解得a＝﹣1．
故选：D．
9．解：y＝x2﹣4x﹣1＝x2﹣4x+4﹣5
＝（x﹣2）2﹣5．
故选：D．
10．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0）和（3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝3．
故选：C．
11．解：A、由图表中数据可得出：x＝1.5时，y有最大值，故此函数开口向下，故此选项错误；
B、∵x＝0时，y＝2，故抛物线与y轴交于正半轴，故此选项错误；
C、当x＝﹣1时与x＝4时对应y值相等，故y＜0，故此选项错误；
D、∵y＝0时，﹣1＜x＜0，∴方程ax2+bx+c＝0的负根在0与﹣1之间，此选项正确．
故选：D．
12．解：∵y1＝ax2﹣4ax+c＝a（x﹣2）2﹣4a+c，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，c﹣4a），
∵当1≤x≤4时，则﹣1≤y1≤3，
∴c﹣4a＝﹣1，
当x＝4时，y＝16a﹣16a+c＝3，
∴c＝3，
∴a＝1，
∵y2＝﹣ax2+4ax+c
∴y2＝﹣x2+4x+3＝﹣（x﹣2）2+7，
∴抛物线y2的对称轴为直线x＝2，
∵1≤x≤4，
∴在此范围内，当x＝2时，y2取最大值为7，当x＝4时，y2取最小值为﹣4+7＝3，
∴3≤y2≤7．
故选：A．
13．解：第一次降价后的价格是160（1﹣x），
第二次降价为160（1﹣x）×（1﹣x）＝160（1﹣x）2
则y与x的函数关系式为y＝160（1﹣x）2．
故选：D．
14．解：设y＝（m+1）x2﹣（2m﹣1）x+m，
∵二次三项式（m+1）x2﹣（2m﹣1）x+m的值恒为正，
∴（m+1）x2﹣（2m﹣1）x+m＞0且2m﹣1≠0，
∴在函数y＝（m+1）x2﹣（2m﹣1）x+m中，m+1＞0且△＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4（m+1） m＜0且2m﹣1≠0，
解得，m＞且m≠，
故选：A．
15．解：﹣x﹣2＝0
整理得，x2﹣6x+8＝0，
解得，x1＝2，x2＝4，
当x＝0时，y＝﹣2，
则点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，﹣2）
∴OA＝2，OB＝4，OC＝2，
则AB＝2，BC＝＝2，
如图1，作AP⊥x轴交BC于P，
当△BAP∽△BOC时，＝，即＝，
解得，AP＝1，
∴点P的坐标为（2，﹣1）；
如图2，作AP′⊥BC于P′，作P′Q⊥AB于Q，
当△BAP′∽△BCO时，＝，即＝，
解得，BP′＝，
∵P′Q⊥AB，∠BOC＝90°，
∴△BQP′∽△BOC，
∴＝＝，即＝＝，
解得，QP′＝，BQ＝，
∴OQ＝OB﹣BQ＝，
∴点P′的坐标为（，﹣），
综上所述，以点P，A，B为顶点的三角形与△BOC相似，点P的坐标为（2，﹣1）或（，﹣），
故答案为：（2，﹣1）或（，﹣）．
16．解：设y1＝x2﹣4x，
∵y1＝x2﹣4x的对称轴为直线x＝2，
∴一元二次方程x2﹣4x﹣t＝0的实数根可以看作y1＝x2﹣4x与函数y2＝t的交点，
∵方程在﹣1≤x≤4的范围内有实数根，
当x＝﹣1时，y1＝5；
当x＝4时，y1＝0；
函数y1＝x2﹣4x在x＝2时有最小值﹣4；
∴当﹣4＜t≤0时，y1＝x2﹣4x与函数y2＝t有两个交点，即方程x2﹣4x﹣t＝0在﹣1≤x≤4范围内有两个不等实数根；
故答案为：﹣4＜t≤0．
17．解：
∵y＝x2+（m﹣2）x+3，
∴其对称轴方程为x＝﹣，
∵其对称轴为y轴，
∴﹣＝0，解得m＝2，
故答案为：2．
18．解：①由二次函数的图象可知，该函数图象开口向下，则a＜0；
对称轴在y轴的右侧，b＞0．
该函数图象与y轴交于负半轴，则c＜0，
∴abc＞0；
②由图象可知，当x＝﹣3时，y＜0，
即y＝9a﹣3b+c＜0；
③由图象可知，抛物线与x轴有两个交点，
则b2﹣4ac＞0；
④由图象可知，对称轴为0＜﹣＜1
∵a＜0
∴2a+b＜0
综上，小于0的有②④．
故答案为：②④．
19．解：过点D作DE⊥OA，垂足为E，
设OC＝m，则点C（﹣m，0），B（﹣m，am2），A（0，am2），
∴BC＝OA＝am2，
设直线AC的关系式为y＝kx+b，把A、C两点坐标代入得，
b＝am2，k＝am，
∴y＝amx+am2，
∴点D的坐标是方程组的一个解，
解这个方程组得，x1＝m＞0（舍去），x2＝m，
即：DE＝|x2|＝m，
由△ADE∽△ACO得，
＝＝＝，
故答案为：．
20．解：∵将抛物线y＝2x2向左平移2个单位后所得到的抛物线是：y＝2（x+2）2．
故答案为y＝2（x+2）2．
21．解：设P（x，x2﹣x﹣4），
四边形OAPB周长＝2PA+2OA＝﹣2（x2﹣x﹣4）+2x＝﹣2x2+4x+8＝﹣2（x﹣1）2+10，
当x＝1时，四边形OAPB周长有最大值，最大值为10．
故答案为10．
22．解：∵4x≤ax2+bx+c≤2（x2+1）在实数范围内恒成立，
∴当x＝1时，a+b+c＝4成立
当x＝0时，有0≤c≤2
由4x≤ax2+bx+c得：
ax2+（b﹣4）x+c≥0在实数范围内恒成立
∴（b﹣4）2﹣4ac≤0
∵a+b+c＝4
∴b＝4﹣a﹣c
∴（4﹣a﹣c﹣4）2﹣4ac≤0
∴（a﹣c）2≤0
∴a＝c．
∵ax2+bx+c≤2（x2+1）
∴（a﹣2）x2+bx+c﹣2≤0在实数范围内恒成立
∴a﹣2＜0，b2﹣4（a﹣2）（c﹣2）≤0
∴（4﹣a﹣c）2﹣4（a﹣2）（c﹣2）≤0
整理得：（a﹣c）2≤0
∴a＝c
又∵0≤c≤2，且a为整数
∴只能取a＝1，c＝1，b＝2
故答案为：y＝x2+2x+1．
23．解：
（1）依题意，设y与x之间的函数关系式为：y＝kx+b
将点（12，30）（18，24）代入得
，解得
∴当12≤x≤18时，求y与x之间的函数关系式：y＝﹣x+42（12≤x≤18）
（2）依题意，得w＝y （x﹣10）
则有w＝
当10≤x＜12时，最大利润为w＝60元
当12≤x≤18时，w＝﹣x2+52x﹣420＝﹣（x﹣26）2+256
∵a＝﹣1＜0
∴抛物线开口向下，故当12≤x≤18时，w随x的增大而增大
∴当x＝18时，有最大值得w＝192元
故当x＝18元时．销售利润最大，最大利润是192元，此时销售的件数为24件．
24．解：（1）由二次函数y＝ax2+bx﹣3（a≠0）得，c＝﹣3，故OC＝3，
∵BO＝OC＝3AO，故OA＝1，OB＝3，
故点A、B的坐标为：（﹣1，0）、（3，0），
则抛物线表达式可设为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），
∵c＝﹣3，
∴﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3①；
（2）设AC的中点为D，由中点公式得点D的坐标为（﹣，﹣），而点B（3，0），
∵直线BD的表达式为：y＝kx+t，则，解得，
故直线BD的表达式为：y＝x﹣②，
联立①②并解得：x＝3或﹣，
即两个函数交点的横坐标为3或﹣，
故x＜﹣或x＞3时，ax2+bx﹣3＞kx+t，
即ax2+bx﹣3＞kx+b的x的取值范围为x＜﹣或x＞3．
25．解：（1）①设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2+t，
根据题意得：，解得：，
故抛物线的解析式为：y＝2（x﹣1）2+5＝2x2﹣4x+7；
②∵函数的对称轴为x＝1，
当n＞1时，y随x的增大而增大，
∵n＜n+1，
故y2＞y1；
（2）根据题意得：yP＝2h+m，yQ＝2h+6+m，
∴yQ﹣yP＝6，
又∵P、Q在抛物线上，
∴yQ﹣yP＝12h+18+3b＝6，
∴b＝﹣4h﹣4；
（3）设抛物线y＝a（x﹣s）2+t．
∵抛物线经过点（0，c），
∴c＝as2+t，即：c﹣t＝as2①，
又∵点A在抛物线y＝x2+3x+c上，
∴t＝s2+3s+c，即：c﹣t＝﹣3s﹣s2②，
由①②可得：as2＝﹣3s﹣s2．
当a＝﹣1时，
﹣s2＝﹣3s﹣s2，
解得s＝0，不成立；
当a≠﹣1时，
∵s≠0，
∴s＝﹣
∵2≤s＜3，
∴﹣≤a＜﹣2．
26．解：（1）设y与x的函数关系式为：y＝kx+b（k≠0），
把x＝4，y＝10000和x＝5，y＝9500代入得，
，
解得，，
∴y＝﹣500x+12000；
（2）根据“在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，”得，
，
解得，3≤x≤12，
设利润为w元，根据题意得，
w＝（x﹣3）y＝（x﹣3）（﹣500x+12000）＝﹣500x2+13500x﹣36000＝﹣500（x﹣13.5）2+55125，
∵﹣500＜0，
∴当x＜13.5时，w随x的增大而增大，
∵3≤x≤12，且x为正整数
∴当x＝12时，w取最大值为：﹣500×（12﹣13.5）2+55125＝54000，
答：这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54000元，售价为12元；
（3）根据题意得，w＝（x﹣3﹣m）（﹣500x+12000）＝﹣500x2+（13500+500m）x﹣36000﹣12000m，
∴对称轴为x＝﹣＝13.5+0.5m，
∵﹣500＜0，
∴当x＜13.5+0.5m时，w随x的增大而增大，
∵该商场这种商品售价不大于15元/件时，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．
∴15﹣（13.5+0.5m）＜13.5+0.5m﹣14，解得m＞2，
∵1≤m≤6，
∴2＜m≤6．
27．解：（1）将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：
，解得：，
∴抛物线的函数关系式为y＝﹣x2﹣2x+3；
设直线AC的函数关系式为y＝mx+n（m≠0），
将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝mx+n，得：
，解得：，
∴直线AC的函数关系式为y＝﹣x+1．
（2）过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，如图1所示．
设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1），
∴PE＝﹣x2﹣2x+3，EF＝﹣x+1，
PF＝PE﹣EF＝﹣x2﹣2x+3﹣（﹣x+1）＝﹣x2﹣x+2．
∵点C的坐标为（﹣2，3），
∴点Q的坐标为（﹣2，0），
∴AQ＝1﹣（﹣2）＝3，
∴S△APC＝AQ PF＝﹣x2﹣x+3＝﹣（x+）2+．
∵﹣＜0，
∴当x＝﹣时，△APC的面积取最大值，最大值为，此时点P的坐标为（﹣，）．
（3）当x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3，
∴点N的坐标为（0，3）．
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．
∵点C的坐标为（﹣2，3），
∴点C，N关于抛物线的对称轴对称．
令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，如图2所示．
∵点C，N关于抛物线的对称轴对称，
∴MN＝CM，
∴AM+MN＝AM+MC＝AC，
∴此时△ANM周长取最小值．
当x＝﹣1时，y＝﹣x+1＝2，
∴此时点M的坐标为（﹣1，2）．
∵点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（﹣2，3），点N的坐标为（0，3），
∴AC＝＝3，AN＝＝，
∴C△ANM＝AM+MN+AN＝AC+AN＝3+．
∴在对称轴上存在一点M（﹣1，2），使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为3+．