2021-2022学年苏科版九年级数学下册7.5 解直角三角形 同步达标测评（word版含解析）

2021-2022学年苏科版九年级数学下册《7.5解直角三角形》同步达标测评（附答案）
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AC＝6，AB＝4，则BC的长是（　　）
A．6 B．2 C．2 D．9
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，下列四个三角函数正确的是（　　）
A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．cosA＝
3．如图，点A为∠B边上任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示tanB的值，错误的是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，D为AC边上一动点，且tan∠ABD＝，则BD的长度为（　　）
A． B．2 C．5 D．
5．在锐角△ABC中，如果各边长都扩大2倍，那么∠B的余弦值（　　）
A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．大小不变 D．不能确定
6．如图，∠EFG＝90°，EF＝10，OG＝17，cos∠FGO＝，则点F的坐标是（　　）
A．（8，） B．（8，12） C．（6，） D．（6，10）
7．如图，在边长为1的小正方形网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA的值为（　　）
A． B． C． D．
8．在△ABC中，BC＝+1，∠B＝45°，∠C＝30°，则△ABC的面积为（　　）
A． B．+1 C． D．+1
9．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝6，点D是AB边上一点，若tan∠DCB＝，则线段DB的长度为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．
10．如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q四点均在正方形网格的格点上，线段AB，PQ相交于点M，则图中cos∠QMB的值是（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共7小题，满分28分）
11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，AB＝13，则△ABC的面积为　 　．
12．在△ABC中，AB＝5，tan∠ABC＝，AC＝，则BC＝　 　．
13．已知：如图，在△ABC中，∠C＝45°，AB＝，AC＝2，AD是BC边上的高，则BC的长度为 　 　．
14．在正方形网格中，三角形ABC的三个顶点都在网格中的格点上，则tan∠B的值为 　 　．
15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝10，则AB＝　 　．
16．关于x的方程2x2﹣5xsinA+2＝0有两个相等的实数根，其中∠A是锐角△ABC的一个内角；关于y的方程y2﹣10y+m2﹣4m+29＝0的两个根恰好是△ABC的两边长，则△ABC的周长是　 　．
17．如图所示的网格是正方形网格，∠BAC　 　∠DAE．（填“＞”，“＝”或“＜”）
三．解答题（共7小题，满分52分）
18．把矩形纸片ABCD，先沿AE折叠使点B落在AD边上的B'，再沿AC折叠，恰好点E也落到AD上，记为E'．
求：（1）∠B'EE'的度数； （2）∠DAC的正切值．
19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝22°，AB＝10，求AC的长．（sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，其中结果精确到0.1）
20．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A﹣∠B＝30°，a﹣b＝2﹣2，解这个直角三角形．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC＝，BC＝2．过点B作BD⊥AC，垂足为点D．
（1）求cos∠ACB的值；
（2）点E是BD延长线上一点，联结CE，当∠E＝∠A时，求线段CE的长．
22．已知：如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AC＝2，
求（1）AB的长；
（2）S△ABC．
23．如图，在△ABC中，∠A＝105°，∠B＝30°，AC＝2．求AB的长．
24．如图1，用平面去截一个正方体，得到了一个如图2的几何体，通过测量得到∠ACD＝45°，∠ABD＝22°．
（1）若AD＝1，则AC的长为 　 　；
（2）若BC＝1，求AD的长．（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）
参考答案
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．解：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，
∵∠BAC＝120°，
∴∠DAC＝180°﹣120°＝60°，
∴∠ACD＝30°，
∴AD＝AC＝3，
∴BD＝AB+AD＝7，
由勾股定理得，CD＝＝3，
在Rt△BCD中，BC＝＝2，
故选：B．
2．解：因为∠ACB＝90°，CD⊥AB，
所以sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝，
故选：B．
3．解：∵AC⊥BC，CD⊥AB，
∴∠ACB＝∠CDB＝∠CDA＝90°，
∴∠B＝∠ACD，
在Rt△BCD中，tanB＝，故A选项正确；
在Rt△ACD中，tan∠ACD＝，
∴tanB＝，故B选项正确；
在Rt△ABC中，tanB＝，故C选项正确；
在Rt△ACD中，sin∠ACD＝，故D选项错误．
故选：D．
4．解：作DE⊥AB于点E，
设DE长为x，则tanA＝＝＝，
∴EA＝x，
∵tan∠ABD＝＝，
∴BE＝2x，
∴AB＝EA+BE＝x+2x＝6，
∴x＝，
∴BD＝＝＝，
故选：D．
5．解：如图，
过点A作AD⊥BC于点D，则cosB＝，
当各边都扩大2倍后，cosB＝＝，
故选：C．
6．解：过点F作AB⊥y轴交y轴于点A，过点G作GB⊥AB于B，
则∠FGO+∠FGB＝90°，∠BFG+∠FGB＝90°，∠AEF+∠AFE＝90°，
∴∠BFG＝∠FGO，
∵AB⊥y轴，GB⊥AB，∠AOG＝90°，
∴四边形AOGB为矩形，
∴AO＝GB，AB＝OG＝17，
∵∠EFG＝90°，
∴∠AFE+∠BFG＝90°，
∴∠AEF＝∠BFG＝∠FGO，
在Rt△AEF中，cos∠AEF＝，即＝，
解得，AE＝6，
由勾股定理得，AF＝＝8，
∴BF＝AB﹣AF＝17﹣8＝9，
在Rt△BFG中，cos∠BFG＝，即＝，
解得，FG＝15，
由勾股定理得，BG＝＝12，
则点F的坐标是（8，12），
故选：B．
7．解：由题知△ABC为直角三角形，其中AC＝3，BC＝4，
∴tanA＝＝，
故选：B．
8．解：过点A作AD⊥BC，垂足为D．
在Rt△ABD中，∵∠B＝45°，
∴BD＝AD．
在Rt△ACD中，∵∠C＝30°，
∴CD＝AD．
∵BD+CD＝BC，
∴AD+AD＝1+．
即AD＝1．
S△ABC＝×BC×AD
＝（1+）．
故选：C．
9．解：作DE⊥BC于点E，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠A＝∠B＝45°，AC＝BC＝6，
∴BE＝DE，
∵tan∠DCB＝，
∴＝，
∴CE＝2DE＝2BE，
∴BC＝CE+BE＝3BE＝6，
∴BE＝2，
∴BD＝BE＝2．
故选：C．
10．解：作CQ∥AB，连接PC，如右图所示，
设每个小正方形的边长为1，
则CQ＝＝2，PQ＝＝2，PC＝＝4，
∴CQ2+PC2＝（2）2+（4）2＝8+32＝40＝（2）2＝PQ2，
∴△PCQ是直角三角形，∠PCQ＝90°，
∴cos∠PQC＝＝＝，
∵AB∥CQ，
∴∠QMB＝∠PQC，
∴cos∠QMB的值是，
故选：A．
二．填空题（共7小题，满分28分）
11．解：如图，
∵sinA＝，AB＝13，
∴，
∴BC＝12，AC＝＝5，
∴S△ABC＝＝．
故答案为：30．
12．解：①如图，作AD⊥BC于点D，
∵tan∠ABC＝，
∴BD＝2AD，
∵BD2+AD2＝AB2，
∴（2AD）2+AD2＝52，
解得AD＝，
∴BD＝，
又∵AD2+DC2＝AC2，
∴，
解得DC＝，
∴BC＝BD+DC＝．
②如图，作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，
∵tan∠ABC＝，
∴BD＝2AD，
∵BD2+AD2＝AB2，
∴（2AD）2+AD2＝52，
解得AD＝，
∴BD＝，
又∵AD2+DC2＝AC2，
∴，
解得DC＝，
∴BC＝BD﹣DC＝．
综上所述，BC＝或．
故答案为：或．
13．解：在Rt△ADC中，CD＝AD＝AC×sinC＝2＝2，
在Rt△ABD中，BD＝＝＝1，
∴BC＝CD+BD＝2+1＝3，
故答案为：3．
14．解：连接CD，如图，
由图可知，D为AB的中点，AC＝BC，
∴CD⊥AB，
Rt△BDC中，CD＝＝，BD＝＝2，
∴tan∠B＝＝＝．
15．解：由cos∠A＝，得AB＝＝＝＝，
故答案为：．
16．解：根据题意得Δ＝25sin2A﹣16＝0，
∴sin2A＝，
∴sinA＝﹣或 ，
∵∠A为锐角，
∴sinA＝．
由题意知，方程y2﹣10y+m2﹣4m+29＝0有两个实数根，
则△≥0，
∴100﹣4（m2﹣4m+29）≥0，
∴﹣（m﹣2）2≥0，
∴（m﹣2）2≤0，
又∵（m﹣2）2≥0，
∴m＝2，
把m＝2代入方程，得y2﹣10y+25＝0，
解得y1＝y2＝5，
∴△ABC是等腰三角形，且腰长为5．
分两种情况：
当∠A是顶角时：
如图，过点B作BD⊥AC于点D，在Rt△ABD中，AB＝AC＝5．
∵sinA＝，
∴AD＝3，BD＝4，
∴DC＝2，
∴BC＝2．
∴△ABC的周长为；
当∠A是底角时：
如图，过点B作BD⊥AC于点D，在Rt△ABD中，AB＝5，
∵sinA＝，
∴AD＝DC＝3，
∴AC＝6．
∴△ABC的周长为16，
综合以上讨论可知：△ABC的周长为或16．
故答案是：或16．
17．解：在Rt△ABC中，tan∠BAC＝＝，
在Rt△ADE中，可表示tan∠DAE＝＝＝1，
∵tan∠BAC＜tan∠DAE，
∴∠BAC＜∠DAE，
故答案为：＜．
三．解答题（共7小题，满分52分）
18．解：（1）由折叠性质可知，∠ABE＝∠AB'E＝90°，AB＝AB'，
又∠BAB'＝90°，
∴四边形ABEB'为矩形，
又AB＝AB'，
∴四边形ABEB'为正方形．
∴∠B'AE＝∠AEB'＝45°．
又沿AC折叠，点E也落到AD上，故AE＝AE'，
∴∠AEE'＝∠AE'E＝＝67.5°，
∴∠B'EE'＝∠AEE'﹣∠AEB'＝67.5°﹣45°＝22.5°．
（2）设正方形ABEB'的边长为a，如图所示．
则AB＝BE＝EB'＝B'A＝a，AE＝＝AE'，
∴B'E'＝AE'﹣AB'＝，
由折叠可知，AC垂直平分EE'，
∴∠DAC+∠AE'F＝90°，
又∠B'EE'+∠AE'E＝90°，
∴∠DAC＝∠B'EE'，
∴tan∠DAC＝tan∠B'EE'＝＝＝．
19．解：在Rt△ABC中，
∵cosA＝，∠A＝22°，AB＝10，
∴AC＝cosA AB
＝cos22° 10
≈0.93×10
＝9.3．
20．解：∵，
∴，
∵，
∴，
由，解得，
∵，
∴c＝2b＝4．
21．解：（1）过点A作AF⊥BC，垂足为F，
∵AB＝AC＝，BC＝2．
∴BF＝FC＝BC＝1，
在Rt△ACF中，cos∠ACB＝＝＝；
（2）∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝90°，
在Rt△BDC中，
∴cos∠ACB＝，
∴CD＝BC cos∠ACB＝2×＝，
BD＝＝＝，
又∵∠A＝∠E，∠ADB＝∠EDC＝90°，
∴△ABD∽△ECD，
∴＝＝，
∴EC＝AB＝，
答：EC的长为．
22．解：（1）过点A作AD⊥BC于D．
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°．
在Rt△ADC中，
∵∠C＝45°，AC＝2，
∴AD＝DC＝2，
在Rt△ABD中，
∵∠B＝30°，AD＝2，
∴AB＝2AD＝4．
（2）在Rt△ABD中，∵∠B＝30°，AD＝2，
∴AB＝2AD＝4．BD＝AD＝2，
∴S△ABC＝ BC AD＝×2×（2+2）＝2+2．
23．解：∵∠A＝105°，∠B＝30°．
∴∠C＝45°．
过点A作AD⊥BC于点D，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°
在Rt△ADC中，
∵∠ADC＝90°，∠C＝45°，AC＝2．
∴∠DAC＝∠C＝45°．
∵sinC＝，
∴AD＝CD＝．
在Rt△ADB中，∠ADB＝90°，∠B＝30°．
∵AD＝，
∴AB＝2AD＝2．
24．解：（1）∵∠ACD＝45°，AD＝1，
∴AC＝AD sin45°＝1×＝；
故答案为：．
（2）解：∵在Rt△ADC中，∠ACD＝45°，
∴AD＝DC．
∵在Rt△ADB中，∠ABD＝22°，
∴．
∴．
在Rt△ADC中，BD2+DC2＝BC2，
∴．
∴．