17.1等腰三角形 同步达标测评 2021-2022学年冀教版八年级数学上册（word版含解析）

2021-2022学年冀教版八年级数学上册《17.1等腰三角形》同步达标测评（附答案）
一．选择题（共8小题，满分32分）
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，直线m∥n，顶点C在直线n上，直线m交AB于点D，交AC于点E，若∠1＝150°，则∠2的度数是（　　）
A．45° B．40° C．35° D．30°
2．如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD＝CE，若∠D＝70°，则∠B等于（　　）
A．70° B．30° C．40° D．20°
3．等腰三角形的周长是20cm，一边是另一边的两倍，则底边长（　　）
A．10cm或4cm B．10cm C．4cm D．无法确定
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在边BC上，∠BAD＝∠CAE，若BC＝15，DE＝6，则CE的长为（　　）
A．3.5 B．4.5 C．5 D．5.5
5．如图，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点O是BC上任意一点，OE⊥AB，OF⊥AC，等腰三角形的腰长为4，面积为4，则OE+OF的值为（　　）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
6．如图，在△ABC中，∠A为钝角，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以3cm/s的速度向点A运动，点Q同时从点A出发以2cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．当△APQ是等腰三角形时，运动的时间是（　　）
A．2.5s B．3s C．3.5s D．4s
7．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论，其中正确的有（　　）
①△BDF是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③若∠A＝50°，则∠BFC＝115°；④DF＝EF．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，已知△ABC的面积为12，BP平分∠ABC，且AP⊥BP于点P，则△BPC的面积是（　　）
A．10 B．8 C．6 D．4
二．填空题（共6小题，满分30分）
9．等腰△ABC的腰AB边上的中线CD，把△ABC的周长分成12和15两部分，则底边BC长为　 　．
10．若等腰三角形的顶角为α，则一腰上的高线与另一腰的夹角是　 　（用α的代数式表示）．
11．如图，在△ABC中，AB＝AC＝24厘米，BC＝16厘米，点D为AB的中点，点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为 　 　厘米/秒时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等．
12．如图，∠AOB＝56°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数为　 　．
13．如图，点O是△ABC角平分线的交点，过点O作MN∥BC分别与AB，AC相交于点M，N，若AB＝5，BC＝8，CA＝7，则△AMN的周长为　 　．
14．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，AD垂直于BD，△BCD的面积为58，△ADC的面积为30，则△ABD的面积等于　 　．
三．解答题（共8小题，满分58分）
15．如图，已知∠1与∠2互为补角，且∠3＝∠B，
（1）求证：EF∥BC；
（2）若AC＝BC，CE平分∠ACB，求证：AF＝CF．
16．如图，在△ABC中，∠BAD＝∠C，BE平分∠ABC．
（1）求证：AE＝AF；
（2）若AC＝BC，∠C＝32°，求∠AEF的度数．
17．如图，三角形ABC中，AC＝BC，D是BC上的一点，连接AD，DF平分∠ADC交∠ACB的外角∠ACE的平分线于F．
（1）求证：CF∥AB；
（2）若∠DAC＝40°，求∠DFC的度数．
18．如图所示，△ABC中，AB＝BC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点D，交AC于F．
（1）若∠AFD＝155°，求∠EDF的度数；
（2）若点F是AC的中点，求证：∠CFD＝∠B．
19．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点G是BA延长线上一点，点F是AC上一点，AG＝AF，连接GF并延长交BC于E．
（1）若∠B＝55°，求∠AFG的度数；
（2）求证：GE⊥BC．
20．如图，△ABC中，AB＝AC，D，E，F分别为AB，BC，CA上的点，且BD＝CE，∠DEF＝∠B
（1）求证：△BDE≌△CEF；
（2）若∠A＝40°，求∠EDF的度数．
21．已知在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上任意一点，过点D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F．
（1）如图1，当点D在边BC的什么位置时，DE＝DF？并给出证明；
（2）如图2，过点C作AB边上的高CG，垂足为G，试猜想线段DE，DF，CG的长度之间存在怎样的数量关系？并给出证明．
22．如图所示，已知在△ABC中，AB＝AC，D为线段BC上一点，E为线段AC上一点，且AD＝AE．
（1）若∠ABC＝60°，∠ADE＝70°，求∠BAD与∠CDE的度数；
（2）设∠BAD＝α，∠CDE＝β，试写出α、β之间的关系并加以证明．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分32分）
1．解：∵AB＝AC，且∠A＝30°，
∴∠ACB＝75°，
在△ADE中，∵∠1＝∠A+∠AED＝150°，
∴∠AED＝150°﹣30°＝120°，
∵m∥n，
∴∠AED＝∠2+∠ACB，
∴∠2＝120°﹣75°＝45°，
故选：A．
2．解：∵CD＝CE，
∴∠D＝∠CED，
∵∠D＝70°，
∴∠C＝180°﹣2×70°＝40°，
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C＝40°，
故选：C．
3．解：根据题意设底边长xcm，则腰长为2xcm．
x+2x+2x＝20，
解得 x＝4
故底边长为4cm，
故选：C．
4．解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△BAD和△CAE中，，
∴△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE，
∵BC＝15，DE＝6，
∴BD+CE＝9，
∴CE＝4.5，
故选：B．
5．解：连接AO，如图，
∵AB＝AC＝4，
∴S△ABC＝S△ABO+S△AOC＝AB OE+AC OF＝4，
∵AB＝AC，
∴AB（OE+OF）＝4，
∴OE+OF＝2．
故选：B．
6．解：设运动的时间为x，
在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，
点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，
当△APQ是等腰三角形时，AP＝AQ，
AP＝20﹣3x，AQ＝2x
即20﹣3x＝2x，
解得x＝4．
故选：D．
7．解：∵BF是∠AB的角平分线，
∴∠DBF＝∠CBF，
∵DE∥BC，
∴∠DFB＝∠CBF，
∴∠DBF＝∠DFB，
∴BD＝DF，
∴△BDF是等腰三角形；故①正确；
同理，EF＝CE，
∴DE＝DF+EF＝BD+CE，故②正确；
∵∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝130°，
∵BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∴，
∴∠FBC+∠FCB＝（∠ABC+∠ACB）＝65°，
∴∠BFC＝180°﹣65°＝115°，故③正确；
当△ABC为等腰三角形时，DF＝EF，
但△ABC不一定是等腰三角形，
∴DF不一定等于EF，故④错误；
故选：C．
8．解：延长AP交BC于E，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠EBP，
∵AP⊥BP，
∴∠APB＝∠EPB＝90°，
在△ABP和△EBP中，
，
∴△ABP≌△EBP（ASA），
∴AP＝PE，
∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，
∴S△PBC＝S△ABC＝×12＝6，
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分30分）
9．解：如图，在△ABC中，AB＝AC，且AD＝BD．设AB＝x，BC＝y，
①当AC+AD＝15，BD+BC＝12时，则x+x＝15，x+y＝12，
解得x＝10，y＝7．
②当AC+AD＝12，BC+BD＝15时，则x+x＝12，x+y＝15，
解得x＝8，y＝11，
综上所述，这个三角形的底边BC的长为7或11．
故答案为：7或11．
10．解：当α是锐角时，一腰上的高线与另一腰的夹角是90°﹣α．
当α是钝角时，一腰上的高线与另一腰的夹角是α﹣90°．
当α＝90°时，一腰上的高线与另一腰的夹角是0°，
综上所述，等腰三角形的顶角为α，则一腰上的高线与另一腰的夹角是90°﹣α或α﹣90°．
故答案为90°﹣α或α﹣90°．
11．解：设经过x秒后，使△BPD与△CQP全等，
∵AB＝AC＝24厘米，点D为AB的中点，
∴BD＝12厘米，
∵∠ABC＝∠ACB，
∴要使△BPD与△CQP全等，必须BD＝CP或BP＝CP，
即12＝16﹣4x或4x＝16﹣4x，
解得：x＝1或x＝2，
x＝1时，BP＝CQ＝4，4÷1＝4；
x＝2时，BD＝CQ＝12，12÷2＝6；
即点Q的运动速度是4或6，
故答案为：4或6
12．解：∵∠AOB＝56°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝28°，
①当E在E1时，OE＝CE，
∵∠AOC＝∠OCE＝28°，
∴∠OEC＝180°﹣28°﹣28°＝124°；
②当E在E2点时，OC＝OE，
则∠OCE＝∠OEC＝（180°﹣28°）＝76°；
③当E在E3时，OC＝CE，
则∠OEC＝∠AOC＝28°；
故答案为：124°或76°或28°．
13．解：∵BO平分∠ABC，
∴∠MBO＝∠CBO，
∵MN∥BC，
∴∠MOB＝∠CBO，
∴∠MOB＝∠MBO，
∴OM＝BM，
同理CN＝NO，
∴BM+CN＝MN，
∴△AMN的周长是AN+MN+AM＝AN+CN+OM+ON＝AB+AC＝5+7＝12，
故答案为：12．
14．解：延长AD交BC于E，如图所示：
∵BD平分∠ABC，AD垂直于BD，
∴∠ABD＝∠EBD，∠ADB＝∠EDB＝90°，
在△ABD和△EBD中，
，
∴△ABD≌△EBD（AAS），
∴AD＝ED，
∴△ABD的面积＝△EBD的面积，△CDE的面积＝△ACD的面积＝30，
∴△ABD的面积＝△EBD的面积＝△BCD的面积﹣△CDE的面积＝58﹣30＝28，
故答案为28．
三．解答题（共8小题，满分58分）
15．（1）证明：∵∠1+∠FDE＝180°，∠1，∠2互为补角，
∴∠2＝∠FDE，
∴DF∥AB，
∴∠3＝∠AEF，
∵∠3＝∠B，
∴∠B＝∠AEF，
∴FE∥BC．
（2）解：∵EF∥BC，
∴∠BCE＝∠FEC，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠BCE，
∴∠FEC＝∠ACE．
∴FC＝FE，
∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B，
又∵∠B＝∠AEF，
∴∠A＝∠AEF，
∴AF＝FE，
∴AF＝CF．
16．（1）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠BAD＝∠C，
∴∠ABE+∠BAD＝∠CBE+∠C，
∵∠AFE＝∠ABE+∠BAD，∠AEB＝∠CBE+∠C，
∴∠AFE＝∠AEB，
∴AE＝AF；
（2）解：∵∠C＝32°，
∴∠CBA+∠CAB＝180°﹣∠C＝148°，
∵AC＝BC，
∴∠CBA＝∠CAB＝＝74°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝ABC＝37°，
∴∠AEF＝∠C+∠CBE＝32°+37°＝69°．
17．（1）证明：∵AC＝BC，
∴∠ABC＝∠CAB，
∴∠ACE＝∠ABC+∠CAB＝2∠ABC
∵CF是∠ACE的平分线，
∴∠ACE＝2∠FCE
∴2∠ABC＝2∠FCE，
∴∠ABC＝∠FCE，
∴CF∥AB；
（2）∵CF是∠ACE的平分线，
∴∠ACE＝2∠FCE＝∠ADC+∠DAC
∵DF平分∠ADC，
∴∠ADC＝2∠FDC；
∴2∠FCE＝∠ADC+∠DAC＝2∠FDC+∠DAC，
∴2∠FCE﹣2∠FDC＝∠DAC
∵∠DFC＝∠FCE﹣∠FDC
∴2∠DFC＝2∠FCE﹣2∠FDC＝∠DAC＝40°
∴∠DFC＝20°．
18．解：（1）∵∠AFD＝155°，
∴∠DFC＝25°，
∵DF⊥BC，DE⊥AB，
∴∠FDC＝∠AED＝90°，
在Rt△FDC中，
∴∠C＝90°﹣25°＝65°，
∵AB＝BC，
∴∠C＝∠A＝65°，
∴∠EDF＝360°﹣65°﹣155°﹣90°＝50°．
（2）连接BF
∵AB＝BC，且点F是AC的中点，
∴BF⊥AC，∠ABF＝∠CBF＝∠ABC，
∴∠CFD+∠BFD＝90°，
∠CBF+∠BFD＝90°，
∴∠CFD＝∠CBF，
∴∠CFD＝∠ABC．
19．（1）解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝55°，
∴∠GAF＝∠B+∠C＝110°，
∵AG＝AF，
∴∠AFG＝（180°﹣110°）＝35°．
（2）证明：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°
∴∠BAD＝∠CAD＝90°﹣55°＝35°，
∴∠DAC＝∠AFG，
∴AD∥FG，
∴GE⊥BC．
20．（1）证明：∵∠DEC＝∠B+∠BDE＝∠CEF+∠DEF，∠DEF＝∠B，
∴∠CEF＝∠BDE．
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B．
又∵CE＝BD，
∴△BDE≌△CEF．
（2）解：∵△BDE≌△CEF
∴DE＝FE．
所以△DEF是等腰三角形．
∴∠EDF＝∠EFD
又，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°
∴∠B＝70°，
已知∠DEF＝∠B
∴∠DEF＝70°
∴∠EDF＝∠EFD＝×（180°﹣70°）＝55°．
21．解：（1）当点D在BC的中点上时，DE＝DF，
证明：∵D为BC中点，
∴BD＝CD，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°，
在△BED和△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴DE＝DF．
（2）CG＝DE+DF
证明：连接AD，
∵S三角形ABC＝S三角形ADB+S三角形ADC，
∴AB×CG＝AB×DE+AC×DF，
∵AB＝AC，
∴CG＝DE+DF．
22．解：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝60°，
∴∠BAC＝60°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝70°，
∴∠DAE＝40°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝20°，
∵∠AED＝∠CDE+∠C，
∴∠CDE＝70°﹣60°＝10°．
（2）结论：α＝2β，理由是：
设∠BAC＝x°，∠DAE＝y°，则α＝x°﹣y°，
∵∠ACB＝∠ABC，
∴∠ACB＝，
∵∠ADE＝∠AED，
∴∠AED＝，
∴β＝∠AED﹣∠ACB＝﹣＝＝，
∴α＝2β；