17.2直角三角形 同步达标测评2021-2022学年冀教版八年级数学上册（word版含解析）

2021-2022学年冀教版八年级数学上册《17.2直角三角形》同步达标测评（附答案）
一．选择题（共9小题，满分27分，）
1．如图，以等腰三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA1，再以等腰直角三角形ABA1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A1BB1，……，如此作下去，若OA＝OB＝1，则第n个等腰直角三角形的面积Sn＝（　　）
A．2n B．2n﹣2 C．2n+1 D．2n﹣1
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F，则下列结论成立的是（　　）
A．EC＝EF B．FE＝FC C．CE＝CF D．CE＝CF＝EF
3．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E，则下列结论一定成立的是（　　）
A．BC＝EC B．EC＝BE C．BC＝BE D．AE＝EC
4．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD、DE分别是△ABC和△ACD的高，∠B＝2∠CDE，则∠A＝（　　）
A．20° B．25° C．30° D．35°
5．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG平分∠DAC．给出下列结论：①∠BAD＝∠C； ②∠AEF＝∠AFE； ③∠EBC＝∠C；④AG⊥EF．正确结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，下列结论错误的是（　　）
A．图中有三个直角三角形 B．∠1＝∠2
C．∠1和∠B都是∠A的余角 D．∠2＝∠A
7．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，∠ABC的平分线BE分别交CD、CA于点F、E，则下列结论正确的有（　　）
①∠CFE＝∠CEF；②∠FCB＝∠FBC，③∠A＝∠DCB；④∠CFE与∠CBF互余．
A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD⊥BC，则下列结论不正确的是（　　）
A．∠BAD＝45° B．△ABD≌△ACD C．AD＝BC D．AD＝AB
9．已知，如图，三角形ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，则图中相等的锐角的对数有（　　）
A．4对 B．3对 C．2对 D．1对
二．填空题（共8小题，满分32分）
10．如图，在Rt△ABC中，已知AC＝BC，CD是AB边上的中线，若CD＝2，那么Rt△ABC的面积是　 　．
11．如图：在等腰直角△ABC中，CA＝CB，CD⊥AB于D，AB＝10，则CD＝　 　．
12．如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，则∠B＝∠　 　，∠C＝∠　 　．
13．已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC 的斜边AC为直角边，画第二个等腰△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第20个等腰直角三角形的斜边长是　 　．
14．如图，已知，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，那么图中与∠A相等的角是　 　．
15．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝2，CD⊥AB于D，点P是线段CD上的一个动点，以点P为直角顶点向下作等腰直角△PBE，连接DE，则DE的最小值为 　 　．
16．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，图中哪两个锐角一定相等？写出一组：　 　．
17．如图，CA1是等腰Rt△ABC斜边AB上的高，以CA1为直角边构造等腰Rt△CA1B1（点C，A1，B1按顺时针方向排列），∠A1CB1＝90°，称为第一次构造；CA2是Rt△CA1B1斜边上的高，再以CA2为直角边构造等腰Rt△CA2B2（点C，A2，B2按顺时针方向排列），∠A2CB2＝90°，称为第二次构造…，以此类推，当第n次构造的Rt△CAnBn的边CBn与△ABC的边CB第二次重合时，构造停止，若S△ABC＝1，则构造出的最后一个三角形的面积为　 　．
三．解答题（共9小题，满分61分）
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，CD⊥AB于D，P是线段CD上一个动点，以P为直角顶点向下作等腰Rt△BPE，连接AE、DE．
（1）∠BAE的度数是否为定值？若是，求出∠BAE的度数；若不是，说明理由．
（2）直接写出DE的最小值．
19．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACB交AB于E，EF⊥AB交CB于F．
（1）求证：CD∥EF；
（2）若∠A＝70°，求∠FEC的度数．
20．如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12cm，BC＝5cm，AB＝13cm，过点C作CD⊥AB于点D．
（1）找出图中相等的锐角，并说明理由．
（2）求出点A到直线BC的距离以及点C到直线AB的距离．
解：（1）∵CD⊥AB（已知），
∴∠CDA＝90°，
∴∠A+∠1＝90°，
∵∠1+　 　＝90°，
∴∠A＝　 　（　 　）．
同理可证，
∴∠1＝　 　．
（2）点A到直线BC的距离＝　 　cm．
C到直线AB的距离为线段　 　的长度．
S△ABC＝　 　×　 　＝　 　×　 　（填线段名称）．
∵AC＝12，BC＝5，AB＝13，代入上式，解得
CD＝　 　cm．
21．（1）完成下面的填空：已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AF平分∠CAB交CD于E，交BC于F，求证：∠CEF＝∠CFE
证明：∵∠ACB＝90°（已知），∴∠CAF+∠　 　＝90°（　 　）．
∵CD⊥AB（已知），∴∠FAB+∠　 　＝90°（　 　）
∵AF平分∠CAB（　 　），∴∠CAF＝∠FAB（　 　）
∴∠　 　＝∠　 　（　 　），
∵∠CEF＝∠　 　（　 　），∴∠CEF＝∠CFE（　 　）
（2）请用不同于（1）的方法给予证明．
22．如图，在Rt△ABC中∠ACB＝90°，CD⊥AB，∠A＝30°，求∠DCB．
23．已知，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，且∠ACD＝∠B．
（1）如图1，求证：CD⊥AB；
（2）将△ADC沿CD所在直线翻折，A点落在BD边所在直线上，记为A′点．
①如图2，若∠B＝34°，求∠A′CB的度数；
②若∠B＝n°，请直接写出∠A′CB的度数（用含n的代数式表示）．
24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，且∠ACD＝∠B，求证：CD⊥AB．
25．如图所示，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠1＝∠B．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）如果AC＝8，BC＝6，AB＝10，求CD的长．
26．如图，在△ACB中，∠ACB＝90゜，CD⊥AB于D．
（1）求证：∠ACD＝∠B；
（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF＝∠CFE．
参考答案
一．选择题（共9小题，满分27分）
1．解：根据等腰直角三角形的性质，AB＝OA＝，A1B＝AB＝×＝2，A1B1＝A1B＝2，
所以，第1个等腰直角△AOB的面积S1＝×1×1＝，
第2个等腰直角△ABA1的面积S2＝××＝1，
第3个等腰直角△A1BB1的面积S3＝×2×2＝2，
第4个等腰直角△A1B1B2的面积S4＝×2×2＝4，
…，
依此类推，第n个等腰直角三角形的面积Sn＝2n﹣2，
故选：B．
2．解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠CDB＝∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠BCD+∠B＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAE＝∠BAF，
∴∠ACD+∠CAE＝∠B+∠BAF，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF．
故选：C．
3．解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠ACD+∠A＝90°，
∴∠BCD＝∠A．
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠DCE．
又∵∠BEC＝∠A+∠ACE，∠BCE＝∠BCD+∠DCE，
∴∠BEC＝∠BCE，
∴BC＝BE．
故选：C．
4．解：设∠CDE＝x，
∵在△ABC中，∠ACB＝90°，CD、DE分别是△ABC和△ACD的高，∠B＝2∠CDE，
∴∠B＝2x，∠A＝90°﹣2x，
∴∠A＝∠CDE＝x，
可得：90°﹣2x＝x，
解得：x＝30°，
∴∠A＝90°﹣2×30°＝30°，
故选：C．
5．解：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴∠C+∠ABC＝90°，
∠BAD+∠ABC＝90°，
∴∠BAD＝∠C，故①正确；
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠ABE+∠AEF＝90°，
∠CBE+∠BFD＝90°，
∴∠AEF＝∠BFD，
又∵∠AFE＝∠BFD（对顶角相等），
∴∠AEF＝∠AFE，故②正确；
∵∠ABE＝∠CBE，
∴只有∠C＝30°时∠EBC＝∠C，故③错误；
∵∠AEF＝∠AFE，
∴AE＝AF，
∵AG平分∠DAC，
∴AG⊥EF，故④正确．
综上所述，正确的结论是①②④．
故选：C．
6．解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，
∴△ACD∽△CBD∽△ABC．
A、∵图中有三个直角三角形Rt△ACD、Rt△CBD、Rt△ABC；故本选项正确；
B、应为∠1＝∠B、∠2＝∠A；故本选项错误；
C、∵∠1＝∠B、∠2＝∠A，而∠B是∠A的余角，∴∠1和∠B都是∠A的余角；故本选项正确；
D、∵∠2＝∠A；故本选项正确．
故选：B．
7．解：如图所示，
①∵BE平分∠ABC，
∴∠5＝∠6，
∵∠3+∠4＝90°，∠A+∠3＝90°，
∴∠A＝∠4，
∵∠1＝∠A+∠6，∠2＝∠4+∠5，
∠1＝∠2，
故∠CFE＝∠CEF，所以①正确；
②若∠FCB＝∠FBC，即∠4＝∠5，
由（1）可知：∠A＝∠4，
∴∠A＝∠5＝∠6，
∵∠A+∠5+∠6＝90°，
∴∠A＝30°，
即只有当∠A＝30°时，∠FCB＝∠FBC而已知没有这个条件，故②错误；
③∵∠3+∠4＝90°，∠A+∠3＝90°，
∴∠A＝∠4，
即∠A＝∠DCB，故③正确；
④∵∠1＝∠2，∠1+∠5＝90°，
∴∠2+∠5＝90°，
即：∠CFE与∠CBF互余，故④正确．
故选：A．
8．解：∵RT△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝45°，AD＝BC
故A、C两项正确；
在△ABD与△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SAS），故B正确；
当△ABC是直角三角形时，AD＝AB，故D错误．
故选：D．
9．解：相等的锐角有：∠B＝∠CAD，∠C＝∠BAD共2对．
故选：C．
二．填空题（共8小题，满分32分）
10．解：∵△ABC是直角三角形，AC＝BC，
∴∠A＝∠B＝45°，
∵CD是AB边上的中线，
∴△ADC和△BDC是等腰直角三角形，
∴AD＝DC＝BD＝2，
∴Rt△ABC的面积为×2×4＝4，
故答案为4．
11．解：∵∠ACB＝90°，CA＝CB，
∴∠A＝∠B＝45°，
∵CD⊥AB，
∴AD＝BD＝AB＝5，∠CDB＝90°，
∴CD＝BD＝5．
故答案为5
12．解：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，
∴∠B+∠C＝90°，
∵AD⊥BC于点D，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴∠DAC+∠C＝90°，∠B+∠BAD＝90°，
∴∠B＝∠DAC，∠C＝∠BAD．
故答案为DAC，BAD．
13．解：第一个等腰直角三角形的斜边为，
第二个等腰直角三角形的斜边为2＝（）2，
第三个等腰直角三角形的斜边为2＝（）3，
第四个等腰直角三角形的斜边为4＝（）4，
…
第20个等腰直角三角形的斜边为（）20＝210．
故答案为210．
14．解：∵在Rt△ABC中，∠A＝90°﹣∠B，
又∵在Rt△BCD中，∠BCD＝90°﹣∠B，
∴∠A＝∠BCD．
故答案为：∠BCD．
15．解：连接AE，
∵，
∵∠ABE＝∠CBP，
∴∠BAE＝∠BCP＝45°，
∴∠BAE＝∠CBA，
∴AE∥BC，
∴E点的运动轨迹为线段AE，
∴DE最短时，DE⊥AE时，
即当DE⊥AE时，DE的有最小值，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，
∴AD＝AB＝，
∵∠DAE＝45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DE＝1，
∴DE的最小值是1．
故答案为：1
16．解：∵CD是AB边上的高，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，∠A+∠ACD＝90°，
∴∠B＝∠ACD，
同理∠A＝∠BCD，
故答案为∠B＝∠ACD．
17．解：由题可得，CA1＝CA，
∴第一次构造后，S△A1CB1＝S△ABC＝，
第二次构造后，S△A2CB2＝S△A1BC1＝×＝，
第三次构造后，S△A3CB3＝S△A2BC2＝×＝，
以此类推，
第n次构造后，S△AnCBn＝，
又∵每构造1次，CBn绕点C顺时针旋转45°，
∴当第n次构造的Rt△CAnBn的边CBn与△ABC的边CB第二次重合时，n＝＝16，
∴构造出的最后一个三角形的面积为，
故答案为：．
三．解答题（共9小题，满分61分）
18．解：（1）∠BAE的度数为定值，
∵△ABC和△EBP均为等腰直角三角形，
∴∠BCP＝∠BAE，
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠BCP＝45°，
∴∠BAE＝∠BCP＝45°；
（2）当DE⊥AE时，DE的有最小值，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，
∴AD＝AB＝2，
∵∠DAE＝45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DE＝2，
∴DE的最小值是2．
19．（1）证明：∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴CD∥EF；
（2）解：∵CD⊥AB，
∴∠ACD＝90°﹣70°＝20°，
∵∠ACB＝90°，CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝45°，
∴∠DCE＝45°﹣20°＝25°，
∵CD∥EF，
∴∠FEC＝∠DCE＝25°．
20．解：（1）∵CD⊥AB（已知），
∴∠CDA＝90°，
∴∠A+∠1＝90°，
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠A＝∠2（ 同角的余角相等）．
同理可证，
∴∠1＝∠B．
故答案为：∠2；∠2；同角的余角相等；∠B；
（2）点A到直线BC的距离＝12cm．
C到直线AB的距离为线段 CD的长度．
S△ABC＝AC×BC＝AB×CD．
∵AC＝12，BC＝5，AB＝13，代入上式，解得
CD＝cm．
故答案为：12；CD；AC；BC；AB；CD；．
21．证明：（1）∵∠ACB＝90°（已知），∴∠CAF+∠CFA＝90°（直角三角形的两个锐角互余）．
∵CD⊥AB（已知），∴∠FAB+∠AED＝90°（直角三角形的两个锐角互余）
∵AF平分∠CAB（已知），∴∠CAF＝∠FAB（角平分线定义）
∴∠CFA＝∠AED（等角的余角相等），
∵∠CEF＝∠AED（对顶角相等），∴∠CEF＝∠CFE（等量代换）．
答案为：CFA；直角三角形的两个锐角互余；AED；直角三角形的两个锐角互余；已知；角平分线定义；CFA；AED；等角的余角相等；AED；对顶角相等；等量代换．
（2）∵∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠B＝90°．
∵CD⊥AB，
∴∠CAB+∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝∠B．
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF＝∠FAB．
∵∠CEF＝∠CAF+∠ACD，∠CFE＝∠FAB+∠B，
∴∠CEF＝∠CFE．
22．解：∵∠A＝30°，
∴∠B＝90°﹣30°＝60°，
∵CD⊥AB，
∴∠DCB＝90°﹣∠B＝30°．
23．解：（1）∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∵∠ACD＝∠B，
∴∠B+∠BCD＝90°，
∴∠BDC＝90°，
∴CD⊥AB；
（2）①当∠B＝34°时，∵∠ACD＝∠B，
∴∠ACD＝34°，
由（1）知，∠BCD+∠B＝90°，
∴∠BCD＝56°，
由折叠知，∠A'CD＝∠ACD＝34°，
∴∠A'CB＝∠BCD﹣∠A'CD＝56°﹣34°＝22°；
②当∠B＝n°时，同①的方法得，∠A'CD＝n°，∠BCD＝90°﹣n°，
∴∠A'CB＝∠BCD﹣∠A'CD＝90°﹣n°﹣n°＝90°﹣2n°．
24．证明：（1）∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵∠ACD＝∠B，
∴∠A+∠ACD＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∴CD⊥AB．
25．（1）证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠1+∠BCD＝90°，
∵∠1＝∠B，
∴∠B+∠BCD＝90°，
∴∠BDC＝90°，
∴CD⊥AB；
（2）解：∵S△ABC＝AB CD＝AC BC，
∴CD＝＝＝4.8．
26．证明：（1）∵∠ACB＝90゜，CD⊥AB于D，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠B+∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝∠B；
（2）在Rt△AFC中，∠CFA＝90°﹣∠CAF，
同理在Rt△AED中，∠AED＝90°﹣∠DAE．
又∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF＝∠DAE，
∴∠AED＝∠CFE，
又∵∠CEF＝∠AED，
∴∠CEF＝∠CFE．