17.3勾股定理 同步达标测评 2021-2022学年冀教版八年级数学上册（word版含解析）

2021-2022学年冀教版八年级数学上册《17.3勾股定理》同步达标测评（附答案）
一．选择题（共12小题，满分48分）
1．如图，一个梯形分成一个正方形（阴影部分）和一个三角形（空白部分），已知三角形的两条边分别是12cm和13cm，那么阴影部分的面积是（　　）cm2．
A．16 B．25 C．36 D．49
2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AC＝2，BC＝，则CD为（　　）
A． B．2 C． D．3
3．如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，点A、B都是格点（即网格线的交点），则线段AB的长度为（　　）
A．3 B．5 C．6 D．4
4．意大利文艺复兴时期的著名画家达 芬奇利用两张一样的纸片拼出不一样的“空洞“，从而巧妙的证明了勾股定理．小明用两张全等的的纸片①和②拼成如图1所示的图形，中间的六边形ABCDEF由两个正方形和两个全等的直角三角形组成．已知六边形ABCDEF的面积为28，S正方形ABGF：S正方形CDEG＝4：1．小明将纸片②翻转后拼成如图2所示的图形，其中∠B'A′F′＝90°，则四边形B′C′E′F′的面积为（　　）
A．16 B．20 C．22 D．24
5．历史上对勾股定理的一种证法采用了下列图形：其中两个全等的直角三角形边AE、EB在一条直线上．证明中用到的面积相等关系是（　　）
A．S△EDA＝S△CEB B．S△EDA+S△CEB＝S△CDE
C．S四边形CDAE＝S四边形CDEB D．S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD
6．汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2是由弦图变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝10，则S2的值是（　　）
A． B． C．3 D．
7．长度为下列三个数据的三条线段，能组成直角三角形的是（　　）
A．1，2，3 B．3，5，7 C．1，，3 D．1，
8．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．设直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，且a：b＝4：3，则大正方形面积与小正方形面积之比为（　　）
A．25：9 B．25：1 C．4：3 D．16：9
9．如图，在2×2的方格中，小正方形的边长是1，点A、B、C都在格点上，则AC边上的高为（　　）
A． B． C． D．
10．在如图所示的三角形中，∠A＝30°，点P和点Q分别是边AC和BC上的两个动点，分别连接BP和PQ，把△ABC分割成三个三角形△ABP，△BPQ，△PQC，若分割成的这三个三角形都是等腰三角形，则∠C有可能的值有多少个？（　　）
A．10 B．8 C．6 D．7
11．下列各组数中，以a、b、c为边的三角形不是直角三角形的是（　　）
A．a＝1，b＝，c＝ B．a＝，b＝2，c＝
C．a＝，b＝，c＝ D．a＝7，b＝24，c＝25
12．如图，在△ABC中，D是BC上一点，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，则DC的长为（　　）
A．13 B．12
C．9 D．8
二．填空题（共6小题，满分24分）
13．如图，在三角形△ABC中，∠A＝45°，AB＝8，CD为AB边上的高，CD＝6，点P为边BC上的一动点，P1，P2分别为点P关于直线AB，AC的对称点，连接P1P2，则线段P1P2长度的取值范围是　 　．
14．如图，在数轴上，点A、B表示的数分别为0、2，BC⊥AB于点B，且BC＝1，连接AC，在AC上截取CD＝BC，以A为圆心，AD的长为半径画弧，交线段AB于点E，则点E表示的实数是　 　．
15．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为　 　．
16．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，AC＝3，BC＝2，将四个直角三角形中边长为3的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图中实线部分）是　 　．
17．若一个三角形的三边长分别为5、12、13，则此三角形的面积为　 　．
18．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝4，∠A＝60°，BC＝4，CD＝8．求∠ADC＝　 　度．
三．解答题（共6小题，满分48分）
19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝5，分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交点分别为点P、Q，过P、Q两点作直线交BC于点D，求CD的长．
20．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠ABC＝60°，AD＝4，CD＝10，求BD的长．
21．如图的图形取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》（也称《赵爽弦图》），它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为b，试求（a+b）2的值．
22．如图（1）是用硬板纸做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c，请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．
（1）画出拼成的这个图形的示意图，并用这个图形证明勾股定理；
（2）假设图（1）中的直角三角形有若干个，你能运用图（1）中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的示意图（无需证明）
23．如图是一块地的平面图，AD＝4m，CD＝3m，AB＝13m，BC＝12m，∠ADC＝90°，求这块地的面积．
24．如图，AD是△ABC的中线，DE是△ADC的高，DF是△ABD的中线，且CE＝1，DE＝2，AE＝4．
（1）∠ADC是直角吗？请说明理由．
（2）求DF的长．
参考答案
一．选择题（共12小题，满分48分）
1．解：如图所示：
Rt△CDE中，DE＝12，CE＝13，
∴CD＝＝5，
∴阴影部分的面积＝5×5＝25cm2；
故选：B．
2．解：在Rt△ABC中，AC＝2，BC＝，
根据勾股定理得：AB＝＝3，
∵△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，
∴S△ABC＝AC BC＝AB CD，即AC BC＝AB CD，
∴CD＝＝2，
故选：B．
3．解：由勾股定理得：AB＝＝5；
故选：B．
4．解：∵四边形ABGF、四边形CDEG是正方形，
∴GB＝GF，GC＝GE，∠BGF＝∠CGE＝90°，
∴∠BGC＝∠FGE＝90°，
在△BGC和△FGE中，
∴△BGC≌△FGE（SAS），
同理可证△BGC≌△B′A′F′≌△E′D′C′，
∴BC＝EF，B′C′＝B′F′＝F′E′＝E′C′，设BC＝EF＝c，
∴四边形B′C′E′F′是菱形，B′C′＝c，
∵∠DEF＝∠A′F′E′，∠OEF＝∠A′F′B′，
∴∠B′F′E′＝90°，
∴四边形B′C′E′F′是正方形，
∵S正方形ABGF：S正方形CDEG＝4：1，
∴设S正方形ABGF＝4m，S正方形CDEG＝1m，
∴FG＝2，EG＝，
∵六边形ABCDEF的面积为28，
∴4m+m+2××2＝28，
∴m＝4，
∴EF＝＝2，
∴E′F′＝EF＝2，
∴四边形B′C′E′F′的面积＝20，
故选：B．
5．解：∵由S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD．
可知ab+c2+ab＝（a+b）2，
∴c2+2ab＝a2+2ab+b2，整理得a2+b2＝c2，
∴证明中用到的面积相等关系是：S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD．
故选：D．
6．解：将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，
∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3＝10，
∴得出S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x，
∴S1+S2+S3＝3x+12y＝10，故3x+12y＝10，
x+4y＝，
所以S2＝x+4y＝，
故选：B．
7．解：A、12+22≠32，不能组成直角三角形，故此选项错误；
B、32+52≠72，不能组成直角三角形，故此选项错误；
C、12+（）2≠32，不能组成直角三角形，故此选项错误；
D、12+（）2＝（）2，能组成直角三角形，故此选项正确．
故选：D．
8．解：∵a：b＝4：3，
∴大正方形面积与小正方形面积之比为（a2+b2）：（a﹣b）2＝b2：b2＝25：1．
故选：B．
9．解：△ABC的面积：2×2﹣×1×2﹣×1×1﹣×1×2＝，
AC＝＝，
设AC边上的高为x，由题意得：
x＝，
x＝，
故选：C．
10．解：如图所示，共有9种情况，∠C的度数有7个，分别为80°，40°，35°，20°，25°，100°，50°．
①当AB＝AP，BQ＝PQ，CP＝CQ时；
②当AB＝AP，BP＝BQ，PQ＝QC时，
③当AP＝AB，PQ＝CQ，PB＝PQ时．
④当AP＝AB，PQ＝PC，BQ＝PQ时，
⑤当AP＝BP，CP＝CQ，QB＝PQ时，
⑥当AP＝PB，PB＝BQ，PQ＝CQ时；
⑦AP＝PB，PB＝PQ，PQ＝QC时．
⑧AP＝PB，QB＝PQ，PQ＝CC时．
⑨BP＝AB，PQ＝BQ，PQ＝PC时．
故选：D．
11．解：A、12+（）2＝（）2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，故此选项错误；
B、22+（）2＝（）2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，故此选项错误；
C、（）2+（）2≠（）2，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形，故此选项正确；
D、72+242＝252，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，故此选项错误．
故选：C．
12．解：∵AB＝13，AD＝12，BD＝5，
∴AD2+BD2＝AB2，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ADB＝90°，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：DC＝＝＝9，
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分24分）
13．解：如图，连接AP1，AP，AP2，作AH⊥BC于H．
∵P1，P2分别为点P关于直线AB，AC的对称点，
∴AP＝AP1＝AP2，∠PAB＝∠BAP1，∠PAC＝∠CAP2，
∵∠BAC＝45°，
∴∠P1AP2是等腰直角三角形，
∴P1P2＝AP2＝PA．
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，∠DAC＝∠DCA＝45°，
∴AD＝DC＝6，
∴AC＝6＞AB，
∵AB＝8，
∴BD＝2，BC＝＝＝2，
∵S△ABC＝ BC AH＝ AB CD，
∴AH＝＝，
∵≤PA≤6，
∴≤P1P2≤12．
故答案为≤P1P2≤12．
14．解：∵BC⊥AB，
∴∠ABC＝90°，
∵AB＝2，BC＝1，
∴AC＝＝，
∵CD＝BC，
∴AD＝AC﹣CD＝﹣1，
∵AE＝AD，
∴AE＝﹣1，
∴点E表示的实数是﹣1．
故答案为：﹣1．
15．解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，
∵每一个直角三角形的面积为：ab＝×8＝4，
∴4×ab+（a﹣b）2＝25，
∴（a﹣b）2＝25﹣16＝9，
∴a﹣b＝3或a﹣b＝﹣3（舍去），
故答案是：3．
16．解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，
则x2＝62+22＝40
所以x＝2
所以风车的外围周长为4（BD+AC）＝4（2+3）＝8+12．
故答案为8+12．
17．解：∵52+122＝132，
∴三边长分别为5、12、13的三角形构成直角三角形，其中的直角边是5、12，
∴此三角形的面积为×5×12＝30．
18．解：连接BD，
∵AB＝AD，∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB＝60°，DB＝4，
∵BD2+CD2＝42+82＝80，BC2＝（4）2＝80，
∴DB2+CD2＝BC2，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝60°+90°＝150°；
故答案为：150
三．解答题（共6小题，满分48分）
19．解：连接AD．
∵PQ垂直平分线段AB，
∴DA＝DB，设DA＝DB＝x，
在Rt△ACD中，∠C＝90°，AD2＝AC2+CD2，
∴x2＝32+（5﹣x）2，
解得x＝，
∴CD＝BC﹣DB＝5﹣＝，
故答案为．
20．解：延长AD、BC，两条延长线相交于点E，
∵在Rt△ABE中，∠A＝90°，∠B＝60°，
∴∠E＝90°﹣60°＝30°．
∴AB＝BE，
∴在Rt△DCE中，∠E＝30°，CD＝10，
∴DE＝2CD＝20，
∴AE＝AD+DE＝20+4＝24．
∴在Rt△ABE中，AB2+AE2＝BE2，
解得：AB＝8，
∴在Rt△ABD中，BD＝＝4．
21．解：∵大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，
∴直角三角形的斜边的平方为13，
∵直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为b，
∴a2+b2＝13，
∵大正方形的面积减去小正方形的面积等于四个直角三角形的面积，
∴4×ab＝13﹣1，即2ab＝12，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝13+12＝25．
22．解：（1）如图所示，是梯形；
由上图我们根据梯形的面积公式可知，梯形的面积＝（a+b）（a+b）．
从上图我们还发现梯形的面积＝三个三角形的面积，即 ab+ab+c2．
两者列成等式化简即可得：a2+b2＝c2；
（2）画边长为（a+b）的正方形，如图，其中a、b为直角边，c为斜边．
23．解：如图，连接AC，
∵AD＝4，CD＝3，∠ADC＝90°，
∴AC＝＝5，
∴S△ACD＝6，
在△ABC中，∵AC＝5，BC＝12，AB＝13，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，
∴Rt△ABC的面积＝30，
∴四边形ABCD的面积＝30﹣6＝24．
24．解：（1）∠ADC是直角．
理由是：
∵DE是△ADC的高，
∴∠AED＝∠CED＝90°，
在Rt△ADE中，∠AED＝90°，
∴AD2＝AE2+DE2＝42+22＝20，
同理：CD2＝5，
∴AD2+CD2＝25，
∵AC＝AE+CE＝4+1＝5，
∴AC2＝25，
∴AD2+CD2＝AC2，
∴△ADC是直角三角形，
∴∠ADC是直角；
（2）∵AD是△ABC的中线，∠ADC＝90°，
∴AD垂直平分BC，
∴AB＝AC＝5，
在Rt△ADB中，∠ADB＝90°，
∵点F是边AB的中点，
∴DF＝＝．