2021-2022学年华东师大版八年级数学上册第14章勾股定理 单元综合练习(word版含答案)

2021-2022学年华师大版八年级数学上册《第14章勾股定理》单元综合练习（附答案）
1．如图，从旗杆AB的顶端A向地面拉一条绳子，绳子底端恰好在地面P处，若旗杆的高度为3.2米，则绳子AP的长度不可能是（　　）
A．3 B．3.3 C．4 D．5
2．如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，大直角三角形的斜边和直角边长分别是13，12．则图中阴影部分的面积是（　　）
A．16 B．25 C．144 D．169
3．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝8cm，AB＝6cm，D为AC的中点，则BD的长为（　　）
A．4cm B．5cm C．6cm D．6.5cm
4．如图，在△ABC中，AB⊥BC，其中AC＝2.5，AB＝1，P是BC上任意一点，那么线段AP的长度可能为（　　）
A．0.5 B．0.7 C．2.3 D．2.8
5．在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为（　　）
A．8 B．5 C．6 D．10
6．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB、BC、AC为边向外作正方形，若三个正方形的面积分别为225、400、S，则S的值为（　　）
A．25 B．175 C．600 D．625
7．在△ABC中，∠A＝25°，∠B＝65°，则下列式子成立的是（　　）
A．AC2+AB2＝BC2 B．AB2+BC2＝AC2
C．AC2﹣BC2＝AB2 D．AC2+BC2＝AB2
8．已知直角三角形的斜边长为10，一直角边长为8，则另一条直角边长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
9．我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为a、b，那么（a﹣b）2的值是（　　）
A．1 B．2 C．12 D．13
10．下列各组数不能作为直角三角形的三边长的是（　　）
A．8，15，17 B．7，12，15 C．5，12，13 D．7，24，25
11．在△ABC中，点D在边BC上，若AD2+BD2＝AB2，则下列结论正确的是（　　）
A．∠BAC＝90° B．∠BAD＝90° C．∠ABD＝90° D．∠ADB＝90°
12．如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（　　）
A．17m B．18m C．25m D．26m
13．如图，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树干底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是（　　）
A．8米 B．12米 C．5米 D．5或7米
14．我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是x尺．根据题意，可列方程为（　　）
A．x2+102＝（x+1）2 B．（x﹣1）2+52＝x2
C．x2+52＝（x+1）2 D．（x﹣1）2+102＝x2
二．填空题（共8小题）
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．AD是△ABC的角平分线，若CD＝4，AC＝12，AB＝15，DE⊥AB于E，则△BDE的面积是　 　．
16．甲、乙两人同时从同一地点出发，甲往北偏东45°方向走了48米，乙往南偏东45°方向走了36米，这时两人相距　 　米．
17．有两棵树，如图，一棵高13米，另一棵高8米，两树相距12米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了　 　米．
18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上的一点，且DA＝DB＝5，又△DAB的面积为10，那么DC的长是　 　．
19．若三角形三边长分别为15，12，9，则这个三角形最长边上的高是　 　．
20．如果直角三角形的斜边与一条直角边的长分别为13和5，则该直角三角形面积＝　 　
21．等腰三角形腰长10cm，底边16cm，则腰上的高是　 　．
22．如图，一个梯子AB长10m，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为6m，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为2m，则梯子顶端A下滑了　 　m．
三．解答题（共7小题）
23．如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝8，BC＝5，DB＝3．
（1）求DC的长；
（2）求AB的长．
24．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠B＝60°，∠C＝45°．
（1）求∠BAC的度数．
（2）若AC＝4，求AD的长．
25．如图．大正方形是由4个相等的直角三角形和一个小正方形拼成的．
（1）在左图中，已知AE＝3，AF＝4，求小正方形的面积；
（2）在右图中，已知AE＝a，AF＝b，求大正方形的面积．
26．如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，点D是Rt△ABC外一点，连接DC，DB，且CD＝4，BD＝3．
（1）求BC的长；
（2）求证：△BCD是直角三角形．
27．如图，AD是△ABC的中线，DE是△ADC的高，DF是△ABD的中线，且CE＝1，DE＝2，AE＝4．
（1）∠ADC是直角吗？请说明理由．
（2）求DF的长．
28．如图，△ABC在正方形网格中，若小方格的边长均为1，试判断△ABC的形状，并说明理由．
29．如图，一块三角形草坪ABC，测得AC＝6m，BC＝8m，AB＝10m，准备从顶点C处出发修一条小路CD通往AB，设小路与AB交于点D．
（1）请给出设计方案使得小路CD最短，并求出此时小路CD的长；
（2）若有一动点P，从A出发沿着△ABC的三条边逆时针走一圈回到A点，速度为3m/h，设时间为t小时，t为何值时，△ACP是以AC为腰的等腰三角形？
参考答案
1．解：∵旗杆的高度为AB＝3.2米，
∴AP＞AB，
∴绳子AP的长度不可能是：3米．
故选：A．
2．解：根据勾股定理得出：AB＝＝＝5，
∴EF＝AB＝5，
∴阴影部分面积是EP2+PF2＝25，
故选：B．
3．解：∵∠ABC＝90°，D为AC的中点，
∴BD＝AC．
在Rt△ABC中，根据勾股定理得：AC＝＝10cm．
∴BD＝5cm．
故选：B．
4．解：∵P是BC上任意一点，
∴AB≤AP≤AC，
即1≤AP≤2.5，
故选：C．
5．解：如图，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝，∠ADB＝90°，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
BD＝，
∴BC＝2BD＝2×4＝8．
故选：A．
6．解：在△ABC中，∠ACB＝90°，
由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，
∴225+400＝S，
∴S＝625．
故选：D．
7．解：在△ABC中，∠A＝25°，∠B＝65°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
∴AC2+BC2＝AB2，故选项D正确，选项A、B、C错误，
故选：D．
8．解：∵直角三角形的斜边长为10，一直角边长为8，
∴另一条直角边长＝＝6， 故选：C．
9．解：根据勾股定理可得a2+b2＝13，
四个直角三角形的面积是：ab×4＝13﹣1＝12，即：2ab＝12
则（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝13﹣12＝1．
方法二、小正方形的边长就是|a﹣b|，其面积是1，
故选：A．
10．解：A、82+152＝172，符合勾股定理的逆定理，故此选项不符合题意；
B、72+122≠152，不符合勾股定理的逆定理，故此选项符合题意；
C、52+122＝132，符合勾股定理的逆定理，故此选项不符合题意；
D、72+242＝252，符合勾股定理的逆定理，故此选项不符合题意．
故选：B．
11．解：∵AD2+BD2＝AB2，
∴∠ADB＝90°，
故选：D．
12．解：由勾股定理得：
楼梯的水平宽度＝＝12，
∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，
地毯的长度至少是12+5＝17（米）．
故选：A．
13．解：∵一棵垂直于地面的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，
∴折断的部分长为 ＝5，
∴折断前高度为5+3＝8（米）．
故选：A．
14．解：设芦苇长x尺，由题意得：
（x﹣1）2+52＝x2，
故选：B．
15．解：∵∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴CD＝ED．
在Rt△ACD与Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AE＝AC＝12，DE＝CD＝4，
∵AB＝15，
∴BE＝AB﹣AE＝3，
∴S△BDE＝BE DE＝×3×4＝6．
故答案为6．
16．解：如图所示：由题意可得，∠AOB＝90°，AO＝48m，BO＝36m，
则AB＝＝60（m）．故答案为：60．
17．解：如图，设大树高为AB＝13m，
小树高为CD＝8m，
过C点作CE⊥AB于E，则四边形EBDC是矩形，
连接AC，
∴EB＝8m，EC＝12m，AE＝AB﹣EB＝13﹣8＝5（m），
在Rt△AEC中，AC＝＝＝13（m）．
故小鸟至少飞行13m．
故答案为：13．
18．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴BC⊥AC，即BC是△DAB的高，
∵△DAB的面积为10，DA＝5，
∴DA BC＝10，
∴BC＝4，
∴CD＝＝＝3．
故答案为：3．
19．解：∵92+122＝152，
∴此三角形是直角三角形，
设最长边上的高为hcm，
×9×12＝×15×h，
解得：h＝．
故答案为：．
20．解：∵直角三角形的斜边与一条直角边的长分别为13和5，
∴另一条直角边长＝＝12，
∴三角形的面积是＝×12×5＝30．
故答案为：30．
21．解：作AD⊥BC于D，
∵AB＝AC，
∴BD＝BC＝8cm，
∴AD＝＝6cm，
∴S△ABC＝BC AD＝48cm2，
腰上的高是48×2÷10＝9.6cm．
故答案为：9.6cm．
22．解：∵在Rt△ABC中，
AB＝10m，BC＝6m，
∴AC＝＝＝8m，
在Rt△CDE中，
∵DE＝AB＝10m，CD＝BC+BD＝6+2＝8m，
∴EC＝＝＝6m，
∴AE＝AC﹣EC＝8﹣6＝2m．
答：梯子顶端A下落了2m，
故答案为2．
23．解：（1）∵CD⊥AB于D，BC＝5，DB＝3，
∴在Rt△BCD中，CD2＝CB2﹣DB2＝52﹣32＝16，
∴CD＝4．
（2）在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2＝82﹣42＝48，
∴AD＝4，
∴AB＝AD+DB＝4+3．
24．解：（1）∵在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣60°﹣45°＝75°；
（2）∵AD⊥BC，∠C＝45°，
∴∠CAD＝45°＝∠C，
∴AD＝CD，
设AD＝CD＝x，由勾股定理得AD2+CD2＝AC2，
即x2+x2＝42，解得x＝2．
即AD的长为．
25．解：（1）在直角△AEF中，EF2＝AE2+AF2＝32+42＝25，则小正方形的面积是25；
（2）在直角△AEF中，EF2＝AE2+AF2＝a2+b2，则大正方形的面积是a2+b2．
26．（1）解：∵Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，
∴BC＝＝＝5；
（2）证明：∵在△BCD中，CD＝4，BD＝3，BC＝5，
∴CD2+BD2＝42+32＝52＝BC2，
∴△BCD是直角三角形．
27．解：（1）∠ADC是直角．
理由是：
∵DE是△ADC的高，
∴∠AED＝∠CED＝90°，
在Rt△ADE中，∠AED＝90°，
∴AD2＝AE2+DE2＝42+22＝20，
同理：CD2＝5，
∴AD2+CD2＝25，
∵AC＝AE+CE＝4+1＝5，
∴AC2＝25，
∴AD2+CD2＝AC2，
∴△ADC是直角三角形，
∴∠ADC是直角；
（2）∵AD是△ABC的中线，∠ADC＝90°，
∴AD垂直平分BC，
∴AB＝AC＝5，
在Rt△ADB中，∠ADB＝90°，
∵点F是边AB的中点，
∴DF＝＝．
28．解：△ABC是直角三角形．理由如下：
根据勾股定理得，AC＝＝，AB＝＝，BC＝＝；
∴AC2+AB2＝BC2，
∴∠A＝90°，△ABC是直角三角形．
29．解：（1）作CD⊥AB于D，点D即为所求；
∵AC＝6m，BC＝8m，AB＝10m，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴∠ACB＝90°，
∵ AC BC＝ AB CD，
∴CD＝，
（2）
①当CA＝CP1时，t＝＝4h．
②当CA＝CP2，易知AD＝DP2＝，t＝（6+8+10﹣）÷3＝h．
③当AC＝AP3时，t＝（6+8+10﹣6）÷3＝6h，
综上所述，t为4h或h或6h时，△ACP是以AC为腰的等腰三角形