2021-2022学年人教版九年级数学下册第27章相似单元过关测试题（word版、含解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年人教版九年级数学下册第27章相似单元过关测试题（word版、含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 469.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-12 15:38:38 | ||
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文档简介
2021-2022学年人教版九年级数学下册《第27章相似》单元过关测试题（附答案）
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．在1：40000的工程示意图上，将于2020年10月1日正式通车的呼和浩特市地铁二号线（塔利东站至阿尔山路站）的长度约为70.5cm，它的实际长度约是（ ）
A．28.2千米 B．28.38千米 C．27.2千米 D．28.3千米
3．如图，点F是平行四边形ABCD边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．若AD＝6，AE⊥BD于点E，且DE＝3BE．则AE＝（ ）
A．2 B．3 C．3 D．4
5．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则D点坐标为（ ）
A．（，2） B．（，1） C．（1，2） D．（，2）
6．顶角为36°的等腰三角形我们把这种三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为黄金比．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，若CD＝1，则AC的长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是斜边AB上的高，如果AD＝2，BD＝6，那么AC的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．如图，在△ABC中，BC＝4，BC边上的高AD＝2，正方形EFGH的边FG在△ABC的边BC上，顶点E、H分别在边AB、AC上，那么该正方形的边长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：4，则S△BDE：S△ADC的值为（ ）
A．1：16 B．1：18 C．1：20 D．1：24
10．如图，AB∥DC，AD与BC的交点为M，过点M作MH∥AB交BD于H．已知AB＝3，MH＝2，则△ABM与△MCD的面积之比为（ ）
A．1：2 B．1：4 C．2：3 D．4：9
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．已知a、b、c满足，a、b、c都不为0，则＝ ．
12．如图，l1∥l2∥l3，＝，DF＝10，那么DE＝ ．
13．如图，∠DAB＝∠CAE，请你再添加一个条件 ，使得△ADE∽△ABC．
14．如图，CD⊥DB，AB⊥DB，且AB＝6，CD＝4，DB＝14，点P是线段DB上一动点，当DP＝ 时，以C、D、P为顶点的三角形与以P、A、B三点为顶点的三角形相似．
15．如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，当△QBP与△ABC相似时，运动的时间为 秒．
16．如图，某测量工作人员的眼睛A与标杆顶端F，铁塔顶端E在一条直线上，已知此人眼睛距离地面的高为1.6m，标杆高为3.2m，且BC＝1m，CD＝5m，则铁塔的高DE＝ m．
17．如图，在长为8cm，宽为4cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是 cm2．
18．如图，在 ABCD中，E为边BC的中点，联结AE，与对角线BD相交于点F，则△BEF与四边形CDFE的面积比为 ．
19．如图，△ABC中，AB＝10，BC＝12，AC＝8，BD：CD＝2：1，M是AD中点，过点M的线段EF平分△ABC的周长，那么线段BE的长是 ．
20．如图，在边长为10的正方形ABCD中，内接有六个大小相同的正方形，点P，Q，M，N是落在大正方形边上的小正方形的顶点，则每个小正方形的边长为 ．
三．解答题（共6小题，满分60分）
21．如图，在△ABC中，BA＝BC，BD⊥AC于点D，DE⊥AB于点E．
（1）求证：△AED∽△CDB；
（2）如果BC＝10，AD＝6，求AE的值．
22．某天小明和小亮去某影视基地游玩，当小明给站在城楼上的小亮照相时发现他自己的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）．已知小明的跟晴离地面1.6米，凉亭顶端离地面1.9米，小明到凉亭的距离为2米，凉亭离城楼底部的距离为38米，小亮身高为1.7米．请根据以上数据求出城楼的高度．
23．如图，BD是圆O的直径，A、C是圆O上的两个点，且AB＝AC，AD与BC的延长线交于点E．
（1）证明：△ABD∽△AEB；
（2）若AD＝1，DE＝3，求圆O的直径的长．
24．已知：如图，△ABC中，点D、E、F分别在边AB、BC、AC上，且DE∥AC，＝．
（1）求证：DF∥BC；
（2）如果DF＝2，BE＝4，求的值．
25．如图，△ABC内接于⊙O，弦CD平分∠ACB，并与AB相交于点E，过点D作AB的平行线MN．
（1）求证：MN是⊙O的切线；
（2）若DE＝2，CA＝CE＝6，求AB的长．
26．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，AE与CD相交于点F，过点E作EG∥CD交AC的延长线于点G．若AE平分∠BAC，CE＝CF．
（1）①求证：∠ABC＝∠ACD；
②求证：△EGC∽△CBD；
（2）如图2，若∠BAC＝90°，AD＝2，BD＝6，求CG的长．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．解：∵，
∴b＝3a，
∴＝＝．
故选：A．
2．解：根据比例尺＝图上距离：实际距离，得：
它的实际长度为70.5×40 000＝2820 000（cm）＝28.2（km）．
故选：A．
3．解：根据题意知：DF∥AB，BC∥DE，
∴，，，
∴A，C，D中的结论正确，B中结论错误，
故选：B．
4．解：在矩形ABCD中，AO＝CO＝BO＝DO，
∵DE＝3BE，BO＝DO，
∴BE＝EO，
∵AE⊥BD，
∴AE垂直平分BO，
∴AB＝AO，
∴AB＝AO＝BO，
∴△ABO为等边三角形，
∴∠BAO＝60°，∠ABO＝60°，
∴BD＝2AB，
∵AD＝6，
在Rt△ABD中，AD2+AB2＝BD2，
∴AB＝2，
∵AE⊥BD，
∴∠BAE＝30°，
∴BE＝AB＝，
∴AE＝BE＝3．
故选：C．
5．解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，
∴＝，AD∥BG，
∵BG＝6，
∴AD＝BC＝2，
∵AD∥BG，
∴△OAD∽△OBG，
∴＝＝，即＝，
解得：OA＝1，
∴D点坐标为：（1，2），
故选：C．
6．解：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝36°，
∴∠DBC＝∠A，∠ABD＝∠A，∠BDC＝36°+36°＝72°＝∠C，
∴AD＝BD＝BC，
∵∠C＝∠C，
∴△CBD∽△CAB，
∴＝，即＝，
整理得：AD2﹣AD﹣1＝0，
解得：AD1＝，AD2＝（负数不合题意），
则AC＝AD+CD＝+1＝，
故选：D．
7．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是斜边AB上的高，
则AC2＝AD AB，
∵AD＝2，BD＝6，
∴AC2＝2×（2+6）＝16，
∴AC＝4，
故选：A．
8．解：如图，设EH＝x，AD与EH相交于点O，
则AO＝2﹣x，
∵正方形EFGH的边FG在△ABC的边BC上，顶点E、H分别在边AB、AC上，
∴EH∥BC，
∴，
即，
解得：x＝，
故选：A．
9．解：∵S△BDE：S△CDE＝1：4，
∴，
∴，
∵DE∥AC，
∴△BDE∽△ABC，
∴，
∴S△BDE：S△BAC＝（）2＝，
∴S△ADC＝S△BAC﹣（S△BDE+S△CDE）＝25﹣（1+4）＝20，
∴S△BDE：S△ADC＝1：20．
故选：C．
10．解：∵AB∥DC，
∴△ABM∽△MCD，
∴＝（）2
∵MH∥AB，
∴＝＝，
∴＝，
∴＝，
则△ABM与△MCD的面积之比为：1：4．
故选：B．
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．解：设＝k，
则a＝2k，b＝3k，c＝5k，
把a＝2k，b＝3k，c＝5k代入＝＝，
故答案为：．
12．解：∵l1∥l2∥l3，
∴＝，
∵＝，DF＝10，
∴＝，
解得：DE＝，
故答案为：．
13．解：根据相似三角形的判定：两角对应相等，两三角形相似；两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．
已知∠DAB＝∠CAE，则∠DAE＝∠BAC，要使△ADE∽△ABC，则补充的一个条件可以是∠D＝∠B或∠AED＝∠C或AD：AB＝AE：AC或AD AC＝AB AE．
故答案为：∠D＝∠B或∠AED＝∠C或AD：AB＝AE：AC或AD AC＝AB AE（任意一个即可）．
14．解：∵①若△PCD∽△APB，则，
即，
解得DP＝2或12；
②若△PCD∽△PAB，则，
即，
解得DP＝5.6．
∴DP＝2或12或5.6．
故答案为：2或12或5.6．
15．解：设经过t秒时，以△QBP与△ABC相似，则AP＝2t厘米，BP＝（8﹣2t）厘米，BQ＝4t厘米，
∵∠PBQ＝∠ABC，
∴当时，△BPQ∽△BAC，即，解得t＝2；
当时，△BPQ∽△BCA，即 ，解得t＝0.8；
即经过2秒或0.8秒时，△QBP与△ABC相似．
故答案为2或0.8．
16．解：作AH⊥ED交FC于点G；如图所示：
∵FC⊥BD，ED⊥BD，AH⊥ED交FC于点G，
∴FG∥EH，
∵AH⊥ED，BD⊥ED，AB⊥BC，ED⊥BC，
∴AH＝BD，AG＝BC，
∵AB＝1.6m，FC＝3.2m，BC＝1m，CD＝5m，
∴FG＝3.2﹣1.6＝1.6（m），BD＝6m，
∵FG∥EH，
∴，
∴
解得：EH＝9.6，
∴ED＝EH+DH＝9.6+1.6＝11.2（m），
∴铁塔的高ED是11.2m．
故答案为11.2．
17．解：长为8cm、宽为4cm的矩形的面积是32cm2，
留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，
相似比是4：8＝1：2，
因而面积的比是1：4，
因而留下矩形的面积是32×＝8cm2．
故答案为：8．
18．解：设△BEF的面积为S，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴，△BEF∽△DAF，
∵E是BC的中点，
∴，
∴，
∴S△ABF＝2S，S△ADF＝4S，
∴S△ABD＝6S＝S△BCD，
∴S△BEF：S四边形CDFE＝1：5，
故答案为：1：5．
19．解：如图，
∵点D是BC上一点，BC＝12，BD：CD＝2：1，
∴BD＝8，CD＝4，
过点M作MH∥AC交CD于H，
∴△DHM∽△DCA，
∴，
∴点M是AD的中点，
∴AD＝2DM，
∵AC＝8，
∴，
∴MH＝4，DH＝2，
过点M作MG∥AB交BD于G，
同理得，BG＝DG＝4，
∵AB＝10，BC＝12，AC＝8，
∴△ABC的周长为10+12+8＝30，
∵过点M的线段EF平分△ABC的周长，
∴CE+CF＝15，
设BE＝x，则CE＝12﹣x，
∴CF＝15﹣（12﹣x）＝3+x，EH＝CE﹣CH＝CE﹣（CD﹣DH）＝12﹣x﹣2＝10﹣x，
∵MH∥AC，
∴△EHM∽△ECF，
∴，
∴，
∴x＝2或x＝9，
当x＝9时，CF＝12＞AC，点F不在边AC上，此种情况不符合题意，
即BE＝x＝2，
故答案为：2．
20．解：过Q作QE⊥AD于E，如下图所示，
在△MDN和△NEQ中，∠MDN＝∠NEQ＝90°，∠DMN＝∠ENQ，
∴△MDN∽△NEQ，
∴＝＝＝，
∴DN＝×10＝2，
在△MDN和△PBQ中，
，
∴△MDN≌△PBQ（ASA），
∴DM＝BP，DN＝BQ＝2，
∴NE＝AD﹣DN﹣EA＝AD﹣DN﹣BQ＝10﹣2﹣2＝6，
∴DM＝×6＝，
∴MN＝＝＝．
∴每个小正方形的边长为．
故答案为：．
三．解答题（共6小题，满分60分）
21．（1）证明：∵BA＝BC，BD⊥AC，
∴∠BDC＝90°，∠A＝∠C，
∵DE⊥AB，
∴∠DEA＝∠BDC＝90°，
∴△AED∽△CDB；
（2）解：∵BA＝BC，BD⊥AC，
∴AD＝DC＝6，
∵△AED∽△CDB，
∴，
∴．
22．解：过点A作AM⊥EF于点M，交CD于点N，
由题意得：AN＝2米，CN＝1.9﹣1.6＝0.3（米），MN＝38米，
∵CN∥EM，
∴△ACN∽△AEM，
∴，
∴，
∴EM＝6，
∵AB＝MF＝1.7米，
∴城楼的高度为：6+1.6﹣1.7＝5.9（米）．
23．（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ACB＝∠ADB，
∴∠ABC＝∠ADB，
又∵∠BAE＝∠DAB，
∴△ABD∽△AEB；
（2）解：∵△ABD∽△AEB，
∴，
∵AD＝1，DE＝3，
∴AE＝4，
∴AB2＝AD AE＝1×4＝4，
∴AB＝2，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠DAB＝90°，
在Rt△ABD中，
BD2＝AB2+AD2＝22+12＝5，
∴BD＝．
24．（1）证明：∵DE∥AC，
∴，
∵＝，
∴＝，
∴DF∥BC；
（2）解：∵DE∥AC，DF∥BC，
∴四边形DECF是平行四边形，
∴EC＝DF＝2，
∴BC＝BE+EC＝6，
∵DF∥BC，
∴△ADF∽△ABC，
∴＝（）2＝＝＝．
25．解：（1）如图1，连接OD、OA、OB，设OD交AB于点E，
∵弦CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∵∠AOD＝2∠ACD，∠BOD＝2∠BCD，
∴∠AOD＝∠BOD，
∴，
∴OD垂直平分AB，
∵AB∥MN，
∴∠ODM＝∠OFA＝90°，
∵MN经过⊙O的半径OD的外端，且MN⊥OD，
∴MN是⊙O的切线．
（2）如图2，连接AD、BD，
∵∠DAE＝∠DCB＝∠DCA，∠ADE＝∠CDA，
∴△ADE∽△CDA，
∴，
∴DB＝DA＝＝4，
∴AE＝＝＝3，
∵∠DEB＝∠AEC，∠BDE＝∠CAE，
∴△DBE∽△ACE，
∴，
∴BE＝＝＝4，
∴AB＝AE+BE＝3+4＝7，
∴AB的长为7．
26．（1）①证明：∵CE＝CF，
∴∠CEF＝∠CFE．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
又∵∠CEF＝∠ABC+∠BAE，∠CFE＝∠ACD+∠CAE，
∴∠ABC＝∠ACD；
②证明：∵EG∥CD，
∴∠CEG＝∠DCB，∠ACD＝∠G，
∵∠ABC＝∠ACD，
∴∠ABC＝∠G，
∴△EGC∽△CBD；
（2）解：在△AEB和△AEG中，
，
∴△AEB≌△AEG（AAS），
∴AG＝AB．
∠ABC＝∠G，
∵AD＝2，BD＝6，
∴AB＝AD+BD＝2+6＝8，
∴AG＝8．
∵∠ABC＝∠ACD，∠BAC＝∠CAD，
∴△ABC∽△ACD，
∴AB：AC＝AC：AD，
∴AC2＝AB AD＝8×2＝16，
∴AC＝4（舍负），
∴CG＝AG﹣AC＝8﹣4＝4．
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．在1：40000的工程示意图上，将于2020年10月1日正式通车的呼和浩特市地铁二号线（塔利东站至阿尔山路站）的长度约为70.5cm，它的实际长度约是（ ）
A．28.2千米 B．28.38千米 C．27.2千米 D．28.3千米
3．如图，点F是平行四边形ABCD边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．若AD＝6，AE⊥BD于点E，且DE＝3BE．则AE＝（ ）
A．2 B．3 C．3 D．4
5．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则D点坐标为（ ）
A．（，2） B．（，1） C．（1，2） D．（，2）
6．顶角为36°的等腰三角形我们把这种三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为黄金比．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，若CD＝1，则AC的长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是斜边AB上的高，如果AD＝2，BD＝6，那么AC的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．如图，在△ABC中，BC＝4，BC边上的高AD＝2，正方形EFGH的边FG在△ABC的边BC上，顶点E、H分别在边AB、AC上，那么该正方形的边长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：4，则S△BDE：S△ADC的值为（ ）
A．1：16 B．1：18 C．1：20 D．1：24
10．如图，AB∥DC，AD与BC的交点为M，过点M作MH∥AB交BD于H．已知AB＝3，MH＝2，则△ABM与△MCD的面积之比为（ ）
A．1：2 B．1：4 C．2：3 D．4：9
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．已知a、b、c满足，a、b、c都不为0，则＝ ．
12．如图，l1∥l2∥l3，＝，DF＝10，那么DE＝ ．
13．如图，∠DAB＝∠CAE，请你再添加一个条件 ，使得△ADE∽△ABC．
14．如图，CD⊥DB，AB⊥DB，且AB＝6，CD＝4，DB＝14，点P是线段DB上一动点，当DP＝ 时，以C、D、P为顶点的三角形与以P、A、B三点为顶点的三角形相似．
15．如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，当△QBP与△ABC相似时，运动的时间为 秒．
16．如图，某测量工作人员的眼睛A与标杆顶端F，铁塔顶端E在一条直线上，已知此人眼睛距离地面的高为1.6m，标杆高为3.2m，且BC＝1m，CD＝5m，则铁塔的高DE＝ m．
17．如图，在长为8cm，宽为4cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是 cm2．
18．如图，在 ABCD中，E为边BC的中点，联结AE，与对角线BD相交于点F，则△BEF与四边形CDFE的面积比为 ．
19．如图，△ABC中，AB＝10，BC＝12，AC＝8，BD：CD＝2：1，M是AD中点，过点M的线段EF平分△ABC的周长，那么线段BE的长是 ．
20．如图，在边长为10的正方形ABCD中，内接有六个大小相同的正方形，点P，Q，M，N是落在大正方形边上的小正方形的顶点，则每个小正方形的边长为 ．
三．解答题（共6小题，满分60分）
21．如图，在△ABC中，BA＝BC，BD⊥AC于点D，DE⊥AB于点E．
（1）求证：△AED∽△CDB；
（2）如果BC＝10，AD＝6，求AE的值．
22．某天小明和小亮去某影视基地游玩，当小明给站在城楼上的小亮照相时发现他自己的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）．已知小明的跟晴离地面1.6米，凉亭顶端离地面1.9米，小明到凉亭的距离为2米，凉亭离城楼底部的距离为38米，小亮身高为1.7米．请根据以上数据求出城楼的高度．
23．如图，BD是圆O的直径，A、C是圆O上的两个点，且AB＝AC，AD与BC的延长线交于点E．
（1）证明：△ABD∽△AEB；
（2）若AD＝1，DE＝3，求圆O的直径的长．
24．已知：如图，△ABC中，点D、E、F分别在边AB、BC、AC上，且DE∥AC，＝．
（1）求证：DF∥BC；
（2）如果DF＝2，BE＝4，求的值．
25．如图，△ABC内接于⊙O，弦CD平分∠ACB，并与AB相交于点E，过点D作AB的平行线MN．
（1）求证：MN是⊙O的切线；
（2）若DE＝2，CA＝CE＝6，求AB的长．
26．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，AE与CD相交于点F，过点E作EG∥CD交AC的延长线于点G．若AE平分∠BAC，CE＝CF．
（1）①求证：∠ABC＝∠ACD；
②求证：△EGC∽△CBD；
（2）如图2，若∠BAC＝90°，AD＝2，BD＝6，求CG的长．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．解：∵，
∴b＝3a，
∴＝＝．
故选：A．
2．解：根据比例尺＝图上距离：实际距离，得：
它的实际长度为70.5×40 000＝2820 000（cm）＝28.2（km）．
故选：A．
3．解：根据题意知：DF∥AB，BC∥DE，
∴，，，
∴A，C，D中的结论正确，B中结论错误，
故选：B．
4．解：在矩形ABCD中，AO＝CO＝BO＝DO，
∵DE＝3BE，BO＝DO，
∴BE＝EO，
∵AE⊥BD，
∴AE垂直平分BO，
∴AB＝AO，
∴AB＝AO＝BO，
∴△ABO为等边三角形，
∴∠BAO＝60°，∠ABO＝60°，
∴BD＝2AB，
∵AD＝6，
在Rt△ABD中，AD2+AB2＝BD2，
∴AB＝2，
∵AE⊥BD，
∴∠BAE＝30°，
∴BE＝AB＝，
∴AE＝BE＝3．
故选：C．
5．解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，
∴＝，AD∥BG，
∵BG＝6，
∴AD＝BC＝2，
∵AD∥BG，
∴△OAD∽△OBG，
∴＝＝，即＝，
解得：OA＝1，
∴D点坐标为：（1，2），
故选：C．
6．解：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝36°，
∴∠DBC＝∠A，∠ABD＝∠A，∠BDC＝36°+36°＝72°＝∠C，
∴AD＝BD＝BC，
∵∠C＝∠C，
∴△CBD∽△CAB，
∴＝，即＝，
整理得：AD2﹣AD﹣1＝0，
解得：AD1＝，AD2＝（负数不合题意），
则AC＝AD+CD＝+1＝，
故选：D．
7．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是斜边AB上的高，
则AC2＝AD AB，
∵AD＝2，BD＝6，
∴AC2＝2×（2+6）＝16，
∴AC＝4，
故选：A．
8．解：如图，设EH＝x，AD与EH相交于点O，
则AO＝2﹣x，
∵正方形EFGH的边FG在△ABC的边BC上，顶点E、H分别在边AB、AC上，
∴EH∥BC，
∴，
即，
解得：x＝，
故选：A．
9．解：∵S△BDE：S△CDE＝1：4，
∴，
∴，
∵DE∥AC，
∴△BDE∽△ABC，
∴，
∴S△BDE：S△BAC＝（）2＝，
∴S△ADC＝S△BAC﹣（S△BDE+S△CDE）＝25﹣（1+4）＝20，
∴S△BDE：S△ADC＝1：20．
故选：C．
10．解：∵AB∥DC，
∴△ABM∽△MCD，
∴＝（）2
∵MH∥AB，
∴＝＝，
∴＝，
∴＝，
则△ABM与△MCD的面积之比为：1：4．
故选：B．
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．解：设＝k，
则a＝2k，b＝3k，c＝5k，
把a＝2k，b＝3k，c＝5k代入＝＝，
故答案为：．
12．解：∵l1∥l2∥l3，
∴＝，
∵＝，DF＝10，
∴＝，
解得：DE＝，
故答案为：．
13．解：根据相似三角形的判定：两角对应相等，两三角形相似；两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．
已知∠DAB＝∠CAE，则∠DAE＝∠BAC，要使△ADE∽△ABC，则补充的一个条件可以是∠D＝∠B或∠AED＝∠C或AD：AB＝AE：AC或AD AC＝AB AE．
故答案为：∠D＝∠B或∠AED＝∠C或AD：AB＝AE：AC或AD AC＝AB AE（任意一个即可）．
14．解：∵①若△PCD∽△APB，则，
即，
解得DP＝2或12；
②若△PCD∽△PAB，则，
即，
解得DP＝5.6．
∴DP＝2或12或5.6．
故答案为：2或12或5.6．
15．解：设经过t秒时，以△QBP与△ABC相似，则AP＝2t厘米，BP＝（8﹣2t）厘米，BQ＝4t厘米，
∵∠PBQ＝∠ABC，
∴当时，△BPQ∽△BAC，即，解得t＝2；
当时，△BPQ∽△BCA，即 ，解得t＝0.8；
即经过2秒或0.8秒时，△QBP与△ABC相似．
故答案为2或0.8．
16．解：作AH⊥ED交FC于点G；如图所示：
∵FC⊥BD，ED⊥BD，AH⊥ED交FC于点G，
∴FG∥EH，
∵AH⊥ED，BD⊥ED，AB⊥BC，ED⊥BC，
∴AH＝BD，AG＝BC，
∵AB＝1.6m，FC＝3.2m，BC＝1m，CD＝5m，
∴FG＝3.2﹣1.6＝1.6（m），BD＝6m，
∵FG∥EH，
∴，
∴
解得：EH＝9.6，
∴ED＝EH+DH＝9.6+1.6＝11.2（m），
∴铁塔的高ED是11.2m．
故答案为11.2．
17．解：长为8cm、宽为4cm的矩形的面积是32cm2，
留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，
相似比是4：8＝1：2，
因而面积的比是1：4，
因而留下矩形的面积是32×＝8cm2．
故答案为：8．
18．解：设△BEF的面积为S，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴，△BEF∽△DAF，
∵E是BC的中点，
∴，
∴，
∴S△ABF＝2S，S△ADF＝4S，
∴S△ABD＝6S＝S△BCD，
∴S△BEF：S四边形CDFE＝1：5，
故答案为：1：5．
19．解：如图，
∵点D是BC上一点，BC＝12，BD：CD＝2：1，
∴BD＝8，CD＝4，
过点M作MH∥AC交CD于H，
∴△DHM∽△DCA，
∴，
∴点M是AD的中点，
∴AD＝2DM，
∵AC＝8，
∴，
∴MH＝4，DH＝2，
过点M作MG∥AB交BD于G，
同理得，BG＝DG＝4，
∵AB＝10，BC＝12，AC＝8，
∴△ABC的周长为10+12+8＝30，
∵过点M的线段EF平分△ABC的周长，
∴CE+CF＝15，
设BE＝x，则CE＝12﹣x，
∴CF＝15﹣（12﹣x）＝3+x，EH＝CE﹣CH＝CE﹣（CD﹣DH）＝12﹣x﹣2＝10﹣x，
∵MH∥AC，
∴△EHM∽△ECF，
∴，
∴，
∴x＝2或x＝9，
当x＝9时，CF＝12＞AC，点F不在边AC上，此种情况不符合题意，
即BE＝x＝2，
故答案为：2．
20．解：过Q作QE⊥AD于E，如下图所示，
在△MDN和△NEQ中，∠MDN＝∠NEQ＝90°，∠DMN＝∠ENQ，
∴△MDN∽△NEQ，
∴＝＝＝，
∴DN＝×10＝2，
在△MDN和△PBQ中，
，
∴△MDN≌△PBQ（ASA），
∴DM＝BP，DN＝BQ＝2，
∴NE＝AD﹣DN﹣EA＝AD﹣DN﹣BQ＝10﹣2﹣2＝6，
∴DM＝×6＝，
∴MN＝＝＝．
∴每个小正方形的边长为．
故答案为：．
三．解答题（共6小题，满分60分）
21．（1）证明：∵BA＝BC，BD⊥AC，
∴∠BDC＝90°，∠A＝∠C，
∵DE⊥AB，
∴∠DEA＝∠BDC＝90°，
∴△AED∽△CDB；
（2）解：∵BA＝BC，BD⊥AC，
∴AD＝DC＝6，
∵△AED∽△CDB，
∴，
∴．
22．解：过点A作AM⊥EF于点M，交CD于点N，
由题意得：AN＝2米，CN＝1.9﹣1.6＝0.3（米），MN＝38米，
∵CN∥EM，
∴△ACN∽△AEM，
∴，
∴，
∴EM＝6，
∵AB＝MF＝1.7米，
∴城楼的高度为：6+1.6﹣1.7＝5.9（米）．
23．（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ACB＝∠ADB，
∴∠ABC＝∠ADB，
又∵∠BAE＝∠DAB，
∴△ABD∽△AEB；
（2）解：∵△ABD∽△AEB，
∴，
∵AD＝1，DE＝3，
∴AE＝4，
∴AB2＝AD AE＝1×4＝4，
∴AB＝2，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠DAB＝90°，
在Rt△ABD中，
BD2＝AB2+AD2＝22+12＝5，
∴BD＝．
24．（1）证明：∵DE∥AC，
∴，
∵＝，
∴＝，
∴DF∥BC；
（2）解：∵DE∥AC，DF∥BC，
∴四边形DECF是平行四边形，
∴EC＝DF＝2，
∴BC＝BE+EC＝6，
∵DF∥BC，
∴△ADF∽△ABC，
∴＝（）2＝＝＝．
25．解：（1）如图1，连接OD、OA、OB，设OD交AB于点E，
∵弦CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∵∠AOD＝2∠ACD，∠BOD＝2∠BCD，
∴∠AOD＝∠BOD，
∴，
∴OD垂直平分AB，
∵AB∥MN，
∴∠ODM＝∠OFA＝90°，
∵MN经过⊙O的半径OD的外端，且MN⊥OD，
∴MN是⊙O的切线．
（2）如图2，连接AD、BD，
∵∠DAE＝∠DCB＝∠DCA，∠ADE＝∠CDA，
∴△ADE∽△CDA，
∴，
∴DB＝DA＝＝4，
∴AE＝＝＝3，
∵∠DEB＝∠AEC，∠BDE＝∠CAE，
∴△DBE∽△ACE，
∴，
∴BE＝＝＝4，
∴AB＝AE+BE＝3+4＝7，
∴AB的长为7．
26．（1）①证明：∵CE＝CF，
∴∠CEF＝∠CFE．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
又∵∠CEF＝∠ABC+∠BAE，∠CFE＝∠ACD+∠CAE，
∴∠ABC＝∠ACD；
②证明：∵EG∥CD，
∴∠CEG＝∠DCB，∠ACD＝∠G，
∵∠ABC＝∠ACD，
∴∠ABC＝∠G，
∴△EGC∽△CBD；
（2）解：在△AEB和△AEG中，
，
∴△AEB≌△AEG（AAS），
∴AG＝AB．
∠ABC＝∠G，
∵AD＝2，BD＝6，
∴AB＝AD+BD＝2+6＝8，
∴AG＝8．
∵∠ABC＝∠ACD，∠BAC＝∠CAD，
∴△ABC∽△ACD，
∴AB：AC＝AC：AD，
∴AC2＝AB AD＝8×2＝16，
∴AC＝4（舍负），
∴CG＝AG﹣AC＝8﹣4＝4．