2021-2022学年人教版九年级数学下册第27章相似单元综合练习题（word版、含解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年人教版九年级数学下册第27章相似单元综合练习题（word版、含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 459.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-12 15:40:27 | ||
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文档简介
2021-2022学年人教版九年级数学下册《第27章相似》单元综合练习题（附答案）
1．若＝，则＝（ ）
A． B． C． D．
2．如果用线段a、b、c，求作线段x，使a：b＝c：x，那么下列作图正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列说法正确的个数有（ ）个
①凡正方形都相似；②凡等腰三角形都相似；
③凡等腰直角三角形都相似；
④两个相似多边形的面积比为4：9，则周长的比为16：81．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，AB∥CD∥EF，AC＝2，AE＝5，BD＝1.5，那么下列结论正确的是（ ）
A．DF＝ B．EF＝ C．CD＝ D．BF＝
5．如果两个相似三角形的面积比是4：9，则它们对应边上的中线之比为（ ）
A．4：9 B．9：4 C．3：2 D．2：3
6．如图，在 ABCD中，E为CD边上的中点，AE交BD于点O，若S△DOE＝2，则 ABCD的面积为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．24
7．如图，△ABC中，∠A＝65°，AB＝6，AC＝3，将△ABC沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不构成相似的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＜BC，则下列结论中错误的是（ ）
A．CD2＝AD DB B．AC DB＝BC AD
C．AD BC＝AC CD D．BC2＝BD AB
9．我们把宽与长的比等于黄金比（）的矩形称为黄金矩形．如图，在黄金矩形ABCD（AB＜BC）中，∠ABC的平分线交AD边于点E，EF⊥BC于点F，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，A、B两地之间有一池塘，要测量A、B两地之间的距离．选择一点O，连接AO并延长到点C，使OC＝AO，连接BO并延长到点D，使OD＝BO．测得C、D间距离为30米，则A、B两地之间的距离为（ ）
A．30米 B．45米 C．60米 D．90米
11．如图，△ABC外任取一点O，连接AO、BO、CO，并取它们的中点D、E、F，得△DEF．下列说法正确的个数是（ ）
①△ABC与△DEF是位似图形；②△ABC与△DEF是相似图形；
③△ABC与△DEF周长之比为2：1；④△ABC与△DEF的面积之比为9：1．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．如图，在△ABC中，高BD，CE相交于点F，图中与△BEF相似的三角形共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13．如图，正方形ABCD，点F在边AB上，且AF：FB＝1：2，CE⊥DF，垂足为M，且交AD于点E，AC与DF交于点N，延长CB至G，使BG＝BC，连接GM．有如下结论：①DE＝AF；②AN＝AB；③∠ADF＝∠GMF；④S△ANF：S四边形CNFB＝1：8．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．②③④
14．在坐标系中，已知A（6，0），B（0，8），C（0，﹣2），过点C作直线L交x轴于点D，使得以点D、C、O为顶点的三角形与△AOB相似，这样的直线一共可以作（ ）条．
A．3 B．4 C．5 D．6
15．如图，△ABD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，C为弧AD的中点，CH⊥AB于点E，交AD于点P，交⊙O于点H，连接DH，连接BC交AD于点F．下列结论中：①DH⊥CB；②CP＝PF；③CH＝AD；④AP AD＝CF CB；⑤若⊙O的半径为5，AF＝，则CH＝．正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
16．已知：＝，那么＝ ．
17．如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，则边x＝ 、y＝ 、α＝ ．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，已知AB＝25，BC＝15，则BD＝ ．
19．如图，小明与大树之间放置了一面平面镜，平面镜到小明的距离是2米、到大树的距离是6米时，小明恰好能从平面镜中看见大树的树尖，若小明的眼睛距离地面1.5米，则大树的高为 米．
20．如图，正方形EFGH的四个顶点分别在正方形ABCD的四条边上，若正方形EFGH与正方形ABCD的相似比为，则（AE＜BE）的值为 ．
21．如图，已知，在△ABC中，∠C＝90°，点D是AC上一点，∠DBC＝∠A，＝，那么的值为 ．
22．如图，A是反比例函数y＝（x＞0）图象上的一点，点B、D在y轴正半轴上，△ABD是△COD关于点D的位似图形，且△ABD与△COD的位似比是1：3，△ABD的面积为1，则k的值为 ．
23．将边长分别为2cm，3cm，4cm的三个正方形按如图所示的方式排列，则图中阴影部分的面积为 cm2．
24．如图，已知正方形ABCD的各个顶点A、B、C、D都在⊙O上，如果P是的中点，PD与AB交于E点，那么＝ ．
25．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，则下列结论中①BC＝BD＝AD；②S△ABD：S△BCD＝AD：DC；③BC2＝CD AC；④若AB＝2，则BC＝﹣1，其中正确的结论的个数是 个．
26．已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．
（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是 ；
（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1；
（3）四边形AA2C2C的面积是 平方单位．
27．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一点，且BE＝BD．
（1）求证：△ABE∽△ACD；
（2）若BD＝1，CD＝2，求的值．
28．如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成矩形零件PQMN，使矩形PQMN的边QM在BC上，其余两个顶点P，N分别在AB，AC上．
（1）当矩形的边PN＝PQ时，求此时矩形零件PQMN的面积；
（2）求这个矩形零件PQMN面积S的最大值．
29．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，点F是上一点，连接AF交CD的延长线于点E．
（1）求证：△AFC∽△ACE；
（2）若AC＝5，DC＝6，当点F为的中点时，求AF的值．
参考答案
1．解：＝1+
∵＝
∴＝
把＝代入＝1+＝
故选：C．
2．解：A、a：b＝x：c与已知a：b＝c：x不符合，故选项A不正确；
B、a：b＝c：x与已知a：b＝c：x符合，故选项B正确；
C、a：c＝x：b与已知a：b＝c：x不符合，故选项C不正确；
D、a：x＝b：c与已知a：b＝c：x不符合，故选项D不正确；
故选：B．
3．解：①凡正方形都相似，正确；
②等腰三角形两腰相等，对应成比例，但顶角不一定相等，所以不一定相似，故本小题错误；
③凡等腰直角三角形都相似，正确；
④两个相似多边形的面积比为4：9，则周长的比为2：3，故本小题错误；
所以，说法正确的有①③共2个．
故选：B．
4．解：∵AB∥CD∥EF，AC＝2，AE＝5，BD＝1.5，
∴，
即，
解得：DF＝，
∴BF＝BD+DF＝，
故选：D．
5．解：∵两个相似三角形的面积比是4：9，
∴两个相似三角形的相似比是2：3，
∴对应边上的中线的比为2：3，
故选：D．
6．解：∵四边形ABCD是平行四边形，E为CD边上的中点，
∴AB∥BC，DE＝DC＝AB，
∴△DOE∽△BOA，
∴＝＝＝，＝（）2，即＝，
∴S△BOA＝8，S△AOD＝4，
∴S△BAD＝12，
∴ ABCD的面积＝24，
故选：D．
7．解：A、根据平行线截得的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
C、两三角形的对应角不一定相等，故两三角形不相似，故本选项符合题意；
D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意．
故选：C．
8．解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB
∴CD2＝AD DB，BC2＝BD AB，
故A、D选项正确；
∵△ACD∽△CBD，
∴＝＝，
∴AC DB＝BC CD，故B选项错误；
AD BC＝AC CD，故C选项正确；
故选：B．
9．解：∵矩形ABCD（AB＜BC）为黄金矩形，
∴设AB＝﹣1，AD＝2，
∵BF平分∠ABC，而∠ABC＝90°，
∴四边形ABFE为正方形，
∴AE＝AB，
∵DE＝2﹣（﹣1）＝3﹣
∴＝＝，
而＝，
∴＝，所以A选项的结论正确；
∵＝＝，＝，
∴＝，所以B选项的结论正确；
∵＝，＝，
∴≠，所以C选项的结论错误；
∵＝，＝，
∴＝，所以D选项正确．
故选：C．
10．解：∵△ABO和△COD中，＝＝，
且∠AOB＝∠COD，
∴△AOB∽△COD，
∴＝2，
又∵CD＝30m，
∴AB＝60m．
故选：C．
11．解：根据位似的定义可得：△ABC与△DEF是位似图形，也是相似图形，位似比是2：1，则周长的比是2：1，因而面积的比是4：1，故①②③正确，④错误．
故选：C．
12．解：∵BD⊥AC、CE⊥AB，
∴∠BDA＝∠BDC＝∠CEA＝∠CEB＝90°，
∵∠FBE＝∠ABD，
∴△FBE∽△ABD，
∵∠BFE＝∠CFD，
∴△BFE∽△CFD，
∵∠FCD＝∠ACE，
∴△CFD∽△CAE，
∴△BFE∽△CAE，
综上，图中与△BEF相似的三角形有△BAD、△CFD、△CAE这3个，
故选：C．
13．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝CD＝BC，∠CDE＝∠DAF＝90°，
∵CE⊥DF，
∴∠DCE+∠CDF＝∠ADF+∠CDF＝90°，
∴∠ADF＝∠DCE，
在△ADF与△DCE中，
，
∴△ADF≌△DCE（ASA），
∴DE＝AF；故①正确；
∵AB∥CD，
∴＝，
∵AF：FB＝1：2，
∴AF：AB＝AF：CD＝1：3，
∴＝，
∴＝，
∵AC＝AB，
∴＝，
∴AN＝AB；故②正确；
作GH⊥CE于H，设AF＝DE＝a，BF＝2a，则AB＝CD＝BC＝3a，EC＝a，
∵∠DCE＝∠DCM，∠CDE＝∠CMD＝90°，
∴△CMD∽△CDE，
∵∠DCE+∠DEC＝∠DCE+∠HCG＝90°，
∴∠DEC＝∠HCG，
又∵∠CDE＝∠CHG＝90°，
∴△GHC∽△CDE，由△CMD∽△CDE，可得CM＝a，
由△GHC∽△CDE，可得CH＝a，
∴CH＝MH＝CM，
∵GH⊥CM，
∴GM＝GC，
∴∠GMH＝∠GCH，
∵∠FMG+∠GMH＝90°，∠DCE+∠GCM＝90°，
∴∠FMG＝∠DCE，
∵∠ADF＝∠DCE，
∴∠ADF＝∠GMF；故③正确，
（补充方法：延长MF交CG的延长线于T，证明CG＝GT，利用直角三角形斜边中线的性质即可解决问题）
设△ANF的面积为m，
∵AF∥CD，
∴＝＝，△AFN∽△CDN，
∴△ADN的面积为3m，△DCN的面积为9m，
∴△ADC的面积＝△ABC的面积＝12m，
∴S△ANF：S四边形CNFB＝1：11，故④错误，
故选：C．
14．解：若△AOB∽△COD，则＝＝，
∴OD＝，则D（，0）或（﹣，0）．
若△AOB∽△DOC，则＝＝，
∴OD＝，则D（，0）或（﹣，0）．
所以可以作出四条直线．
故选：B．
15．解：∵C为弧AD的中点，
∴＝，
∴∠H＝∠ABC，
∵CH⊥AB，
∴∠C+∠ABC＝90°，
∴∠H+∠C＝90°，
∴DH⊥BC，故①正确；
∵＝，
∴∠CBD＝∠ABC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BFD+∠DBF＝90°，
∴∠C＝∠BFD，
∵∠CFP＝∠DFB，
∴∠C＝∠CFP，
∴CP＝PF，故②正确；
∵AB为⊙O的直径，C为弧AD的中点，CH⊥AB，
∴＝＝，
∴＝，
∴CH＝AD；故③正确；
连接AC，BH，
则∠ACH＝∠CAD，
∴AP＝CP，
∵CH⊥AB，
∴＝，
∴BC＝BH，
∴∠BCH＝∠BHC，
∴∠CFP＝∠BHC，
∵∠PCF＝∠BCH，
∴△CPF∽△CBH，
∴，
∴PC CH＝CF CB，
∵PC＝AP，CH＝AD，
∴AP AD＝CF CB，故④正确；
∵∠CAF＝∠ABC，
又∵∠ACF＝∠BCA，
∴△CAF∽△CBA，
∴＝＝＝．
又∵AB＝10，
∴AC＝6，BC＝8．
根据直角三角形的面积公式，得：AC BC＝AB CE，
∴6×8＝10CE．
∴CE＝．
又∵CH＝HE，
∴CH＝2CE＝．故⑤错误，
故选：C．
16．解：∵＝，
∴设x＝2a，y＝3a，
∴＝＝．
故答案为：．
17．解：∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，
∴＝＝，∠C＝α，∠D＝∠D′＝140°．
∴x＝12，y＝，α＝∠C＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠D＝360°﹣62°﹣75°﹣140°＝83°．
故答案为：12、、83°．
18．解：由射影定理得，BC2＝BD AB，
∴BD＝＝9，
故答案为：9．
19．解：根据题意可得：AB＝1.5，AP＝2，CP＝6，∠BPA＝∠DPC，∠A＝∠C＝90°，
∴△ABP∽△CDP，
∴＝，
即：＝，
∴CD＝4.5（米），
故答案为：4.5．
20．解：∵正方形EFGH与正方形ABCD的相似比为，
∴不妨假设EF＝k，AB＝3k，
∵∠A＝∠B＝∠FEH＝90°，
∴∠AEH+∠BEF＝90°，∠BEF+∠EFB＝90°，
∴∠AEH＝∠EFB，
∵EH＝EF，
∴△HAE≌△EBF（AAS），
∴AE＝BF，设AE＝BF＝x则EB＝3k﹣x，
在Rt△EFB中，∵EF2＝BE2+BF2，
∴（k）2＝（3k﹣x）2+x2，
整理得x2﹣3kx+2k2＝0，
解得x＝k或2k（舍弃），
∴AE＝k，BE＝2k，
∴＝，
故答案为．
21．解：∵在△DBC和△BAC中
∠C＝∠C，DBC＝∠A
∴△DBC∽△BAC
∴＝＝
∵＝
∴＝＝
设DC＝2x，BC＝3x，
则AC＝＝＝
∴AD＝AC﹣DC＝﹣2x＝x
∴＝＝
故答案为：．
22．解：过A作AE⊥x轴，
∵△ABD是△COD关于点D的位似图形，
且△ABD与△COD的位似是1：3，
∴＝，
∴OE＝AB，
∴＝＝．
假设BD＝x，AB＝y
∴DO＝3x，AE＝4x，CO＝3y，
∵△ABD的面积为1，
∴xy＝1，
∴xy＝2，
∴AB AE＝4xy＝8，
即：k＝4xy＝8．
故答案是：8．
23．解：由题意得：△ABG∽△ADE，△ACF∽△ADE，
∴＝，＝，
∵AB＝2cm，BC＝3cm，CD＝DE＝4cm，
∴GB＝（cm），FC＝（cm），
∴S阴影＝9﹣×（+）×3＝（cm2）
故答案为
24．解：连接OP，交AB于点F，连接AC．
根据垂径定理的推论，得OP⊥AB，AF＝BF．
根据90°的圆周角所对的弦是直径，则AC为直径．
设正方形的边长是1，则AC＝，圆的半径是．
根据正方形的性质，得∠OAF＝45°．
所以OF＝，PF＝．
∵OP∥AD，
∴＝＝．
故答案为．
25．解：①由AB＝AC，∠A＝36°，得∠ABC＝∠C＝72°，
又BD平分∠ABC交AC于点D，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝36°＝∠A，
∴AD＝BD，
∠BDC＝∠ABD+∠A＝72°＝∠C，
∴BC＝BD，
∴BC＝BD＝AD，
∴①正确；
②△ABD与△BCD在AC边上的高相等，
故△ABD与△BCD的面积比等于对应底边的比，
∴②正确；
③由①的条件可证△BCD∽△ACB，
则BC：AC＝CD：BC，
∴BC2＝CD AC，
∴③正确；
④设BC＝x，则AC＝AB＝2，CD＝AC﹣AD＝2﹣x，
由BC2＝CD AC，得x2＝（2﹣x） 2，
解得x＝±﹣1（舍去负值），
∴BC＝﹣1，
∴④正确．
正确的有4个，
故答案为：4．
26．解：（1）如图所示，画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是（2，﹣2）；
（2）如图所示，以B为位似中心，画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，
（3）四边形AA2C2C的面积是＝；
故答案为：（1）（2，﹣2）；（2）7.5
27．（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD．
∵BE＝BD，
∴∠BED＝∠BDE．
∴∠AEB＝∠ADC．
∴△ABE∽△ACD．
（2）解：∵△ABE∽△ACD，
∴．
∵BE＝BD＝1，CD＝2，
∴．
28．解：（1）设矩形零件PQMN的边PN＝a，PQ＝x，则AE＝80﹣a．
∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC．
∴＝．
因此，，
解得a＝120﹣x．
∴120﹣x＝x，
解得：x＝48
所以长方形PQMN的面积S＝xa＝x（120﹣x）＝﹣x2+120x＝﹣×482+120×48＝2304mm2
所以矩形零件PQMN的面积为2304mm2．
（2）由S＝﹣x2+120x，
当x＝﹣＝40时，a＝60．
S最大值＝40×60＝2400（mm2）．
所以这个长方形零件PQMN面积S的最大值是2400mm2．
29．解：（1）∵CD⊥AB，AB是⊙O的直径
∴
∴∠AFC＝∠ACD．
∵在△ACF和△AEC中，∠AFC＝∠ACD，∠CAF＝∠EAC
∴△AFC∽△ACE．
（2）∵四边形ACDF内接于⊙O
∴∠AFD+∠ACD＝180°
∵∠AFD+∠DFE＝180°
∴∠DFE＝∠ACD
∵∠AFC＝∠ACD
∴∠AFC＝∠DFE．
∵△AFC∽△ACE
∴∠ACF＝∠DEF．
∵F为的中点
∴AF＝DF．
∵在△ACF和△DEF中，∠ACF＝∠DEF，∠AFC＝∠DFE，AF＝DF
∴△ACF≌△DEF（AAS）
∴AC＝DE＝5
∵CD⊥AB，AB是⊙O的直径
∴CH＝DH＝3．
∴EH＝8
在Rt△AHC中，AH2＝AC2﹣CH2＝16，
在Rt△AHE中，AE2＝AH2+EH2＝80，
∴．
∵△AFC∽△ACE
∴，即，
∴．
1．若＝，则＝（ ）
A． B． C． D．
2．如果用线段a、b、c，求作线段x，使a：b＝c：x，那么下列作图正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列说法正确的个数有（ ）个
①凡正方形都相似；②凡等腰三角形都相似；
③凡等腰直角三角形都相似；
④两个相似多边形的面积比为4：9，则周长的比为16：81．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，AB∥CD∥EF，AC＝2，AE＝5，BD＝1.5，那么下列结论正确的是（ ）
A．DF＝ B．EF＝ C．CD＝ D．BF＝
5．如果两个相似三角形的面积比是4：9，则它们对应边上的中线之比为（ ）
A．4：9 B．9：4 C．3：2 D．2：3
6．如图，在 ABCD中，E为CD边上的中点，AE交BD于点O，若S△DOE＝2，则 ABCD的面积为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．24
7．如图，△ABC中，∠A＝65°，AB＝6，AC＝3，将△ABC沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不构成相似的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＜BC，则下列结论中错误的是（ ）
A．CD2＝AD DB B．AC DB＝BC AD
C．AD BC＝AC CD D．BC2＝BD AB
9．我们把宽与长的比等于黄金比（）的矩形称为黄金矩形．如图，在黄金矩形ABCD（AB＜BC）中，∠ABC的平分线交AD边于点E，EF⊥BC于点F，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，A、B两地之间有一池塘，要测量A、B两地之间的距离．选择一点O，连接AO并延长到点C，使OC＝AO，连接BO并延长到点D，使OD＝BO．测得C、D间距离为30米，则A、B两地之间的距离为（ ）
A．30米 B．45米 C．60米 D．90米
11．如图，△ABC外任取一点O，连接AO、BO、CO，并取它们的中点D、E、F，得△DEF．下列说法正确的个数是（ ）
①△ABC与△DEF是位似图形；②△ABC与△DEF是相似图形；
③△ABC与△DEF周长之比为2：1；④△ABC与△DEF的面积之比为9：1．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．如图，在△ABC中，高BD，CE相交于点F，图中与△BEF相似的三角形共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13．如图，正方形ABCD，点F在边AB上，且AF：FB＝1：2，CE⊥DF，垂足为M，且交AD于点E，AC与DF交于点N，延长CB至G，使BG＝BC，连接GM．有如下结论：①DE＝AF；②AN＝AB；③∠ADF＝∠GMF；④S△ANF：S四边形CNFB＝1：8．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．②③④
14．在坐标系中，已知A（6，0），B（0，8），C（0，﹣2），过点C作直线L交x轴于点D，使得以点D、C、O为顶点的三角形与△AOB相似，这样的直线一共可以作（ ）条．
A．3 B．4 C．5 D．6
15．如图，△ABD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，C为弧AD的中点，CH⊥AB于点E，交AD于点P，交⊙O于点H，连接DH，连接BC交AD于点F．下列结论中：①DH⊥CB；②CP＝PF；③CH＝AD；④AP AD＝CF CB；⑤若⊙O的半径为5，AF＝，则CH＝．正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
16．已知：＝，那么＝ ．
17．如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，则边x＝ 、y＝ 、α＝ ．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，已知AB＝25，BC＝15，则BD＝ ．
19．如图，小明与大树之间放置了一面平面镜，平面镜到小明的距离是2米、到大树的距离是6米时，小明恰好能从平面镜中看见大树的树尖，若小明的眼睛距离地面1.5米，则大树的高为 米．
20．如图，正方形EFGH的四个顶点分别在正方形ABCD的四条边上，若正方形EFGH与正方形ABCD的相似比为，则（AE＜BE）的值为 ．
21．如图，已知，在△ABC中，∠C＝90°，点D是AC上一点，∠DBC＝∠A，＝，那么的值为 ．
22．如图，A是反比例函数y＝（x＞0）图象上的一点，点B、D在y轴正半轴上，△ABD是△COD关于点D的位似图形，且△ABD与△COD的位似比是1：3，△ABD的面积为1，则k的值为 ．
23．将边长分别为2cm，3cm，4cm的三个正方形按如图所示的方式排列，则图中阴影部分的面积为 cm2．
24．如图，已知正方形ABCD的各个顶点A、B、C、D都在⊙O上，如果P是的中点，PD与AB交于E点，那么＝ ．
25．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，则下列结论中①BC＝BD＝AD；②S△ABD：S△BCD＝AD：DC；③BC2＝CD AC；④若AB＝2，则BC＝﹣1，其中正确的结论的个数是 个．
26．已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．
（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是 ；
（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1；
（3）四边形AA2C2C的面积是 平方单位．
27．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一点，且BE＝BD．
（1）求证：△ABE∽△ACD；
（2）若BD＝1，CD＝2，求的值．
28．如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成矩形零件PQMN，使矩形PQMN的边QM在BC上，其余两个顶点P，N分别在AB，AC上．
（1）当矩形的边PN＝PQ时，求此时矩形零件PQMN的面积；
（2）求这个矩形零件PQMN面积S的最大值．
29．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，点F是上一点，连接AF交CD的延长线于点E．
（1）求证：△AFC∽△ACE；
（2）若AC＝5，DC＝6，当点F为的中点时，求AF的值．
参考答案
1．解：＝1+
∵＝
∴＝
把＝代入＝1+＝
故选：C．
2．解：A、a：b＝x：c与已知a：b＝c：x不符合，故选项A不正确；
B、a：b＝c：x与已知a：b＝c：x符合，故选项B正确；
C、a：c＝x：b与已知a：b＝c：x不符合，故选项C不正确；
D、a：x＝b：c与已知a：b＝c：x不符合，故选项D不正确；
故选：B．
3．解：①凡正方形都相似，正确；
②等腰三角形两腰相等，对应成比例，但顶角不一定相等，所以不一定相似，故本小题错误；
③凡等腰直角三角形都相似，正确；
④两个相似多边形的面积比为4：9，则周长的比为2：3，故本小题错误；
所以，说法正确的有①③共2个．
故选：B．
4．解：∵AB∥CD∥EF，AC＝2，AE＝5，BD＝1.5，
∴，
即，
解得：DF＝，
∴BF＝BD+DF＝，
故选：D．
5．解：∵两个相似三角形的面积比是4：9，
∴两个相似三角形的相似比是2：3，
∴对应边上的中线的比为2：3，
故选：D．
6．解：∵四边形ABCD是平行四边形，E为CD边上的中点，
∴AB∥BC，DE＝DC＝AB，
∴△DOE∽△BOA，
∴＝＝＝，＝（）2，即＝，
∴S△BOA＝8，S△AOD＝4，
∴S△BAD＝12，
∴ ABCD的面积＝24，
故选：D．
7．解：A、根据平行线截得的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
C、两三角形的对应角不一定相等，故两三角形不相似，故本选项符合题意；
D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意．
故选：C．
8．解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB
∴CD2＝AD DB，BC2＝BD AB，
故A、D选项正确；
∵△ACD∽△CBD，
∴＝＝，
∴AC DB＝BC CD，故B选项错误；
AD BC＝AC CD，故C选项正确；
故选：B．
9．解：∵矩形ABCD（AB＜BC）为黄金矩形，
∴设AB＝﹣1，AD＝2，
∵BF平分∠ABC，而∠ABC＝90°，
∴四边形ABFE为正方形，
∴AE＝AB，
∵DE＝2﹣（﹣1）＝3﹣
∴＝＝，
而＝，
∴＝，所以A选项的结论正确；
∵＝＝，＝，
∴＝，所以B选项的结论正确；
∵＝，＝，
∴≠，所以C选项的结论错误；
∵＝，＝，
∴＝，所以D选项正确．
故选：C．
10．解：∵△ABO和△COD中，＝＝，
且∠AOB＝∠COD，
∴△AOB∽△COD，
∴＝2，
又∵CD＝30m，
∴AB＝60m．
故选：C．
11．解：根据位似的定义可得：△ABC与△DEF是位似图形，也是相似图形，位似比是2：1，则周长的比是2：1，因而面积的比是4：1，故①②③正确，④错误．
故选：C．
12．解：∵BD⊥AC、CE⊥AB，
∴∠BDA＝∠BDC＝∠CEA＝∠CEB＝90°，
∵∠FBE＝∠ABD，
∴△FBE∽△ABD，
∵∠BFE＝∠CFD，
∴△BFE∽△CFD，
∵∠FCD＝∠ACE，
∴△CFD∽△CAE，
∴△BFE∽△CAE，
综上，图中与△BEF相似的三角形有△BAD、△CFD、△CAE这3个，
故选：C．
13．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝CD＝BC，∠CDE＝∠DAF＝90°，
∵CE⊥DF，
∴∠DCE+∠CDF＝∠ADF+∠CDF＝90°，
∴∠ADF＝∠DCE，
在△ADF与△DCE中，
，
∴△ADF≌△DCE（ASA），
∴DE＝AF；故①正确；
∵AB∥CD，
∴＝，
∵AF：FB＝1：2，
∴AF：AB＝AF：CD＝1：3，
∴＝，
∴＝，
∵AC＝AB，
∴＝，
∴AN＝AB；故②正确；
作GH⊥CE于H，设AF＝DE＝a，BF＝2a，则AB＝CD＝BC＝3a，EC＝a，
∵∠DCE＝∠DCM，∠CDE＝∠CMD＝90°，
∴△CMD∽△CDE，
∵∠DCE+∠DEC＝∠DCE+∠HCG＝90°，
∴∠DEC＝∠HCG，
又∵∠CDE＝∠CHG＝90°，
∴△GHC∽△CDE，由△CMD∽△CDE，可得CM＝a，
由△GHC∽△CDE，可得CH＝a，
∴CH＝MH＝CM，
∵GH⊥CM，
∴GM＝GC，
∴∠GMH＝∠GCH，
∵∠FMG+∠GMH＝90°，∠DCE+∠GCM＝90°，
∴∠FMG＝∠DCE，
∵∠ADF＝∠DCE，
∴∠ADF＝∠GMF；故③正确，
（补充方法：延长MF交CG的延长线于T，证明CG＝GT，利用直角三角形斜边中线的性质即可解决问题）
设△ANF的面积为m，
∵AF∥CD，
∴＝＝，△AFN∽△CDN，
∴△ADN的面积为3m，△DCN的面积为9m，
∴△ADC的面积＝△ABC的面积＝12m，
∴S△ANF：S四边形CNFB＝1：11，故④错误，
故选：C．
14．解：若△AOB∽△COD，则＝＝，
∴OD＝，则D（，0）或（﹣，0）．
若△AOB∽△DOC，则＝＝，
∴OD＝，则D（，0）或（﹣，0）．
所以可以作出四条直线．
故选：B．
15．解：∵C为弧AD的中点，
∴＝，
∴∠H＝∠ABC，
∵CH⊥AB，
∴∠C+∠ABC＝90°，
∴∠H+∠C＝90°，
∴DH⊥BC，故①正确；
∵＝，
∴∠CBD＝∠ABC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BFD+∠DBF＝90°，
∴∠C＝∠BFD，
∵∠CFP＝∠DFB，
∴∠C＝∠CFP，
∴CP＝PF，故②正确；
∵AB为⊙O的直径，C为弧AD的中点，CH⊥AB，
∴＝＝，
∴＝，
∴CH＝AD；故③正确；
连接AC，BH，
则∠ACH＝∠CAD，
∴AP＝CP，
∵CH⊥AB，
∴＝，
∴BC＝BH，
∴∠BCH＝∠BHC，
∴∠CFP＝∠BHC，
∵∠PCF＝∠BCH，
∴△CPF∽△CBH，
∴，
∴PC CH＝CF CB，
∵PC＝AP，CH＝AD，
∴AP AD＝CF CB，故④正确；
∵∠CAF＝∠ABC，
又∵∠ACF＝∠BCA，
∴△CAF∽△CBA，
∴＝＝＝．
又∵AB＝10，
∴AC＝6，BC＝8．
根据直角三角形的面积公式，得：AC BC＝AB CE，
∴6×8＝10CE．
∴CE＝．
又∵CH＝HE，
∴CH＝2CE＝．故⑤错误，
故选：C．
16．解：∵＝，
∴设x＝2a，y＝3a，
∴＝＝．
故答案为：．
17．解：∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，
∴＝＝，∠C＝α，∠D＝∠D′＝140°．
∴x＝12，y＝，α＝∠C＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠D＝360°﹣62°﹣75°﹣140°＝83°．
故答案为：12、、83°．
18．解：由射影定理得，BC2＝BD AB，
∴BD＝＝9，
故答案为：9．
19．解：根据题意可得：AB＝1.5，AP＝2，CP＝6，∠BPA＝∠DPC，∠A＝∠C＝90°，
∴△ABP∽△CDP，
∴＝，
即：＝，
∴CD＝4.5（米），
故答案为：4.5．
20．解：∵正方形EFGH与正方形ABCD的相似比为，
∴不妨假设EF＝k，AB＝3k，
∵∠A＝∠B＝∠FEH＝90°，
∴∠AEH+∠BEF＝90°，∠BEF+∠EFB＝90°，
∴∠AEH＝∠EFB，
∵EH＝EF，
∴△HAE≌△EBF（AAS），
∴AE＝BF，设AE＝BF＝x则EB＝3k﹣x，
在Rt△EFB中，∵EF2＝BE2+BF2，
∴（k）2＝（3k﹣x）2+x2，
整理得x2﹣3kx+2k2＝0，
解得x＝k或2k（舍弃），
∴AE＝k，BE＝2k，
∴＝，
故答案为．
21．解：∵在△DBC和△BAC中
∠C＝∠C，DBC＝∠A
∴△DBC∽△BAC
∴＝＝
∵＝
∴＝＝
设DC＝2x，BC＝3x，
则AC＝＝＝
∴AD＝AC﹣DC＝﹣2x＝x
∴＝＝
故答案为：．
22．解：过A作AE⊥x轴，
∵△ABD是△COD关于点D的位似图形，
且△ABD与△COD的位似是1：3，
∴＝，
∴OE＝AB，
∴＝＝．
假设BD＝x，AB＝y
∴DO＝3x，AE＝4x，CO＝3y，
∵△ABD的面积为1，
∴xy＝1，
∴xy＝2，
∴AB AE＝4xy＝8，
即：k＝4xy＝8．
故答案是：8．
23．解：由题意得：△ABG∽△ADE，△ACF∽△ADE，
∴＝，＝，
∵AB＝2cm，BC＝3cm，CD＝DE＝4cm，
∴GB＝（cm），FC＝（cm），
∴S阴影＝9﹣×（+）×3＝（cm2）
故答案为
24．解：连接OP，交AB于点F，连接AC．
根据垂径定理的推论，得OP⊥AB，AF＝BF．
根据90°的圆周角所对的弦是直径，则AC为直径．
设正方形的边长是1，则AC＝，圆的半径是．
根据正方形的性质，得∠OAF＝45°．
所以OF＝，PF＝．
∵OP∥AD，
∴＝＝．
故答案为．
25．解：①由AB＝AC，∠A＝36°，得∠ABC＝∠C＝72°，
又BD平分∠ABC交AC于点D，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝36°＝∠A，
∴AD＝BD，
∠BDC＝∠ABD+∠A＝72°＝∠C，
∴BC＝BD，
∴BC＝BD＝AD，
∴①正确；
②△ABD与△BCD在AC边上的高相等，
故△ABD与△BCD的面积比等于对应底边的比，
∴②正确；
③由①的条件可证△BCD∽△ACB，
则BC：AC＝CD：BC，
∴BC2＝CD AC，
∴③正确；
④设BC＝x，则AC＝AB＝2，CD＝AC﹣AD＝2﹣x，
由BC2＝CD AC，得x2＝（2﹣x） 2，
解得x＝±﹣1（舍去负值），
∴BC＝﹣1，
∴④正确．
正确的有4个，
故答案为：4．
26．解：（1）如图所示，画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是（2，﹣2）；
（2）如图所示，以B为位似中心，画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，
（3）四边形AA2C2C的面积是＝；
故答案为：（1）（2，﹣2）；（2）7.5
27．（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD．
∵BE＝BD，
∴∠BED＝∠BDE．
∴∠AEB＝∠ADC．
∴△ABE∽△ACD．
（2）解：∵△ABE∽△ACD，
∴．
∵BE＝BD＝1，CD＝2，
∴．
28．解：（1）设矩形零件PQMN的边PN＝a，PQ＝x，则AE＝80﹣a．
∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC．
∴＝．
因此，，
解得a＝120﹣x．
∴120﹣x＝x，
解得：x＝48
所以长方形PQMN的面积S＝xa＝x（120﹣x）＝﹣x2+120x＝﹣×482+120×48＝2304mm2
所以矩形零件PQMN的面积为2304mm2．
（2）由S＝﹣x2+120x，
当x＝﹣＝40时，a＝60．
S最大值＝40×60＝2400（mm2）．
所以这个长方形零件PQMN面积S的最大值是2400mm2．
29．解：（1）∵CD⊥AB，AB是⊙O的直径
∴
∴∠AFC＝∠ACD．
∵在△ACF和△AEC中，∠AFC＝∠ACD，∠CAF＝∠EAC
∴△AFC∽△ACE．
（2）∵四边形ACDF内接于⊙O
∴∠AFD+∠ACD＝180°
∵∠AFD+∠DFE＝180°
∴∠DFE＝∠ACD
∵∠AFC＝∠ACD
∴∠AFC＝∠DFE．
∵△AFC∽△ACE
∴∠ACF＝∠DEF．
∵F为的中点
∴AF＝DF．
∵在△ACF和△DEF中，∠ACF＝∠DEF，∠AFC＝∠DFE，AF＝DF
∴△ACF≌△DEF（AAS）
∴AC＝DE＝5
∵CD⊥AB，AB是⊙O的直径
∴CH＝DH＝3．
∴EH＝8
在Rt△AHC中，AH2＝AC2﹣CH2＝16，
在Rt△AHE中，AE2＝AH2+EH2＝80，
∴．
∵△AFC∽△ACE
∴，即，
∴．