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空间线面关系的判定
复习回顾:
1、 的充要条件是
2、设向量 的夹角为 ,则
3、共面向量定理 如果两个向量 不共线,那么
向量 与向量 共面的充要条件是
存在有序实数组
,使得:
4、直线 的方向向量是
平面 的法向量 与 的位置关系是
思考:
我们能不能用直线的方向
向量和平面法向量来刻画空间线
面位置关系?
设空间两条直线 的方向向量为
两个平面 的法向量分别为
平行 垂直
O
B
D
C
A
例1、如图, 是平面 的一条斜线, 为斜足, , 为垂足, ,且
求证:
在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直。(三垂线定理)
变式练习:
写出三垂线定理的逆定理,并用向量的方法加以证明。
三垂线定理:在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直。
三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直。
O
B
D
C
A
已知:如图, 是平面 的 一条斜线, 为斜足, , 为垂足,
,且
求证:
例2、证明:如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直,那么这条直线垂直于这个平面。(直线与平面垂直的判定定理)
已知:如图,
求证:
分析:要证明直线与平面垂直,只要证明该直线垂直于平面内任意一条直线。
相交
不共线
又
共面
存在有序实数组
使得,
例3、如图,在直三棱柱 - 中,
是棱 的中点,
求证:
证明:在直三棱柱 - 中,
因为 ,所以
因为 ,而
所以 ,所以
在 中,因为
所以
所以
因为 , ,
且 是棱 中点,所以 ,
所以
所以:
所以:
即,
思考:还有其它的
证明方法吗?
利用相似形与线面垂直
分析:连结 交 于点
因为
所以,要证
就是证
即证
1、利用 相似可以证明 ,
从而
2、利用 知道 ,即
你能试着建立适当的空间直角坐标系,用坐标表示向量,再证明它们互相垂直吗?
证明:分别以
所在直线为 轴, 轴, 轴,建
立空间直角坐标系
图中相应点的坐标为:
所以:
所以:
即,
三种方法的比较:
证法一是几何向量法,要熟练掌握向量的加减运算及所满足的运算律。
证法二是向量的坐标运算法,关键是要恰当地建立空间直角坐标系,探求出各点的坐标。
证法三是几何向量法和立体几何法的综合运用。
最终都是应用向量的数量积为0来证明线线垂直。
课堂小结:
本节课主要研究了用向量的方法判定空间线线、线面垂直关系。
如果要判定两条直线 垂直 ,可以通过证明它们的方向向量 , 的数量积为0实现
同步练习(用坐标运算的方法)
如图,在正方体 中, 相交于点 ,求证:
同步练习:(两平面垂直的性质定理)
已知:平面 平面 ,
直线 ,且
求证:
同步练习:
如图,在正方体 中, 相交于点 ,求证:
O
B
D
C
A
证明:因为
所以
因为
所以
所以
因为
所以
所以
即