空间线面关系的判定

(共24张PPT)
空间线面关系的判定
复习回顾：
1、 的充要条件是
2、设向量 的夹角为 ，则
3、共面向量定理 如果两个向量 不共线，那么
向量 与向量 共面的充要条件是
存在有序实数组
，使得：
4、直线 的方向向量是
平面 的法向量 与 的位置关系是
思考：
我们能不能用直线的方向
向量和平面法向量来刻画空间线
面位置关系？
设空间两条直线 的方向向量为
两个平面 的法向量分别为
平行 垂直
O
B
D
C
A
例1、如图， 是平面 的一条斜线， 为斜足， ， 为垂足， ，且
求证：
在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。（三垂线定理）
变式练习：
写出三垂线定理的逆定理，并用向量的方法加以证明。
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。
O
B
D
C
A
已知：如图， 是平面 的 一条斜线， 为斜足， ， 为垂足，
，且
求证：
例2、证明：如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。（直线与平面垂直的判定定理）
已知：如图，
求证：
分析：要证明直线与平面垂直，只要证明该直线垂直于平面内任意一条直线。
相交
不共线
又
共面
存在有序实数组
使得，
例3、如图，在直三棱柱 - 中，
是棱 的中点，
求证：
证明：在直三棱柱 - 中，
因为 ，所以
因为 ，而
所以 ，所以
在 中，因为
所以
所以
因为 ， ，
且 是棱 中点，所以 ，
所以
所以：
所以：
即，
思考：还有其它的
证明方法吗？
利用相似形与线面垂直
分析：连结 交 于点
因为
所以，要证
就是证
即证
1、利用 相似可以证明 ，
从而
2、利用 知道 ，即
你能试着建立适当的空间直角坐标系，用坐标表示向量，再证明它们互相垂直吗？
证明：分别以
所在直线为 轴， 轴， 轴，建
立空间直角坐标系
图中相应点的坐标为：
所以：
所以：
即，
三种方法的比较：
证法一是几何向量法，要熟练掌握向量的加减运算及所满足的运算律。
证法二是向量的坐标运算法，关键是要恰当地建立空间直角坐标系，探求出各点的坐标。
证法三是几何向量法和立体几何法的综合运用。
最终都是应用向量的数量积为0来证明线线垂直。
课堂小结：
本节课主要研究了用向量的方法判定空间线线、线面垂直关系。
如果要判定两条直线 垂直 ，可以通过证明它们的方向向量 ， 的数量积为0实现
同步练习（用坐标运算的方法）
如图，在正方体 中， 相交于点 ，求证：
同步练习：（两平面垂直的性质定理）
已知：平面 平面 ，
直线 ，且
求证：
同步练习：
如图，在正方体 中， 相交于点 ，求证：
O
B
D
C
A
证明：因为
所以
因为
所以
所以
因为
所以
所以
即