华东师大版九年级数学下册 26.3.1实践与探索课件(共32张PPT)

(共32张PPT)
26.3 实践与探索（1）
学习目标
1.能运用二次函数的知识分析解决相关实际问题.（重点）
2.经历探索解决实际问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验. （难点）
3.感受数学建模思想和数学的应用价值.（难点）
情境引入
在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题.商品买卖过程中，作为商家追求利润最大化是永恒的追求.
如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？
运动中的抛物线
美丽的喷泉及拱桥
运动中的抛物线问题
例1 在篮球赛中，姚小鸣跳起投篮，已知球出手时离地面高 米，与篮圈中心的水平距离为8米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3米，他能把球投中吗？
分析：篮球运动的轨迹为抛物线，可以根据已知条件，建立平面直角坐标系，将实际问题转化为数学问题.
3米
4米
4米
x
y
O
8米
米
解：如图建立直角坐标系.则点A的坐标是（0， ），B点坐标是（4，4），C点坐标是（8，3）.
因此可设抛物线的解析式是y=a(x-4)2+4 ①.
把点A(0, )代入①得
解得
所以抛物线的解析式是 .
当x=8时，则
所以此球不能投中.
判断此球能否准确投中的问题就是判断代表篮圈的点是否在抛物线上；
3米
4米
4米
8米
x
y
A
B
C
O
若假设出手的角度和力度都不变,则如何才能使此球命中
（1）跳得高一点儿；
（2）向前平移一点儿.
3米
8米
4米
4米
x
y
O
y
x
（8，3）
（4，4）
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
6
4
2
（1）跳得高一点儿；
y
（8，3）
（4，4）
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
6
4
2
（７，３）
●
（2）向前平移一点儿.
x
　问题1 图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2m时，水面宽 4m . 水面下降 1m，水面宽度增加多少？
探究
　　（1）求宽度增加多少需要什么数据？
　　（2）表示水面宽的线段的端点在哪条曲线上？
　　（3）如何求这组数据？需要先求什么？
　　（4）图中还知道什么？
　　（5）怎样求抛物线对应的函数的解析式？
想一想
　　问题2 如何建立直角坐标系？
l
　　问题3 解决本题的关键是什么？
y
x
o
解：如图建立直角坐标系.
解：建立合适的直角坐标系.
l
y
x
o
解：如图建立直角坐标系.根据题意可设该拱桥形成的抛物线的解析式为y=ax2+2.
∵该抛物线过(2,0),
∴0=4a+2，a=
∵水面下降1m，即当y=-1时，
∴水面宽度增加了 米.
　
　　有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为 20 m，拱顶距离水面 4 m．
　　如图所示的直角坐标系中，求出这条抛物线表示的函数的解析式；
　　
O
A
C
D
B
y
x
20 m
h
解：设该拱桥形成的抛物线的解析式为y=ax2.
∵该抛物线过(10,-4),
∴-4=100a，a=-0.04
∴y=-0.04x2.
练一练
例2 某公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25m，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m.如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少m才能使喷出的水流不致落到池外？
解：建立如图所示的坐标系，根据题意得，A点坐标为(0，1.25)，顶点B坐标为(1，2.25).
数学化
x
y
o
A
●B(1,2.25)
(0,1.25)
●
C(2.5,0)
●
D(-2.5,0)
根据对称性，如果不计其它因素，那么水池的半径至少要2.5m，才能使喷出的水流不致落到池外.
当y=0时,可求得点C的坐标为(2.5,0) ;
同理，点 D的坐标为(-2.5,0) .
设抛物线为y=a(x+h)2+k，由待定系数法可求得抛物线表达式为：y=－ (x-1)2+2.25.
2.根据建立好的坐标系求出该函数的解析式；
3.在实际问题中要注意自变量的取值范围内.
1.首先要建立适当的平面直角坐标系；
知识要点
求解运动中的抛物线问题及拱桥问题的一般步骤
商品利润最大的问题
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，已知商品的进价为每件40元，则每星期销售额是 元，销售利润 元.
探究交流
18000
6000
数量关系
（1）销售额= 售价×销售量;
（2）利润= 销售额-总成本=单件利润×销售量;
（3）单件利润=售价-进价.
例3 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
涨价销售
①每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：
单件利润（元） 销售量（件） 每星期利润（元）
正常销售
涨价销售
20
300
20+x
300-10x
y=(20+x)(300-10x)
建立函数关系式：y=(20+x)(300-10x),
即：y=-10x2+100x+6000.
6000
②自变量x的取值范围如何确定？
营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故300-10x ≥0，且x ≥0,因此自变量的取值范围是0 ≤x ≤30.
③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？
y=-10x2+100x+6000，
当 时,y=-10×52+100×5+6000=6250.
即定价65元时，最大利润是6250元.
降价销售
①每件降价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：
单件利润（元） 销售量（件） 每星期利润（元）
正常销售
降价销售
20
300
20-x
300+18x
y=(20-x)(300+18x)
建立函数关系式：y=(20-x)(300+18x)，
即：y=-18x2+60x+6000.
例4 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
6000
综合可知，应定价65元时，才能使利润最大。
②自变量x的取值范围如何确定？
营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑单件利润就可以，故20-x ≥0，且x ≥0,因此自变量的取值范围是0 ≤x ≤20.
③涨价多少元时，利润最大，是多少？
当 时,
即定价57.5元时，最大利润是6050元.
即：y=-18x2+60x+6000，
由(1)(2)的讨论及现在的销售情况,你知道应该如何定价能使利润最大了吗
知识要点
求解最大利润问题的一般步骤
（1）建立利润与价格之间的函数关系式：
运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量”
（2）结合实际意义，确定自变量的取值范围；
（3）在自变量的取值范围内确定最大利润：
可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.
1.某种商品每件的进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20 ≤x ≤30)出售，可卖出（300－20x）件，使利润最大，则每件售价应定为 元.
25
2.进价为80元的某件定价100元时，每月可卖出2000件，价格每上涨1元，销售量便减少5件，那么每月售出衬衣的总件数y(件）与衬衣售价x（元）之间的函数关系式为 .
每月利润w（元）与衬衣售价x（元）之间的函数关系式为 .(以上关系式只列式不化简）.
y=2000-5(x-100)
w=[2000-5(x-100)](x-80)
练 习
3.足球被从地面上踢起，它距地面的高度h(m)可用公式h=
-4.9t2+19.6t来表示，其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间，则球在 s后落地.
4
4.如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y(米）关于水平距离x(米）的函数解析式为 ，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为 米.
x
y
O
2
5.某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线形组成的，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m（如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（ ）
A.50m B.100m C.160m D.200m
C
6. 某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x(元）之间满足关系：y=ax2+bx-75.其图象如图.
（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？
x
y
5
16
O
7
解：(1)由题中条件可求y=-x2+20x-75
∵-1<0,对称轴x=10,
∴当x=10时，y值最大，最大值为25.
即销售单价定为10元时，销售利润最大，25元；
(2)由对称性知y=16时，x=7和13.
故销售单价在7 ≤x ≤13时，利润不低于16元.
转化
回归
（二次函数的图象和性质）
拱桥问题
运动中的抛物线问题
（实物中的抛物线形问题）
建立恰当的直角坐标系
能够将实际距离准确的转化为点的坐标；
选择运算简便的方法.
实际问题
数学模型
转化的关键
商品利润最大问题
建立函数关系式
总利润=单件利润×销售量或总利润=总售价-总成本.
确定自变量取值范围
涨价:要保证销售量≥0；
降件：要保证单件利润≥0.
确定最大利润
利用配方法或公式求最大值或利用函数简图和性质求出.
小结