华东师大版九年级数学下册 27.1.3圆周角课件(共31张PPT)

(共31张PPT)
27.1.3 圆周角
1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理.
2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解决简单的几何问题.（重点、难点）
3.理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用.（难点）
学习目标
问题1 什么叫圆心角？指出图中的圆心角？
顶点在圆心的角叫圆心角, ∠BOC.
问题2 如图，∠BAC的顶点和边有哪些特点
A
∠BAC的顶点在☉O上，角的两边分别交☉O于B、C两点.
问题引入
定义：顶点在圆上的两条射线组成的角叫做圆周角.
圆周角和直径的关系
圆周角必须同时满足两个条件：①定点在圆上；②两边与圆相交.
·
C
O
A
B
·
C
O
B
·
C
O
B
A
A
·
C
O
A
B
·
C
O
B
·
C
O
B
A
A
判一判：下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简述理由.
（2）
（1）
（3）
（5）
（6）
顶点不在圆上
顶点不在圆上
边AC没有和圆相交
√
√
√
想一想
如图，线段AB是☉O的直径，点C是 ☉O上的任意一点（除点A、B外），那么，∠ABC就是直径AB所对的圆周角，想一想，∠ACB会是怎样的角？
·
O
A
C
B
解：∵OA=OB=OC，∴△AOC、△BOC都是等腰三角形.
∴ ∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB.
又∵ ∠OAC+∠OBC+∠ACB=180°.
∴ ∠ACB=∠OCA+∠OCB=180°÷2=90°.
圆周角和直径的关系
圆周角和直径的关系：
半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°.
知识要点
如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD为四边形ABCD的对角线.
若AC是半圆，
∠ADC= ，
∠ABC= .
90°
90°
若AC是直径，
做一做
例1 如图，AB是☉O的直径，∠A=80°.求∠ABC的大小.
O
C
A
B
解：∵AB是☉O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角等于90°.）
∴∠ABC=180°-∠A-∠ACB
=180°-90°-80°=10°.
D
问题1 如图，点A、B、C、D都是☉O 上的点，请问图中哪些是圆周角？哪些是圆心角
圆周角定理
合作探究
圆心角：∠BOC
圆周角：∠BAC，∠BDC
问题2 分别量出这些角的度数，你有什么发现？
∠BAC=∠BDC
∠BOC=2∠BAC
问题3 变动点D的位置，看看弧BC所对的圆周角的度数有没有变化？你能得出什么结论？
D
D
D
变动点D的位置，圆周角的度数没有变化，并且圆周角的度数恰好为同弧所对的圆心角的度数的一半.
圆心O在∠BAC的内部
圆心O在∠BAC的一边上
圆心O在∠BAC
的外部
推导与验证
圆心O在∠BAC的一边上（特殊情形）
OA=OC
∠A= ∠C
∠BOC= ∠ A+ ∠C
O
A
B
D
O
A
C
D
O
A
B
C
D
圆心O在∠BAC的内部
O
A
C
D
O
A
B
D
O
A
B
D
C
O
A
D
C
O
A
B
D
C
O
A
D
O
A
B
D
C
O
A
D
O
A
B
D
圆心O在∠BAC的外部
圆周角定理：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对等于圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等.
圆周角定理及其推论
A1
A2
A3
推论1：
90°的圆周角所对的弦是直径.
知识要点
1.如图，点A、B、C、D在☉O上，点A与点D在点B、C所在直线的同侧，∠BAC=35 .
(1)∠BOC= ，
理由是 ;
(2)∠BDC= ，理由是 .
70
35
同弧所对的圆周角相等
一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半
试一试
完成下列填空
∠1= .
∠2= .
∠3= .
∠5= .
2.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD为四边形ABCD的对角线.
∠4
∠8
∠6
∠7
A
B
C
D
O
1
(
(
(
(
(
(
(
(
2
3
4
5
6
7
8
例2 如图，分别求出图中∠x的大小.
60°
x
30°
20°
x
解：(1)∵同弧所对圆周角相等，∴∠x=60°.
A
D
B
E
C
(2)连接BF，
F
∵同弧所对圆周角相等，
∴∠ABF=∠D=20°，∠FBC=∠E=30°.
∴∠x=∠ABF+∠FBC=50°.
例3 如图，☉O直径AC为10cm，弦AD为6cm.
（1）求DC的长；
（2）若∠ADC的平分线交☉O于B, 求AB、BC的长．
B
解：(1)∵AC是直径，
∴ ∠ADC=90°.
在Rt△ADC中，
在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，
(2)∵ AC是直径,
∴ ∠ABC=90°.
∵BD平分∠ADC,
∴∠ADB=∠CDB.
又∵∠ACB=∠ADB , ∠BAC=∠BDC .
∴ ∠BAC=∠ACB,
∴AB=BC.
B
解答圆周角有关问题时，若题中出现“直径”这个条件，通常考虑构造直角三角形来求解.
方法归纳
如果一个圆经过一个多边形的各个顶点，这个圆就叫作这个多边形的外接圆.这个多边形叫做圆的内接多边形.
圆内接四边形的定义
圆内接四边形
如图，四边形ABCD为☉O的内接四边形，☉O为四边形ABCD的外接圆.
探究性质
猜想：∠A与∠C, ∠B与∠D之间的关系为 .
∠A+ ∠C=180 ，∠B+ ∠D=180
推论2（圆内接四边形的性质）
圆内接四边形的对角互补.
试一试
证明：圆内接四边形的对角互补.
已知，如图，四边形ABCD为☉O的内接四边形，☉O为四边形ABCD的外接圆. 求证∠BAD+∠BCD=180°.
证明：连接OB、OD.
根据圆心角定理，可知
1
2
1．四边形ABCD是☉O的内接四边形，且∠A=110°，∠B=80°，则∠C= ，∠D= .
2．☉O的内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3 ，则∠D= .
70
100
90
练一练
1.判断
（1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等 （ ）
（2）相等的弦所对的圆周角也相等 （ ）
（3）900的角所对的弦是直径 （ ）
（4）同弦所对的圆周角相等 （ ）
√
×
×
×
练 习
2.如图，AB是☉O的直径, C 、D是圆上的两点,∠ABD=40°,则∠BCD=＿＿＿_.
50°
3.已知△ABC的三个顶点在☉O上,∠BAC=50°,∠ABC=47°
,则∠AOB= ．
A
B
O
C
D
第2题
B
A
C
O
第3题
166°
4.如图，已知圆心角∠AOB=100°,则圆周角∠ACB= ，
∠ADB= .
D
A
O
C
B
130°
50°
拓展提升：如图，在△ABC中，AB=AC,
以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E,
(1)BD与CD的大小有什么关系 为什么
(2)求证： .
A
B
C
D
E
∵AB是圆的直径，点D在圆上，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD,
AD平分顶角∠BAC，即∠BAD=∠CAD，
（同圆或等圆中相等的圆周角所对弧相等）.
解:BD=CD.理由是:连接AD,
圆心角
类比
圆周角
圆周角定义
圆周角定理
圆周角定理的推论
小 结
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等.
1.90°的圆周角所对的弦是直径；
2.圆内接四边形的对角互补.
1.顶点在圆上，2.两边都与圆相交的角（二者必须同时具备）
圆周角与直
线的关系
半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）.