华东师大版九年级数学下册 27.2.3 .2切线课件(共23张PPT)

(共23张PPT)
27.2.3 切线（2）
1.掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算
与证明.（重点）
2.了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念.
3.学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想.
（难点）
学习目标
情境引入
同学们玩过空竹和悠悠球吗？在空竹和悠悠球的旋转的那一瞬间，你能从中抽象出什么样数学图形？
P
1.切线长的定义：
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做切线长．
A
O
①切线是直线，不能度量.
②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．
2.切线长与切线的区别在哪里？
切线长定理
概念学习
思考：PA为☉O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B．
OB是☉O的一条半径吗？
PB是☉O的切线吗？
（利用图形轴对称性解释）
PA、PB有何关系？
∠APO和∠BPO有何关系？
O.
P
A
B
B
P
O
A
切线长定理:
过圆外一点引所画的圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分则两条切线的夹角.
PA、PB分别切☉O于A、B
PA = PB
∠OPA=∠OPB
几何语言:
切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法.
注意
知识要点
O.
P
A
B
已知，如图PA、PB是☉O的两条切线，A、B为切点.
求证：PA=PB，∠APO=∠BPO.
做一做
证明：∵PA切☉O于点A，
∴ OA⊥PA.
同理可得OB⊥PB.
∵OA=OB，OP=OP，
∴Rt△OAP≌Rt△OBP，
∴PA=PB，∠APO=∠BPO.
1.PA、PB是☉O的两条切线，A、B为切点，直线OP交☉O于点D、E，交AB于C.
（1）写出图中所有的垂直关系；
OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP.
（3）写出图中所有的全等三角形；
△AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP.
（4）写出图中所有的等腰三角形.
△ABP △AOB
（2）写出图中与∠OAC相等的角；
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC.
B
P
O
A
C
E
D
练一练
B
P
O
A
2.PA、PB是☉O的两条切线，A,B是切点，OA=3.
（1）若AP=4,则OP= ;
（2）若∠BPA=60 °,则OP= .
5
6
3.如图，PA、PB是☉O的两条切线，点A、B是切点，在弧AB上任取一点C，过点C作☉O的切线，分别交PA、PB于点D、E.已知PA=7，∠P=40°.则
⑵ ∠DOE= .
⑴ △PDE的周长是 ；
14
O
P
A
B
C
E
D
70°
解析：连接OA、OB、OC、OD和OE.∵PA、PB是☉O的两条切线，点A、B是切点，∴PA=PB=7.∠PAO=∠PBO=90°. ∠AOB=360°-∠PAO-∠PBO-∠P=140°.
又∵DC、DA是☉O的两条切线，点C、A是切点，∴DC=DA.同理可得CE=CB.
S△PDE=PD+DE+PE=PD+DC+CE+PE=PA+PB=14.
O
P
A
B
C
E
D
∵OA=OC，OD=OD，∴△AOD≌△COD，
∴∠DOC=∠DOA= ∠AOC.
同理可得∠COE= ∠COB.
∠DOE=∠DOC+∠COE= （∠AOC+
∠COB）=70°.
切线长问题辅助线添加方法：
（1）分别连接圆心和切点；
（2）连接两切点；
（3）连接圆心和圆外一点.
方法归纳
问题1 一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，使截出的圆与三角形各边都相切呢？
A
B
C
A
B
C
三角形的内切圆、内心
互动探究
问题2 如何作圆，使它和已知三角形的各边都相切？
已知：△ABC.
求作：和△ABC的各边都相切的圆.
M
N
D
作法：
1.作∠B和∠C的平分线BM和CN，交点为O.
2.过点O作OD⊥BC.垂足为D.
3.以O为圆心，OD为半径作圆O.
☉O就是所求的圆.
1.与三角形各边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆.
2.三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.
3.这个三角形叫做这个圆的外切三角形.
4.三角形的内心就是三角形三条角平分线的交点.
B
┐
A
C
I
┐
┐
D
E
F
三角形的内心到三角形的三边的距离相等.
☉O是△ABC的内切圆，点O是△ABC的内心，△ABC是☉O的外切三角形.
知识要点
名称 确定方法 图形 性质
外心：三角形外接圆的圆心
内心：三角形内切圆的圆心
三角形三边
中垂线的交
点
1.OA=OB=OC
2.外心不一定在三角形的内部．
三角形三条
角平分线的
交点
1.到三边的距离相等；
2.OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB
3.内心在三角形内部．
A
B
O
A
B
C
O
填一填
例1 △ABC的内切圆☉O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求AF、BD、CE的长.
想一想：图中你能找出哪些相等的线段？理由是什么？
A
C
B
E
D
F
O
解:
设AF=xcm，则AE=xcm.
∴CE=CD=AC-AE=9-x(cm)，
BF=BD=AB-AF=13-x(cm).
由 BD+CD=BC，可得
(13-x)+(9-x)=14，
∴ AF=4(cm)，BD=9(cm)，CE=5(cm).
方法小结：关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.
解得 x=4.
20 °
4
110 °
A
1.如图，PA、PB是☉O的两条切线，切点分别是A、B，如果AP=4, ∠APB= 40 ° ,则∠APO= ,PB= .
B
P
O
A
第1题
2.如图，已知点O是△ABC 的内心，且∠ABC= 60 °, ∠ACB= 80 °,则∠BOC= .
B
C
O
第2题
练 习
3.如图，PA、PB是☉O的两条切线，切点为A、B,∠P= 50 °，点C是☉O上异于A、B的点，则∠ACB= .
65 °或115 °
B
P
O
A
第3题
4.△ABC的内切圆☉O与三边分别切于D、E、F三点，如图，已知AF=3,BD+CE=12,则△ABC的周长是 .
A
B
C
F
E
D
O
第4题
30
拓展提升：
直角三角形的两直角边分别是3cm ,4cm,试问：
（1）它的外接圆半径是 cm;内切圆半径是 cm？
（2）若移动点O的位置，使☉O保持与△ABC的边AC、BC都相切，求☉O的半径r的取值范围.
·
A
B
C
E
D
F
O
5
1
解：如图所示，设与BC、AC相切的最大圆与BC、AC的切点分别为B、D,连接OB、OD,则四边形BODC为正方形.
·
A
B
O
D
C
∴OB＝BC＝3，
∴半径r的取值范围为0＜r≤3.
切线长
切线长定理
作用
图形的轴对称性
原理
提供了证线段和
角相等的新方法
辅助线
分别连接圆心和切点；
连接两切点；
连接圆心和圆外一点.
三角形内切圆
运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.
有关概念
内心概念及性质
应用
小结