《函数的极值》
题型一 函数极值(极值点)的辨析（图像与极值的关系）
1．已知函数在内可导，设，函数在处取得极值.则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】由题意，对于函数在内可导，导数为0的点不一定是极值点，但极值点一定是导数为0的点，所以命题推不出命题，命题推出命题，
所以是的必要不充分条件，故选：B.
2．已知函数的定义域为，导函数在区间上的图象如图所示，则函数在区间上的极大值点的个数为
【解析】极大值点在导函数的零点处，且满足零点的左侧为正，右侧为负，由导函数的图象可知极大值点共有3个.
3．已知函数的导函数的图象如图所示，则（ ）
A．为的极大值点 B．为的极大值点
C．为的极大值点 D．为的极小值点
【解析】设函数在相邻的右边的零点为：，显然.
由函数的导函数的图象可知：当时，，函数单调递减；
当时，，所以函数单调递增，因此为的极小值点，
当时，，所以函数单调递减，因此为的极大值点，当时，，所以函数单调递增，因此为的极小值点.故选：B
4．已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是( )
A． B．C．D．
【解析】由导函数的图象可知，当x＜0时，函数f（x）单调递减，排除A，B；
由f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，）单调递增，因此当x＝0时，f（x）有极小值，所以D正确.
5．（多选题）如图是y= 的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（ ）
A．当x=﹣1时，取得极小值 B． 在[﹣2，1]上是增函数
C．当x=1时，取得极大值 D． 在[﹣1，2]上是增函数，在[2，4]上是减函数
【解析】导函数的图象可知，
当﹣2当﹣10，则单调递增，当x=2时，=0，
当2当x>4时，>0，则单调递增，
所以当x=﹣1时，取得极小值，故选项A正确；
在[﹣2，1]上是有减有增函数，故选项B错误；
当x=2时，取得极大值，故选项C错误；
在[﹣1，2]上是增函数，在[2，4]上是减函数，故选项D正确.
故选：AD.
6．（多选题）函数的定义域为R，它的导函数的部分图象如图所示，则下面结论正确的是（ ）
A．在上函数为增函数 B．在上函数为增函数
C．在上函数有极大值 D．是函数在区间上的极小值点
【解析】由图象可知在区间和上，递增；在区间上，递减.所以A选项正确，B选项错误.
在区间上，有极大值为，C选项正确.
在区间上，是的极小值点，D选项错误.
故选：AC
7．设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题意可得，而且当时，，此时，排除B、D；当时，，此时，，若，，
所以函数的图象可能是C．故选：C
8．函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由，可排除C项；
因为，当时，，
则在单调递增，排除B项；
令，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以当时，函数取得极大值，且.
当时，，
所以A项符合题意，D项错误.
故选：A.
题型二 求函数极值
1．求下列函数的极值：
（1） （2）；
（3） （4）
【解析】（1），则，
∴时，，单调递减；时，，单调递增；
∴有极小值，无极大值.
（2），则有，
∴时，，单调递增；时，，单调递减；时，，单调递增；
∴极大值，极小值.
（3），则有，
∴时，，单调递增；时，，单调递减；
时，，单调递增；
∴极大值，极小值.
（4），则有，
∴时，，单调递减；时，，单调递增； 时，，单调递减；
∴极小值，极大值.
2．求下列函数的极值．
（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）∵，令，即，解得，．
当x变化时，，的变化情况如下表所示：
x 3
＋ 0 0 ＋
极大值 极小值
∴由上表可知，函数的极大值为；函数的极小值为．
（2），
令，即，解得，，，
当x变化时，与的变化情况如下表所示：
x 0 3 5
＋ 0 ＋ 0 0 ＋
无极值 极大值 极小值
由上表可知的极大值为；的极小值为．
（3）由题意，，，令，得或(舍去)，
当时，；当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
从而函数有极小值，无极大值．
3．求下列函数的极值：
（1）；（2）
【解析】（1）因为，
所以，
由可得，由可得，
所以在单调递减，在上单调递增，
所以时，取得极小值为，无极大值；
（2）函数的定义域为，，
由可得，由可得，
所以在单调递减，在上单调递增，
所以时，取得极小值为，无极大值.
4．求下列函数的极值．
(1)；(2).
【解析】(1)函数的定义域是，，令，
解得或，
当变化时，、的变化情况如下表：
0 0
极大值 极小值
由表可知，函数的极大值为；的极小值为.
(2)函数的定义域为，，令，得.
当变化时，、的变化情况如下表：
0
极小值
由表可知，的极小值为，且没有极大值．
5．已知，曲线在点处的切线方程为，求的极大值
【解析】因为曲线在点处的切线方程为，
所以，，进而可得，解得，
故，
由，解得或；由，解得.
故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
故在处取得极大值，且的极大值为.
6．已知函数在点处的切线的斜率为2.
（1）求a的值；（2）求函数的单调区间和极值.
【解析】（1）∵，∴
∵函数在点处的切线的斜率为2，∴，
∴，∴；
（2）由（1）得，，
∴令即，解得，
∴当时，，递减；
当时，，递增.
极小值为，无极大值.
7．已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的极值.
【解析】（1）的定义域为，，可得，.故所求切线方程为，即.
（2）的定义域为，，令解得，
当变化时，、的变化情况如下表：
x
－ 0 ＋
减 增
所以函数的极小值为，无极大值.
8．已知函数.
（1）求的单调区间；（2）讨论的零点个数.
【解析】（1）因为，所以
由，得或；由，得.
故的单调递增区间是和，单调递减区间是.
（2）由（1）可知的极小值是，极大值是.
①当时，方程有且仅有1个实根，即有1个零点；
②当时，方程有2个不同实根，即有2个零点；
③当时，方程有3个不同实根，即有3个零点；
④当时，方程有2个不同实根，即有2个零点；
⑤当时，方程有1个实根，即有1个零点.
综上，当或时，有1个零点；当或时，有2个零点；当时，有3个零点.
9．已知函数．
（1）列表求函数的极值；
（2）若关于的方程有3个实根，求实数的取值范围．
【解析】（1）∵，∴，
令，解得或，列表如下：
（﹣∞，﹣1） ﹣1 （﹣1，1） 1 （1，+∞）
+ 0 ﹣ 0 +
增 极大值 减 极小值 增
当时，有极大值；当时，有极小值．
（2）要有3个实根，由（1）知：，即，
∴的取值范围是．
10．已知函数.
（1）求的极值；（2）若恒成立，求a的取值范围.
【解析】（1）由题得的定义域为..
当时，在上单调递减，无极值.
当时，由，得，
当时，在上单调递增.
当时，在上单调递减.在处取得极大值，无极小值..
综上所述，当时，无极值；当时，有极大值，极大值为，无极小值.
（2）若恒成立，即恒成立，
就是恒成立.
设.则.
令，得，.
当时，在上单调递增；当时， 在上单调递减.
∴.∴a的取值范围为.
题型三 已知极值（点）求参数（取值范围）
1．已知函数在处取得极值0，则
【解析】，，
根据题意：，，
解得或，
当时，，函数单调递增，无极值点，舍去.
当时，，
在和时，，函数单调递增；
在时，，函数单调递减，故函数在出有极小值，满足条件.
综上所述：.
2．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处的极值为10，则数对(a，b)为（ ）
A．(－3,3) B．(－11,4) C．(4，－11) D．(－3,3)或(4，－11)
【解析】f′(x)＝3x2＋2ax＋b，依题意可得即
解得或
当时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，这时f(x)无极值，不合题意，
所以数对为(4,-11)，选项C正确.
3．已知函数在处取得极小值，则________，的极大值是_______.
【解析】由题意知，，解得，，，令，解得或，令，解得，则函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减，所以函数的极大值为.
故答案为：0；．
4．已知函数，当时函数的极值为，则__________.
【解析】，由题意知，，
即解得所以f(x)=x3+x2+x.所以f（2）=.
5．已知有极大值和极小值，则的取值范围为
【解析】由可得，
因为有极大值和极小值，所以有两个不相等的实数根，
所以，即，解得：或，
所以的取值范围为，
6．已知f(x)＝x3＋(a－1)x2＋x＋1没有极值，则实数a的取值范围是
【解析】由得，
根据题意得，解得．
7．若函数在上无极值，则实数的取值范围
【解析】由可得
，
恒成立，为开口向上的抛物线，
若函数在上无极值，
则恒成立，所以，
解得：，所以实数的取值范围为
8．若函数存在极值点，则的取值范围是
【解析】依题意函数存在极值点，其导函数的，解得或.
9．若函数在区间内有极值点，则实数的取值范围是
【解析】因为，所以，
因为函数在区间内有极值点等价于导函数的图象在区间上有变号零点，结合，
所以解得.
10．已知函数，有两个极值点，则实数的取值范围是
【解析】,
因为有两个极值点，故有两个变号零点，
故在上有两个不同的解，故，所以，
11．函数在上有且仅有一个极值点，则实数的取值范围是
【解析】因为，所以，
函数在上有且仅有一个极值点，
在上只有一个变号零点.令，得.
设在单调递减，在上单调递增，，
又，得当，在上只有一个变号零点.
12．已知函数有且只有一个极值点，则实数的取值范围为
【解析】易知函数的导数，
令，得，即．
设，则，
当时，或，所以函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增．因为函数有且只有一个极值点，所以直线与函数的图象有一个交点，作出的图象如图所示．由图得或．当时，恒成立，所以无极值，所以．
13．已知函数在区间上存在极值，则实数的取值范围是_________．
【解析】因为，则.
当时，，当时，.
所以，函数存在唯一的极大值点.
由题意可得，解得.故答案为：.
14．已知函数在区间上有3个不同的极值点，则实数a的取值范围是__________.
【解析】.因为在上有3个不同的极值点，
所以在上有3个不同的实根，
所以在上有2个不同的实根（且不等于1）.
由，得.令，则，
显然函数在单调递减，在单调递增.
又，因为，所以.
15．已知函数有两个极值点，则实数m的取值范围为___________.
【解析】的定义域为，.
要使函数有两个极值点，
只需有两个不同正根，并且在的两侧的单调性相反，在的两侧的单调性相反.由得，.
令，，要使函数有两个极值点，只需和有两个交点.
，令得：x>1；令得：0所以在上单减，在上单增.
当时，；当时，；
作出和的图像如图，
所以-116．已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.
（1）求f(x)的单调区间；
（2）若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图像有三个不同的交点，求m的取值范围.
【解析】(1)f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，
当a<0时，对x∈R，有f′(x)>0，
∴当a<0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)．
当a>0时，由f′(x)>0，解得x<－或x>.由f′(x)<0，解得－∴当a>0时，f(x)的单调增区间为(－∞，－)，(，＋∞)，单调减区间为(－，)．
(2)∵f(x)在x＝－1处取得极值，∴f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，
∴a＝1.∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3，由f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝1.
由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，
在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.
∵直线y＝m与函数y＝f(x)的图像有三个不同的交点，结合如图所示f(x)的图像可知：
实数m的取值范围是(－3,1)．
17．若函数在区间上有极值点，求实数的取值范围
【解析】由已知，显然，即或，
在上有极值点，则在上有解．，，
则，由勾形函数性质知在上递减，在上递增，
，，，∴．
综上．
18．若函数有两个不同的极值点，求实数的取值范围
【解析】因为函数有两个不同的极值点，
所以有个变号零点，
即有两个不等的实根，因为时显然不成立，所以，
可得，令，则与图象有两个不同的交点即可.
则，所以在和单调递减，在单调递增，故的图象如图所示：
当时，，由图知当时两个函数图象有个不同的交点，
可得原函数有两个极值点.所以实数的取值范围是
19．已知函数有两个极值点，求实数的取值范围
【解析】函数的定义域为R，，因为函数有两个极值点，
所以有两个不同的零点，
故关于x的方程有两个不同的解，
令，则，当时，，当时，，
所以函数在区间上单调递增，在区间(1,+∞)上单调递减，
又当时，；当时，，
且，故，即.
20．若函数在上有两个极值点，求实数的取值范围
【解析】由题意，令，可得.
函数在上有两个极值点，则需在上有两个不同的实数根，
等价于在上有两个不同的实数根，
也等价于直线与的图像在内有两个交点.
令，则.
令，可得在区间上为减函数，且.
所以当时，，故，在上为增函数，
当时，，故，在上为减函数，
所以.又，，
所以，所以.
21．已知函数有两个不同的极值点，求实数a的取值范围
【解析】由得，
因为函数有两个不同的极值点，
所以方程有两不等实根，即有两不等实根，
令，则与有两不同交点，
又，
令，则在上恒成立，
所以在上单调递减，又，
所以当上时，，即，所以单调递增；
当时，，即，所以单调递减；
所以，又时，；时，，所以为使与有两不同交点，只需.《函数的极值》
题型一 函数极值(极值点)的辨析（图像与极值的关系）
1．已知函数在内可导，设，函数在处取得极值.则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知函数的定义域为，导函数在区间上的图象如图所示，则函数在区间上的极大值点的个数为
3．已知函数的导函数的图象如图所示，则（ ）
A．为的极大值点 B．为的极大值点
C．为的极大值点 D．为的极小值点
4．已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是( )
A． B．C．D．
5．（多选题）如图是y= 的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（ ）
A．当x=﹣1时，取得极小值 B． 在[﹣2，1]上是增函数
C．当x=1时，取得极大值 D． 在[﹣1，2]上是增函数，在[2，4]上是减函数
6．（多选题）函数的定义域为R，它的导函数的部分图象如图所示，则下面结论正确的是（ ）
A．在上函数为增函数 B．在上函数为增函数
C．在上函数有极大值 D．是函数在区间上的极小值点
7．设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
8．函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
题型二 求函数极值
1．求下列函数的极值：
（1） （2）；
（3） （4）
2．求下列函数的极值．
（1）；（2）；（3）．
3．求下列函数的极值：
（1）；（2）
4．求下列函数的极值．
(1)；(2).
5．已知，曲线在点处的切线方程为，求的极大值
6．已知函数在点处的切线的斜率为2.
（1）求a的值；（2）求函数的单调区间和极值.
7．已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的极值.
8．已知函数.
（1）求的单调区间；（2）讨论的零点个数.
9．已知函数．
（1）列表求函数的极值；
（2）若关于的方程有3个实根，求实数的取值范围．
10．已知函数.
（1）求的极值；（2）若恒成立，求a的取值范围.
题型三 已知极值（点）求参数（取值范围）
1．已知函数在处取得极值0，则
2．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处的极值为10，则数对(a，b)为（ ）
A．(－3,3) B．(－11,4) C．(4，－11) D．(－3,3)或(4，－11)
3．已知函数在处取得极小值，则________，的极大值是_______.
4．已知函数，当时函数的极值为，则__________.
5．已知有极大值和极小值，则的取值范围为
6．已知f(x)＝x3＋(a－1)x2＋x＋1没有极值，则实数a的取值范围是
7．若函数在上无极值，则实数的取值范围
8．若函数存在极值点，则的取值范围是
9．若函数在区间内有极值点，则实数的取值范围是
10．已知函数，有两个极值点，则实数的取值范围是
11．函数在上有且仅有一个极值点，则实数的取值范围是
12．已知函数有且只有一个极值点，则实数的取值范围为
13．已知函数在区间上存在极值，则实数的取值范围是_________．
14．已知函数在区间上有3个不同的极值点，则实数a的取值范围是__________.
15．已知函数有两个极值点，则实数m的取值范围为___________.
16．已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.
（1）求f(x)的单调区间；（2）若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图像有三个不同的交点，求m的取值范围.
17．若函数在区间上有极值点，求实数的取值范围
18．若函数有两个不同的极值点，求实数的取值范围
19．已知函数有两个极值点，求实数的取值范围
20．若函数在上有两个极值点，求实数的取值范围
21．已知函数有两个不同的极值点，求实数a的取值范围
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