高中数学人教A版（2019） 选修二 第五章 一元函数的导数及其应用
一、单选题
1．（2021高三上·河南月考）已知函数 的图象在点 处的切线过点 ，则实数 的值为（ ）
A．3 B．-3 C．2 D．-2
【答案】A
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】因为 ，所以 ，又 ，所以函数 的图象在点 处的切线方程为 ，把点 代入，解得 .
故答案为：A.
【分析】 求得f (x)的导数，可得切线的斜率，再由两点的斜率公式解方程可得实数 的值 .
2．（2021·宁波模拟）已知 ，函数 在 处的切线与直线 平行，则 的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；基本不等式在最值问题中的应用；直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】【解答】因为 ，则 ，因为切点为 ，则切线的斜率为 ，又因为切线与直线 平行，所以 ，即 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，则 的最小值是4，
故答案为：C.
【分析】根据题意对函数求导，再把点的坐标代入导函数的解析式由此计算出切线的斜率，结合直线平行的性质计算出，然后整理化简原式再由基本不等式即可求出的最小值。
3．（2021高三上·福田月考）函数 在定义城 内可导，其函数图象如图所示.记 的导函数为 ，则不等式 的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】由图像可知函数的单调增区间为 ， ，
由原函数单调性和导函数正负的关系，可得 的解集为 。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合函数的图象，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出 的解集。
4．（2021高三上·湖州期中）已知 ，若 是函数 的极小值点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】由题意，显然 ，
因为 ，
所以 ，
因为 是函数 的极小值点，
所以 或 ，解得 或 ，
所以 ，即 。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极小值点，再利用 是函数 的极小值点， 从而求出a，b的关系式。
5．（2021高三上·广东月考）已知函数 ， ，若 都有 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：函数g(x)的导数g'(x)= 3x2-2x=x(3x-2)，
所以函数g(x)在上单调递减，则上单调递增，
，g(2)=8-4-5=-1，
若对任意的，都有f(x1)-g(x2)≥2成立，
即当时，f(x)≥1恒成立，即恒成立，
即a≥x- x2·lnx在上恒成立，令h(x)=x- x2·lnx，h'(x)=1-2xlnx-x，h"(x)=-3-2lnx，
当在时，h"(x)=-3-2lnx<0，即h'(x)=-1-2xlnx-x在上单调递减，
由于h'(1)=0，当时，h'(x)>0，当1≤x≤2时，h'(x)<0，
所以h(x)≤h(1)=1，
所以a≥1，
故a的取值范围是a≥1.
故答案为：B
【分析】根据化归思想，将不等式成立问题等价转化为求函数的最值问题，再利用导数研究函数的单调性、最值求解即可.
6．（2020高二上·保定期末）已知函数 ，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解： 的定义域为 ，
且 ，
故 为 上的偶函数，
，
当 时， ，
故 在 上单调递增，
故当 时， ，
故 在 上单调递增，
对A， ，
且 ，
故 ，
即 ，A不符合题意；
对B， ，
故 ，
即 ，B不符合题意；
对C， ，
故 ，C不符合题意；
对D， ，
又 ，
故 ，
即 ，D符合题意.
故答案为：D
【分析】由 得 为 上的偶函数， ，当 时， ，故 在 上单调递增，故当 时， ，故 在 上单调递增，逐项进行分析可得答案。
7．（2021高三上·赣州期中）已知定义在 上的函数 满足 且有 ，则 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性；不等式的综合
【解析】【解答】设 ，则 ，
因为 ，所以 ，所以 是 上的增函数，
，不等式 即为 ，即 ，
所以 ，
故答案为：D．
【分析】根据题意构造函数，对其求导由导函数的性质即可得到函数的g(x)的单调性，由此即可得到不等式，整理化简结合函数的单调性即可求出x的取值范围，由此即可求出不等式的解集。
8．（2021·许昌模拟）已知函数 ，其中 是自然对数的底数，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】∵
∴
又 ，
∴ 函数 为奇函数，
又 ，且仅 时 ，
∴ 函数 在R上为增函数，
∴ 函数 为R上的增函数，
不等式 可化为 ，
∴
∴
∴ 或 ，
∴ 实数 的取值范围是 ，
故答案为：D.
【分析】 记，易知 为奇函数，求导后利用基本不等式可知在R上单调递增，则原不等式可转化为，解该不等式即可求出实数 的取值范围.
二、多选题
9．（2021高三上·湖北期中）已知函数 ，下列结论成立的是（ ）
A．函数 在定义域内无极值
B．函数 在点 处的切线方程为
C．函数 在定义域内有且仅有一个零点
D．函数 在定义域内有两个零点 ， ，且
【答案】A,B,D
【知识点】对数函数的概念与表示；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系；函数的零点
【解析】【解答】A，函数 定义域为 ，
，
在 和 上单调递增，则函数 在定义域内无极值，A符合题意；
B，由 ，则 ，
又 ，
函数 在点 处的切线方程为
即 ，B符合题意；
C， 在 上单调递增，
又 ， ，
所以函数 在 存在 ，使 ，
又 ，即 ，
且 ，
即 为函数 的一个零点，所以函数 在定义域内有两个零点，C不符合题意.
D，由C可得 ，所以 ，D符合题意.
故答案为：ABD
【分析】根据题意对函数求导，由导函数的性质即可得出函数的单调性，再结合极值的定义即可判断出选项A正确；把点的坐标代入到导函数的解析式计算出切线的斜率，再由点斜式即可求出直线的方程，进而判断出选项B正确；结合题意由零点存在性定理即可得证出选项C错误；由零点的定义，代入数值计算出结果由此判断出选项D正确，由此即可得出答案。
10．（2021·南平模拟）定义在 上的函数 的导函数为 ，且 恒成立，则必有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】设函数 ， ，因为
则 ，
所以 在 上单调递减，从而 ，
即 ，
则必有 ， ， ， .
又 在 上单调递减，所以x>0时， ，
所以x>0时， ，又 ，所以 .
故答案为：ACD.
【分析】根据题意构造函数，对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可得出函数值的大小关系，再由已知条件对选项逐一判断即可得出答案。
11．（2021高三上·苏州月考）已知函数 ， ，下列结论正确的是（ ）
A．函数 在 上单调递减
B．函数 的最小值为2
C．若 ， 分别是曲线 和 上的动点，则 的最小值为
D．若 对 恒成立，则
【答案】A,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】由函数 ，则 ，可得 在 上恒成立，则 在 上单调递增，而 ，故 在 上恒成立，即 在 上单调递减，A符合题意；
因为 ，故存在 ，使得 ，所以 ，解得 ，所以当 时， ，即函数 单调递减，
当 时， ，即函数 单调递增，
所以 ，因为 ，所以 ，B不符合题意；
对于C，曲线 与直线 相切于点 ，函数 与直线 相切于点 ，则 的最小值为 ，C符合题意；
对于D，若 对 恒成立，
则 对 恒成立，即 ，
可设 ，易可知 在 上单调递增，
则 可化为 ，即 ，
可设 ，易可知 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以当 时， ，则 ，解得 ，
又因为 ，所以 ，D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】 构造函数，对函数h (x)连续两次求导，可知h(x)= f(x)- g(x)在上单调递减，利用零点存在性定理可知存在，使得，进而判断其单调性，由此可知h (x )的最值情况，由函数f (x)与函数g (x)的图象关于直线y = x对称，结合导数的几何意义可得|PQ|的最小值为 ，依题意可得， 通过构造函数，利用导数可求得m的取值范围.
12．（2021高三上·龙岗期中）已知函数 （ 为自然对数的底数），过点 作曲线 的切线.下列说法正确的是（ ）
A．当 时，若只能作两条切线，则
B．当 ， 时，则可作三条切线
C．当 时，可作三条切线，则
D．当 ， 时，有且只有一条切线
【答案】A,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】设切点为 ，由 可得 ，
所以在点 处的切线的斜率为 ，
所以在点 处的切线为： ，
因为切线过点 ，所以 ，即 ，
设 ，
则 ，
当 时，
，由 可得 ，由 可得： 或 ，
所以 在 和 上单调递减，在 上单调递增，
， ，当 趋近于 时， 趋近于 ，
对于A：当 时，若只能作两条切线，则 与 图象有两个交点，由图知 ， A符合题意；
对于B：当 ， 时， 与 图象有一个交点，此时只能作一条切线，B不正确；
对于C： ，当 时，
由 可得 ，由 可得： 或 ，
所以 在 和 上单调递减，在 上单调递增，
极小值 ， 极大值 ，
若可作三条切线，则 与 图象有三个交点，所以 ，
C符合题意；
对于D：当 时， ，所以 单调递减，
当 趋近于 时， 趋近于 ，当 趋近于 时， 趋近于 ，
此时 与 图象有一个交点，所以有且只有一条切线，D符合题意；
故答案为：ACD.
【分析】设切点为 ，由 求导可得 ，可得点 处的切线的斜率，再利用点斜式可得在点 处的切线，设 ，求导，根据导数符号可得在 ，， 上单调性，进而求出极值，作出图像，数形结合，逐项进行判断，可得答案。
三、填空题
13．（2021高三上·陕西月考）曲线 在 上的最大值为 .
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】因为 ，所以 ，
因此 时， ，所以函数 单调递增； 时， ，所以函数 单调递减；
因此当 时，函数 取得最大值，最大值为 ，
故答案为： .
【分析】根据题意对函数求导，由导函数的性质即可得出函数的单调性，然后由函数的单调性即可求出函数的最大值。
14．（2021高三上·南开期中）曲线 在 处的切线方程为 ；若该切线也是曲线 的切线，则 .
【答案】y=x+1；2
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】由 求导得： ，则曲线 在 处的切线斜率为 ，而切点为 ，所以，所求切线方程为y=x+1；
设直线 与曲线 相切的切点为 ，由 求导得： ，
于是得 ， ，显然有 ，即 ， ，解得 。
故答案为：y=x+1；2。
【分析】利用已知条件结合求导的方法求出曲线在切点处的切线的斜率，再利用切点的横坐标结合代入法得出切点的纵坐标，进而求出切点坐标，再利用点斜式球出曲线 在 处的切线方程； 利用已知条件结合求导的方法求出曲线在切点处的切线的斜率，再利用切点的横坐标结合代入法得出切点的纵坐标，进而求出切点坐标，再利用点斜式球出曲线 在 处的切线方程，再结合该切线也是曲线 的切线，从而求出实数b的值。
15．（2021高三上·河南月考）若存在 ，使得 成立，则实数 的取值范围是 .
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】设 ，因为 ，所以 .
令 ，则 ，
则 在 上单调递增，故 .
由题可知 ，解得 ，
所以 的取值范围是 。
故答案为： 。
【分析】设 ，利用 结合指数函数的单调性，从而得出实数t的取值范围，令 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最大值，再利用已知条件求出实数 的取值范围。
16．（2020高二上·保定期末）设函数 若函数 有两个零点，则实数b的取值集合为 ．
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：当 时，函数 单调递增；
当 时， ，则 时， ，
所以当 时， ， 时， ，
故当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 在 处取极小值，极小值为 ；
作出函数 的图象如图：
因为函数 有两个零点，
所以函数 与 有两个交点，
所以当 时函数 与 有两个交点，
所以实数b的取值集合为
故答案为：
【分析】当 时，函数 单调递增；当 时， ，则 时， ，讨论x的范围，可得的符号，得出的单调性，进而得出的极小值，作出函数 的图象，由函数 有两个零点，得 时函数 与 有两个交点，即可求出实数b的取值集合。
四、解答题
17．（2021高三上·福田月考）已知函数 在 处的切线与直线 平行.
（1）求实数 的值；
（2）若关于 的方程 在 上恰有两个不相等的实数根，求实数 的取值范围.
【答案】（1）函数 的导数为 ，
即有在 处的切线 的斜率为 ，
由切线 与直线 平行，
即有 ，解得 ；
（2）关于 的方程 在 上恰有两个不相等的实数根，
即有 在 上恰有两个不相等的实数根.
令 ，
，
当 时， ， 递减，当 时， ， 递增.
即有 处 取得最小值，且为 ，
又 ， ，
，
∴ ，解得 .
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；用斜率判定两直线平行
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合求导的方法求出函数在切点处的切线的斜率，再利用两直线平行斜率相等，从而求出实数a的值。
（2） 关于 的方程 在 上恰有两个不相等的实数根，即 在 上恰有两个不相等的实数根，令 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最小值，即在 处 取得最小值且为 ，再利用代入法得出 ， 的值从而得出，从而求出实数m的取值范围。
18．（2021高三上·南宁月考）已知函数 ．
（1）若 ，其中 为自然对数的底数，求函数 的单调区间；
（2）若函数 既有极大值，又有极小值，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ，
由 知，
设 ，
则 ， ，
∴ ，∴ 在 上单调递增，观察知 ，
∴当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增．
（2） ， ，
由 ，得 ．
设 ，则 ，由 ，得 ．
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增．
∴ ．
又 时 ， 时 ，
∴ ，这是必要条件．
检验：当 时， 既无极大值，也无极小值；当 时，满足题意；当 时， 只有一个极值点，舍去；当 时，则 ，则 ．
综上，符合题意的 的范围为 且 且 ．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】 (1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
(2)求出f (x)的导数，得 ，设 ，根据函数的单调性求出h(x)的最小值，从而求出a的范围即可.
19．（2021高二下·烟台期末）已知函数 ， ．
（1）若 的定义域为 ，求 的取值范围；
（2）若不等式 有解，求 的取值范围．
【答案】（1）要使 的定义域为 ，只需 在 上恒成立．
令 ，只需 在 上恒成立．
当 ，即 时， 在 单增，恒有 ，
因此，对任意 均成立．
当 ，即 时， 在 单减， 单增，只需 ，
即 ，解得 ，所以 ．
综上， 的取值范围为 ．
（2）若不等式 有解，即 ，
可得 有解．
因为当 时， ，所以，对任意实数 ，总存在 ，
使得 ，即 有解．
由 可得， ．
令 ， ， ，
显然当 时，函数单调递增，当 时，函数单调递减，
所以当 时， 取最大值-2，
所以 ，即 ．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】 (1)将问题转化为 在 上恒成立，分 和 两种情况，利用函数的单调性求解函数的取值范围，进而研究k的取值范围即可；
(2)将问题转化为 有解 ，当 时， ，则可得 有解，由 可得， 有解， 令 ，然后研究函数 的单调性，求解最大值，即可得到答案.
20．（2021高二下·烟台期末）已知函数 ．
（1）求 的单调区间；
（2）令 ，对任意 ， ．求 的取值范围．
【答案】（1） ，
令 ，得 ；令 ，得 ．
所以 的单调增区间为 ，单调减区间为 ．
（2）由题意知 ．
于是 ，
由（1）知，在 上， 单调道减，且 ，
当 时， ，函数 在 上单调递减，取 ，显然 ，
但 ，因此， 不合题意．
当 时，结合（1）中 的单调性知，存在 ，得 ，
此时 在 上单调递减，在 上单调递增，所以
，
解得 ，即 ；
当 时， ，函数 在 上单调道增， ，
解得 ，即 ；
综上所述，a的取值范围 ．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】 (1)求出f (x)的导函数，通过判断f' (x )的正负，判断f (x )的单调区间；
(2)对参数a进行分类，讨论g (x )的单调性.
21．（2021高三上·深圳月考）已知函数 ．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若对任意的 ，都有 成立，求 的取值范围．
【答案】（1）解：由已知定义域为 ，
当 ，即 时， 恒成立，则 在 上单调递增；
当 ，即 时， （舍）或 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
所以 时， 在 上单调递增；
时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
（2）由（1）可知，当 时， 在 上单调递增，若 对任意的 恒成立，只需 ，而 恒成立，所以 成立；
当 时，若 ，即 ，则 在 上单调递增，又 ，所以 成立；
若 ，则 在 上单调递减，在 上单调递增，又 ，所以 ， ，不满足 对任意的 恒成立.
所以综上所述： .
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合求导的方法判断函数的单调性，从而讨论出函数的单调性。
（2） 由（1）结合不等式恒成立问题求解方法，再利用分类讨论的方法结合函数的单调性，从而求出函数的值域，进而求出满足要求的实数a的取值范围。
22．（2021高三上·山东月考）已知函数 ．
（1）求函数 的极值点；
（2）若 在 上单调递减，求实数 的取值范围．
【答案】（1）解：定义域 ，
令 ，得 ，
列表如下：
－ 0 ＋
递减 极小值 递增
所以， 的极小值点是 ，无极大值点
（2）解： ，
在 上单调递减
在 上恒成立
在 恒成立
，
令 ，
在 上恒成立
在 上单调递减
实数 的取值范围是 ．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值点。
（2）利用函数f(x)的解析式求出函数 的解析式，再利用求导的方法判断函数的单调性，再结合 在 上单调递减， 从而得出 在 上恒成立，所以 在 恒成立，再利用求导的方法求出函数 ， 的单调性，从而求出函数，的最大值，再结合不等式恒成立问题求解方法，从而求出实数m的取值范围。
1 / 1高中数学人教A版（2019） 选修二 第五章 一元函数的导数及其应用
一、单选题
1．（2021高三上·河南月考）已知函数 的图象在点 处的切线过点 ，则实数 的值为（ ）
A．3 B．-3 C．2 D．-2
2．（2021·宁波模拟）已知 ，函数 在 处的切线与直线 平行，则 的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2021高三上·福田月考）函数 在定义城 内可导，其函数图象如图所示.记 的导函数为 ，则不等式 的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2021高三上·湖州期中）已知 ，若 是函数 的极小值点，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2021高三上·广东月考）已知函数 ， ，若 都有 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（2020高二上·保定期末）已知函数 ，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2021高三上·赣州期中）已知定义在 上的函数 满足 且有 ，则 的解集为（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·许昌模拟）已知函数 ，其中 是自然对数的底数，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（2021高三上·湖北期中）已知函数 ，下列结论成立的是（ ）
A．函数 在定义域内无极值
B．函数 在点 处的切线方程为
C．函数 在定义域内有且仅有一个零点
D．函数 在定义域内有两个零点 ， ，且
10．（2021·南平模拟）定义在 上的函数 的导函数为 ，且 恒成立，则必有（ ）
A． B．
C． D．
11．（2021高三上·苏州月考）已知函数 ， ，下列结论正确的是（ ）
A．函数 在 上单调递减
B．函数 的最小值为2
C．若 ， 分别是曲线 和 上的动点，则 的最小值为
D．若 对 恒成立，则
12．（2021高三上·龙岗期中）已知函数 （ 为自然对数的底数），过点 作曲线 的切线.下列说法正确的是（ ）
A．当 时，若只能作两条切线，则
B．当 ， 时，则可作三条切线
C．当 时，可作三条切线，则
D．当 ， 时，有且只有一条切线
三、填空题
13．（2021高三上·陕西月考）曲线 在 上的最大值为 .
14．（2021高三上·南开期中）曲线 在 处的切线方程为 ；若该切线也是曲线 的切线，则 .
15．（2021高三上·河南月考）若存在 ，使得 成立，则实数 的取值范围是 .
16．（2020高二上·保定期末）设函数 若函数 有两个零点，则实数b的取值集合为 ．
四、解答题
17．（2021高三上·福田月考）已知函数 在 处的切线与直线 平行.
（1）求实数 的值；
（2）若关于 的方程 在 上恰有两个不相等的实数根，求实数 的取值范围.
18．（2021高三上·南宁月考）已知函数 ．
（1）若 ，其中 为自然对数的底数，求函数 的单调区间；
（2）若函数 既有极大值，又有极小值，求实数 的取值范围．
19．（2021高二下·烟台期末）已知函数 ， ．
（1）若 的定义域为 ，求 的取值范围；
（2）若不等式 有解，求 的取值范围．
20．（2021高二下·烟台期末）已知函数 ．
（1）求 的单调区间；
（2）令 ，对任意 ， ．求 的取值范围．
21．（2021高三上·深圳月考）已知函数 ．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若对任意的 ，都有 成立，求 的取值范围．
22．（2021高三上·山东月考）已知函数 ．
（1）求函数 的极值点；
（2）若 在 上单调递减，求实数 的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】因为 ，所以 ，又 ，所以函数 的图象在点 处的切线方程为 ，把点 代入，解得 .
故答案为：A.
【分析】 求得f (x)的导数，可得切线的斜率，再由两点的斜率公式解方程可得实数 的值 .
2．【答案】C
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；基本不等式在最值问题中的应用；直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】【解答】因为 ，则 ，因为切点为 ，则切线的斜率为 ，又因为切线与直线 平行，所以 ，即 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，则 的最小值是4，
故答案为：C.
【分析】根据题意对函数求导，再把点的坐标代入导函数的解析式由此计算出切线的斜率，结合直线平行的性质计算出，然后整理化简原式再由基本不等式即可求出的最小值。
3．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】由图像可知函数的单调增区间为 ， ，
由原函数单调性和导函数正负的关系，可得 的解集为 。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合函数的图象，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出 的解集。
4．【答案】D
【知识点】函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】由题意，显然 ，
因为 ，
所以 ，
因为 是函数 的极小值点，
所以 或 ，解得 或 ，
所以 ，即 。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极小值点，再利用 是函数 的极小值点， 从而求出a，b的关系式。
5．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：函数g(x)的导数g'(x)= 3x2-2x=x(3x-2)，
所以函数g(x)在上单调递减，则上单调递增，
，g(2)=8-4-5=-1，
若对任意的，都有f(x1)-g(x2)≥2成立，
即当时，f(x)≥1恒成立，即恒成立，
即a≥x- x2·lnx在上恒成立，令h(x)=x- x2·lnx，h'(x)=1-2xlnx-x，h"(x)=-3-2lnx，
当在时，h"(x)=-3-2lnx<0，即h'(x)=-1-2xlnx-x在上单调递减，
由于h'(1)=0，当时，h'(x)>0，当1≤x≤2时，h'(x)<0，
所以h(x)≤h(1)=1，
所以a≥1，
故a的取值范围是a≥1.
故答案为：B
【分析】根据化归思想，将不等式成立问题等价转化为求函数的最值问题，再利用导数研究函数的单调性、最值求解即可.
6．【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解： 的定义域为 ，
且 ，
故 为 上的偶函数，
，
当 时， ，
故 在 上单调递增，
故当 时， ，
故 在 上单调递增，
对A， ，
且 ，
故 ，
即 ，A不符合题意；
对B， ，
故 ，
即 ，B不符合题意；
对C， ，
故 ，C不符合题意；
对D， ，
又 ，
故 ，
即 ，D符合题意.
故答案为：D
【分析】由 得 为 上的偶函数， ，当 时， ，故 在 上单调递增，故当 时， ，故 在 上单调递增，逐项进行分析可得答案。
7．【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性；不等式的综合
【解析】【解答】设 ，则 ，
因为 ，所以 ，所以 是 上的增函数，
，不等式 即为 ，即 ，
所以 ，
故答案为：D．
【分析】根据题意构造函数，对其求导由导函数的性质即可得到函数的g(x)的单调性，由此即可得到不等式，整理化简结合函数的单调性即可求出x的取值范围，由此即可求出不等式的解集。
8．【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】∵
∴
又 ，
∴ 函数 为奇函数，
又 ，且仅 时 ，
∴ 函数 在R上为增函数，
∴ 函数 为R上的增函数，
不等式 可化为 ，
∴
∴
∴ 或 ，
∴ 实数 的取值范围是 ，
故答案为：D.
【分析】 记，易知 为奇函数，求导后利用基本不等式可知在R上单调递增，则原不等式可转化为，解该不等式即可求出实数 的取值范围.
9．【答案】A,B,D
【知识点】对数函数的概念与表示；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系；函数的零点
【解析】【解答】A，函数 定义域为 ，
，
在 和 上单调递增，则函数 在定义域内无极值，A符合题意；
B，由 ，则 ，
又 ，
函数 在点 处的切线方程为
即 ，B符合题意；
C， 在 上单调递增，
又 ， ，
所以函数 在 存在 ，使 ，
又 ，即 ，
且 ，
即 为函数 的一个零点，所以函数 在定义域内有两个零点，C不符合题意.
D，由C可得 ，所以 ，D符合题意.
故答案为：ABD
【分析】根据题意对函数求导，由导函数的性质即可得出函数的单调性，再结合极值的定义即可判断出选项A正确；把点的坐标代入到导函数的解析式计算出切线的斜率，再由点斜式即可求出直线的方程，进而判断出选项B正确；结合题意由零点存在性定理即可得证出选项C错误；由零点的定义，代入数值计算出结果由此判断出选项D正确，由此即可得出答案。
10．【答案】A,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】设函数 ， ，因为
则 ，
所以 在 上单调递减，从而 ，
即 ，
则必有 ， ， ， .
又 在 上单调递减，所以x>0时， ，
所以x>0时， ，又 ，所以 .
故答案为：ACD.
【分析】根据题意构造函数，对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可得出函数值的大小关系，再由已知条件对选项逐一判断即可得出答案。
11．【答案】A,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】由函数 ，则 ，可得 在 上恒成立，则 在 上单调递增，而 ，故 在 上恒成立，即 在 上单调递减，A符合题意；
因为 ，故存在 ，使得 ，所以 ，解得 ，所以当 时， ，即函数 单调递减，
当 时， ，即函数 单调递增，
所以 ，因为 ，所以 ，B不符合题意；
对于C，曲线 与直线 相切于点 ，函数 与直线 相切于点 ，则 的最小值为 ，C符合题意；
对于D，若 对 恒成立，
则 对 恒成立，即 ，
可设 ，易可知 在 上单调递增，
则 可化为 ，即 ，
可设 ，易可知 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以当 时， ，则 ，解得 ，
又因为 ，所以 ，D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】 构造函数，对函数h (x)连续两次求导，可知h(x)= f(x)- g(x)在上单调递减，利用零点存在性定理可知存在，使得，进而判断其单调性，由此可知h (x )的最值情况，由函数f (x)与函数g (x)的图象关于直线y = x对称，结合导数的几何意义可得|PQ|的最小值为 ，依题意可得， 通过构造函数，利用导数可求得m的取值范围.
12．【答案】A,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】设切点为 ，由 可得 ，
所以在点 处的切线的斜率为 ，
所以在点 处的切线为： ，
因为切线过点 ，所以 ，即 ，
设 ，
则 ，
当 时，
，由 可得 ，由 可得： 或 ，
所以 在 和 上单调递减，在 上单调递增，
， ，当 趋近于 时， 趋近于 ，
对于A：当 时，若只能作两条切线，则 与 图象有两个交点，由图知 ， A符合题意；
对于B：当 ， 时， 与 图象有一个交点，此时只能作一条切线，B不正确；
对于C： ，当 时，
由 可得 ，由 可得： 或 ，
所以 在 和 上单调递减，在 上单调递增，
极小值 ， 极大值 ，
若可作三条切线，则 与 图象有三个交点，所以 ，
C符合题意；
对于D：当 时， ，所以 单调递减，
当 趋近于 时， 趋近于 ，当 趋近于 时， 趋近于 ，
此时 与 图象有一个交点，所以有且只有一条切线，D符合题意；
故答案为：ACD.
【分析】设切点为 ，由 求导可得 ，可得点 处的切线的斜率，再利用点斜式可得在点 处的切线，设 ，求导，根据导数符号可得在 ，， 上单调性，进而求出极值，作出图像，数形结合，逐项进行判断，可得答案。
13．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】因为 ，所以 ，
因此 时， ，所以函数 单调递增； 时， ，所以函数 单调递减；
因此当 时，函数 取得最大值，最大值为 ，
故答案为： .
【分析】根据题意对函数求导，由导函数的性质即可得出函数的单调性，然后由函数的单调性即可求出函数的最大值。
14．【答案】y=x+1；2
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】由 求导得： ，则曲线 在 处的切线斜率为 ，而切点为 ，所以，所求切线方程为y=x+1；
设直线 与曲线 相切的切点为 ，由 求导得： ，
于是得 ， ，显然有 ，即 ， ，解得 。
故答案为：y=x+1；2。
【分析】利用已知条件结合求导的方法求出曲线在切点处的切线的斜率，再利用切点的横坐标结合代入法得出切点的纵坐标，进而求出切点坐标，再利用点斜式球出曲线 在 处的切线方程； 利用已知条件结合求导的方法求出曲线在切点处的切线的斜率，再利用切点的横坐标结合代入法得出切点的纵坐标，进而求出切点坐标，再利用点斜式球出曲线 在 处的切线方程，再结合该切线也是曲线 的切线，从而求出实数b的值。
15．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】设 ，因为 ，所以 .
令 ，则 ，
则 在 上单调递增，故 .
由题可知 ，解得 ，
所以 的取值范围是 。
故答案为： 。
【分析】设 ，利用 结合指数函数的单调性，从而得出实数t的取值范围，令 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最大值，再利用已知条件求出实数 的取值范围。
16．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：当 时，函数 单调递增；
当 时， ，则 时， ，
所以当 时， ， 时， ，
故当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 在 处取极小值，极小值为 ；
作出函数 的图象如图：
因为函数 有两个零点，
所以函数 与 有两个交点，
所以当 时函数 与 有两个交点，
所以实数b的取值集合为
故答案为：
【分析】当 时，函数 单调递增；当 时， ，则 时， ，讨论x的范围，可得的符号，得出的单调性，进而得出的极小值，作出函数 的图象，由函数 有两个零点，得 时函数 与 有两个交点，即可求出实数b的取值集合。
17．【答案】（1）函数 的导数为 ，
即有在 处的切线 的斜率为 ，
由切线 与直线 平行，
即有 ，解得 ；
（2）关于 的方程 在 上恰有两个不相等的实数根，
即有 在 上恰有两个不相等的实数根.
令 ，
，
当 时， ， 递减，当 时， ， 递增.
即有 处 取得最小值，且为 ，
又 ， ，
，
∴ ，解得 .
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；用斜率判定两直线平行
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合求导的方法求出函数在切点处的切线的斜率，再利用两直线平行斜率相等，从而求出实数a的值。
（2） 关于 的方程 在 上恰有两个不相等的实数根，即 在 上恰有两个不相等的实数根，令 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最小值，即在 处 取得最小值且为 ，再利用代入法得出 ， 的值从而得出，从而求出实数m的取值范围。
18．【答案】（1） ，
由 知，
设 ，
则 ， ，
∴ ，∴ 在 上单调递增，观察知 ，
∴当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增．
（2） ， ，
由 ，得 ．
设 ，则 ，由 ，得 ．
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增．
∴ ．
又 时 ， 时 ，
∴ ，这是必要条件．
检验：当 时， 既无极大值，也无极小值；当 时，满足题意；当 时， 只有一个极值点，舍去；当 时，则 ，则 ．
综上，符合题意的 的范围为 且 且 ．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】 (1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
(2)求出f (x)的导数，得 ，设 ，根据函数的单调性求出h(x)的最小值，从而求出a的范围即可.
19．【答案】（1）要使 的定义域为 ，只需 在 上恒成立．
令 ，只需 在 上恒成立．
当 ，即 时， 在 单增，恒有 ，
因此，对任意 均成立．
当 ，即 时， 在 单减， 单增，只需 ，
即 ，解得 ，所以 ．
综上， 的取值范围为 ．
（2）若不等式 有解，即 ，
可得 有解．
因为当 时， ，所以，对任意实数 ，总存在 ，
使得 ，即 有解．
由 可得， ．
令 ， ， ，
显然当 时，函数单调递增，当 时，函数单调递减，
所以当 时， 取最大值-2，
所以 ，即 ．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】 (1)将问题转化为 在 上恒成立，分 和 两种情况，利用函数的单调性求解函数的取值范围，进而研究k的取值范围即可；
(2)将问题转化为 有解 ，当 时， ，则可得 有解，由 可得， 有解， 令 ，然后研究函数 的单调性，求解最大值，即可得到答案.
20．【答案】（1） ，
令 ，得 ；令 ，得 ．
所以 的单调增区间为 ，单调减区间为 ．
（2）由题意知 ．
于是 ，
由（1）知，在 上， 单调道减，且 ，
当 时， ，函数 在 上单调递减，取 ，显然 ，
但 ，因此， 不合题意．
当 时，结合（1）中 的单调性知，存在 ，得 ，
此时 在 上单调递减，在 上单调递增，所以
，
解得 ，即 ；
当 时， ，函数 在 上单调道增， ，
解得 ，即 ；
综上所述，a的取值范围 ．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】 (1)求出f (x)的导函数，通过判断f' (x )的正负，判断f (x )的单调区间；
(2)对参数a进行分类，讨论g (x )的单调性.
21．【答案】（1）解：由已知定义域为 ，
当 ，即 时， 恒成立，则 在 上单调递增；
当 ，即 时， （舍）或 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
所以 时， 在 上单调递增；
时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
（2）由（1）可知，当 时， 在 上单调递增，若 对任意的 恒成立，只需 ，而 恒成立，所以 成立；
当 时，若 ，即 ，则 在 上单调递增，又 ，所以 成立；
若 ，则 在 上单调递减，在 上单调递增，又 ，所以 ， ，不满足 对任意的 恒成立.
所以综上所述： .
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合求导的方法判断函数的单调性，从而讨论出函数的单调性。
（2） 由（1）结合不等式恒成立问题求解方法，再利用分类讨论的方法结合函数的单调性，从而求出函数的值域，进而求出满足要求的实数a的取值范围。
22．【答案】（1）解：定义域 ，
令 ，得 ，
列表如下：
－ 0 ＋
递减 极小值 递增
所以， 的极小值点是 ，无极大值点
（2）解： ，
在 上单调递减
在 上恒成立
在 恒成立
，
令 ，
在 上恒成立
在 上单调递减
实数 的取值范围是 ．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值点。
（2）利用函数f(x)的解析式求出函数 的解析式，再利用求导的方法判断函数的单调性，再结合 在 上单调递减， 从而得出 在 上恒成立，所以 在 恒成立，再利用求导的方法求出函数 ， 的单调性，从而求出函数，的最大值，再结合不等式恒成立问题求解方法，从而求出实数m的取值范围。
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