人教A版 选择性必修第二册 5.3 5.3.1 函数的单调性 课件(共50张PPT)
文档属性
| 名称 | 人教A版 选择性必修第二册 5.3 5.3.1 函数的单调性 课件(共50张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 4.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-14 07:21:46 | ||
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文档简介
(共50张PPT)
第五章 一元函数的导数及其应用
5．3 导数在研究函数中的应用
5．3.1 函数的单调性
学习指导 核心素养
1.通过数形结合感受导数与函数单调性的关系． 2．掌握利用导数判断函数单调性的方法． 3．能利用导数求不超过三次的多项式函数的单调区间． 1.直观想象：导数符号和函数单调性的关系．
2．数学运算、逻辑推理：研究函数的单调性．
1．函数的单调性与其导数的正负之间的关系
定义在区间(a，b)上的函数y＝f(x)：
增
减
2.利用导数判断函数的单调性
一般情况下，我们可以通过如下步骤判断函数y＝f(x)的单调性：
导数的绝对值 函数值变化 函数的图象
越大 _______ 比较“________”(向上或向下)
越小 ________ 比较“________”(向上或向下)
3．函数值变化快慢与导数的关系
一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上：
快
陡峭
慢
平缓
1．如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，那么函数f(x)有什么特性？
提示：f(x)是常数函数．
2．在某个区间内f′(x)>0是函数f(x)在此区间内单调递增的什么条件？
提示：充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，而f′(x)＝3x2≥0.
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)<0，则函数f(x)在定义域上单调递减．
( )
(2)函数f(x)在某区间上单调递增，则一定有f′(x)>0.( )
(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上的导数的绝对值越
大．( )
(4)函数y＝x3＋x的单调递增区间为(－∞，＋∞).( )
×
√
×
√
√
2．下列函数中，在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝sin x B．y＝xex
C．y＝x3－x D．y＝ln x－x
√
探究点1 导数与函数图象的关系
[问题探究]
如何从导数的几何意义理解函数的单调性与导数正负的关系？
探究感悟：如果f′(x)>0，即切线的斜率为正，则切线的倾斜角为锐角，曲线呈上升趋势，即函数单调递增．
如果f′(x)<0，即切线的斜率为负，则切线的倾斜角为钝角，曲线呈下降趋势，即函数单调递减．
已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是( )
√
(1)函数的单调性与其导函数的正负之间的关系：在某个区间(a，b)内，若f′(x)>0，则y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增；如果f′(x)<0，则y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减；若恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数，不具有单调性．
(2)函数图象变化得越快，f′(x)的绝对值越大，不是f′(x) 的值越大．
√
解析：由函数的图象可知：当x<0时，函数单调递增，导数始终为正；当x>0时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正，对照选项，应选D.
√
√
(1)如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调区间之间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开．
(2)讨论含有参数的函数的单调性，通常归结为求含参数不等式的解集问题，而对含有参数的不等式要针对具体情况进行讨论，但要始终注意定义域对函数单调性的影响以及分类讨论的标准．
2．设函数f(x)＝ex－ax－2，求f(x)的单调区间．
解：f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝ex－a.
若a≤0，则f′(x)>0，
所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．
若a>0，则当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；
当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0.
所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增．
综上所述，当a≤0时，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间；
当a>0时，f(x)的单调递减区间为(－∞，ln a)，
单调递增区间为(ln a，＋∞).
探究点3 已知函数的单调性求参数
[问题探究]
“函数y＝f(x)的单调递减区间为(a，b)”与“函数y＝f(x) 在(a，b)上单调递减”是否相同？
探究感悟：不相同．前者(a，b)为不等式f′(x)≤0的解集；后者(a，b)为不等式f′(x)≤0的解集的子集．
√
已知函数单调性求参数的两种方法
(1)分离参数法
f(x)在(a，b)上单调递增(减)等价于f′(x)≥0(f′(x)≤0)在(a，b)上恒成立，将参数分离后可转化为求其函数的值域问题，注意验证等号是否成立．
(2)子集法
若能较容易地求出函数的单调区间，则可利用子区间来解决．若f(x)在
(a，b)上单调递增(减)，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．
√
√
1．(多选)函数f(x)＝(x－3)ex在下列区间上单调递增的是( )
A．(－∞，2) B．(0，3)
C．(3，4) D．(2，＋∞)
√
解析：因为f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex，
由f′(x)>0得(x－2)ex>0，
所以x>2.
所以f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)，CD符合．
√
√
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第五章 一元函数的导数及其应用
5．3 导数在研究函数中的应用
5．3.1 函数的单调性
学习指导 核心素养
1.通过数形结合感受导数与函数单调性的关系． 2．掌握利用导数判断函数单调性的方法． 3．能利用导数求不超过三次的多项式函数的单调区间． 1.直观想象：导数符号和函数单调性的关系．
2．数学运算、逻辑推理：研究函数的单调性．
1．函数的单调性与其导数的正负之间的关系
定义在区间(a，b)上的函数y＝f(x)：
增
减
2.利用导数判断函数的单调性
一般情况下，我们可以通过如下步骤判断函数y＝f(x)的单调性：
导数的绝对值 函数值变化 函数的图象
越大 _______ 比较“________”(向上或向下)
越小 ________ 比较“________”(向上或向下)
3．函数值变化快慢与导数的关系
一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上：
快
陡峭
慢
平缓
1．如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，那么函数f(x)有什么特性？
提示：f(x)是常数函数．
2．在某个区间内f′(x)>0是函数f(x)在此区间内单调递增的什么条件？
提示：充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，而f′(x)＝3x2≥0.
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)<0，则函数f(x)在定义域上单调递减．
( )
(2)函数f(x)在某区间上单调递增，则一定有f′(x)>0.( )
(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上的导数的绝对值越
大．( )
(4)函数y＝x3＋x的单调递增区间为(－∞，＋∞).( )
×
√
×
√
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2．下列函数中，在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝sin x B．y＝xex
C．y＝x3－x D．y＝ln x－x
√
探究点1 导数与函数图象的关系
[问题探究]
如何从导数的几何意义理解函数的单调性与导数正负的关系？
探究感悟：如果f′(x)>0，即切线的斜率为正，则切线的倾斜角为锐角，曲线呈上升趋势，即函数单调递增．
如果f′(x)<0，即切线的斜率为负，则切线的倾斜角为钝角，曲线呈下降趋势，即函数单调递减．
已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是( )
√
(1)函数的单调性与其导函数的正负之间的关系：在某个区间(a，b)内，若f′(x)>0，则y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增；如果f′(x)<0，则y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减；若恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数，不具有单调性．
(2)函数图象变化得越快，f′(x)的绝对值越大，不是f′(x) 的值越大．
√
解析：由函数的图象可知：当x<0时，函数单调递增，导数始终为正；当x>0时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正，对照选项，应选D.
√
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(1)如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调区间之间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开．
(2)讨论含有参数的函数的单调性，通常归结为求含参数不等式的解集问题，而对含有参数的不等式要针对具体情况进行讨论，但要始终注意定义域对函数单调性的影响以及分类讨论的标准．
2．设函数f(x)＝ex－ax－2，求f(x)的单调区间．
解：f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝ex－a.
若a≤0，则f′(x)>0，
所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．
若a>0，则当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；
当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0.
所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增．
综上所述，当a≤0时，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间；
当a>0时，f(x)的单调递减区间为(－∞，ln a)，
单调递增区间为(ln a，＋∞).
探究点3 已知函数的单调性求参数
[问题探究]
“函数y＝f(x)的单调递减区间为(a，b)”与“函数y＝f(x) 在(a，b)上单调递减”是否相同？
探究感悟：不相同．前者(a，b)为不等式f′(x)≤0的解集；后者(a，b)为不等式f′(x)≤0的解集的子集．
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已知函数单调性求参数的两种方法
(1)分离参数法
f(x)在(a，b)上单调递增(减)等价于f′(x)≥0(f′(x)≤0)在(a，b)上恒成立，将参数分离后可转化为求其函数的值域问题，注意验证等号是否成立．
(2)子集法
若能较容易地求出函数的单调区间，则可利用子区间来解决．若f(x)在
(a，b)上单调递增(减)，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．
√
√
1．(多选)函数f(x)＝(x－3)ex在下列区间上单调递增的是( )
A．(－∞，2) B．(0，3)
C．(3，4) D．(2，＋∞)
√
解析：因为f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex，
由f′(x)>0得(x－2)ex>0，
所以x>2.
所以f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)，CD符合．
√
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生如蝼蚁当立鸿鹄之志
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