人教A版 选择性必修第二册 5.3　5.3.2　第1课时　函数的极值 课件(共53张PPT)

(共53张PPT)
第五章　一元函数的导数及其应用
5．3.2　函数的极值与最大(小)值
第1课时　函数的极值
学习指导 核心素养
1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观地理解函数的极值与导数的关系． 2．掌握函数极值的判定及求法． 3．掌握函数在某一点取得极值的条件． 1.数学抽象：函数极值的概念．
2．数学运算：函数极值的求解．
1．极小值点与极小值
(1)特征：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值________，f′(a)＝_______．
(2)符号：在点x＝a附近的左侧f′(x)_______ 0，右侧f′(x)______ 0.
(3)结论：a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
都小
0
<
>
(1)特征：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值________，f′(b)＝_______．
(2)符号：在点x＝b附近的左侧f′(x)______ 0，右侧f′(x)_____ 0.
(3)结论：b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
3．极值的定义
(1)极小值点、极大值点统称为极值点．
(2)极小值和极大值统称为极值．
都大
0
>
<
怎样理解极值的概念？极值是不是最值？
提示：(1)极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值，与它附近点的函数值比较它是最大值或最小值，但并不意味着它在函数的整个定义域内是最大值或最小值．
(2)一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个．在某一点处的极小值可能大于另一点处的极大值．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数的极大值一定大于其极小值．(　　)
(2)导数为0的点一定是极值点．(　　)
(3)函数y＝f(x)一定有极大值和极小值．(　　)
(4)若一个函数在给定的区间内存在极值，则极值点一定在区间的内部．
(　　)
(5)函数的极值点是自变量的值，极值是函数值．(　　)
×
√
×
×
√
√
2．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极小值点的个数为(　　)
A．1　　　　　　　　　　　 B．2
C．3 D．4
√
4．函数y＝1＋3x－x3的极大值点为________，极小值点为________．
解析：y′＝3－3x2＝3(1－x)(1＋x)，令y′＝0，解得x1＝－1，x2＝1.当x<－1时，y′<0，函数单调递减，当－10，函数单调递增，当x>1时，y′<0，函数单调递减，所以当x＝－1时，函数有极小值．当x＝1时，函数有极大值．
答案：1　－1
探究点1　求函数的极值(点)
[问题探究]
函数的极值点满足什么条件？
探究感悟：
(1)极值点处导数为0.
(2)极值点两侧导数异号．
√
所以f(x)在(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)上单调递增，在(a－2，－2a)上单调递减．
所以函数f(x)在x＝a－2处取得极大值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2；函数f(x)在x＝－2a处取得极小值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a.
函数极值和极值点的求解步骤
(1)确定函数的定义域．
(2)求方程f′(x)＝0的根．
(3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格．
(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况．
[注意]　解析式中含参数的函数，要就参数对f′(x)零点及零点两侧f′(x)的符号是否有影响进行分类讨论．　
√
探究点2　函数极值的综合应用
[问题探究]
从函数的角度来看，极值点附近函数变化趋势是什么？图象有何特点？
探究感悟：极大值点的函数值比附近点对应的函数值大，图象由“上升”变“下降”，该点处导数值为0，两侧的导数符号左正右负．(极小值点类似)
√
√
角度二　利用函数极值求解函数零点问题
　　 已知函数f(x)＝x3－3ax－1(a≠0).若函数f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．
【解】　因为f(x)在x＝－1处取得极值且f′(x)＝3x2－3a，
所以f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，所以a＝1.
所以f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3.
由f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝1.
当x<－1时，f′(x)>0；
当－1当x>1时，f′(x)>0.
所以由f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.
作出f(x)的大致图象及直线y＝m如图所示，
因为直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，结合图象可知，m的取值范围是(－3，1).
若本例“三个不同的交点”改为“两个不同的交点”结果如何？改为“一个交点”呢？
解：由例题解析可知，当m＝－3或m＝1时，直线y＝m与y＝f(x)的图象有两个不同的交点；
当m<－3或m>1时，直线y＝m与y＝f(x)的图象只有一个交点．
(1)已知函数极值求参数的要点
①利用f′(x)＝0求解参数；
②验证是否满足两侧的导数值异号．
(2)解决函数零点问题的策略
根据函数的极值情况，画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数．　
√
2．已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝______．
解析：设f(x)＝x3－3x＋c，则f′(x)＝3x2－3，
令f′(x)＝0，得x＝±1，易知f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1，1)上单调递减．
若f(1)＝1－3＋c＝0，可得c＝2；
若f(－1)＝－1＋3＋c＝0，可得c＝－2.
答案：－2或2
√
√
√
√
生如蝼蚁当立鸿鹄之志
命如纸薄应有不屈之心
谢谢
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