(共29张PPT)
阶段综合训练【范围：18.1～18.2】
华师版 八年级下
第18章 平行四边形
提示：点击 进入习题
答案显示
1
2
3
4
C
D
(1)115°；65°(2)3 cm
5
B
6
7
8
9
见习题
见习题
见习题
10
见习题
见习题
11
12
见习题
答案显示
见习题
1．【中考·兰州】如图，将 ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，DE交BC于点F，若∠ABD＝48°，∠CFD＝40°，则∠E为( )
A．102° B．112°
C．122° D．92°
【答案】B
【点拨】设∠A＝∠E＝x，由题意知，∠ABD＝∠DBE＝48°，∠BFE＝∠DFC＝40°，∠FBD＝180°－x－48°＝132°－x，则∠EBF＝∠DBE－∠FBD＝x－84°.
又∠E＋∠BFE＋∠EBF＝180°，∴x＝112°.
C
2．【中考·南宁】如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3 cm，BC＝5 cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是( )
A．2 cm＜OA＜5 cm
B．2 cm＜OA＜8 cm
C．1 cm＜OA＜4 cm
D．3 cm＜OA＜8 cm
D
3．如图，在 ABCD中，分别以AD，BC为边向内作等边三角形ADE和等边三角形BCF，连结BE，DF，若AD＝2，DF＝3，则四边形BEDF的周长是( )
A．5 B．7
C．8 D．10
4．如图，四边形ABCD是平行四边形．
(1)若∠BCA＝45°，∠BAC＝70°，则∠BCD＝______，∠D＝______；
(2)若 ABCD的周长是10 cm，△ABC的周长是8 cm，则AC的长为________．
115°
65°
3 cm
5．如图，在 ABCD中，AB＝1，连结BD，作AE∥BD交CD的延长线于点E，过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F，且CF＝1，则EF的长为________．
【点拨】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，即AB∥DE.又∵AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形．∴AB＝DE＝1.又∵AB＝CD＝1，∴CE＝CD＋DE＝2.在Rt△CFE中，CF＝1，CE＝2，根据勾股定理可知EF＝
【答案】
6．【2021·怀化】已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，点E、A、C、F在同一直线上，AE＝CF.
求证：(1)△ADE≌△CBF；
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∴∠EAD＝∠FCB.
在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF.
(2)ED∥BF.
证明∵△ADE≌△CBF，
∴∠E＝∠F，
∴ED∥BF.
7．如图，在 ABCD中，AE⊥BC于E, AF⊥CD于F.若AE＝ ，AF＝4 ， ABCD的周长为 ，求 ABCD的面积．
解：∵ ABCD的周长＝2(BC＋CD)＝ ，
∴BC＋CD＝ ①.
∵AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE＝ ，AF＝4，
∴S ABCD＝ BC＝4CD，
整理，得BC＝ CD②，联立①②，解得CD＝ ，
∴S ABCD＝4CD＝ .
8．【中考·宿迁】如图，BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在边AB，BC上，ED∥BC，EF∥AC.求证：BE＝CF.
证明：∵ED∥BC，EF∥AC，
∴四边形EFCD是平行四边形．∴DE＝CF.
∵BD平分∠ABC，∴∠EBD＝∠DBC.
∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，
∴∠EBD＝∠EDB，∴BE＝DE，∴BE＝CF.
9.【2021·重庆沙坪坝区月考】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，且AO＝OC，过点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F.
(1)求证：四边形ABCD为平行四边形；
证明：∵AD∥BC，
∴∠OAD＝∠OCB.
在△AOD和△COB中，
∴△AOD≌△COB，
∴AD＝CB，
∴四边形ABCD为平行四边形．
(2)连结BE，若∠BAD＝100°，∠DBF＝2∠ABE，求∠ABE的度数．
解：设∠ABE＝x，则∠DBF＝2x.
由(1)得四边形ABCD为平行四边形，
∴OB＝OD，
∵EF⊥BD，
∴BE＝DE，
∴∠EBD＝∠EDB，
∵AD∥BC，
∴∠EDB＝∠DBF，
∴∠EBD＝∠EDB＝∠DBF＝2x，
∵∠BAD＋∠ABE＋∠EBD＋∠EDB＝180°，
∴100°＋x＋2x＋2x＝180°，
解得x＝16°，
即∠ABE＝16°.
10．【中考·青岛】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE⊥AE，垂足为E.
(1)求证：△ABD≌△CAE；
证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.
又∵AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°.
∵AE∥BC，∴∠EAC＝∠ACB.
∴∠B＝∠EAC.
∵CE⊥AE，∴∠CEA＝90°.
∴∠ADB＝∠CEA.
又∵AB＝CA，∴△ABD≌△CAE.
(2)连结DE，线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系？请说明理由．
解：DE∥AB且DE＝AB.理由如下：
∵△ABD≌△CAE，∴AE＝BD.
又∵AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形．
∴DE∥AB且DE＝AB.
11．如图，O是 ABCD的对角线AC与BD的交点，四边形OCDE是平行四边形，求证：OE与AD互相平分．
证明：连结AE.
∵四边形OCDE是平行四边形，
∴DE∥OC，DE＝OC.
∵O是 ABCD的对角线AC与BD的交点，
∴AO＝OC，∴DE＝OA.
又∵DE∥OA，
∴四边形ODEA是平行四边形．
∴OE与AD互相平分．
12．【中考·大庆】如图，以BC为底边的等腰三角形ABC中，点D，E，G分别在BC，AB，AC上，且EG∥BC，DE∥AC，延长GE至点F，使得BE＝BF.
(1)求证：四边形BDEF为平行四边形；
证明：∵△ABC是以BC为底边的等腰三角形，
∴AB＝AC，∴∠ABC＝∠C.
∵EG∥BC，DE∥AC，
∴∠AEG＝∠ABC＝∠C，
四边形CDEG是平行四边形，
∴∠DEG＝∠C.
∵BE＝BF，∴∠F＝∠BEF＝∠AEG，
∴∠F＝∠DEG.∴BF∥DE.又∵EF∥BD，
∴四边形BDEF为平行四边形．
(2)当∠C＝45°，BD＝2时，求D，F两点间的距离．
解：由DE∥AC，∠C＝45°，易得∠ABC＝∠F＝∠BEF＝∠BDE＝45°.
∴△BDE，△BEF是等腰直角三角形．
易求得BF＝BE＝ .
过点F作FM⊥DB交DB的延长线于点M，连结DF，则易知△BFM是等腰直角三角形，
易求得FM＝BM＝1.
∴DM＝3，在Rt△DMF中，由勾股定理，得DF＝
，即D，F两点间的距离为 .(共30张PPT)
华师版 八年级下
18.2 平行四边形的判定
第2课时 用对角线的关系判定平行四边形
第18章 平行四边形
1
互相平分
提示：点击 进入习题
答案显示
新知笔记
基础巩固练
1
2
3
4
A
5
C
见行四边形
105°
6
7
8
9
B
C
D
10
B
11
12
13
见习题
14
见习题
见习题
答案显示
见习题
①③④
互相平分
平行四边形的判定定理3：对角线________的四边形是平行四边形．
C
1．如图，在△ABC中，D是边AB的中点，O是边AC的中点，延长DO至点E，使OE＝OD，则下列结论中，不一定成立的是( )
A．四边形ADCE是平行四边形
B．四边形BCED是平行四边形
C．∠BCD＝∠CAE
D．AE＝CD
2．【创新题】【2021·河北】如图①， ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角．要在对角线BD上找两点N，M，使四边形ANCM为平行四边形，现有图②中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案是( )
A．甲、乙、丙 B．甲、乙
C．甲、丙 D．乙、丙
【点拨】A
平行四边形
3．如图，AC、BD是相交的两条线段，O为AC、BD的交点，也是它们的中点，当BD绕点O旋转时(不与AC重合)，连结AB、BC、CD、DA，所得到的四边形ABCD始终为___________．
105°
4．在四边形ABCD中，对角线的交点为O，且OA＝OC，OB＝OD，若∠ABC＝105°，则∠ADC的度数是_______________．
【点拨】∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADC＝∠ABC＝105°.
5．【教材改编题】如图， ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点．
求证：四边形EFGH是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
又∵E，F，G，H分别是AO，BO，CO, DO的中点，
∴OE＝OG，OF＝OH，∴四边形EFGH是平行四边形．
B
6．【中考·广州】下列命题中，真命题有( )
①对角线互相平分的四边形是平行四边形；
②两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形．
A．3个 B．2个
C．1个 D．0个
C
7．如图，E是 ABCD的边AD延长线上一点，连结BE，CE，BD，BE交CD于点F，添加以下条件，不能判定四边形BCED为平行四边形的是( )
A．∠ABD＝∠DCE
B．DF＝CF
C．∠AEB＝∠BCD
D．∠AEC＝∠CBD
8．【2021·杭州西湖区期中】如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，有下列条件：①BF＝DE；②AE＝CF；③∠EAB＝∠FCD；④AF∥CE.其中一定能判定四边形AECF是平行四边形的是________．
【点拨】①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，OB＝OD，OA＝OC，
∵BF＝DE，
∴BF－OB＝DE－OD，
即OF＝OE，
∴四边形AECF是平行四边形；
③∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF.
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF，∴BE＝DF.
∵BO＝DO，
∴OE＝OF，又OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形；
④∵AF∥CE，∴∠AFB＝∠CED.
在△ABF和△CDE中，
∴△ABF≌△CDE，∴BF＝DE，
∴BF－OB＝DE－OD，
即OF＝OE，
又∵OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形；
②不能判定四边形AECF是平行四边形．
∴一定能判定四边形AECF是平行四边形的是①③④.
【答案】①③④
D
9．【中考·绵阳】如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD＝90°，BC＝4，BE＝ED＝3，AC＝10，则四边形ABCD的面积为( )
A．6 B．12 C．20 D．24
【点拨】先证出EA＝EC＝5，进而得出四边形ABCD为平行四边形，则四边形ABCD的面积＝BC·BD＝24.
10．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列条件：①AD∥BC；②AD＝BC；③OA＝OC；④OB＝OD，从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有( )
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
【答案】B
【点拨】分6种组合，①②，①③，①④，②③，②④，③④，其中①②，①③，①④，③④能使四边形ABCD为平行四边形，②③，②④不能使四边形ABCD为平行四边形，故选B.
11．如图，E、F是四边形ABCD的对角线BD上的两点，BD与AC交于点O，∠EAC＝∠FCA，AE＝CF，BE＝DF.求证：CB AD.
证明：∵∠EAC＝∠FCA，∴AE∥CF.
又∵AE＝CF，∴四边形AFCE是平行四边形．
∴OA＝OC，OE＝OF.
又∵BE＝DF，∴BE＋OE＝DF＋OF，即OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，∴CB AD.
12．如图，在 ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE＝CF.求证：
(1)DE＝BF；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AD＝CB，∴∠DAE＝∠BCF.
在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF，∴DE＝BF.
(2)BE∥DF.
证明：连结BD交AC于点O，
则BO＝DO，AO＝CO.
∵AE＝CF，∴EO＝FO.
∴四边形DEBF是平行四边形．∴BE∥DF.
13．如图，已知点E，C在线段BF上，BE＝EC＝CF，AB∥DE，∠ACB＝∠F.
(1)求证：△ABC≌△DEF；
证明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF.
∵BE＝EC＝CF，∴BC＝EF. 在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF.
(2)试判断四边形AECD的形状，并说明理由．
解：四边形AECD是平行四边形．
理由：∵△ABC≌△DEF，∴AC＝DF.
∵∠ACB＝∠F，∴AC∥DF，
∴四边形ACFD是平行四边形．∴AD∥CF，AD＝CF.
∵EC＝CF，∴AD＝EC.
又∵AD∥EC，∴四边形AECD是平行四边形．
14．在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DE∥AC交直线AB于点E，DF∥AB交直线AC于点F.
(1)当点D在边BC上时，如图①，求证：DE＋DF＝AC.
证明：∵DE∥AC，DF∥AB，∴∠FDC＝∠B，
四边形AEDF是平行四边形．
∴DE＝AF.
又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∴∠FDC＝∠C，
∴DF＝FC.
∴DE＋DF＝AF＋FC＝AC.
(2)当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③.请分别写出图②、图③中DE，DF，AC之间的数量关系，不需要证明．
解：当点D在边BC的延长线上时，DE－DF＝AC；
当点D在边BC的反向延长线上时，DF－DE＝AC.
2或10
(3)若AC＝6，DE＝4，则DF＝________.(共26张PPT)
18.1 平行四边形的性质
第1课时 平行四边形的边、角性质
第18章 平行四边形
华师版 八年级下
1
2
平行
提示：点击 进入习题
答案显示
新知笔记
基础巩固练
1
2
3
4
B
5
B
相等
C
3
处处相等
(3，0)
C
6
7
8
9
40°
C
①②③④
10
20或28
11
12
13
4或－2
14
15
见习题
见习题
答案显示
15
B
见行
相等
处处相等
1．有两组对边分别____________的四边形叫做平行四边形，平行四边形ABCD可以记作 ABCD.
2．平行四边形的性质定理：平行四边形的对边________，对角相等．
3．平行线之间的距离____________．
B
1．如图， ABCD的周长为40 cm，△ABC的周长为30 cm，则AC的长为( )
A．5 cm
B．10 cm
C．15 cm
D．16 cm
B
2．【中考·贵阳】如图，在 ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E，F，连结CE，若△CED的周长为6，则 ABCD的周长为( )
A．6
B．12
C．18
D．24
3．【2021·常州】如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是平行四边形，其中点A在x轴正半轴上．若BC＝3，则点A的坐标是________．
(3，0)
C
4．【中考·黔西南州】已知在 ABCD中，∠A＋∠C＝200°，则∠B的度数是( )
A．100° B．160° C．80° D．60°
5．【2021·泸州】如图，在 ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，∠D＝58°，则∠AEC的大小是( )
A．61° B．109°
C．119° D．122°
C
40°
6．【中考·常州】如图，在 ABCD中，∠A＝70°，DC＝DB，则∠CDB＝________．
【点拨】∵在 ABCD中， ∠A＝70°，
∴∠C＝70°.
∵在△BCD中，DC＝DB，
∴∠DBC＝∠C，
∴∠CDB＝180°－2∠C＝180°－140°＝40°.
7．【中考·铜仁】已知直线a∥b∥c，a与b的距离为5 cm，b与c的距离为2 cm，则a与c的距离是( )
A．3 cm B．7 cm
C．3 cm或7 cm D．以上都不对
【答案】C
【点拨】如图①，c在a，b外时，
∵a与b的距离为5 cm，b与c的距离为2 cm，
∴a与c的距离为5＋2＝7(cm)；如图②，c在a，b之间时，
∵a与b的距离为5 cm，b与c的距离为2 cm，
∴a与c的距离为5－2＝3(cm)．综上所述，a与c的距离为3 cm或7 cm.
B
8．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，若△ABO的面积为R1，△COD的面积为R2，则R1，R2的大小关系是( )
A．R1>R2 B．R1＝R2
C．R1①②③④
9．如图，l1∥l2，BE∥DF，AB∥CD，下列四个结论：①BE＝DF；②R四边形ABDC＝R四边形BDFE；③AB＝CD；④R△ABE＝R△CDF，其中正确的有___________(填序号)．
10．【2021·哈尔滨】四边形ABCD是平行四边形，AB＝6，∠BAD的平分线交直线BC于点E，若CE＝2，则 ABCD的周长为________．
20或28
11.【中考·成都】如图，在 ABCD中，按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、AD于点M、N；②分别以点M、N为圆心，大于 MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线AP交边CD于点Q.若DQ＝2QC，BC＝3，则 ABCD的周长为________．
【答案】15
【点拨】由作图知，AQ是∠BAD的平分线，∴∠DAQ＝∠BAQ.又∵AB∥CD，∴∠DQA＝∠BAQ，∴∠DQA＝∠DAQ，∴DA＝DQ.由DQ＝2QC，BC＝3，易知QC＝ ，∴DC＝ ，∴ ABCD的周长为2(BC＋CD)＝2 ＝15.
4或－2
12．已知直角坐标系内有四个点O(0，0)，A(3，0)，B(1，1)，C(x，1)，若以O、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，则x＝________．
13．【中考·吉林】如图，在 ABCD中，点E在边AD上，以C为圆心，AE长为半径画弧，交边BC于点F，连结BE，DF.求证：△ABE≌△CDF.
证明：由题意可得AE＝FC.
在平行四边形ABCD中，AB＝DC，∠A＝∠C.
在△ABE和△CDF中，
14．【中考·湘潭】如图，在 ABCD中，DE＝CE，连结AE并延长交BC的延长线于点F.
(1)求证：△ADE≌△FCE；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC.∴∠DAE＝∠F.
又∵∠DEA＝∠CEF，DE＝CE，∴△ADE≌△FCE.
(2)若AB＝2BC，∠F＝36°，求∠B的度数．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC.
∵△ADE≌△FCE，∴AD＝CF.
∴CB＝CF.∴BF＝2BC.
∵AB＝2BC，∴BF＝AB.
∵∠F＝36°，∴∠FAB＝∠F＝36°.
∴∠B＝180°－2×36°＝108°.
15．如图，△ABC是边长为a的等边三角形，P是△ABC内的任意一点，过点P作EF∥AB分别交AC，BC于点E，F，过点P作GH∥BC分别交AB，AC于点G，H，过点P作MN∥AC分别交AB，BC于点M，N.猜想EF＋GH＋MN的值是多少？其值是否随点P位置的
改变而改变？并说明理由．
解：EF＋GH＋MN＝2a；EF＋GH＋MN的值不随点P位置的改变而改变．理由如下：
∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.
∵GH∥BC，∴∠AGH＝∠B＝60°，∠AHG＝∠C＝60°.
∴△AGH是等边三角形，
∴GH＝AG＝AM＋MG.①
同理△BMN是等边三角形，
∴MN＝MB＝MG＋GB.②
∵MN∥AC，EF∥AB，
∴四边形AMPE是平行四边形，∴PE＝AM.
同理可证四边形BFPG是平行四边形，∴PF＝GB.
∴EF＝PE＋PF＝AM＋GB.③
由①②③，得EF＋GH＋MN＝(AM＋GB)＋(AM＋
MG)＋(MG＋GB)＝2(AM＋MG＋GB)＝2AB＝2a，为定值，∴EF＋GH＋MN的值不随点P位置的改变而改变．(共13张PPT)
专题技能训练(四)
训练1 判定平行四边形的四种常用方法
华师版 八年级下
第18章 平行四边形
提示：点击 进入习题
答案显示
1
2
3
4
见习题
见习题
见习题
见习题
1．【中考·鄂州】如图，在 ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于M、N.
(1)求证：四边形CMAN是平行四边形；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，即MC∥AN.
∵AM⊥BD，CN⊥BD.∴AM∥CN.
∴四边形CMAN是平行四边形．
(2)已知：DE＝4，FN＝3，求BN的长．
解：∵四边形CMAN是平行四边形，∴CM＝AN.
∵在 ABCD中，CD＝AB，CD∥AB.
∴DM＝BN，∠MDE＝∠NBF.
在△MDE和△NBF中，
∴△MDE≌△NBF.∴BF＝DE＝4.
在Rt△NBF中，
∵∠BFN＝90°，BF＝4，FN＝3，
∴BN＝
2．【中考·岳阳改编】如图，在平行四边形ABCD中，AE＝CF，求证：
(1)BF＝DE；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，∠A＝∠C，
在△AED和△CFB中，
∴△AED≌△CFB.∴BF＝DE.
(2)四边形BFDE是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD.
∵AE＝CF，∴AB－AE＝CD－CF，即BE＝DF.
∵BF＝DE，∴四边形BFDE是平行四边形．
3．【2021·永州】如图，已知点A，D，C，B在同一条直线上，AD＝BC，AE＝BF，AE∥BF.
(1)求证：△AEC≌△BFD；
证明：∵AD＝BC，
∴AD＋DC＝BC＋DC，∴AC＝BD，
∵AE∥BF，∴∠A＝∠B.
在△AEC和△BFD中
∴△AEC≌△BFD.
(2)判断四边形DECF的形状，并证明．
解：四边形DECF是平行四边形．
证明：∵△AEC≌△BFD，
∴∠ACE＝∠BDF，CE＝DF，
∴CE∥DF，
∴四边形DECF是平行四边形．
4．【中考·西宁】如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，O是AC的中点，AD∥BC.
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；
证明：∵O是AC的中点，∴OA＝OC.
∵AD∥BC，∴∠ADO＝∠CBO，
在△AOD和△COB中，
∴△AOD≌△COB，∴OD＝OB.又OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
24
(2)若AC⊥BD，AC＝8，BD＝6，则 ABCD的面积为________．(共28张PPT)
18.1 平行四边形的性质
第2课时 平行四边形的对角线性质
第18章 平行四边形
华师版 八年级下
1
互相平分
提示：点击 进入习题
答案显示
新知笔记
基础巩固练
1
2
3
4
A
5
C
16
C
B
6
7
8
9
C
A
12
10
D
11
12
13
见习题
14
15
见习题
见习题
答案显示
20
见行四边形的对角线________，并将平行四边形分成4对全等三角形，12对面积相等的三角形．
互相平分
C
1．【中考·常州】如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列说法一定正确的是( )
A．AO＝OD B．AO⊥OD
C．AO＝OC D．AO⊥AB
A
2．【中考·清远】如图，在 ABCD中，已知∠ODA＝90°，AC＝10 cm，BD＝6 cm，则AD的长为( )
A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．8 cm
C
3．已知平行四边形的一条边长为14，下列各组数能分别作为它的两条对角线长的是( )
A．10与16 B．12与16
C．18与22 D．10与40
B
4．【2021·武汉汉阳区期中】如图，平行四边形ABCD中，AB＝8，BC＝10，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F，且OE＝3，则四边形EFCD的周长是( )
A．20 B．24
C．28 D．32
5．【教材改编题】已知 ABCD的周长为80，对角线AC、BD相交于点O，且△AOB的周长比△BOC的周长长8，则BC的长为________．
【点拨】∵△AOB的周长＝OA＋OB＋AB，△BOC的周长＝OB＋BC＋OC，∴OA＋OB＋AB－(OB＋BC＋OC)＝8.∵OA＝OC，∴AB－BC＝8①.∵ ABCD的周长为80，∴2(AB＋BC)＝80，
【答案】16
∴AB＋BC＝40②.由①②联立得
C
6．如图，某广场上一个形状是平行四边形的花坛，分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花．如果有AB∥EF∥DC，BC∥GH∥AD，那么下列说法中错误的是( )
A．红花、绿花种植面积一定相等
B．紫花、橙花种植面积一定相等
C．红花、蓝花种植面积一定相等
D．蓝花、黄花种植面积一定相等
A
7．【创新题】如图，AB∥CD∥EF，AF∥ED∥BC，若画一条直线MN将这个图形分成面积相等的两部分，则下列画法不一定正确的是( )
20
8．已知 ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB的面积为5，那么 ABCD的面积为________．
12
9．如图，在 ABCD中，AC、BD为对角线，BC＝6，边BC上的高为4，则阴影部分的面积为________．
【点拨】S ABCD＝BC×4＝6×4＝24，易知阴影部分的面积恰好是 S ABCD，∴阴影部分的面积为 ×24＝12.
D
10．【中考·遂宁】如图， ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连结BE，若 ABCD的周长为28，则△ABE的周长为( )
A．28 B．24
C．21 D．14
11．如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O1，以O1C、O1D为一组邻边画 O1CED，设其对角线相交于点O2，再以O2C、O2E为一组邻边画 O2CFE，设其对角线的交点为O3，…，按此规律画下去，记对角线的交点为On的平行四边形的面积为Rn，如果R1＝1，那么R2 022＝________．
【点拨】S1＝1，S2＝ ，S3＝ ，…，∴S2 022＝ .
12.【创新题】【2021·宿迁】在①AE＝CF；②OE＝OF；③BE∥DF这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并完成证明过程．
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，________(填写序号)．
求证：BE＝DF.
【点拨】任选一个条件解答即可．
解：②；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝DO，
∵OE＝OF，∠BOE＝∠DOF，
∴△BOE≌△DOF，
∴BE＝DF.
①；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝DO，AO＝CO，
∵AE＝CF，∴OE＝OF，又∠BOE＝∠DOF，
∴△BOE≌△DOF，∴BE＝DF.
③；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝DO，
∵BE∥DF，∴∠BEO＝∠DFO，
又∠BOE＝∠DOF，∴△BOE≌△DOF，
∴BE＝DF.
13．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB⊥AC，AB＝1，BC＝ .
(1)求 ABCD的面积；
解：在Rt△ABC中，AC＝ ＝2，
∴S ABCD＝2S△ABC＝2× AB·AC＝2.
(2)求OB的长．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝OC，BO＝OD，
∴AO＝ AC＝1.在Rt△ABO中，BO＝ .
14．【教材改编题】如图，在 ABCD中，对角线AC＝42 cm，BE⊥AC，垂足为E，且BE＝10 cm，AD＝14 cm，试求AD和BC之间的距离．
解：∵AC＝42 cm，BE⊥AC，BE＝10 cm，
∴S△ABC＝ ×42×10＝210(cm2)，
∴S ABCD＝2×210＝420(cm2)．
又∵AD＝14 cm，
∴AD与BC之间的距离为 ＝30(cm)．
15．探究：如图①， ABCD中，AC，BD交于点O，过点O的直线交AD于E，交BC于F.
(1)求证：OF＝OE；
证明：在 ABCD中，AD∥BC，OB＝OD，
∴∠OBF＝∠ODE.又∠BOF＝∠DOE，
∴△BOF≌△DOE.∴OF＝OE.
(2)求证：四边形AEFB与四边形DEFC的周长相等；
证明：由(1)得△BOF≌△DOE，∴BF＝DE.
又∵在 ABCD中，AD＝BC，
∴AD－DE＝BC－BF.∴AE＝CF.
又∵在 ABCD中，AB＝CD，
四边形AEFB的周长＝AE＋EF＋BF＋AB，
四边形DEFC的周长＝CF＋EF＋DE＋CD，
∴四边形AEFB与四边形DEFC的周长相等．
(3)直线EF是否将 ABCD的面积二等分？
解：由(1)可知△BOF≌△DOE.
易证△AOB≌△COD，△COF≌△AOE，
∴S四边形AEFB＝S四边形DEFC.
即直线EF将 ABCD的面积二等分．
应用：张大爷家有一块平行四边形的菜园，园中有一口水井P，如图②所示，张大爷计划把菜园平均分成两块，分别种植西红柿和茄子，且使两块菜园共用这口水井，请你帮助张大爷把菜园分开．
应用：解：连结AC，BD交于点O，作直线OP，分别交AB，CD于点E，F，则沿EF分开这块菜园即可．(图略)(共26张PPT)
华师版 八年级上
18.2 平行四边形的判定
第3课时 平行四边形的性质和判定的应用
第18章 平行四边形
提示：点击 进入习题
答案显示
1
2
3
4
C
5
B
40°
D
D
6
7
8
9
D
见习题
A
D
10
见习题
11
见习题
12
见习题
答案显示
B
1．在下列图形的特征中，平行四边形不一定具有的是( )
A．对角相等 B．对角互补
C．邻角互补 D．对角线互相平分
C
2．在下列条件中，不能确定四边形ABCD为平行四边形的是( )
A．AB＝CD，AD＝BC
B．∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°
C．∠A＋∠B＝180°，∠D＋∠C＝180°
D．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝2∶3∶2∶3
D
3．小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，她带了两块碎玻璃，其编号应该是( )
A．①② B．①④ C．③④ D．②③
4．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，将△BOC平移至△AED的位置，则四边形AEDO是( )
A．任意四边形
B．对角线相等的四边形
C．对角线垂直的四边形
D．平行四边形
【答案】D
【点拨】由平移可知：BC AD，OC DE，∴四边形ABCD是平行四边形．∴OC＝OA，∴OA DE，∴四边形AEDO是平行四边形．
5．【2021·湘西州】如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB，CD，若CD∥BE，∠1＝20°，则∠2的度数是________．
40°
D
6．【易错题】在 ABCD中，AD＝8，AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，且EF＝2，则AB的长为( )
A．2 B．5 C．2或3 D．3或5
D
7．如图，AE∥BD，BE∥DF，AB∥CD.下面给出四个结论：①四边形ABDC是平行四边形；②AC＝EF；③R四边形ABDC＝R四边形BDFE；④BD＝CE.其中错误的有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
A
8．如图，四边形ABCD是平行四边形，按下列条件得到的四边形BFDE是平行四边形的有( )
①图甲，DE⊥AC，BF⊥AC；
②图乙，E，F是AC上两点且AE＝CF；
③图丙，E是AB的中点，F是CD的中点；
④图丁，E是AB上一点，EF⊥AB.
A．3个 B．4个 C．1个 D．2个
9．【2021·淮安模拟】如图，在 ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F两点，点G，H分别为AD，BC的中点，连结GH交BD于点O.求证：EF与GH互相平分．
证明：连结BG，DH，如图．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°.
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF，
∴BE＝DF，
∵G，H分别为AD，BC的中点，
∴BH＝ BC，GD＝ AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC.
∴BH＝GD，
∴四边形BHDG是平行四边形，
∴OB＝OD，OG＝OH，
∴OB－BE＝OD－DF，
即OE＝OF，
∴EF与GH互相平分．
10.如图①，在 ABCD中，O是对角线AC的中点，EF过点O，与AD，BC分别相交于点E，F，GH过点O，与AB，CD分别相交于点G，H，连结EG，FG，FH，EH.
(1)求证：四边形EGFH是平行四边形；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.
∴∠EAO＝∠FCO，∵O是AC的中点，∴OA＝OC.
又∵∠AOE＝∠COF，∴△OAE≌△OCF.
∴OE＝OF.同理，得OG＝OH，
∴四边形EGFH是平行四边形．
(2)如图②，其他条件不变，若EF∥AB，GH∥BC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形(四边形AGHD除外)．
解：与四边形AGHD面积相等的平行四边形有 GBCH、 ABFE、 EFCD、 EGFH.
11．【中考·扬州】如图，将 ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕l交CD边于点E，连结BE.
(1)求证：四边形BCED′是平行四边形；
证明：根据折叠的性质，得∠D＝∠AD′E.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，∴∠DED′＋∠ED′A＝180°，
∴∠DED′＋∠D＝180°，∴AD∥ED′.
又DE∥AD′，∴四边形DAD′E是平行四边形．
∴DE＝AD′.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC.∴CE＝D′B.又∵EC∥D′B，
∴四边形BCED′是平行四边形．
(2)若BE平分∠ABC，求证：AB2＝AE2＋BE2.
证明：∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠EBA.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠DAB＋∠ABC＝180°.
∵∠DAE＝∠BAE，∴∠BAE＋∠EBA＝90°.
∴∠AEB＝90°.∴AB2＝AE2＋BE2.
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D从点B出发沿射线BA移动，同时，点E从点C出发沿线段AC的延长线移动，已知点D，E移动的速度相同，DE与直线BC相交于点F.过点D作AC的平行线交直线BC于点G.连结CD，GE.
(1)判断四边形CDGE的形状，并证明你的结论；
解：四边形CDGE是平行四边形．
证明如下：
∵D，E移动的速度相同， ∴BD＝CE.
∵DG∥AE， ∴∠DGB＝∠ACB.
∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB.
∴∠B＝∠DGB. ∴BD＝GD＝CE.
又∵DG∥CE， ∴四边形CDGE是平行四边形．
(2)过点D作BC的垂线，垂足为M，点D，E在移动的过程中，线段BM，MF，CF有何数量关系？并说明理由．(不考虑D与B，A重合的情况)
解：①当D在线段AB上时，如图①所示，BM＋CF＝MF.
理由：由(1)得BD＝GD.
∵DM⊥BC，∴BM＝GM.
由(1)知四边形CDGE是平行四边形，
∴GF＝CF.∴BM＋CF＝GM＋GF＝MF.
解：②当点D在线段BA的延长线上时，如图②所示，MF＋CF＝BM.
理由：由(1)知BD＝GD.
又DM⊥BG，∴BM＝MG.
由(1)知四边形CDGE是平行四边形，
∴FG＝FC.∴MF＋CF＝MF＋FG＝MG＝BM.(共26张PPT)
全章整合与提升
华师版 八年级下
第18章 平行四边形
提示：点击 进入习题
答案显示
1
2
3
4
D
14
30°
5
C
8或3
6
7
8
9
见习题
见习题
DO＝BO(答案不唯一)
10
见习题
C
11
12
13
见习题
14
15
D
见习题
答案显示
见习题
见习题
C
1．如图，平行四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则图中平行四边形共有( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
D
2．【创新题】【2021·苏州期末】如图，在 ABCD中，以点B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交AB，BC于点F，G，再分别以点F，G为圆心，大于FG长为半径作弧，两弧交于点H，作射线BH交AD于点E，连结CE.若CE⊥DE，AE＝5，DE＝3，则 ABCD的面积为( )
A．15 B．20
C．28 D．32
14
3．【中考·湖北】如图，已知 ABCD的对角线AC，BD交于点O，且AC＝8，BD＝10，AB＝5，则△OCD的周长为________．
30°
4．如图，在 ABCD中，∠D＝100°，∠DAB的平分线AE交DC于点E，连结BE，若AE＝AB，则∠EBC的度数为________．
【点拨】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D＋∠DAB＝180°，∠D＝∠ABC＝100°.
∴∠DAB＝80°.∵AE平分∠DAB，∴∠EAB＝40°.∵AE＝AB，∴∠ABE＝(180°－40°)＝70°.∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝100°－70°＝30°.
5．【中考·通辽】在 ABCD中，AE平分∠BAD交边BC于点E，DF平分∠ADC交边BC于点F，若AD＝11，EF＝5，则AB＝________．
【点拨】分两种情况讨论．
如图①，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD∥BC.∴∠DAE＝∠AEB.
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAE，∴∠BAE＝∠AEB.
∴AB＝BE＝BF＋EF.
同理可知CD＝CF＝CE＋EF.
∴BF＋EF＝CE＋EF，∴BF＝CE.
∵AD＝BC＝11，EF＝5，
∴BF＝CE＝ ×(11－5)＝3.
∴BE＝EF＋BF＝5＋3＝8，∴AB＝8.
【答案】8或3
如图②，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB.∵AE平分∠DAB，
∴∠BAE＝∠DAE＝∠AEB，∴AB＝BE.同理可得CD＝CF.
∵BC＝BE＋EF＋CF，∴AD＝AB＋EF＋CD，
∴11＝2AB＋5，∴AB＝3.
6．【中考·巴中】如图，四边形ABCD是平行四边形，延长BA至点E，使AE＋CD＝AD，连结CE，求证：CE平分∠BCD.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC.
∴∠E＝∠DCE.∵AE＋CD＝AD，
∴AE＋AB＝BC，即BE＝BC.∴∠E＝∠BCE.
∴∠DCE＝∠BCE，即CE平分∠BCD.
7．【中考·梅州】如图，在 ABCD中，BD⊥AD，∠A＝45°，E，F分别是AB，CD上的点，且BE＝DF，连结EF交BD于点O.
(1)求证：BO＝DO；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，∴∠OBE＝∠ODF.
在△OBE和△ODF中，
∴△OBE≌△ODF.∴BO＝DO.
(2)若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于点G，当FG＝1时，求AE的长．
解：∵EF⊥AB，AB∥DC，∴∠GEA＝∠GFD＝90°.
∵∠A＝45°，∴∠G＝∠A＝45°，∴AE＝GE.
∵BD⊥AD，∴∠ADB＝∠GDO＝90°，
∴∠GOD＝∠G＝45°，∴DG＝DO，
∴OF＝FG＝1，由(1)易知，OE＝OF＝1，
∴GE＝OE＋OF＋FG＝3.∴AE＝3.
C
8．如图，AD＝BC，要使四边形ABCD成为平行四边形，还需添加的一个条件是( )
A．AB∥CD
B．AC＝BC
C．∠1＝∠2
D．∠B＝∠1
DO＝BO(答案不唯一)
9．【中考·牡丹江】如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，AO＝CO，请添加一个条件：__________________
(只添一个即可)，使四边形ABCD是平行四边形．
10．如图，∠DBC＝90°，四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由．
解：四边形ABCD是平行四边形．理由：
∵∠DBC＝90°，
∴DB2＋BC2＝DC2，即42＋(x－5)2＝(x－3)2，解得x＝8，
∴DC＝5，BC＝3，AD＝3，
∴AD＝BC，DC＝AB，
∴四边形ABCD是平行四边形．
11.【中考·镇江】如图，点B，E分别在AC，DF上，AF分别交BD，CE于点M，N，∠A＝∠F，∠1＝∠2.
(1)求证：四边形BCED是平行四边形；
证明：∵∠A＝∠F，∴DF∥BC.
∵∠1＝∠2，且∠1＝∠DMF，
∴∠DMF＝∠2，∴DB∥EC.
∴四边形BCED是平行四边形．
(2)已知DE＝2，连结BN，若BN平分∠DBC，求CN的长．
解：∵BN平分∠DBC，∴∠DBN＝∠CBN.
∵EC∥DB，∴∠CNB＝∠DBN.
∴∠CNB＝∠CBN，∴CN＝BC.
∵四边形BCED是平行四边形，
∴BC＝DE＝2，∴CN＝2.
12．如图，四边形ABCD为平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，E，F是AC上两点，AE＝CF，M，N在直线BD上，BM＝DN，求证：∠ENF＝∠FME.
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
又∵AE＝CF，BM＝DN，
∴OA－AE＝OC－CF，OB＋BM＝OD＋DN，即OE＝OF，OM＝ON.
∴四边形EMFN为平行四边形，
∴∠ENF＝∠FME.
13．如图，在 ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE＝CF，连结EF，分别交AB，CD于点M，N，连结DM，BN，BD.求证：
(1)△AEM≌△CFN；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB＝∠BCD，AD∥BC.
∴∠EAM＝∠FCN，∠E＝∠F.
又∵AE＝CF，∴△AEM≌△CFN.
(2)MN与BD互相平分．
证明：由(1)知△AEM≌△CFN，∴AM＝CN.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD.
∴AB－AM＝CD－CN，即BM＝DN.
∴四边形BMDN是平行四边形．
∴MN与BD互相平分．
14．【创新题】【2021·重庆巴蜀中学月考】如图，等边三角形ABC的边长为6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动．设运动时间为t s，以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，t＝( )
A．1或2 B．2或3
C．2或4 D．2或6
D
15．如图，在 ABCD中，E、F分别在边DC、BC上，且AE＝AF，过D点作DG⊥AF于G，过B点作BH⊥AE于H，求证：DG＝BH.
证明：如图，连结BE，DF.
∵△ADF的面积＝ AD·AD边上的高，△ABE的面积＝ AB·AB边上的高， ABCD的面积＝AD·AD边上的高＝AB·AB边上的高，
∴△ADF的面积＝△ABE的面积，
∴ AF·DG＝ AE·BH，
又∵AE＝AF，∴DG＝BH.(共10张PPT)
专题技能训练(四)
训练2 利用平行四边形的性质和判定解题的四种常见题型
华师版 八年级下
第18章 平行四边形
提示：点击 进入习题
答案显示
1
2
3
4
见习题
见习题
见习题
见习题
1．【2021·驻马店驿城区期末】如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E为AO的中点，过点A作AF∥BD交BE的延长线于点F，连结DF.
求证：四边形AODF是平行四边形．
证明：∵AF∥BD，
∴∠EAF＝∠EOB，∠AFE＝∠OBE.
又∵点E为AO的中点，∴AE＝OE，
∴△AEF≌△OEB，
∴AF＝OB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
∴AF＝OD，
又∵AF∥OD，
∴四边形AODF是平行四边形．
2．如图，在 ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，且BE＝DF.求证：AC，EF互相平分．
证明：如图，连结AE，CF.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
又∵DF＝BE，∴AF＝CE，
∴四边形AECF为平行四边形，
∴AC，EF互相平分．
3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝5，BC＝8，M是CD的中点，P是BC边上的一个动点(点P与点B，C不重合)，连结PM并延长交AD的延长线于点Q.问：当BP取何值时，四边形ABPQ是平行四边形？请说明理由．
解：当BP＝ 时，四边形ABPQ是平行四边形．
理由：设PC＝x，则BP＝8－x.
因为M是CD的中点，所以DM＝CM.
因为AD∥BC，所以∠Q＝∠MPC.
又因为∠DMQ＝∠CMP，
所以△DMQ≌△CMP.
所以DQ＝PC＝x.
所以AQ＝AD＋DQ＝5＋x.
因为四边形ABPQ是平行四边形，
所以BP＝AQ，所以8－x＝5＋x.解得x＝ .
所以BP＝ .
故当BP＝ 时，四边形ABPQ是平行四边形．
4．如图，在长方形纸片ABCD中，翻折∠B，∠D，使BC，AD都恰好落在AC上，F，H分别是B，D落在AC上的两点，E，G分别是折痕CE，AG与AB，CD的交点．
(1)求证：四边形AECG是平行四边形；
证明：由翻折的性质可得∠GAH＝ ∠DAC，∠ECF＝ ∠ACB.
∵四边形ABCD是长方形，
∴CD∥AB，DA∥BC.∴∠DAC＝∠ACB.
∴∠GAH＝∠ECF.∴AG∥CE.
∴四边形AECG是平行四边形．
(2)若AB＝4 cm，BC＝3 cm，求线段EF的长．
解：易得AC＝5 cm，EF＝BE，CF＝BC＝3 cm，∴AF＝2 cm.
设EF＝BE＝x cm，则AE＝(4－x)cm.
由翻折可得，∠CFE＝∠B＝90°，∴∠AFE＝90°.
在Rt△AEF中，AE2＝AF2＋EF2，
即(4－x)2＝22＋x2，解得x＝ .
∴线段EF的长为 cm.(共30张PPT)
华师版 八年级下
18.2 平行四边形的判定
第1课时 用边的关系判定平行四边形
第18章 平行四边形
1
2
相等
提示：点击 进入习题
答案显示
新知笔记
基础巩固练
1
2
3
4
D
5
C
平行且相等
C
AD＝BC(答案不唯一)
平行四边形
6
7
8
9
B
D
B
10
C
11
12
13
B
14
15
见习题
见习题
答案显示
A
C
见习题
提示：点击 进入习题
答案显示
16
见习题
相等
平行且相等
1．平行四边形的判定定理1：两组对边分别________的四边形是平行四边形．
2．平行四边形的判定定理2：一组对边__________的四边形是平行四边形．
C
1．如图，AB＝CD＝EF，△ACE≌△BDF，则图中平行四边形的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．0
D
2．下列图形中，一定可以拼成平行四边形的是( )
A．两个等腰三角形
B．两个直角三角形
C．两个锐角三角形
D．两个全等三角形
3．在四边形ABCD中，若AB＝CD，则添加一个条件：_____________________，能得到平行四边形ABCD.(不添加辅助线，任意添加一个符合题意的条件即可)
AD＝BC(答案不唯一)
平行四边形
4．【荣德原创】已知一四边形的四边长依次是a，b，c，d，且满足a2＋b2＋c2＋d2＝2ac＋2bd，则这个四边形的形状是________________．
C
5．在四边形ABCD中，AD＝BC，若四边形ABCD是平行四边形，则还应满足( )
A．∠A＋∠C＝180° B．∠B＋∠D＝180°
C．∠A＋∠B＝180° D．∠A＋∠D＝180°
B
6．【中考·衡阳】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD是平行四边形，可添加的条件不正确的是( )
A．AB＝CD
B．BC＝AD
C．∠A＝∠C
D．BC∥AD
7．【中考·东营】如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连结DE并延长，交AB的延长线于F，AB＝BF.添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形，你认为下列四个条件可选择的是( )
A．AD＝BC B．CD＝BF
C．∠A＝∠C D．∠F＝∠CDF
【答案】D
【点拨】题干中有AB＝BF，因此证AB∥CD，AB＝CD即可，而要证明这两个条件应证△BEF≌△CED，结合题干中的条件：E为BC中点，又有对顶角，因此添加∠F＝∠CDF可证AB∥CD，△BEF≌△CED，可得BF＝CD，从而得AB＝CD.
C
8．【2021·邯郸模拟】如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且AE＝CF.求证：DE＝BF.以下是排乱的证明过程：①∵AE＝CF，∴BE＝FD；②∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD；③∴DE＝BF；④∴四边形EBFD是平行四边形．证明步骤正确的顺序是( )
A．①→②→③→④ B．①→④→②→③
C．②→①→④→③ D．②→④→①→③
B
9．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，D是BC上的点，E是AC上的点，F是AB上的点，且AF＝CE，连结FD，DE，DF∥AC，那么四边形AFDE的周长是( )
A．5 B．10
C．15 D．20
10．顺次连结平面上A、B、C、D四点得到一个四边形，从①AB∥CD，②BC＝AD，③∠A＝∠C，④∠B＝∠D四个条件中任取两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况共有( )
A．5种 B．4种 C．3种 D．1种
【点拨】共有6种组合：①②，①③，①④，②③，②④，③④.选①②时，一组对边平行，另一组对边相等不能证明四边形是平行四边形；选①③时，一组对边平行，一组对角相等可以证明两组对边分别平行；①④同①③一样可以判定；②③连结四边形的一条对角线，得到两个三角形满足两边分别相等，且其中一边的对角相等，不能判定两个三角形全等，从而不能
【答案】C
得到四边形是平行四边形；②④与②③道理相同，③④两组对角分别相等可以判定四边形是平行四边形，综上所述，有3种组合可以，故选C.
A
11．【2021·杭州余杭区月考】如图所示的正方形网格中共有16个格点(组成网格的小正方形的顶点称为格点)，若以A，B两个格点为顶点作格点平行四边形(顶点均为格点的平行四边形称为格点平行四边形)，则可以作出的格点平行四边形的个数为( )
A．10 B．9
C．8 D．5
B
12．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD＝BC＝5，DC＝7，AB＝13.点P从点A出发以3个单位/s的速度沿AD→DC向终点C运动，同时点Q从点B出发以1个单位/s的速度沿BA向终点A运动．当四边形PQBC为平行四边形时，运动时间为( )
A．4 s B．3 s
C．2 s D．1 s
13．【2021·成都双流区期末】如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，DE＝BF，∠ADB＝∠CBD.
(1)求证：四边形ABCD为平行四边形；
证明：∵∠ADB＝∠CBD，∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BCF.
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠DEA＝∠BFC＝90°.
又∵DE＝BF，∴△DEA≌△BFC，
∴AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
(2)若AD＝13，DE＝12，DC＝20，求四边形ABCD的面积．
解：∵DE⊥AC，
∴∠DEA＝∠DEC＝90°，
∵AD＝13，DE＝12，DC＝20，
∴AE＝ ＝5，CE＝ ＝16，
∴S△ADC＝ ×(5＋16)×12＝126，
∴四边形ABCD的面积为2×126＝252.
14．如图，△DAB，△EBC，△FAC都是等边三角形，试说明四边形AFED是平行四边形．
解：∵△EBC，△DAB，△FAC都是等边三角形，
∴DB＝AB，BE＝BC，∠DBA＝∠EBC＝60°，
AC＝AF.
∵∠DBA＝∠DBE＋∠EBA，
∠EBC＝∠ABC＋∠EBA，∴∠DBE＝∠ABC.
∴△DBE≌△ABC.∴DE＝AC＝AF.
同理可证AD＝EF，
∴四边形AFED是平行四边形．
15．【中考·黄冈】如图，在 ABCD中，E，F分别为边AD，BC的中点，对角线AC分别交BE，DF于点G，H.求证：AG＝CH.
证明：∵E，F分别是AD，BC的中点，
∴AE＝DE＝ AD，CF＝BF＝ BC.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠EAG＝∠FCH，DE∥BF，DE＝BF，AE＝CF.
∴四边形BEDF是平行四边形．
∴∠BED＝∠DFB.∴∠AEG＝∠CFH.
在△AGE和△CHF中，
∴△AGE≌△CHF.∴AG＝CH.
16．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝24 cm，BC＝30 cm，点P自点A以1 cm/s的速度向点D运动，到D点即停止；点Q自点C以2 cm/s的速度向点B运动，到B点即停止，直线PQ截梯形为两个四边形．P，Q同时出发，几秒后其中一个四边形为平行四边形？
解：设P，Q同时出发，t s后四边形PDCQ或四边形APQB是平行四边形．
根据已知得到AP＝t cm，PD＝(24－t)cm，CQ＝2t cm，BQ＝(30－2t) cm.
①若四边形PDCQ是平行四边形，
则PD＝CQ，
∴24－t＝2t，∴t＝8.
∴8 s后四边形PDCQ是平行四边形．
②若四边形APQB是平行四边形，
则AP＝BQ，
∴t＝30－2t，∴t＝10.
∴10 s后四边形APQB是平行四边形．
∴出发8 s或10 s后其中一个四边形是平行四边形．
