(共26张PPT)
全章整合与提升
华师版 八年级下
第19章 矩形、菱形与正方形
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1
2
3
4
B
C
4
5
A
6
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8
9
4
见习题
见习题
10
A
B
11
12
见习题
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见习题
13
见习题
1．下列说法正确的是( )
A．矩形的四个角都是直角
B．矩形的对角线互相垂直
C．矩形有4条对称轴
D．矩形的四条边都相等
A
2．如图，在菱形ABCD中，E、F、G、H分别是菱形四边的中点，连结EG与FH交于点O，则图中的菱形共有( )
A．4个 B．5个
C．6个 D．7个
B
3．下列说法正确的是( )
A．有一个角是直角的四边形是正方形
B．有一组邻边相等的四边形是正方形
C．有一组邻边相等的矩形是正方形
D．四条边都相等的四边形是正方形
C
4．如图，在矩形ABCD中，BD＝8，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为点E，且AE平分∠BAC，则AB的长为________．
4
5．【中考·鞍山改编】如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AD，DC的中点，若BD＝4，EF＝3，则菱形ABCD的边长为________．
6．如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝4，AE＝CF＝1，则四边形BEDF的面积是________．
4
7．如图，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC，四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连结CE.求证：四边形BECD是矩形．
证明：∵AB＝BC，∴△ABC为等腰三角形．
∵BD平分∠ABC，∴AD＝CD，BD⊥CD.
又∵四边形ABED是平行四边形，∴AD∥BE，且AD＝BE.
∵AD＝CD，∴CD＝BE，∴四边形BECD是平行四边形．
∵BD⊥CD，∴四边形BECD是矩形．
8．如图，在正方形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，连结BE，BF，DE，DF.下列条件中，添加一个条件可以判定四边形BEDF为菱形的是( )
A．∠1＝∠2 B．BE＝DF
C．∠EDF＝60° D．AB＝AF
B
9.【创新题】【2021·张家界】如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠AOB＝60°，对角线AC所在的直线绕点O顺时针旋转α(0°<α<120°)，所得的直线l分别交AD，BC于点E，F.
(1)求证：△AOE≌△COF；
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AO＝CO，
∴∠AEO＝∠CFO.
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF.
解：当α＝90°时，四边形AFCE为菱形．
理由：∵△AOE≌△COF，∴OE＝OF.
又∵AO＝CO，
∴四边形AFCE为平行四边形，
又∵∠AOE＝α＝90°，
∴四边形AFCE为菱形．
(2)当旋转角α为多少度时，四边形AFCE为菱形？试说明理由．
10．【中考·抚顺】如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点，连结EM，MF，FN，NE，要使四边形EMFN为正方形，则需添加的条件是( )
A．AB＝CD，AB⊥CD
B．AB＝CD，AD＝BC
C．AB＝CD，AC⊥BD
D．AB＝CD，AD∥BC
A
11．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M , N.
(1)求证：∠ADB＝∠CDB；
证明：∵对角线BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD.
在△ABD和△CBD中，
∴△ABD≌△CBD，
∴∠ADB＝∠CDB.
(2)若∠ADC＝90°，求证：四边形MPND是正方形．
证明：∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠PMD＝∠PND＝90°，
又∵∠ADC＝90°，∴四边形MPND是矩形．
∵∠ADB＝∠CDB，∴∠ADB＝45°，
∴PM＝MD，
∴四边形MPND是正方形．
12．如图，在四边形ABCD中，∠C＝90°，∠ABD＝∠CBD，AB＝CB，P是BD上一点，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为点E，F.求证：PA＝EF.
证明：如图，连结PC.
在△ABP和△CBP中，
∴△ABP≌△CBP，∴AP＝CP.
∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD＝90°，
∴四边形PECF是矩形，
∴PC＝EF. ∴PA＝EF.
13．在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD＝16，对角线AC，BD相交于点G，点O是直线BD上的动点，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F.
(1)求对角线AC的长及菱形ABCD的面积．
解：∵四边形ABCD是菱形，
在Rt△ABG中，由勾股定理得AG＝ ＝6，
∴AC＝2AG＝2×6＝12.
∴菱形ABCD的面积＝ AC·BD＝ ×12×16＝96.
(2)如图①，当点O在对角线BD上运动时，OE＋OF的值是否发生变化？请说明理由．
解：OE＋OF的值不变．理由如下：
如图①，连结AO，
则S△ABD＝S△ABO＋S△AOD，
解得OE＋OF＝9.6，是定值，不变．
(3)如图②，当点O在对角线BD的延长线上时，OE＋OF的值是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请探究OE，OF之间的数量关系，并说明理由．
解：OE＋OF的值发生变化，OE，OF之间的数量关系为OE－OF＝9.6.理由如下：如图②，连结AO，
则S△ABD＝S△ABO－S△AOD，
解得OE－OF＝9.6，是定值，不变．
∴OE＋OF的值发生变化，OE，OF之间的数量关系为OE－OF＝9.6.(共33张PPT)
19.3 正方形
第1课时 正方形的性质
第19章 矩形、菱形与正方形
华师版 八年级下
1
(1)相等 (2)直角 (3)相等且互相垂直平分
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新知笔记
基础巩固练
1
2
3
4
B
5
B
C
B
D
6
7
8
9
2 021
D
B
10
11
12
13
见习题
见习题
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见习题
C
见习题
正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形，它具有以下性质：
(1)四条边都__________；(2)四个角都是__________；
(3)对角线_____________________．
相等
直角
相等且互相垂直平分
1．【中考 遂宁】下列说法正确的是( )
A．有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等
B．正方形既是轴对称图形又是中心对称图形
C．矩形的对角线互相垂直平分
D．六边形的内角和是540°
B
2．正方形具有而菱形不一定具有的性质是( )
A．对角线互相平分
B．对角线相等
C．对角线互相垂直
D．每条对角线平分一组对角
B
B
3．【2021·泰州】如图，P为AB上任意一点，分别以AP，PB为边在AB同侧作正方形APCD，正方形PBEF，设∠CBE＝α，则∠AFP为( )
D
4．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置．若四边形AECF的面积为25，DE＝2，则AE的长为( )
5．【中考·鄂尔多斯】如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ABE，则∠BED为( )
A．15° B．35° C．45° D．55°
C
6．【荣德原创】将2 022个边长为2的正方形按照如图所示的方式摆放，O1，O2，O3，O4，O5，…，O2 022分别是正方形对角线的交点，那么这2 021个正方形重叠部分(阴影部分)的面积之和为________．
【答案】2 021
【点拨】由题意知一个重叠部分的面积是正方形面积的 ，并且两个正方形可得一个重叠部分，三个正方形可得两个重叠部分，…，则2 022个这样的正方形重叠部分的面积和＝2 021个重叠部分的面积的和＝2 021.
7．【创新题】如图，在正方形ABCD中，BD为对角线，E，F分别是AD，CD上的点，且AE＝CF，连结BE，BF，EF.
(1)求证：EM＝FM；
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADB＝∠CDB＝45°，
又∵AE＝CF，
∴DE＝DF，∴EM＝FM.
(2)若AB＝4，AF＝1，求四边形BEDF的面积．
解：∵DE ∶AE＝2 ∶1，
∴设AE＝x，DE＝2x.∴AB＝AD＝3x，DF＝2x.
8．【中考·仙桃】如图，正方形ABCD中，AB＝6，G是BC的中点，将△ABG沿AG折叠至△AFG处，延长GF交DC于点E，则DE的长是( )
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
【答案】C
【点拨】连结AE，由题易知AB＝AD＝AF，∠D＝∠B＝∠AFG＝∠AFE＝90°，GF＝BG＝GC＝3.在Rt△AFE与Rt△ADE中，
∴Rt△AFE≌Rt△ADE，∴FE＝DE.设DE＝FE＝x，则EG＝3＋x，EC＝6－x，在Rt△ECG中，根据勾股定理得(6－x)2＋32＝(x＋3)2，解得x＝2，则DE＝2.
9．【中考·攀枝花】如图，在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，BE＝4，EC＝8，将正方形边AB沿AE折叠到AF，延长EF交DC于G，连结AG，FC，现在有如下4个结论：
①∠EAG＝45°；②FG＝FC；③FC∥AG；④S△GFC＝14.
其中正确结论的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
B
D
10.【创新题】【中考·河南】我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D′处，则点C的对应点C′的坐标为( )
11．【中考·贵阳】如图，点E是正方形ABCD外一点，点F是线段AE上一点，△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF＝90°，连结CE，CF.
(1)求证：△ABF≌△CBE；
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB，∠ABC＝90°.
∵△EBF是等腰直角三角形，∠EBF＝90°，
∴BE＝BF.
∴∠ABC－∠CBF＝∠EBF－∠CBF.
∴∠ABF＝∠CBE.
在△ABF和△CBE中，
∴△ABF≌△CBE.
(2)判断△CEF的形状，并说明理由．
解：△CEF是直角三角形．
理由如下：∵△EBF是等腰直角三角形，∠EBF＝90°，
∴∠BFE＝∠FEB＝45°.
∴∠AFB＝180°－∠BFE＝135°.
又∵△ABF≌△CBE，∴∠CEB＝∠AFB＝135°.
∴∠CEF＝∠CEB－∠FEB＝135°－45°＝90°.
∴△CEF是直角三角形．
12．【2021·南京期中】如图，在正方形ABCD中，点E，F，G分别在CD，AD，BC上，FG⊥BE，垂足为O.
(1)求证：BE＝FG；
证明：作AM∥FG交BE于N，交BC于M.
∵FG⊥BE，∴∠FOB＝90°.
∵AM∥FG，∴∠ANB ＝∠FOB ＝90°.
∴∠ABN＋∠BAM＝90°.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AB＝BC，∠ABC＝∠C＝90°.
∴∠ABN＋∠EBC＝90°.∴∠BAM＝∠EBC.
在△ABM和△BCE中，
∴△ABM≌△BCE.∴AM＝BE. ∵AF∥MG，AM∥FG，∴四边形AMGF为平行四边形．
∴AM＝FG. ∴BE＝FG.
解：连结BF，EF，
∵FG⊥BE，O是BE的中点，∴BF＝FE.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝DC＝BC＝8.
∵EC＝3，∴DE＝5.
设AF＝x，则DF＝8－x.
(2)若O是BE的中点，BC＝8，EC＝3，求AF的长．
在Rt△ABF中，由勾股定理得BF2＝AB2＋AF2.
在Rt△DEF中，由勾股定理得EF2＝DF2＋DE2.
∵BF＝FE，∴BF2＝EF2.
即82＋x2＝52＋(8－x)2，
13．某数学兴趣小组在数学课外活动中，研究三角形和正方形的性质时，做了如下探究：
在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点(点D不与B，C重合)，以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连结CF.
(1)观察猜想
如图①，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为________，
②BC，CD，CF之间的数量关系为_______________．(将结论直接写在横线上)
垂直
BC＝CD＋CF
(2)数学思考
如图②，当点D在线段CB的延长线上时，结论①②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
解：①成立．②不成立，
正确结论为BC＝CD－CF.
证明：∵四边形ADEF是正方形，∴AD＝AF，∠DAF＝90°.
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAB＝∠DAF－∠BAF＝∠BAC－∠BAF＝∠FAC.
∵AD＝AF，AB＝AC，∴△DAB≌△FAC.
∴BD＝CF，∠DBA＝∠FCA.
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°.
∴∠DBA＝∠FCA＝135°.
∴∠BCF＝∠FCA－∠ACB＝90°.∴CF⊥BC.
∵BC＝CD－BD，BD＝CF，∴BC＝CD－CF.
【点拨】对于线段之间关系的结论猜想题，一般要考虑两种情况：一是位置关系，即平行或垂直；二是数量关系，即相等或倍数关系，若是三条线段，一般存在三者间的和差关系．这两种情况下的结论一般可以通过观察图形得到．如此题中，BC与CF的垂直关系易得，而BC，CD，CF之间的数量关系在不同图形中也容易辨识．
解：过点A作AM⊥BC于M，过点E作EN⊥BC交BC的延长线于N，过点E作EP⊥CF于P，易知四边形PCNE为矩形．
∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝ ，∴BC＝4，
∴易得AM＝BM＝MC＝2.
∵CD＝ BC，∴CD＝1，MD＝3.
∵∠ADC＋∠EDN＝90°，∠EDN＋∠DEN＝90°，
∴∠ADC＝∠DEN.
∵∠AMD＝∠DNE＝90°，AD＝DE，
∴△AMD≌△DNE.
∴AM＝DN＝2，MD＝EN＝3，∴CN＝CD＋DN＝3.
易知CG＝BC＝4，∴GP＝CG－CP＝CG－EN＝4－3＝1.
∵在Rt△GPE中，GP＝1，PE＝CN＝3，
∴GE＝(共26张PPT)
第19章 矩形、菱形与正方形
华师版 八年级下
专题技能训练(五)
训练 特殊四边形的动点问题
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1
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4
见习题
5
见习题
见习题
见习题
见习题
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8
见习题
见习题
见习题
1．如图，在 ABCD中，E，F两点在对角线BD上运动(E，F两点不重合，且E点在F点的左侧)，且保持BE＝DF，连结AE，CF.请你猜想AE与CF有怎样的数量关系和位置关系，并对你的猜想加以证明．
解：AE＝CF，AE∥CF.证明如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD.
∴∠ABE＝∠CDF.
∴△ABE≌△CDF.
∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD.
∵∠AEB＋∠AED＝∠CFD＋∠CFB＝180°，
∴∠AED＝∠CFB.
∴AE∥CF.
2．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若E，F是AC上两动点，并且E，F分别从A，C两点同时以2 cm/s的速度向终点C，A运动．
(1)四边形DEBF是平行四边形吗？说明你的理由．
解：四边形DEBF是平行四边形．
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵E，F是AC上两动点，并且E，F分别从A，C两点同时以2 cm/s的速度向终点C，A运动，
∴AE＝CF，
∴OE＝OF，
∴四边形DEBF是平行四边形．
(2)若BD＝10 cm，AC＝18 cm，设运动时间为t s，t为何值时，以D，E，B，F为顶点的四边形为矩形？
解：根据题意得AE＝CF＝2t cm.
∵以D，E，B，F为顶点的四边形是平行四边形，
∴当EF＝BD时，以D，E，B，F为顶点的四边形为矩形，
即AC－AE－CF＝BD或AE＋CF－AC＝BD，
∴18－2t－2t＝10或2t＋2t－18＝10，解得t＝2或t＝7，
∴当t为2或7时，以D，E，B，F为顶点的四边形为矩形．
3．如图，在矩形ABCD中，AB＝20 cm，BC＝4 cm，点P从A开始沿折线A－B－C－D以4 cm/s的速度运动，点Q从C开始沿CD以1 cm/s的速度运动，如果点P，Q分别从A，C同时出发，当其中一点到达点D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t s，则t为何值时，四边形APQD是矩形？
解：根据题意得CQ＝t cm，AP＝4t cm，则BP＝(20－4t)cm.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝∠B＝∠C＝90°，CD∥AB，
∴只有CQ＝BP时，四边形APQD是矩形，即t＝20－4t，解得t＝4，
∴当t＝4时，四边形APQD是矩形．
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝4 cm，BC＝8 cm，点P从点D出发向点A运动，同时点Q从点B出发向点C运动，点P、Q的速度都是1 cm/s.
(1)在运动过程中，四边形AQCP可能是菱形吗？如果可能，那么经过多长时间后，四边形AQCP是菱形？
解：可能．设经过x s后，四边形AQCP是菱形，
则DP＝x cm，CP＝AP＝AD－DP＝(8－x)cm.
∵DP2＋CD2＝PC2，∴x2＋16＝(8－x)2，解得x＝3.
即经过3 s后，四边形AQCP是菱形．
(2)分别求出菱形AQCP的周长和面积．
解：由(1)易得，菱形AQCP的边长为5 cm，
∴菱形AQCP的周长＝5×4＝20(cm)，
菱形AQCP的面积＝5×4＝20(cm2)．
5．如图，在边长为4的菱形ABCD中，BD＝4，E、F分别是AD、CD上的动点(包含端点)，且AE＋CF＝4，连结BE、EF、FB.
(1)试探究BE与BF的数量关系，并证明你的结论；
解：BE＝BF.
证明：∵四边形ABCD是边长为4的菱形，BD＝4，
∴△ABD、△CBD是边长为4的等边三角形．
∵AE＋CF＝4，∴CF＝4－AE＝AD－AE＝DE.
∵BD＝BC＝4，∠BDE＝∠C，∴△BDE≌△BCF.
∴BE＝BF.
(2)求EF的最大值．
解：∵△BDE≌△BCF，∴∠EBD＝∠FBC.
∴∠EBD＋∠DBF＝∠FBC＋∠DBF.∴∠EBF＝∠DBC＝60°.
∵BE＝BF，∴△BEF是等边三角形．
∴EF＝BE＝BF.
∴当动点E运动到点D或点A，即EF＝DC或EF＝AD时，
EF最大，最大值为4.
6．在菱形ABCD中，∠B＝60°，动点E在边BC上，动点F在边CD上．
(1)如图①，若E是BC的中点，∠AEF＝60°，求证：BE＝DF；
证明：(1)连结AC.∵在菱形ABCD中，
∠B＝60°，
∴AB＝BC＝CD，∠BCD＝180°－∠B＝120°.
∴△ABC是等边三角形．
又∵E是BC的中点，∴AE⊥BC.
∵∠AEF＝60°，
∴∠FEC＝90°－∠AEF＝30°.
∴∠CFE＝180°－∠FEC－∠BCD＝180°－30°－120°＝30°.
∴∠FEC＝∠CFE.∴EC＝CF.
∴BE＝DF.
(2)如图②，若∠EAF＝60°，求证：△AEF是等边三角形．
证明：连结AC.由(1)知△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠ACB＝∠BAC＝∠EAF＝60°.
∴∠BAE＝∠BAC－∠EAC＝∠EAF－∠EAC＝∠CAF.
∵∠BCD＝120°，∠ACB＝60°，
∴∠ACF＝60°＝∠B. ∴△ABE≌△ACF.
∴AE＝AF.∴△AEF是等边三角形．
7．如图，在正方形ABCD中，E是边CD上一动点(点E不与点C，D重合)，连结BE，取BE的中点M，过点M作FG⊥BE交BC于点F，交AD于点G.
(1)求证：BE＝FG.
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°.
如图，过点G作GP⊥BC，垂足为P，则四边形ABPG是矩形，
∴PG＝AB＝CB，∠GPF＝90°，∠PGF＋∠GFP＝90°，∵FG⊥BE，∴∠CBE＋∠GFP＝90°，
∴∠PGF＝∠CBE，
∴△GPF≌△BCE.
∴BE＝FG.
(2)连结CM，若CM＝1，试求FG的长．
解：在Rt△BCE中，
∵点M为BE的中点，∴易得BE＝2CM.
∵CM＝1，∴FG＝BE＝2.
8．【中考·北京】如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点(不与A，B重合)，连结DE，点A关于直线DE的对称点为F，连结EF并延长交BC于点G，连结DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连结BH.
(1)求证：GF＝GC；
证明：连结DF，如图．
∵四边形ABCD是正方形，∴DA＝DC，∠A＝∠C＝90°.
∵点A关于直线DE的对称点为F，∴△ADE≌△FDE，
∴DA＝DF＝DC，∠A＝∠DFE＝90°，∴∠DFG＝90°.
∴Rt△DFG≌Rt△DCG，∴GF＝GC.
(2)用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．
证明如下：如图，在线段AD上截取AM，使AM＝AE.
∵AD＝AB，
∴DM＝BE，由(1)知∠1＝∠2，∠3＝∠4.
∵∠ADC＝90°，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝90°，
∴2∠3＋2∠2＝90°，
∴∠2＋∠3＝45°，即∠EDG＝45°. ∵EH⊥DE，
∴∠DEH＝90°，
即△DEH是等腰直角三角形，
∴∠AED＋∠BEH＝∠AED＋∠1＝90°，DE＝EH，∴∠1＝∠BEH.
在△DME和△EBH中，
∴△DME≌△EBH，
∴EM＝BH.又∵在Rt△AEM中，∠A＝90°，AM＝AE，(共28张PPT)
19.2 菱形
第1课时 菱形的性质
第19章 矩形、菱形与正方形
华师版 八年级下
1
2
邻边
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新知笔记
基础巩固练
1
2
3
4
(－5，4)
5
C
相等
A
3
互相垂直
见习题
D
6
7
8
9
D
C
D
10
见习题
11
12
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B
B
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C
见习题
14
见习题
15
见习题
16
1．菱形是有一组________相等的平行四边形．
2．菱形的性质定理1：菱形的四条边都________．
3．菱形的性质定理2：菱形的对角线________．
邻边
相等
互相垂直
1．【2021·成都】如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在BC，DC边上，添加以下条件不能判定△ABE≌△ADF的是( )
A．BE＝DF
B．∠BAE＝∠DAF
C．AE＝AD
D．∠AEB＝∠AFD
C
2．【中考·广州】如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(3，0)，(－2，0)，点D在y轴上，则点C的坐标是________．
(－5，4)
3．【2021·广安】如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在边AB，AD的延长线上，且BE＝DF，连结CE，CF.求证：CE＝CF.
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD，∠ADC＝∠ABC，
∴∠CDF＝∠CBE.
在△BEC和△DFC中，
∴△BEC≌△DFC，
∴CE＝CF.
4．【中考·河北】如图，菱形ABCD中，∠D＝150°，则∠1 的度数为( )
A．30° B．25° C．20° D．15°
D
5．【中考·孝感】如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝10，BD＝24，则菱形ABCD的周长为( )
A．52 B．48 C．40 D．20
A
6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论：①AC⊥BD；②OA＝OB；③∠ADB＝∠CDB；④△ABC是等边三角形．
其中一定成立的是( )
A．①② B．③④
C．②③ D．①③
D
7．【中考·广西改编】如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，已知BO＝4，OC＝3，则AH＝________．
8．【荣德原创】如图，菱形ABCD的周长为8，两个相邻内角∠BAD与∠ADC的度数之比为1 ∶2，对角线AC，BD相交于点O，求AO的长．
解：由题意得AB＝8÷4＝2，∠BAD＋∠ADC＝180°，
又∵∠BAD ∶∠ADC＝1 ∶2，
∴∠BAD＝ ×180°＝60°，
易得△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB＝2.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BO＝ BD＝1.
∴在Rt△ABO中，AO＝
9．对角线长分别为6和8的菱形ABCD如图所示，点O为对角线的交点，过点O折叠菱形，使B，B′两点重合，MN是折痕，若B′M＝1，则CN的长为( )
A．7 B．6
C．5 D．4
D
10．【中考·苏州】如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC＝4，BD＝16，将△ABO沿点A到点C的方向平移，得到△A′B′O′.当点A′与点C重合时，点A与点B′之间的距离为( )
A．6 B．8 C．10 D．12
C
11．【中考·泸州】一个菱形的边长为6，面积为28，则该菱形的两条对角线的长度之和为( )
A．8 B．12 C．16 D．32
C
12．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE＋PB的最小值为( )
【答案】B
【点拨】连结BD，由菱形的对角线互相垂直平分，可得B，D关于直线AC对称，连结DE，与AC交于点P，连结PB，则PD＝PB，∴PE＋PB＝PE＋PD＝DE，即DE就是PE＋PB的最小值．∵∠BAD＝60°，AD＝AB，∴△ABD是等边三角形．∵AE＝BE，∴DE⊥AB.在Rt△ADE中，DE＝
故选B.
13．【创新题】【2021·乐山】如图，已知点P是菱形ABCD的对角线AC延长线上一点，过点P分别作AD，DC延长线的垂线，垂足分别为点E，F.若∠ABC＝120°，AB＝2，则PE－PF的值为( )
B
14．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且AB＝2.
(1)求菱形ABCD的周长；
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，
∴菱形ABCD的周长为8.
(2)若AC＝2，求OB的长．
解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝2，
∴OA＝OC＝ AC＝1，∠AOB＝90°.
在Rt△AOB中，OB＝
15．【中考·聊城】如图，在菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连结AP，E，F是AP上的两点，连结DE，BF，使得∠AED＝∠ABC，∠ABF＝∠BPF.求证：
(1)△ABF≌△DAE；
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，AD∥BC，
∴∠BPA＝∠DAE.
∵∠ABC＝∠AED，∴∠BAF＝∠ADE.
∵∠ABF＝∠BPF，
∴∠ABF＝∠DAE.
∴△ABF≌△DAE.
(2)DE＝BF＋EF.
证明：∵△ABF≌△DAE，
∴AE＝BF，DE＝AF，
∴AF＝AE＋EF＝BF＋EF，
∴DE＝BF＋EF.
16．原题：如图①，点P，Q分别在菱形ABCD的边BC，CD上，∠PAQ＝∠B，求证：AP＝AQ.
(1)小敏进行探索，若将点P，Q的位置特殊化：把∠PAQ绕点A旋转得到∠EAF，使AE⊥BC，点E，F分别在边BC，CD上，如图②，此时她证明了AE＝AF，请你证明．
证明：在菱形ABCD中，∠B＋∠C＝180°，∠B＝∠D，AB＝AD.
∵∠EAF＝∠B，∴∠C＋∠EAF＝180°，
易知∠AEC＋∠AFC＝180°.
∵AE⊥BC，∴∠AEB＝∠AEC＝90°，
∴∠AFC＝90°，
∴∠AFD＝90°，∴∠AEB＝∠AFD，
∴△AEB≌△AFD，∴AE＝AF.
证明：由(1)知∠PAQ＝∠EAF＝∠B，
∴∠EAP＝∠EAF－∠PAF＝∠PAQ－∠PAF＝∠FAQ.
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEP＝∠AFQ＝90°.
由(1)知AE＝AF，∴△AEP≌△AFQ，∴AP＝AQ.
(2)受(1)的启发，在原题中，添加辅助线：如图③，作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，请你继续完成原题的证明．(共28张PPT)
阶段综合训练【范围：19.1～19.3】
华师版 八年级下
第19章 矩形、菱形与正方形
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30°或150°
见习题
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见习题
1．【中考·内江】如图，矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，已知∠BDC＝62°，则∠DFE的度数为( )
A．31° B．28° C．62° D．56°
D
2．【中考·嘉兴】用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD，下列作法中错误的是( )
C
3．【创新题】【2021·包头】如图，在△ABC中，AB＝AC，△DBC和△ABC关于直线BC对称，连结AD，与BC相交于点O，过点C作CE⊥CD，交AD于点E，若AD＝8，BC＝6，则 的值为( )
【点拨】∵△DBC和△ABC关于直线BC对称，
∴AC＝CD，AB＝BD，∵AB＝AC，
∴AC＝CD＝AB＝BD，
∴四边形ABDC是菱形，
∴AD⊥BC，AO＝DO＝4，BO＝CO＝3，
在Rt△CDE中，CE2＋CD2＝DE2，
∴x2＋9＋52＝(4＋x)2，
【答案】D
4．【中考·恩施州】如图，正方形ABCD的边长为4，点E在AB上，BE＝1，F为对角线AC上一动点，则△BFE周长的最小值为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
B
5．【中考·深圳】如图，四边形ACDF是正方形，∠CEA和∠ABF都是直角，且E，A，B三点共线，AB＝4，则阴影部分的面积是________．
8
6．【中考·武汉】以正方形ABCD的边AD作等边三角形ADE， 则∠BEC的度数是______________．
30°或150°
7．【中考·沈阳】如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E.
(1)求证：四边形OCED是矩形；
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∴∠COD＝90°.
∵CE∥OD，DE∥OC，∴四边形OCED是平行四边形．
∵∠COD＝90°，∴四边形OCED是矩形．
(2)若CE＝1，DE＝2，则菱形ABCD的面积是______．
4
8．【中考·青岛】已知：如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连结CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连结FD.
(1)求证：AB＝AF；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AF∥CD，AB＝CD，
∴∠FAD＝∠CDG.
∵G为AD的中点，∴AG＝DG.
又∵∠AGF＝∠DGC，
∴△AGF≌△DGC，∴AF＝CD.
又∵AB＝CD，∴AB＝AF.
解：四边形ACDF为矩形．证明：∵∠BCD＝120°，∴∠BAD＝120°，∴∠FAG＝60°. 又∵AG＝AB，AB＝AF，∴AG＝AF，∴△AGF为等边三角形，∴AG＝FG. ∵AF∥CD，AF＝CD，∴四边形ACDF为平行四边形，∴AD＝2AG，CF＝2FG，∴AD＝CF，
∴四边形ACDF为矩形．
(2)若AG＝AB，∠BCD＝120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．
证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD，CB⊥AB，
又∵AC＝EC，∴AB＝BE，
∴BE＝CD，
∴四边形BECD为平行四边形．
9.【2021·泰安】四边形ABCD为矩形，E是AB延长线上的一点．
(1)如图①，若AC＝EC，求证：四边形BECD为平行四边形；
证明∵AB＝AD，
∴矩形ABCD是正方形，
∴∠CAB＝∠CAD＝45°. ∵EG⊥AC，
∴∠E＝90°－45°＝45°＝∠GAE，
∴GE＝GA，∵AF＝BE，
∴AB＝FE，∴FE＝AD.
(2)如图②，若AB＝AD，点F是AB上的点，AF＝BE，EG⊥AC于点G，求证：△DGF是等腰直角三角形．
在△EGF和△AGD中，
∴△EGF≌△AGD，∴GF＝GD，∠DGA＝∠FGE，
∴∠DGF＝∠DGA＋∠AGF＝∠EGF＋∠AGF＝∠AGE＝90°，
∴△DGF是等腰直角三角形．
10．【中考·毕节】如图，在平行四边形ABCD中，P是对角线BD上的一点，过点C作CQ∥DB，且CQ＝DP，连结AP，BQ，PQ.
(1)求证：△APD≌△BQC；
证明：如图，∵CQ∥DB，
∴∠2＝∠3.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，
∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3.
∴△APD≌△BQC.
(2)若∠ABP＋∠BQC＝180°，求证：四边形ABQP为菱形．
证明：∵△APD≌△BQC，∴AP＝BQ，∠APD＝∠BQC.
又∵∠ABP＋∠BQC＝180°，∴∠ABP＋∠APD＝180°.
又∵∠APB＋∠APD＝180°，∴∠ABP＝∠APB，∴AB＝AP.
∵CQ DP，∴四边形CDPQ是平行四边形，∴CD＝PQ.
又∵AB＝CD，∴AB＝AP＝PQ＝BQ，∴四边形ABQP为菱形．
11．【中考·盐城】在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E，F，满足BE＝DF，连结AE，AF，CE，CF，如图所示．
(1)求证：△ABE≌△ADF；
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ABD＝∠ADB＝45°，∴∠ABE＝∠ADF＝135°.
在△ABE和△ADF中，
∴△ABE≌△ADF.
(2)试判断四边形AECF的形状，并说明理由．
解：四边形AECF为菱形．
理由：连结AC.
∵△ABE≌△ADF.∴AE＝AF.
∵四边形ABCD是正方形，∴EF垂直平分AC.
∴EA＝EC，FA＝FC，∴EA＝EC＝FA＝FC，
∴四边形AECF是菱形．
12．如图，P，Q，R，S四个小球分别从正方形的四个顶点A，B，C，D同时出发，以同样的速度分别沿AB，BC，CD，DA的方向滚动，其终点分别是B，C，D，A.
(1)求证：在任何运动时刻，连结四个小球所得的四边形PQRS总是正方形．
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
AB＝BC＝CD＝DA.
又∵在任何运动时刻，AP＝BQ＝CR＝DS，∴PB＝QC＝RD＝SA. ∴△ASP≌△BPQ≌△CQR≌△DRS.
∴PS＝QP＝RQ＝SR，∠ASP＝∠BPQ. ∴在任何运动时刻，连结四个小球所得的四边形PQRS总是菱形．又∵∠APS＋∠ASP＝90°，∴∠APS＋∠BPQ＝90°.
∴∠QPS＝180°－(∠APS＋∠BPQ)＝180°－90°＝90°. ∴在任何运动时刻，连结四个小球所得的四边形PQRS总是正方形．
(2)请直接写出四边形PQRS在什么时候面积最大？
解：当P，Q，R，S在出发时或在到达终点时面积最大，此时的面积就等于原正方形ABCD的面积．(共24张PPT)
第19章 矩形、菱形与正方形
华师版 八年级下
19.2 菱形
第3课时 菱形性质和判定的综合应用
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1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE∥BD，过点D作ED∥AC，AE与ED相交于点E.
(1)求证：AE＝DE；
证明：∵AE∥BD，ED∥AC，∴四边形AODE是平行四边形．∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC＝ AC，OD＝OB＝ BD，AC＝BD，
∴OA＝OD，∴四边形AODE是菱形．
∴AE＝DE.
解：如图，连结OE.∵四边形AODE是菱形，∴AE＝AO.
由(1)知AO＝OB，∴AE＝OB.
又∵AE∥BD，∴四边形AEOB是平行四边形．
∵BE⊥ED，ED∥AC，∴BE⊥AC，
∴四边形AEOB是菱形，∴AB＝OB，
∴AB＝OB＝OA，∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，∴∠AOD＝180°－60°＝120°.
(2)连结BE，交AC于点F.若BE⊥ED，求∠AOD的度数．
2．如图，点E，F分别是 ABCD的边BC，AD的中点，且∠BAC＝90°.
(1)求证：四边形AECF是菱形；
证明：如图，连结EF交AC于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC.
∵E，F分别是 ABCD的边BC，AD的中点，
∴BE＝CE＝ BC，AF＝FD＝ AD，
∴BE＝CE＝AF. ∵AD∥BC，
∴四边形ABEF和四边形AECF都是平行四边形，
∴AB∥EF.∴∠BAC＝∠EOC.
又∵∠BAC＝90°，∴∠COE＝90°，
∴AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形．
(2)若∠B＝30°，求∠ACF的度数．
解：∵∠BAC＝90°，∠B＝30°，
∴∠ACE＝60°.由(1)知，四边形AECF是菱形，
∴∠ACF＝∠ACE＝60°.
3．如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于点N，连结BM，DN.
(1)求证：四边形BMDN是菱形；
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠MDO＝∠NBO，
∴△DMO≌△BNO，
∴DM＝BN，
又∵DM∥BN，
∴四边形BMDN是平行四边形．
∵MN⊥BD，
∴四边形BMDN是菱形．
(2)若AB＝6，AD＝8，求菱形BMDN的面积和对角线MN的长．
解：∵四边形BMDN是菱形，
∴MB＝MD.设MD＝x，则MB＝x，AM＝8－x.
在Rt△AMB中，BM2＝AM2＋AB2，即x2＝(8－x)2＋62，
4．【2021·南京鼓楼区月考】如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，以OD，CD为邻边作平行四边形DOEC，OE交BC于点F，连结BE.
(1)求证：F为BC的中点；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，∵四边形DOEC为平行四边形，∴OD∥EC，OD＝EC，∴EC∥OB，EC＝OB，∴四边形OBEC为平行四边形，∴BF＝CF，即F是BC的中点．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，OB⊥AC，
∴ ABCD是菱形，
∵四边形OBEC为平行四边形，OB⊥AC，
∴ OBEC是矩形，
∴BC＝OE＝2OF，∵OF＝2，
∴BC＝4，
∴四边形ABCD的周长＝4BC＝16.
(2)若OB⊥AC，OF＝2，求四边形ABCD的周长．
5．【中考·南宁】如图，在 ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE＝DF.
(1)求证： ABCD是菱形；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D.
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°.
在△AEB和△AFD中，
∴△AEB≌△AFD，∴AB＝AD，
∴ ABCD是菱形．
(2)若AB＝5，AC＝6，求 ABCD的面积．
解：连结BD交AC于O，
∵ ABCD是菱形，AC＝6，
∴AC⊥BD，AO＝OC＝ AC＝3.
又∵AB＝5，
∴BO＝ ＝4，
∴BD＝2BO＝8，
∴S ABCD＝ AC·BD＝24.
6．【中考·滨州】如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连结CG.
(1)求证：四边形CEFG是菱形；
证明：由题意可得△BCE≌△BFE，∴∠BEC＝∠BEF，FE＝CE. ∵FG∥CE，∴∠FGE＝∠CEB，∴∠FGE＝∠FEG，∴FG＝FE，∴FG＝EC，∴四边形CEFG是平行四边形．∴四边形CEFG是菱形．
(2)若AB＝6，AD＝10，求四边形CEFG的面积．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，AD＝BC＝10.
由折叠知BC＝BF，∴BF＝10.
在Rt△ABF中，AF＝ ＝8.
∴DF＝2.
设EF＝x，则CE＝x，DE＝6－x.
∵∠D＝90°，
∴22＋(6－x)2＝x2，
7．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E.
(1)求证：四边形AECD是菱形；
证明：∵AB∥CD，CE∥AD，
∴四边形AECD是平行四边形，∠DAC＝∠ACE.
∵AC平分∠BAD，∴∠EAC＝∠DAC，
∴∠EAC＝∠ACE，∴AE＝EC，
∴四边形AECD是菱形．
(2)若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由．
解：△ABC是直角三角形．理由如下：
∵点E是AB的中点，∴AE＝BE.
∵AE＝CE，∴CE＝BE，∴∠EBC＝∠ECB.
又∵∠EBC＋∠BCE＋∠ACE＋∠BAC＝180°,∠EAC＝∠ACE，
∴∠BCE＋∠ECA＝90°，即∠BCA＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
8．【中考·湘潭】如图，将△ABC沿着AC边翻折，得到△ADC，且AB∥CD.
(1)判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
解：四边形ABCD是菱形．理由如下：
∵将△ABC沿着AC边翻折，得到△ADC，
∴AB＝AD，BC＝CD，∠BAC＝∠DAC，∠BCA＝∠DCA.
∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA，
∴∠BAC＝∠DAC＝∠BCA＝∠DCA，
∴AB＝AD＝BC＝CD，
∴四边形ABCD是菱形．
(2)若AC＝16，BC＝10，求四边形ABCD的面积．
解：连结BD交AC于O，如图所示．
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD＝2OB＝12，(共24张PPT)
19.1 矩形
第1课时 矩形的性质
第19章 矩形、菱形与正方形
华师版 八年级下
1
2
直角
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新知笔记
基础巩固练
1
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4
A
5
B
直角
B
3
相等
B
见习题
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A
D
D
10
A
11
12
13
见习题
见习题
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B
4
1．矩形是有一个角为________的平行四边形．
2．矩形的性质定理1：矩形的四个角都是________．
3．矩形的性质定理2：矩形的对角线________．
直角
直角
相等
1．如图，矩形ABCD的长BC＝15 cm，宽AB＝10 cm，∠ABC的平分线BE交AD于点E，则AE，ED的长分别为( )
A．11 cm和4 cm B．10 cm和5 cm
C．9 cm和6 cm D．8 cm和7 cm
B
2．【2021·连云港】如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点D、C分别落在点D1、C1的位置，ED1的延长线交BC于点G，若∠EFG＝64°，则∠EGB等于( )
A．128° B．130°
C．132° D．136°
A
B
3．【中考·荆门】如图，在矩形ABCD中(AD＞AB)，点E是BC上一点，且DE＝DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是( )
A．△AFD≌△DCE
B．AF＝ AD
C．AB＝AF
D．BE＝AD－DF
4．【中考·福建】如图，点E，F分别是矩形ABCD的边AB，CD上的点，且DF＝BE.求证：AF＝CE.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，DC＝AB.
又∵DF＝BE，∴DC－DF＝AB－BE. ∴CF＝AE.
∴四边形AFCE是平行四边形．∴AF＝CE.
5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为( )
A．30° B．60° C．90° D．120°
B
A
6．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，∠AOB＝60°，AB＝1，则BC的长为( )
7．如图，EF过矩形ABCD的对角线的交点O，且分别交AB，CD于点E，F，若BD＝13，AB＝5，则图中阴影部分的面积是( )
【点拨】在Rt△ABD中，AD＝ ＝12，∴S矩形ABCD＝12×5＝60.由EF是过对角线交点O的一条线段，易知S△BOE＝S△DOF.∵S△AEO＋S△BOE＝S△ABO＝ ×60＝15，∴S阴影部分＝S△AEO＋S△DOF＝S△AEO＋S△BOE＝15.
【答案】D
8．【2021·株洲】如图，线段BC为等腰三角形ABC的底边，矩形ADBE的对角线AB与DE交于点O，若OD＝2，则AC＝________．
4
9．如图，在矩形ABCD中，AD＝ ＋8，点M在边AD上，连结BM，BD平分∠MBC，则的 值为( )
【答案】D
【点拨】由AD＝ ＋8，易得AB＝4，AD＝8.∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠MDB＝∠CBD. ∵BD平分∠MBC，∴∠MBD＝∠CBD.∴∠MDB＝∠MBD. ∴MB＝MD.设AM＝x，则MB＝MD＝8－x.在Rt△ABM中，由勾股定理，得AB2＋AM2＝MB2，∴42＋x2＝(8－x)2，解得x＝3.∴AM＝3，MD＝5.∴ .故选D.
A
10.【教材改编题】如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是( )
A．4.8 B．5 C．6 D．7.2
B
11．【中考·眉山】如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F，则DE的长是( )
12．【2021·重庆万州区期末】如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F.
(1)若AB＝2，AD＝3，求EF的长；
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠DAB＝∠BCD＝90°，BC＝AD＝3，
∴∠DAE＝∠BEA. ∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAE＝45°，
∴∠BEA＝∠BAE＝45°.
∴BE＝AB＝2.
∴CE＝BC－BE＝1.
∵∠CEF＝∠AEB＝45°，∠ECF＝180°－90°＝90°，
∴∠F＝45°＝∠CEF.
∴CE＝CF＝1.
在Rt△CEF中，利用勾股定理，得
EF＝ .
(2)若G是EF的中点，连结BG和DG.求证：DG＝BG.
证明：连结CG.
∵△CEF是等腰直角三角形，G为EF的中点，
∴易得CG＝FG，∠ECG＝45°，∴∠BCG＝∠F.
由(1)知，BE＝AB，CE＝CF，
∴BC＝BE＋CE＝AB＋CF＝CD＋CF＝DF.
∴△BCG≌△DFG.
∴BG＝DG.
13．实验探究：
(1)如图①，折叠矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开；再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN，MN.请你观察图①，猜想∠MBN的度数是多少，并证明你的结论．
解：猜想∠MBN＝30°.
证明：如图①，连结AN，
∵直线EF是AB的垂直平分线，点N在EF上，
∴AN＝BN.由折叠可知BN＝AB，∠MBN＝∠ABM＝∠ABN，
∴△ABN是等边三角形，∴∠ABN＝60°，∴∠MBN＝30°.
(2)将图①中的三角形纸片BMN剪下，如图②，折叠该纸片，探究MN与BM的数量关系，写出折叠方案，并结合方案证明你的结论．
解：MN＝BM.
折叠方案：如图②，折叠三角形纸片BMN，使点N落在BM上的点O处，并使折痕经过点M，得到折痕MP，同时得到线段PO.
证明：由(1)知∠MBN＝30°，∴∠BMN＝60°.
由折叠知△MOP≌△MNP，
∴MO＝MN，∠OMP＝∠NMP＝ ∠OMN＝30°＝∠B，∠MOP＝∠MNP＝90°，
∴∠BOP＝∠MOP＝90°.
∵OP＝OP，∴△MOP≌△BOP，
∴MO＝BO＝ BM，∴MN＝ BM.(共27张PPT)
19.1 矩形
第3课时 矩形性质和判定的综合应用
第19章 矩形、菱形与正方形
华师版 八年级下
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1
2
3
4
见习题
5
见习题
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6
7
8
见习题
见习题
见习题
1．如图，将矩形ABCD沿DE折叠，连结CE，使得点A的对应点F落在CE上．
(1)求证：△CEB≌△DCF；
证明：在矩形ABCD中，AD＝BC，∠A＝∠B＝90°，
由折叠知AD＝FD，∠A＝∠DFE＝90°，
∴BC＝DF，∠B＝∠DFE＝∠DFC＝90°.
∵在矩形ABCD中，AB∥DC，∴∠DCE＝∠CEB.
(2)若CF＝BC，求∠CDE的度数．
解：由(1)知△CEB≌△DCF，
∴CD＝CE，BE＝CF.
∵CF＝BC，∴BE＝BC.
又∵∠B＝90°，∴∠BEC＝∠BCE＝45°.
∴∠DCE＝45°.
又∵CD＝CE，
∴∠CDE＝∠CED＝ ×(180°－45°)＝67.5°.
2．【中考·扬州】如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠D＝∠90°.由折叠可得AM＝AB，CN＝CD，
∠AME＝∠B＝90°，∠FNC＝∠D＝90°，
∴∠ANF＝90°，∠CME＝90°.
∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD，AD∥BC.
∴∠FAN＝∠ECM，AM＝CN.
∴AM－MN＝CN－MN，即AN＝CM.
在△ANF和△CME中，
∴△ANF≌△CME.∴AF＝CE.
又∵AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形．
(2)若AB＝6，AC＝10，求四边形AECF的面积．
解：∵AB＝6，AC＝10，∠B＝90°，
∴BC＝ ＝8.
设CE＝x，则EM＝BE＝8－x，CM＝10－6＝4，
在Rt△CEM中，(8－x)2＋42＝x2，解得x＝5.
∴CE＝5.∴S四边形AECF＝CE·AB＝5×6＝30.
3．【2021·徐州模拟】如图，将平行四边形ABCD的四个角向内折叠，恰好得到一个无缝隙、无重叠的四边形EFGH.
(1)请直接写出∠HEF的度数：________；
90°
(2)判断HF与AD的数量关系，并说明理由．
解：HF＝AD.理由：由折叠可得∠EFB＝∠EFJ，∠CFG＝∠KFG，BF＝JF，AH＝HJ.
∴易得∠EFG＝90°，
同理可得∠EHG＝90°，∠HGF＝90°，
∴四边形EFGH是矩形，
∴HG＝EF，HG∥EF，
∴∠GHF＝∠EFH，
∴易得∠BFE＝∠DHG.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D.
在△BFE和△DHG中，
∴△BFE≌△DHG，
∴BF＝HD，∴HD＝JF，∴HF＝AD.
4．【中考·连云港】如图，在△ABC中，AB＝AC，将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，其中点E在边BC上，DE与AC相交于点O.
(1)求证：△OEC为等腰三角形；
证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.
∵△ABC平移得到△DEF，
∴∠B＝∠DEC，∴∠DEC＝∠ACB，
∴OE＝OC，即△OEC为等腰三角形．
解：当E为BC的中点时，四边形AECD是矩形．
理由：∵AB＝AC，E为BC的中点，∴AE⊥BC，BE＝EC.
∵△ABC平移得到△DEF，∴BE∥AD，BE＝AD，
∴AD∥EC，AD＝EC，∴四边形AECD是平行四边形．
∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，∴四边形AECD是矩形．
(2)连结AE，DC，AD，当点E在什么位置时，四边形AECD是矩形？请说明理由．
5．【中考·云南】如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝OC，BO＝OD，且∠AOB＝2∠OAD.
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
证明：∵AO＝OC，BO＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，AC＝2AO，BD＝2OD.
∵∠AOB是△AOD的外角，∴∠AOB＝∠OAD＋∠ADO.
又∵∠AOB＝2∠OAD，∴∠OAD＝∠ADO. ∴AO＝OD.
∴AC＝BD. ∴四边形ABCD是矩形．
(2)若∠AOB ∶∠ODC＝4 ∶3，求∠ADO的度数．
解：设∠AOB＝4x，∠ODC＝3x，则∠DOC＝4x，∠OCD＝3x.
在△ODC中，∠DOC＋∠OCD＋∠ODC＝180°，
∴4x＋3x＋3x＝180°，解得x＝18°,∴∠ODC＝3×18°＝54°.
∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，
∴∠ADO＝∠ADC－∠ODC＝90°－54°＝36°.
6．【教材改编题】如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BC的延长线上，且CE＝BC，AE＝AB，AE，DC相交于点O，连结AC，DE.
(1)求证：四边形ACED是矩形；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝DC.
∵CE＝BC，∴AD＝CE，
又∵AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形．
∵AE＝AB，∴AE＝DC，∴四边形ACED是矩形．
(2)若∠AOD＝120°，AC＝4，求对角线CD的长．
解：∵四边形ACED是矩形，
∴OA＝OC，CD＝2OC，
又∵∠AOC＝180°－∠AOD＝180°－120°＝60°，
∴△AOC是等边三角形，∴OC＝AC＝4，
∴CD＝8.
7．【中考·玉林】如图，在 ABCD中，DC>AD，四个角的平分线AE，DE，BF，CF的交点分别是E，F，过点E，F分别作DC与AB间的垂线MM′与NN′，在DC与AB上的垂足分别是M，N与M′，N′，连结EF.
(1)求证：四边形EFNM是矩形；
证明：如图，过点E，F分别作AD，BC的垂线，垂足分别是G，H.
由题知∠3＝∠4，∠1＝∠2.
∵EG⊥AD，EM⊥CD，EM′⊥AB，
∴EG＝EM，EG＝EM′.
∴EG＝EM＝EM′＝ MM′.
同理可得：FH＝FN＝FN′＝ NN′.
∵在 ABCD中，CD∥AB，MM′⊥CD，NN′⊥CD，
∴MM′∥NN′，MM′＝NN′.∴EM＝FN.
∴四边形EFNM是平行四边形．
又∵MM′⊥CD，∴四边形EFNM是矩形．
(2)已知AE＝4，DE＝3，DC＝9，求EF的长．
解：∵DC∥AB，
∴∠CDA＋∠DAB＝180°，易知∠DEA＝90°.
∵AE＝4，DE＝3，
∴AD＝ ＝5.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB＝∠DCB.
又∵∠2＝ ∠DAB，∠5＝ ∠DCB，
∴∠2＝∠5，由(1)易知GE＝NF.
在△GEA和△NFC中，
∴△GEA≌△NFC.∴AG＝CN.
在Rt△DME和Rt△DGE中，
∵DE＝DE，EM＝EG，
∴Rt△DME≌Rt△DGE.
∴DM＝DG.∴DM＋CN＝DG＋AG＝AD＝5.
∴MN＝CD－DM－CN＝9－5＝4.
∵四边形EFNM是矩形，
∴EF＝MN＝4.
8．如图①，在△ABC中，AB＝AC，点P是BC上任意一点，PE⊥AB，PF⊥AC，BD⊥AC，垂足分别为E，F，D.
(1)求证：BD＝PE＋PF；
证明：如图①，作BH⊥FP，交FP的延长线于点H.
∵BD⊥AC，PF⊥AC，BH⊥PF，∴四边形BDFH是矩形．
∴BD＝HF.
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C.
∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠PEB＝∠PFC＝90°，∠EPB＝∠FPC.
又∵∠HPB＝∠FPC，∴∠EPB＝∠HPB.
∵PE⊥AB，PH⊥BH.∴∠PEB＝∠PHB＝90°.
又∵PB＝PB，
∴△PEB≌△PHB.则PE＝PH.
∴BD＝HF＝PF＋PH＝PF＋PE.即BD＝PE＋PF.
(2)当点P在BC的延长线上时，其他条件不变，如图②，BD，PE，PF之间的上述关系还成立吗？若不成立，请说明理由．
解：不成立，PE＝BD＋PF，理由：如图②，作BH⊥PF交PF的延长线于点H.与(1)同理可得PE＝PH，BD＝HF，
∴PE＝PH＝FH＋FP＝BD＋PF.(共28张PPT)
19.1 矩形
第2课时 矩形的判定
第19章 矩形、菱形与正方形
华师版 八年级下
1
2
平行四边形
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新知笔记
基础巩固练
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B
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C
直角
D
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相等
12
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9
B
C
B
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见习题
11
12
13
见习题
见习题
答案显示
见习题
见习题
14
1．根据定义判定矩形：有一个角是直角的_____________是矩形．
2．矩形的判定定理1：有三个角是________的四边形是矩形．
3．矩形的判定定理2：对角线________的平行四边形是矩形．
平行四边形
直角
相等
1．【中考·崇左】如图，在矩形ABCD中，AB＞BC，点E，F，G，H分别是边DA，AB，BC，CD的中点，连结EG，FH，则图中的矩形共有( )
A．5个 B．8个
C．9个 D．11个
C
2．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE＝AD，连结EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是( )
A．∠DBC＝90° B．BE⊥DC
C．∠ADB＝90° D．CE⊥DE
B
3．如图，直角∠AOB内的任意一点P到这个角的两边的距离之和为6，则四边形AOBP的周长为_________．
12
4．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝4 cm，AD>AB，CD＝5 cm，点P从点C出发沿边CB以每秒1 cm的速度向点B运动，________秒后四边形ABPD是矩形．
3
5．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是( )
A．AB＝CD B．AD＝AC
C．AB＝BC D．AC＝BD
D
6．【中考 攀枝花】下列关于矩形的说法中正确的是( )
A．对角线相等的四边形是矩形
B．矩形的对角线相等且互相平分
C．对角线互相平分的四边形是矩形
D．矩形的对角线互相垂直且平分
B
7．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝2，若要使 ABCD为矩形，则OB的长应该为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
C
【点拨】当OA＝OB时，有2OA＝2OB，可得AC＝BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可以判定此平行四边形是矩形．
8．【教材改编题】如图，四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OD.
求证：四边形ABCD是矩形．
证明：∵四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝2AO，BD＝2OD.
∵OA＝OD，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形．
9．在 ABCD中，AB＝3，BC＝4，当 ABCD的面积最大时，下列结论正确的有( )
①AC＝5；②∠A＋∠C＝180°；
③AC⊥BD；④AC＝BD.
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
【答案】B
【点拨】当 ABCD的面积最大时， ABCD为矩形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AC＝BD，∴∠A＋∠C＝180°，AC＝ ＝5，即①②④正确，故选B.
10．【中考·安顺】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连结MN，则线段MN的最小值为________．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC.
∵点C是BE的中点，
∴BC＝CE，∴AD＝CE，
又∵AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形．
11.【2021·连云港】如图，点C是BE的中点，四边形ABCD是平行四边形．
(1)求证：四边形ACED是平行四边形；
(2)如果AB＝AE，求证：四边形ACED是矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，
∵AB＝AE，
∴DC＝AE，
又∵四边形ACED是平行四边形，
∴四边形ACED是矩形．
12．【中考·怀化】如图，在 ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足．
(1)求证：△ABE≌△CDF；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，AB＝CD.
∵AE⊥BC，CF⊥AD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°，
(2)求证：四边形AECF是矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，
∴∠EAF＝∠AEB＝90°，
又∵AE⊥BC，CF⊥AD，∴∠EAF＝∠AEC＝∠AFC＝90°，
∴四边形AECF是矩形．
13．【中考·青岛】如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连结CF，CG.
(1)求证：△ABE≌△CDF；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，∴∠ABE＝∠CDF.
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
(2)当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．
解：当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形．理由如下：
∵AC＝2OA，AC＝2AB，∴AB＝OA.
∵E是OB的中点，∴AG⊥OB，
∴∠OEG＝90°，
易知CF⊥OD，
∴AG∥CF，
由(1)知△ABE≌△CDF，∴AE＝CF.
又∵AE＝EG，∴CF＝EG，
∴四边形EGCF是平行四边形．
∴四边形EGCF是矩形．
14．【中考·张家界】如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E，交△ABC的外角平分线于点F.
(1)求证：OE＝OF；
证明：如图，∵MN交∠ACB的平分线于点E，
交△ABC的外角平分线于点F，
∴∠2＝∠5，∠4＝∠6.
∵MN∥BC，∴∠1＝∠5，∠3＝∠6.
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.
∴EO＝CO，FO＝CO.∴OE＝OF.
(2)若CE＝12，CF＝5，求OC的长；
解：∵∠2＝∠5，∠4＝∠6，
∴∠2＋∠4＝∠5＋∠6＝90°，即∠ECF＝90°.
∵CE＝12，CF＝5，
∴EF＝ ＝13.由(1)得OC＝OE＝OF，
∴OC＝ EF＝6.5.
(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？请说明理由．
解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．
理由：当O为AC的中点时，AO＝CO.
∵EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形．
∵∠ECF＝90°，
∴四边形AECF是矩形．(共26张PPT)
19.2 菱形
第2课时 菱形的判定
第19章 矩形、菱形与正方形
华师版 八年级下
1
2
相等
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新知笔记
基础巩固练
1
2
3
4
B
5
C
相等
C
3
互相垂直
D
见习题
6
7
8
9
C
见习题
30°
10
11
12
13
见习题
见习题
答案显示
见习题
③
①②③④
1．根据定义判定菱形：有一组邻边________的平行四边形是菱形．
2．菱形的判定定理1：四条边都________的四边形是菱形．
3．菱形的判定定理2：对角线________的平行四边形是菱形．
相等
相等
互相垂直
1．如图所示，四边形ABCD是矩形，AE∥BD，DE∥AC，则四边形AODE是( )
A．平行四边形但不是菱形
B．矩形
C．菱形
D．无法确定
C
2．红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志，人们将红丝带剪成小段，并用别针将折叠好的红丝带别在胸前，如图所示，红丝带重叠部分形成的图形是( )
A．矩形 B．菱形
C．三角形 D．无法确定
B
3．如图，在△ABC中，点D是边BC上的点(与B，C两点不重合)，过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是( )
A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形
B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形
C．若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形
D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形
D
4．【中考·兰州】如图，AC＝8，分别以A，C为圆心，以长度5为半径作弧，两条弧分别相交于点B和D.依次连结A，B，C，D，连结BD交AC于点O.
(1)判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
解：四边形ABCD为菱形．理由如下：
由作法得AB＝AD＝CB＝CD＝5，
∴四边形ABCD为菱形．
(2)求BD的长．
解：∵四边形ABCD为菱形，AC＝8，
∴OA＝OC＝4，OB＝OD，AC⊥BD.
在Rt△AOB中，OB＝ ＝3，
∴BD＝2OB＝6.
5．【中考·大庆】下列说法中不正确的是( )
A．四边相等的四边形是菱形
B．对角线垂直的平行四边形是菱形
C．菱形的对角线互相垂直且相等
D．菱形的邻边相等
C
6．【中考·宁夏】如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分．添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是( )
A．AC⊥BD B．AB＝AD
C．AC＝BD D．∠ABD＝∠CBD
C
7．【中考·海南】如图，四边形ABCD是轴对称图形，且直线AC是对称轴，AB∥CD，则下列结论：
①AC⊥BD；②AD∥BC；③四边形ABCD是菱形；
④△ABD≌△CDB.
其中正确的是__________(只填写序号)．
①②③④
8．如图，在△ABC中，D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE＝DF，给出下列条件：①BE⊥EC；②BF∥CE；③AB＝AC，从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是_____．(填序号)
③
【点拨】∵AB＝AC，D为BC的中点，∴BD＝DC，EF⊥BC. 又∵DE＝DF，∴四边形BECF是平行四边形．∴四边形BECF是菱形．
9．如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，过点C作CE∥BD交AB的延长线于点E，如果AC⊥BD，那么当∠ACB＝________时，四边形BECD是菱形．
30°
10.【2021·随州】如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF.求证：
(1)△ABE≌△CDF；
证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF，
又∵AE＝CF，
∴△ABE≌△CDF.
解：连结BD交AC于点O，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，AO＝OC，BO＝DO，
又∵AE＝CF，
∴EO＝FO，
∴BD与EF互相垂直且平分，
∴四边形BEDF是菱形．
(2)四边形BEDF是菱形．
11．【中考·南京】如图，在四边形ABCD中，BC＝CD，∠C＝2∠BAD，O是四边形ABCD内一点，且OA＝OB＝OD，求证：
(1)∠BOD＝∠C；
证明：如图，延长AO至E.
∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO，∴∠BOE＝∠ABO＋∠BAO＝2∠BAO.
同理可得∠DOE＝∠OAD＋∠ADO＝2∠OAD，
∴∠BOD＝∠BOE＋∠DOE＝2∠BAO＋2∠OAD＝2(∠BAO＋∠OAD)＝2∠BAD.
∵∠C＝2∠BAD，∴∠BOD＝∠C.
(2)四边形OBCD是菱形．
解：连结OC，如图．
∵OB＝OD，BC＝CD，OC＝OC，
∴△BOC≌△DOC.∴∠BOC＝∠DOC，∠BCO＝∠DCO.
∴∠BOC＝ ∠BOD，∠BCO＝ ∠BCD.
由(1)知∠BOD＝∠BCD，
∴∠BOC＝∠BCO.∴OB＝BC.
∴OB＝OD＝CD＝BC，
∴四边形OBCD是菱形．
12．【中考·娄底】如图，已知四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，过O点作EF⊥BD，分别交AD，BC于点E，F.
(1)求证：△AOE≌△COF；
证明：∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO.
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF.
(2)判断四边形BEDF的形状，并说明理由．
解：四边形BEDF是菱形．
理由：∵△AOE≌△COF，∴AE＝CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∴DE＝BF.
∵DE∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形．
∵EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形．
13．如图，在矩形ABCD中，EF垂直平分BD.
(1)判断四边形BEDF的形状，并说明理由；
解：四边形BEDF是菱形．
理由：∵EF垂直平分BD，∴EF⊥BD，OD＝OB.
在矩形ABCD中，DC∥AB，∴∠FDO＝∠EBO.
在△DOF和△BOE中，∠FDO＝∠EBO，
OD＝OB，∠DOF＝∠BOE，∴△DOF≌△BOE，∴OF＝OE.
∴四边形BEDF为菱形．
(2)若BD＝20，EF＝15，求矩形ABCD的周长．
解：在菱形BEDF中，BD＝20，EF＝15，则DO＝10，EO＝7.5.
由勾股定理得DE＝EB＝BF＝FD＝12.5.
S菱形BEDF＝ EF·BD＝BE·AD，
即 ×20×15＝12.5×AD，
∴AD＝12.由勾股定理可得AE＝3.5，
∴AB＝AE＋EB＝3.5＋12.5＝16.
∴矩形ABCD的周长为2(AD＋AB)＝2×(12＋16)＝56.(共29张PPT)
19.3 正方形
第2课时 正方形的判定
第19章 矩形、菱形与正方形
华师版 八年级下
1
(1)直角 (2)相等
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新知笔记
基础巩固练
1
2
3
4
C
5
C
A
D
A
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∠B＝45°(答案不唯一)
见习题
①②③
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12
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见习题
见习题
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见习题
C
90
正方形可以看成：(1)有一个角是________的菱形；
(2)有一组邻边________的矩形．
相等
直角
1．已知矩形ABCD，下列条件中能判定这个矩形ABCD是正方形的是( )
A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C
C．AC⊥BD D．AB⊥BC
C
2．【中考 巴中】下列命题是真命题的是( )
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的矩形是正方形
D．四边相等的平行四边形是正方形
C
3．【荣德原创】把一张长方形纸片ABCD按如图方式折叠，则四边形ABEF是( )
A．平行四边形 B．菱形
C．矩形 D．正方形
D
4．四边形ABCD的对角线相交于点O，下列条件中，能判定这个四边形是正方形的是( )
A．OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD
B．AB∥CD，AC＝BD
C．AD∥BC，∠A＝∠C
D．OA＝OC，OB＝OD，AB＝BC
A
5．四边形ABCD的对角线AC＝BD，AC⊥BD，分别过A，B，C，D作对角线的平行线，所成的四边形EFMN是( )
A．正方形 B．菱形
C．矩形 D．任意四边形
A
6．如图，在△ABC中，AC＝BC，点D，E分别是边AB，AC的中点，连结DE并延长到点F，使DE＝EF，连结AF，DC，CF.若使四边形ADCF是正方形，则应再添加一个条件：______________________.
∠B＝45°(答案不唯一)
7．如图，在△ABC中，O是AC上一动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交△ABC的外角平分线于点F.若点O运动到AC的中点，则∠ACB＝________°时，四边形AECF是正方形．
90
8．【创新题】【2021·玉林】一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形：
a．两组对边分别相等； b．一组对边平行且相等；
c．一组邻边相等； d．一个角是直角．
顺次添加的条件：①a→c→d；②b→d→c；③a→b→c.
其中正确的是( )
A．① B．③ C．①② D．②③
C
9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF，有下列条件：①BC＝AC；②CF⊥BF；③BD＝DF；④AC＝BF.添加一个条件，能证明四边形BECF为正方形的是________．(填序号)
【点拨】∵EF垂直平分BC，∴BF＝FC，BE＝CE.
∵BE＝BF，∴BE＝CE＝FC＝BF，∴四边形BECF是菱形．
①BC＝AC时，可知∠CBE＝45°，∴∠BED＝45°，∴BD＝ED，
∴BC＝EF，∴四边形BECF为正方形，①正确．②CF⊥BF时，∵四边形BECF是菱形，
【答案】①②③
∴四边形BECF是正方形，②正确．③BD＝DF时，易知BC＝EF，∵四边形BECF是菱形，∴四边形BECF是正方形，③正确．④AC＝BF时，无法证明四边形BECF是正方形，④错误．故答案为①②③.
10．【中考·上海】如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，E是对角线BD上一点，且EA＝EC.
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
证明：在△ADE与△CDE中，
∴△ADE≌△CDE，∴∠ADE＝∠CDE.
∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠CBD，
∴∠CDE＝∠CBD，∴BC＝CD.
∵AD＝CD，∴BC＝AD，
∴四边形ABCD为平行四边形．
∵AD＝CD，∴四边形ABCD是菱形．
(2)如果BE＝BC，且∠CBE：∠BCE＝2：3，求证：四边形ABCD是正方形．
证明∵BE＝BC，∴∠BCE＝∠BEC.
∵∠CBE：∠BCE＝2：3，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABE＝45°，∴∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是正方形．
11．【2021·娄底娄星区期末】如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD的边AB，CD，DA上，且AH＝2，连结CF.
(1)当DG＝2时，求证：菱形EFGH为正方形；
证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠A＝90°.
∵四边形EFGH是菱形，∴HG＝EH.
∵DG＝AH＝2，∴Rt△HDG≌Rt△EAH，
∴∠DHG＝∠AEH，∴∠DHG＋∠AHE＝∠AEH＋∠AHE＝180°－∠A＝90°，
∴∠GHE＝90°，∴菱形EFGH为正方形．
(2)设DG＝x，试用含x的代数式表示△FCG的面积．
解：如图，过点F作FM⊥DC，交DC的延长线于点M，连结GE.
∵CD∥AB，∴∠AEG ＝∠MGE.
∵GF∥HE，∴∠HEG＝∠FGE，
∴∠AEH＝∠FGM.
在△AHE和△MFG中，
∴△AHE≌△MFG.
∴FM＝AH＝2.
∵DG＝x，∴CG＝6－x，
∴S△FCG＝ CG·FM＝6－x.
12．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点P，Q分别是AB，AC上的动点，且满足BP＝AQ，D是BC的中点．
(1)求证：△PDQ是等腰直角三角形；
证明：连结AD，∵△ABC是等腰直角三角形，
D是BC的中点，∴易得AD⊥BC，AD＝BD＝DC.
∴∠DAQ＝∠B＝45°.
∵在△BPD和△AQD中，
BD＝AD，∠B＝∠DAQ，BP＝AQ，
∴△BPD≌△AQD.
∴PD＝QD，∠ADQ＝∠BDP.
∵∠ADP＋∠BDP＝90°，
∴∠ADP＋∠ADQ＝90°，
即∠PDQ＝90°.
∴△PDQ是等腰直角三角形．
解：当点P运动到AB的中点时，四边形APDQ是正方形．
理由：由(1)知，AD⊥BC，AD＝BD，
∴△ABD是等腰直角三角形．当P为AB的中点时，易知PD⊥AB，即∠APD＝90°. 又∵∠BAC＝∠PDQ＝90°，
∴四边形APDQ是矩形．又∵PD＝QD，∴四边形APDQ是正方形．
(2)当点P运动到什么位置时，四边形APDQ是正方形？请说明理由．
13．矩形ABCD中，BC＝CD，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC(或它们的延长线)于点M，N，AH⊥MN于点H.
(1)如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：______________．
AH＝AB
(2)如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，(1)中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立，请写出理由；如果成立，请证明．
解：数量关系成立．证明如下：
如图，延长CB至点E，
使BE＝DN，连结AE.
∵四边形ABCD是矩形，BC＝CD，∴四边形ABCD是正方形，
∠D＝∠ABC＝∠ABE＝90°.
∴△AEB≌△AND.∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD.
∵∠NAM＝45°，∴∠BAM＋∠NAD＝45°，
∴∠EAB＋∠BAM＝∠EAM＝45°.
∴△AEM≌△ANM.∴S△AEM＝S△ANM，EM＝MN.
∵AB，AH分别是△AEM和△ANM对应边上的高，
∴AB＝AH.(共32张PPT)
第19章 矩形、菱形与正方形
华师版 八年级下
19.3 正方形
第3课时 正方形性质和判定的综合应用
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1．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别在OD，OC上，且DE＝CF，连结DF，AE，延长AE交DF于点M.求证：AM⊥DF.
证明：∵AC，BD是正方形ABCD的两条对角线，
∴AC⊥BD，OA＝OD＝OC＝OB.
∵DE＝CF，∴OE＝OF.
在△AOE与△DOF中，
∴△AOE≌△DOF.∴∠OAE＝∠ODF.
∵∠DOF＝90°，∴∠DFO＋∠FDO＝90°.
∴∠DFO＋∠FAE＝90°.
∴∠AMF＝90°，即AM⊥DF.
2．【2021·重庆沙坪坝区期末】在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，连结AE，AF.
(1)如图①，过E作EM⊥AF交AD于点M，求证：AF＝EM；
证明：(1)如图①，过点E作EG⊥AD于点G，设AF交EM于点N.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB＝∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，
又∵∠AGE＝90°，
∴四边形ABEG是矩形，
∴AB＝EG，∴EG＝AD，
∵EM⊥AF，∴∠MNF＝90°＝∠D，
∴∠NMD＋∠DFN＝360°－90°－90°＝180°，
∵∠AMN＋∠NMD＝180°，
∴∠AMN＝∠DFN，
又∵∠EGM＝∠D，
∴△EMG≌△AFD，
∴AF＝EM.
(2)如图②，若AE平分∠BAF，求证：AF＝BE＋DF.
解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°.
将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，如图②.
∴∠D＝∠ABH＝90°，∠DAF＝∠BAH，AF＝AH，DF＝BH.
∴易得C，B，H在同一直线上，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠AEH＝∠DAE＝∠DAF＋∠FAE，
∵AE平分∠BAF，
∴∠BAE＝∠FAE，
∴∠HAE＝∠BAH＋∠BAE＝∠DAF＋∠FAE＝∠AEH，
∴AH＝EH＝BE＋HB＝BE＋DF.
∴AF＝BE＋DF.
3．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO.
又∵△ACE是等边三角形，∴EO⊥AC，即DB⊥AC，
∴四边形ABCD是菱形．
(2)若∠AED＝2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．
证明∵△ACE是等边三角形，∴∠AEC＝60°.
∵∠AED＝2∠EAD，∴∠EAD＝15°，∴∠ADO＝∠EAD＋∠AED＝45°. ∵四边形ABCD是菱形，∴∠ADC＝2∠ADO＝90°，
∴四边形ABCD是正方形．
4．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE.
(1)求证：四边形ADCF是平行四边形；
证明：∵△CFE是由△ADE绕点E旋转180°得到的，
∴点A、E、C三点共线，点D、E、F三点共线，
且AE＝CE，DE＝FE，
∴四边形ADCF是平行四边形．
(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形？请说明理由．
解：当∠ACB＝90°，AC＝BC时，四边形ADCF是正方形．理由如下：在△ABC中，
∵AC＝BC，点D是边AB的中点，∴CD⊥AB，即∠ADC＝90°.
由(1)知，四边形ADCF是平行四边形，
∴四边形ADCF是矩形．
又∵∠ACB＝90°，
5.【中考·青岛】已知：如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连结CE，CF，OE，OF.
(1)求证：△BCE≌△DCF；
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠B＝∠D.
又∵E，F分别是AB，AD的中点，
∴BE＝DF，∴△BCE≌△DCF.
(2)当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．
解：当AB⊥BC时，四边形AEOF是正方形．理由如下：
连结BD. ∵AB⊥BC，
∴菱形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD.
由O是AC的中点，易知O是BD的中点，
∴OA＝OB＝OC＝OD.
又∵F为AD的中点，∴AF＝FD，∵OF＝OF，
∴△AOF≌△DOF，
∴易得OF⊥AD.同理可得OE⊥AB，
∴四边形AEOF为矩形．
又∵E为AB的中点，
∴四边形AEOF是正方形．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，连结DE交AC于点F.
(1)求证：四边形ADCE为矩形；
证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，
∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC＝∠CEA＝90°，
∴四边形ADCE为矩形．
(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是正方形？并给出证明；
解：当△ABC为等腰直角三角形，即∠BAC＝90°且AB＝AC时，四边形ADCE是正方形．
证明：∵∠BAC＝90°，且AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠ACD＝∠CAD＝45°，
∴AD＝CD.
∵四边形ADCE为矩形，
∴四边形ADCE为正方形．
解：在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD2＋CD2＝AC2.
∵AD＝CD，
∴2AD2＝2，
∴AD＝1，
∴正方形ADCE的周长为4AD＝4.
7．如图，正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、DA上，且AE＝BF＝CG＝DH.
(1)四边形EFGH是正方形吗？为什么？
解：四边形EFGH是正方形．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA.
∵AE＝BF＝CG＝DH，
∴AH＝BE＝CF＝DG.
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，
∴EH＝FE＝GF＝HG，∠AEH＝∠BFE，
∴四边形EFGH是菱形．
∵∠BEF＋∠BFE＝90°，
∴∠BEF＋∠AEH＝90°，
∴∠HEF＝90°，
∴四边形EFGH是正方形．
(2)若正方形ABCD的边长为4 cm，且BE＝CF＝DG＝AH＝1 cm，请求出四边形EFGH的面积．
解：∵正方形ABCD的边长为4 cm，
且BE＝CF＝DG＝AH＝1 cm，
∴AE＝BF＝CG＝DH＝3 cm，
∴四边形EFGH的面积＝EH2＝AH2＋AE2＝12＋32＝10(cm2)．
8．【中考·玉林】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D是AB的中点，E，F分别是AC，BC上的点(点E不与端点A，C重合)，且AE＝CF，连结EF并取EF的中点O，连结DO并延长至点G，使GO＝OD，连结GE，GF，DE，DF.
(1)求证：四边形EDFG是正方形；
证明：∵O是EF的中点，∴OE＝OF.
又∵GO＝OD，
∴四边形EDFG是平行四边形．
连结CD.∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝∠B＝45°.
又∵D是AB的中点，
∴∠A＝∠ACD＝∠DCF.∴AD＝CD.
在△ADE和△CDF中，
∴△ADE≌△CDF，∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF.
∴四边形EDFG是菱形．
∵∠ADC＝∠ADE＋∠EDC＝90°，
∴∠EDC＋∠CDF＝∠EDF＝90°.
∴四边形EDFG是正方形．
(2)当点E在什么位置时，四边形EDFG的面积最小？并求四边形EDFG面积的最小值．
解：过点D作DE′⊥AC于E′.
∵四边形EDFG是正方形，∴S四边形EDFG＝DE2.
∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，
∴易得∠DCE′＝∠A＝∠E′DA＝∠E′DC＝45°，
∴点E′为AC的中点．
∴当点E为线段AC的中点时，四边形EDFG的面积最小，最小值为4.
