2021—2022学年华东师大版数学八年级上册13.4尺规作图 课件 (共32张PPT)

(共32张PPT)
基本概念
在几何里,把限定用直尺和圆规来画图,称为尺规作图.
要求：直尺是没有刻度的;
只能用没有刻度的直尺和圆规这两种工具来作图,称为尺规作图.
圆规的功能：
以一点为圆心，一定长度为半径作一个圆；以一点为圆心，一定长度为半径画一段弧．
直尺的功能：
在两点间连结一条线段；将线段向一方或两方延长；作直线(三角尺只能当作直尺用)
尺规作图的步骤及作图语言的规范
(3)作法：
根据作图的过程写出每一步的操作过程．当不要求写作法时，要保留作图痕迹．对于较复杂的作图，可先画出草图，使它同所要作的图形大致相同，然后借助草图寻找作法．
(1)已知：
当作图题是用文字语言叙述的，要根据文字语言用数学语言写出题目中的条件；
(2)求作：
根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件；
1．尺规作图的步骤
(3)在××上截取一点×，使××＝××.
2．作图语言的规范叙述
用直尺作图时的规范语言主要有：
(2)连结××，以点×为端点作线段××，延长线段××到点×；延长线段××到点×，使××＝××.
(1)过点×作直线××，作线段××，以点×为端点作射线××；
用圆规作图时的规范语言主要有：
(1)以点×为圆心，××为半径作圆；
(2)以点×为圆心，××为半径作弧交××于点×；
下面就介绍五种基本作图:
一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的.以前学过的”作一条线段等于已知线段”,就是一种基本作图.
最基本,最常用的尺规作图,通常称基本作图.
1、作一条线段等于已知线段
2、作一个角等于已知角
3、平分已知角
4、作已知线段的垂直平分线
5、过一点作已知直线的垂线
五种基本作图：
1、作一条线段等于已知线段
AC
射线
圆规
MN
作法：
(1)作____AB；
(2)用____量出线段MN的长，再在射线AB上截取 _____＝______；
线段AC就是所求作的线段，如图②所示．
作法如下：
已知：线段MN，如图13－4－1①所示．
求作：线段AC，使AC＝MN.
图13－4－1
例1 如图13－4－3所示，已知线段AB和CD，求作一条线段，使它的长度等于2AB＋CD.
图13－4－3
[归纳总结] 步骤：
(1)先画一条射线；
(2)在射线上用圆规截取相应的线段，求和时顺次截取叠加，求差时从线段中截取；
(3)指明所作的线段是哪一段，并用字母表示．
注意：
画射线用直尺，截取线段用圆规，作图时要正确使用作图工具，尽量减小误差，用铅笔作图，保留作图痕迹．
2、作一个角等于已知角
已知： AOB(图13-4-2)
求作： A`O`B`,使 A`O`B`= AOB
O
A
B
图13-4-2
1、作射线O`A`。
2、以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于
C，交OB于D。
3、以点O`为圆心，以OC长为半径作弧，交O`A`于 C`。
4、以点C`为圆心，以CD长为半径作弧，交前弧于D`。
5、经过点D`作射线O`B`，∠A`O`B`就是所求的角。
O
A
B
C
D
O`
A`
C`
D`
B`
证明：连结CD、C’D’ ,由作法可知
△C`O`D`≌△COD(SSS),
∴∠C`O`D`=∠COD(全等三角形的对应角相等)，
即∠A`O`B`=∠AOB。
O
A
B
C
D
B`
O`
A`
C`
D`
13.4.1 作一条线段等于已知线段 13.4.2 作一个角等于已知角
例2 如图13－4－4所示，已知线段A和∠α，∠β，求作△ABC，使AB＝A，∠A＝∠α，∠B＝∠β.
解：作法：
(1)作线段AB＝A；
图13－4－5
图13－4－4
( 2)分别以A，B为顶点，在线段AB的同侧作∠BAM＝∠α，∠ABN＝∠β，
AM和BN相交于点C，
则△ABC就是所求作的三角形，
如图13－4－5所示．
13.4.1 作一条线段等于已知线段 13.4.2 作一个角等于已知角
[归纳总结] 注意：
(1)求作两角和或差时，一定要注明“外部”或“内部”；
(2)求作三角形，一般情况下先作线段再作角，并结合全等三角形的判定方法作图；
(3)本题实质是已知两角及其夹边作三角形．由“角边角”定理，在此条件下所作的三角形是唯一的．
一般情况下先作线段，再作两个角，必须指明在线段的同侧，否则不会相交．基本作图的“作法”不必再详说，如作线段AB的步骤，作∠BAM＝∠α的步骤，但必须保留作图痕迹．
3、平分已知角
已知： AOB（图13-4-5）
求作：射线OC，使 AOC= BOC
A
O
B
图13-4-5
1、在OA和OB上，分别截取OD、OE，使OD=OE。
2、分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于点C。
3、作射线OC。
4、OC就是所求的射线。
A
O
B
C
D
E
例3 如图13－4－6所示，作出△ABC三个内角的平分线，并观察你作出的图形，有什么新的发现？
解：发现三条内角平分线相交于同一点．
[归纳总结]
(1)作已知角的平分线，是根据“三边对应相等的两个三角形全等”和“全等三角形的对应角相等”的原理来解决的．
(2)在作图步骤的第二步一定要注意是以大于某条线段的1/2长为半径作圆弧的，否则两弧没有交点或两弧交点不明显．
(3)通过作图了解三角形三个内角的平分线相交于一点．
图13－4－6
13.4.3 作已知角的平分线
例4 如图13－4－7所示，已知∠CAB，以确定的点B为顶点作∠ABD，使∠ABD＝∠A.(不写作法，保留作图痕迹)
图13－4－7
[解析] 先作∠A的平分线AE，以B为顶点作∠ABD＝∠EAB，则∠ABD即为所求．
图13－4－8
解：如图13－4－8所示
[归纳总结]
作一个角等于已知角是属于定量作图，而作角的平分线则是属于定位作图．在综合作图题中，有时既需要定量，又需要定位．
4、画已知线段的垂直平分线
定义:
于一条线段并且 这条线段的直线，叫做线段的垂直平分线（或叫中垂线）.
已知：线段AB，
求作：作直线CD交AB于O，使CD⊥AB,AO=BO.
垂直
平分
步骤：
1、以点A为圆心，以大于AB一半的长为半径画弧；
2、以点B为圆心，以同样的长为半径画弧，
两弧的交点分别记为C、D，连结CD，则CD是线段AB的垂直平分线．
例5 如图13－4－9所示，
作△ABC的边BC上的高．
图13－4－9
解：即过A点作直线BC的垂线，垂线段即为高，如图13－4－10中线段AF即为所求．
图13－4－10
[归纳总结] 作三角形的高是作垂线的简单运用．由于钝角三角形有两条高是在三角形的外部，所以作图时要注意延长三角形的边，保留痕迹．
例6 如图13－4－11所示，已知线段AB和线段CD，求作一点P，使点P既在线段AB的垂直平分线上，又在线段CD的垂直平分线上．
图13－4－11
解：(1)作线段AB的垂直平分线EF；
(2)作线段CD的垂直平分线MN，MN交EF于点P.
则点P就是所求作的点，
如图13－4－12.
图13－4－12
5.过定点作已知直线的垂线
①.如图，点C在直线l上，试过点C画出直线l的垂线．
能否利用画线段垂直平分线的方法解决呢？试试看，完成整个作图．
以C为圆心，任一线段的长为半径画弧，交l于A、B两点，则C是线段AB的中点．因此，过C画直线l的垂线转化为画线段AB的垂直平分线．
②.如图，如果点C不在直线l上，试和同学讨论，应采取怎样的步骤，过点C画出直线l的垂线？
作法：(1)以点C为圆心，任一线段的长为半径画弧，交直线l于点A、B；
(3)以点B为圆心，以同样的长为半径在直线的同一侧画弧，两弧交于点D；
(4)经过点C、D作直线CD．
(2)以A为圆心,以大于CB长为半径在直线一侧画弧;
①.如图，点C在直线l上，试过点C画出直线l的垂线．
(4)经过点C、D作直线CD．
(3)以点B为圆心，以CB长为半径在直线另一侧画弧，交前一条弧于点D．
作法：(1)以点C为圆心，以适当长为半径画弧，交直线l于点A、B；
(2)以点A为圆心，以CB长为半径在直线另一侧画弧．
②.如图，如果点C不在直线l上，试和同学讨论，应采取怎样的步骤，过点C画出直线l的垂线？
例7 如图13－4－13所示，过点P作∠A两边的垂线．
图13－4－13
[解析] 此题即为过直线外一点作直线的垂线．
解：如图所示，PM，PN即为所求作的直线．
[归纳总结]
(1)过直线上一点作垂线即作出平角的平分线．
(2)过直线外一点作垂线，利用等腰三角形“三线合一”的性质．
(3)作“高”即过直线外一点作已知直线的垂线，垂线段即为高．
如图，已知∠AOB及M、N两点，求作：点P，使点P到∠AOB的两边距离相等，且到M、N的两点也距离相等。
练习
生活离不开数学
A、B是两个村庄，要从灌溉总渠引两条水渠便于灌溉，请你选择最佳方案。
已知:线段a，c，∠α
求作:ΔABC,使BC=a,AB=c,∠ABC=∠ α
作法:1)作一条线段BC=a
2)以B为顶点,BC为一边,作,∠DBC=∠ α
3)在射线BD上截取线段BA=c
4)连接AC, ΔABC就是所求作的三角形
a
c
α
探索研究:
2、三条公路两两相交，交点分别为A，B，C，现计划建一个加油站，要求到三条公路的距离相等，问满足要求的加油站地址有几种情况？
A
B
C
?五种基本作图
(1)作一条线段等于已知线段
(2)作一个角等于已知角
小结
(3)作一个角的平分线
(4)作已知线段的中垂线
(5)过一点作已知直线的垂线