2021-2022学年人教版九年级上 24.1圆的有关性质同步练习（含解析）

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人教版九年级上 24.1圆的有关性质同步练习
一．选择题
1．（2021秋 西湖区校级期中）若四边形ABCD为圆内接四边形，则下列哪个选项可能成立（　　）
A．∠A：∠B：∠C：∠D＝1：2：3：4 B．∠A：∠B：∠C：∠D＝2：3：1：4
C．∠A：∠B：∠C：∠D＝3：1：2：4 D．∠A：∠B：∠C：∠D＝4：3：2：1
2．（2021秋 丹江口市期中）如图，A、B、C三点都在⊙O上，∠ABO＝43°，则∠ACB＝（　　）
A．43° B．45° C．47° D．50°
3．（2021秋 洪山区期中）如图，某圆弧形拱桥的跨度AB＝12米，拱高CD＝4米，则该拱桥的半径为（　　）
A．15米 B．13米 C．9米 D．6.5米
4．（2020秋 宜州区期末）如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若OB＝DE，∠E＝26°，则∠AOC是（　　）
A．52° B．62° C．72° D．78°
5．（2021秋 西湖区校级期中）下列有关圆的一些结论：①平分弧的直径垂直于弧所对的弦；②平分弦的直径垂于于弦；③在同圆或等圆中，相等的弦对应的圆周角相等；④同弧或等弧所对的弦相等．其中正确的有（　　）
A．①③ B．①④ C．②④ D．①②④
6．（2015 肥城市三模）如图，已知⊙O的弦AB、CD相交于点E，的度数为60°，的度数为100°，则∠AEC等于（　　）
A．60° B．100° C．80° D．130°
7．（2021春 罗湖区校级期末）如图，已知圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，则OP的长为（　　）
A．6 B． C．8 D．
8．（2021 岱岳区一模）如图，△ABC中，∠A＝50°，⊙O截△ABC的三条边所截得弦长相等，则∠BOC＝（　　）
A．110° B．115° C．120° D．125°
9．（2021秋 路北区期中）如图，MN是⊙O的直径，MN＝2，点A在⊙O上，∠AMN＝40°，B为弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（　　）
A． B． C．5 D．3
10．（2021秋 江干区校级期中）如图，AB为⊙O的直径，P为BA延长线上的一点，D在⊙O上（不与点A，点B重合），连结PD交⊙O于点C，且PC＝OB．设∠P＝α，∠B＝β，下列说法正确的是（　　）
A．α+β＝90° B．3α+2β＝180° C．5α+4β＝180° D．β﹣α＝30°
11．（2019秋 大丰区月考）如图，半径为13的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分是∠BAC，∠EAD，若DE＝10，∠BAC+∠EAD＝180°，则弦BC的长等于（　　）
A．20 B．22 C．24 D．26
12．（2021秋 拱墅区期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝∠ADC，BD平分∠ABC．若AB＝3，BC＝4，BD的长为（　　）
A．4 B． C． D．
13．（2021秋 镇江期中）如图，点A、B、C是⊙O上的点，且∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∠ACB的平分线交⊙O于D，下列4个判断：①⊙O的半径为5；②CD的长为7；③在BC弦所在直线上存在3个不同的点E，使得△CDE是等腰三角形；④在BC弦所在直线上存在2个不同的点F，使得△CDF是直角三角形；正确判断的个数有（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题
14．（2021秋 潍坊期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝36°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，交BC于点E，则所对的圆心角的度数是 　 　．
15．（2021秋 新洲区期中）在直径为10m的的圆柱型油槽内注入一些油后，截面如图所示，液面宽AB＝6m，如果继续向油槽内注油，使液面宽为8m，那么液面上升了 　 　m．
16．（2021秋 梁溪区期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD、BC的延长线相交于点E，AB、DC的延长相交于点F．若∠A＝50°，∠E＝45°，则∠DCB＝　 　，∠F＝　 　．
17．（2021秋 下城区校级期中）⊙O内一点P，OP＝3cm，过点P的最短的弦AB＝6cm，Q是⊙O上除AB两点之外的任一点，则∠AQB＝　 　．
18．（2021秋 拱墅区校级期中）已知⊙O半径为1，AB、BC是⊙O的弦，且AB＝1、BC＝，则∠ABC的度数是 　 　．
19．（2021秋 亭湖区校级月考）如图，点A、B、C在⊙O上，AC∥OB，BC＝4，⊙O的半径为，则AC＝　 　．
三．解答题
20．如图，在⊙O中，半径OC，OD分别交弦AB于点E，F，且OE＝OF．
（1）求证：AE＝BF；
（2）求证：＝．
21．（2021秋 越城区期中）如图，AB＝AC，AB为⊙O的直径，AC、BC分别交⊙O于点E、D，连接ED、BE．
（1）试判断DE与DC是否相等，并说明理由；
（2）如果BD＝2，AE＝2，求⊙O的直径．
22．（2021秋 盐都区月考）如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB于E，BD交CE与点F．
（1）求证：CF＝BF；
（2）若CD＝3，AC＝4，求CE的长．
23．（2021秋 拱墅区校级期中）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是弧AC上任意一点，延长AG，与DC的延长线交于点F，连接AD，DG，CG．
（1）求证：∠AGD＝∠FGC．
（2）连AC，若BE＝2，CD＝4，则判断△ACD为何种三角形，并说明理由．
24．（2021秋 海淀区校级期中）已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接BC，过点O作OD⊥BC于D，交于点E，连接AE，交BC于F．
（1）如图1，求证：∠BAC＝2∠E．
（2）如图2，连接OF，若OF⊥AB，DF＝1，求AE的长．
25．（2021秋 西湖区校级期中）如图，在⊙O中，C，D是直径AB上的两点，且AC＝BD，EG⊥AB，FH⊥AB，交AB于C、D，点E，G，F，H在⊙O上．
（1）若EG＝8，AC＝2，求⊙O半径；
（2）求证：＝；
（3）若C，D分别为OA，OB的中点，则＝＝成立吗？请说明理由．
答案与解析
一．选择题
1．（2021秋 西湖区校级期中）若四边形ABCD为圆内接四边形，则下列哪个选项可能成立（　　）
A．∠A：∠B：∠C：∠D＝1：2：3：4 B．∠A：∠B：∠C：∠D＝2：3：1：4
C．∠A：∠B：∠C：∠D＝3：1：2：4 D．∠A：∠B：∠C：∠D＝4：3：2：1
【解析】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C＝180°＝∠B+∠D，
故选：C．
2．（2021秋 丹江口市期中）如图，A、B、C三点都在⊙O上，∠ABO＝43°，则∠ACB＝（　　）
A．43° B．45° C．47° D．50°
【解析】解：∵OA＝OB，
∴ABO＝∠OAB＝43°，
∴∠AOB＝180°﹣43°﹣43°＝94°，
∴∠ACB＝∠AOB＝47°，
故选：C．
3．（2021秋 洪山区期中）如图，某圆弧形拱桥的跨度AB＝12米，拱高CD＝4米，则该拱桥的半径为（　　）
A．15米 B．13米 C．9米 D．6.5米
【解析】解：根据垂径定理的推论知，圆弧形拱桥的圆心在CD所在的直线上，
设圆心是O，半径是r米，连接OA．
根据垂径定理，得：AD＝AB＝6（米），
在Rt△AOD中，根据勾股定理，得r2＝62+（r﹣4）2，
解得：r＝6.5，
即该拱桥的半径为6.5米，
故选：D．
4．（2020秋 宜州区期末）如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若OB＝DE，∠E＝26°，则∠AOC是（　　）
A．52° B．62° C．72° D．78°
【解析】解：连接OD，如图，
∵OD＝OB＝DE，
∴∠DOE＝∠E＝26°，
∴∠ODC＝∠DOE+∠E＝26°+26°＝52°，
∵OC＝OD，
∴∠C＝∠ODC＝52°，
∴∠AOC＝∠C+∠E＝52°+26°＝78°．
故选：D．
5．（2021秋 西湖区校级期中）下列有关圆的一些结论：①平分弧的直径垂直于弧所对的弦；②平分弦的直径垂于于弦；③在同圆或等圆中，相等的弦对应的圆周角相等；④同弧或等弧所对的弦相等．其中正确的有（　　）
A．①③ B．①④ C．②④ D．①②④
【解析】解：①平分弧的直径垂直于弧所对的弦，故正确；
②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故错误；
③在同圆或等圆中，相等的弦对应的圆周角相等或互补，故错误；
④同弧或等弧所对的弦相等；故正确；
正确的有2个，
故选：B．
6．（2015 肥城市三模）如图，已知⊙O的弦AB、CD相交于点E，的度数为60°，的度数为100°，则∠AEC等于（　　）
A．60° B．100° C．80° D．130°
【解析】解：连接AD，
∵的度数为60°，
∴∠D＝30°，
∵的度数为100°，
∴∠A＝50°，
∴∠AEC＝∠A+∠D＝80°．
故选：C．
7．（2021春 罗湖区校级期末）如图，已知圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，则OP的长为（　　）
A．6 B． C．8 D．
【解析】解：作OE⊥AB交AB与点E，作OF⊥CD交CD于点F，如右图所示，
则AE＝BE，CF＝DF，∠OFP＝∠OEP＝90°，
又∵圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，
∴∠FPE＝90°，OB＝10，BE＝8，
∴四边形OEPF是矩形，OE＝6，
同理可得，OF＝6，
∴EP＝6，
∴OP＝，
故选：B．
8．（2021 岱岳区一模）如图，△ABC中，∠A＝50°，⊙O截△ABC的三条边所截得弦长相等，则∠BOC＝（　　）
A．110° B．115° C．120° D．125°
【解析】解：过O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，OQ⊥AC于Q，连接OK、OD、OF、OB、OC，设AB，AC，BC与⊙O的另一个交点分别为E，H，G．
由垂径定理得：DM＝DE，KQ＝KH，FN＝FG，
∵DE＝FG＝HK，
∴DM＝KQ＝FN，
∵OD＝OK＝OF，
∴由勾股定理得：OM＝ON＝OQ，
即O到三角形ABC三边的距离相等，
∴O是△ABC的内心，
∴∠OBC+∠OCB＝（180°﹣50°）＝65°，
∴∠BOC＝115°，
故选：B．
9．（2021秋 路北区期中）如图，MN是⊙O的直径，MN＝2，点A在⊙O上，∠AMN＝40°，B为弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（　　）
A． B． C．5 D．3
【解析】解：作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，则P点就是所求作的点．
此时PA+PB最小，且等于AC的长．
连接OA，OC，
∵∠AMN＝40°，
∴∠AON＝80°，
∵B为弧AN的中点，
∴∠AOB＝∠BON＝40°，
根据垂径定理得＝，
∴∠CON＝∠BON＝40°，
∴∠AOC＝120°，
∵MN＝2，
∴OA＝OC＝1，
∴∠OAC＝∠OCA＝30°，
∴AC＝．
故选：B．
10．（2021秋 江干区校级期中）如图，AB为⊙O的直径，P为BA延长线上的一点，D在⊙O上（不与点A，点B重合），连结PD交⊙O于点C，且PC＝OB．设∠P＝α，∠B＝β，下列说法正确的是（　　）
A．α+β＝90° B．3α+2β＝180° C．5α+4β＝180° D．β﹣α＝30°
【解析】解：如图，连接OC，OD．
∵OD＝OB，
∴∠B＝∠ODB＝β，
∴∠POD＝∠B+∠ODB＝2β，
∵CP＝OB＝CO＝OD，
∴∠P＝∠COP＝α，∠OCD＝∠ODC，
∵∠OCD＝∠P+∠COP，
∴∠ODC＝2α，
∵∠P+∠POD+∠ODP＝180°，
∴3α+2β＝180°，
故选：B．
11．（2019秋 大丰区月考）如图，半径为13的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分是∠BAC，∠EAD，若DE＝10，∠BAC+∠EAD＝180°，则弦BC的长等于（　　）
A．20 B．22 C．24 D．26
【解析】解：作直径CF，连接BF，如图，
则∠FBC＝90°，
∵∠BAC+∠EAD＝180°，
而∠BAC+∠BAF＝180°，
∴∠DAE＝∠BAF，
∴＝，
∴DE＝BF＝10，
∴BC＝＝＝24，
解法二：作AM⊥BC，AN⊥DE，证得△ACM≌△DCN，求得AM＝DN＝3，然后利用勾股定理求得CM，从而求得BC＝24．
故选：C．
12．（2021秋 拱墅区期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝∠ADC，BD平分∠ABC．若AB＝3，BC＝4，BD的长为（　　）
A．4 B． C． D．
【解析】解：过点作CH⊥BD于H，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴AC＝＝＝5，
∵BD平分∠ABC，
∴DA＝DC＝5×＝，BH＝CH＝4×＝2，
∴DH＝＝，
∴BD＝BH+DH＝，
故选：B．
13．（2021秋 镇江期中）如图，点A、B、C是⊙O上的点，且∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∠ACB的平分线交⊙O于D，下列4个判断：①⊙O的半径为5；②CD的长为7；③在BC弦所在直线上存在3个不同的点E，使得△CDE是等腰三角形；④在BC弦所在直线上存在2个不同的点F，使得△CDF是直角三角形；正确判断的个数有（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】解：如图1中，连接AB.
∵∠ACB＝90°，
∴AB是直径，
∴AB＝＝＝10，
∴⊙O的半径为5．故①正确，
如图1中，连接AD，BD，过点D作DM⊥CA交CA的延长线于点M，DN⊥BC于N．
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴＝，
∴AD＝BD，
∵∠M＝∠DNC＝90°，CD＝CD，
∴△CDM≌△CDN（AAS），
∴CM＝CN．DM＝DN，
∵∠M＝∠DNB＝90°，DA＝DB，
∴Rt△DMA≌Rt△DNB（HL），
∴AM＝BN，
∵∠M＝∠MAN＝∠DNC＝90°，
∴四边形CMDN是矩形，
∵DM＝DN，
∴四边形CMDN是正方形，
∴CD＝CM，
∵AC+CB＝CM﹣AM+CN+BN＝2CM＝14，
∴CM＝7，
∴CD＝7，故②正确，
如图2中，满足条件的点E有4个，故③错误，
如图3中，满足条件的点F有2个，故④正确，
故选：C．
二．填空题
14．（2021秋 潍坊期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝36°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，交BC于点E，则所对的圆心角的度数是 　18°　．
【解析】解：连接CD，如图所示：
∵∠ACB＝90°，∠B＝36°，
∴∠A＝90°﹣∠A＝54°，
∵CA＝CD，
∴∠CDA＝∠A＝54°，
∴∠ACD＝180°﹣54°﹣54°＝72°，
∴∠DCE＝90°﹣∠ACD＝18°，
故答案为：18°．
15．（2021秋 新洲区期中）在直径为10m的的圆柱型油槽内注入一些油后，截面如图所示，液面宽AB＝6m，如果继续向油槽内注油，使液面宽为8m，那么液面上升了 　1或7　m．
【解析】解：连接OA，作OG⊥AB于G，
∵AB＝6m，
∴AG＝AB＝3m，
∵油槽直径为10m．
∴OA＝5m，
∴OG＝4m，即弦AB的弦心距是4m，
同理当油面宽AB为8m时，弦心距是3m，
∴当油面没超过圆心O时，油上升了1m；
当油面超过圆心O时，油上升了7m．
故答案为1或7．
16．（2021秋 梁溪区期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD、BC的延长线相交于点E，AB、DC的延长相交于点F．若∠A＝50°，∠E＝45°，则∠DCB＝　130°　，∠F＝　35°　．
【解析】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠DCB＝180°，
∵∠A＝50°，
∴∠DCB＝180°﹣50°＝130°，
∵∠CBF是△ABE的外角，∠A＝50°，∠E＝45°，
∴∠CBF＝∠A+∠E＝95°，
∴∠F＝∠DCB﹣∠CBF＝35°，
故答案为：130°；35°．
17．（2021秋 下城区校级期中）⊙O内一点P，OP＝3cm，过点P的最短的弦AB＝6cm，Q是⊙O上除AB两点之外的任一点，则∠AQB＝　60°或120°　．
【解析】解：如图，连接OA，OB，
∵过点P的最短的弦AB＝6cm，
∴OP⊥AB，
∴AP＝BP＝AB＝3（cm），
∵OP＝3cm，
∴tan∠AOP＝＝＝，
∴∠AOP＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠AQB＝AOB＝60°，
∴∠AQ′B＝180°﹣∠AQB＝120°，
故∠AQB＝60°或120°，
故答案为：60°或120°．
18．（2021秋 拱墅区校级期中）已知⊙O半径为1，AB、BC是⊙O的弦，且AB＝1、BC＝，则∠ABC的度数是 　15°或105°　．
【解析】解：连接OA、OB、OC，
∵⊙O半径为1，
∴OA＝OB＝OC＝1，
∵AB＝1，
∴OA＝OB＝AB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∵OB＝OC＝1，BC＝，
∴OB2+OC2＝BC2，
∴△OBC是直角三角形，∠BOC＝90°，
分两种情况：
①当AB、BC在OB的同侧时，如图1所示：
则∠AOC＝∠BOC﹣∠AOB＝30°，
∴∠ABC＝∠AOC＝15°；
②当AB、BC在OB的异侧时，如图2所示：
则∠AOC＝∠BOC+∠AOB＝150°，
∴∠ABC＝（360°﹣∠AOC）＝（360°﹣150°）＝105°；
综上所述，∠ABC的度数是15°或105°，
故答案为：15°或105°．
19．（2021秋 亭湖区校级月考）如图，点A、B、C在⊙O上，AC∥OB，BC＝4，⊙O的半径为，则AC＝　　．
【解析】解：如图，过点O作OM⊥CB于点M，ON⊥AC于点N，过点C作CH⊥OB于点H．
∵AC∥OB，CH⊥OB，
∴CH⊥AC，
∵ON⊥AC，
∴∠ONC＝∠HCN＝∠CHO＝90°，
∴四边形OHCN是矩形，
∴CN＝OH，
∵OM⊥CB，
∴CM＝BM＝2，
∴OM＝＝＝，
∵S△OBC＝ BC OM＝ OB CH，
∴CH＝＝，
∴OH＝＝＝，
∴CN＝OH＝，
∵ON⊥AC，
∴CN＝AN，
∴AC＝2CN＝，
故答案为：
三．解答题
20．如图，在⊙O中，半径OC，OD分别交弦AB于点E，F，且OE＝OF．
（1）求证：AE＝BF；
（2）求证：＝．
【解析】证明：（1）过O作OM⊥AB于M，连接OA、OB，
∵OA＝OB，OE＝OF，
∴AM＝BM，EM＝FM，
∴AM﹣EM＝BM﹣FM，
∴AE＝BF；
（2）∵OM⊥AB，OA＝OB，OE＝OF，
∴∠AOM＝∠BOM，∠EOM＝∠FOM，
∴∠AOM﹣∠EOM＝∠BOM﹣∠FOM，
∴∠AOC＝∠BOD，
∴＝．
21．（2021秋 越城区期中）如图，AB＝AC，AB为⊙O的直径，AC、BC分别交⊙O于点E、D，连接ED、BE．
（1）试判断DE与DC是否相等，并说明理由；
（2）如果BD＝2，AE＝2，求⊙O的直径．
【解析】解：（1）DE＝DC，理由如下：
连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴∠CAD＝∠BAD，DC＝BD，
∴＝，
∴DE＝BD，
∴DE＝DC；
（2）∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵AE＝2，
设⊙O的半径为r，
则AB＝2r，CE＝2r﹣2，
在Rt△ABE中，BE2＝AB2﹣AE2，
在Rt△CBE中，BE2＝BC2﹣CE2，
∴AB2﹣AE2＝BC2﹣CE2，
∵BD＝2，BC＝2BD，
∴BC＝4，
∴（2r）2﹣22＝﹣（2r﹣2）2，
∴r＝4或r＝﹣3（舍去），
∴2r＝8，
即⊙O的直径为8．
22．（2021秋 盐都区月考）如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB于E，BD交CE与点F．
（1）求证：CF＝BF；
（2）若CD＝3，AC＝4，求CE的长．
【解析】（1）证明：延长CE交⊙O于点M，
∵AB是⊙O的直径，CE⊥AB，
∴＝，
∵C是弧BD的中点，
∴＝，
∴＝，
∴∠1＝∠2，
∴CF＝BF；
（2）解：∵C是弧BD的中点，CD＝3，
∴BC＝CD＝3，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝4，
∴AB＝＝＝5，
∵CE⊥AB，
∴AB CE＝AC BC，
∴CE＝＝＝．
23．（2021秋 拱墅区校级期中）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是弧AC上任意一点，延长AG，与DC的延长线交于点F，连接AD，DG，CG．
（1）求证：∠AGD＝∠FGC．
（2）连AC，若BE＝2，CD＝4，则判断△ACD为何种三角形，并说明理由．
【解析】（1）证明：连接AC．
∵AB⊥CD，
∴EC＝ED，
∴AC＝AD，
∴∠3＝∠ADC，
∵∠1+∠AGC＝180°，∠AGC+∠ADC＝180°，
∴∠1＝∠ADC，
∵∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2，即：∠AGD＝∠FGC；
（2）解：结论：△ADC是等边三角形．
理由：连接BC．
∵AB⊥CD，
∴∠BEC＝90°，EC＝DE＝CD＝2，
∴tan∠EBC＝＝，
∴∠EBC＝60°，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝30°，
∵∠AEC＝90°，
∴∠3＝90°﹣30°＝60°，
∵AE⊥CD，EC＝ED，
∴AC＝AD，
∴△ACD是等边三角形．
24．（2021秋 海淀区校级期中）已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接BC，过点O作OD⊥BC于D，交于点E，连接AE，交BC于F．
（1）如图1，求证：∠BAC＝2∠E．
（2）如图2，连接OF，若OF⊥AB，DF＝1，求AE的长．
【解析】（1）证明：如图1中，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵OE⊥BC，
∴∠ODB＝∠ACB＝90°，
∴OE∥AC，
∴∠CAF＝∠AEO，
∵OA＝OE，
∴∠AEO＝∠OAE，
∴∠BAC＝2∠E；
（2）解：如图2中，
∵OF⊥AB，OA＝OB，
∴FA＝FB，
∴∠FAB＝∠FBA，
∵∠CAF＝∠EAB，
∴∠CAB＝2∠ABC，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠B＝90°，
∴∠B＝∠EAO＝∠E＝30°，
∴∠AOE＝120°，
∴∠FOE＝∠E＝30°，
∴FO＝EF，
∵FD⊥OE，
∴EF＝OF＝2DF＝2，AF＝2OF＝4，
∴AE＝AF+EF＝4+2＝6．
25．（2021秋 西湖区校级期中）如图，在⊙O中，C，D是直径AB上的两点，且AC＝BD，EG⊥AB，FH⊥AB，交AB于C、D，点E，G，F，H在⊙O上．
（1）若EG＝8，AC＝2，求⊙O半径；
（2）求证：＝；
（3）若C，D分别为OA，OB的中点，则＝＝成立吗？请说明理由．
【解析】解：（1）连接EO，
设⊙O半径为r，
∵EG⊥AB，
∴CE＝CG＝EG＝4，
∵AC＝2，
∴OC＝r﹣2，
在Rt△CEO中，OE2＝CE2+OC2，
∴r2＝42+（r﹣2）2，
解得r＝5，
∴⊙O半径为5；
（2）连接OE、OF，
∵AC＝BD，OA＝OB，
∴OC＝OD，
∵EG⊥AB，FH⊥AB，
∴在Rt△COE和Rt△DOF中，
，
∴Rt△COE≌Rt△DOF（HL），
∴∠AOE＝∠BOF，
∴＝；
（3）＝＝成立，理由如下：
∵C，D分别为OA，OB的中点，
∴OC＝，
∴cos∠AOE＝＝，
∴∠AOE＝60°，
同理∠BOF＝60°，
∴∠EOF＝60°，
∴＝＝．
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