2021-2022学年人教版九年级上 24.2点和圆、直线和圆的位置关系同步练习

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人教版九年级上 24.2点和圆、直线和圆的位置关系同步练习
一．选择题
1．（2021秋 龙湾区期中）已知⊙O的半径为5，OA＝6，则点A在（　　）
A．⊙O内 B．⊙O上 C．⊙O外 D．无法确定
2．（2021秋 莘县期中）已知半径为5的圆，直线l上一点到圆心的距离是5，则直线和圆的位置关系为（　　）
A．相切 B．相离 C．相切或相交 D．相切或相离
3．（2021秋 溧水区期中）已知⊙O的半径为4，直线l上有一点M．若OM＝4，则直线l与⊙O的位置关系是（　　）
A．相交 B．相离或相交 C．相离或相切 D．相交或相切
4．（2021 安阳一模）如图，PA是⊙O的切线，A为切点，连接OP交⊙O于点C，点B在⊙O上，且∠ABC＝24°，则∠APC等于（　　）
A．31° B．42° C．53° D．64°
5．（2021秋 沙坪坝区校级期中）如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，C是圆上一点，连接AC、BC，若∠ACB＝62°，则∠P的度数为（　　）
A．56° B．62° C．66° D．68°
6．（2020秋 北碚区校级期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠CAB＝30°，∠ACB＝105°，CD⊥AB于点D且CD＝2，则⊙O的半径为（　　）
A．2 B．4 C．4 D．4
7．（2020秋 衢江区期末）如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，且PA＝8，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长为（　　）
A．32 B．24 C．16 D．8
8．（2021 荆门一模）如图，点O为△ABC的内心，∠A＝60°，OB＝2，OC＝4，则△OBC的面积是（　　）
A． B． C．2 D．4
9．（2021 安徽模拟）如图，O为Rt△ABC的内心，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，OD∥AB交BC于点D，则CD的值为（　　）
A． B． C．8 D．
10．（2021秋 滨城区期中）已知PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C是⊙O上不同于点A、点B的一个动点，若∠P＝54°，则∠ACB的度数是（　　）
A．63° B．117° C．53°或127° D．117°或63°
11．（2020 高青县一模）如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，交于BC的中点D，过点D作直线EF与⊙O相切，交AC于点E，交AB的延长线于点F．若△ABC的面积为△CDE的面积的8倍，则下列结论中，错误的是（　　）
A．AC＝2AO B．EF＝2AE C．AB＝2BF D．DF＝2DE
12．（2021 鹿城区校级二模）如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B．BC是⊙O的直径，连结AC，若AC＝1，BC＝，则PA＝（　　）
A． B．2 C． D．
二．填空题
13．（2021秋 西城区校级期中）已知∠AOB＝30°，P是OA上的一点，OP＝4cm，以r为半径作⊙P．若r＝cm，则⊙P与OB的位置关系是 　 　．
14．（2021秋 下城区校级期中）已知点P到圆上的点的最大距离为11，最小距离为7，则此圆的半径为 　 　．
15．（2021秋 姜堰区期中）如图，I是△ABC的内心，∠A＝50°，则∠BIC＝　 　．
16．（2021秋 亭湖区月考）矩形ABCD中，边AB＝6cm，AD＝8cm，以A为圆心作⊙A，使B、C、D三点有两个点在⊙A内，有一点在⊙A外，则⊙A的半径r的取值范围是 　 　．
17．（2021 鞍山一模）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CB＝2，BD平分∠ABC，点P为线段BD上一动点，以P为圆心，以1为半径长作圆，当⊙P与△ACB的边相切时，则BP长为 　 　．
18．（2021秋 常州期中）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝＝45°，AD⊥BC于点D，延长AD交⊙O于点E，若BD＝4，CD＝1，则AD的长是 　 　．
三．解答题
19．（2021秋 灌南县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝4，点D是AB的中点，若以点D为圆心，r为半径作⊙D，使点B在⊙D内，点C在⊙D外，试求r的取值范围．
20．（2021秋 东城区校级期中）如图在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB长为半径的圆经过点D，交BC于点E，交AB于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若CE＝2，CD＝4，求半径的长．
21．（2021 南浔区模拟）如图，AB为⊙O的直径，PQ是⊙O的切线，E为切点，AC⊥PQ于C，交⊙O于D．
（1）求证：AE平分∠BAC；
（2）若AD＝EC＝2，求⊙O的半径．
22．（2021 临海市一模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC，四边形ABCD是平行四边形，边CD与⊙O交于点E，连接AE．
（1）求证：AE＝AD；
（2）若∠B＝72°，求证：点E是的中点．
23．（2020秋 宁蒗县期末）已知：在△ABC中，∠C＝90°，⊙I是Rt△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，连接IE、IF．
（1）四边形IECF是什么特殊的四边形？并说明理由．
（2）若AC＝8，BC＝6，求半径IE的长．
24．（2021 江都区模拟）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线交于点D，过点B作BE⊥BA，交DC延长线于点E，连接OE，交⊙O于点F，交BC于点H，连接AC．
（1）求证：∠ECB＝∠EBC；
（2）连接BF，CO，若BF＝5，sin∠FBC＝，求AC的长．
25．（2021 夹江县模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，OD⊥AB交AC于点E，∠D＝2∠A．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求证：DE＝DC；
（3）若OD＝5，CD＝3，求AE的长．
26．（2020秋 大冶市期末）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D、过D作直线DG∥BC．
（1）求证：DG是⊙O的切线；
（2）求证：DE＝CD；
（3）若DE＝2，BC＝8，求⊙O的半径．
答案与解析
一．选择题
1．（2021秋 龙湾区期中）已知⊙O的半径为5，OA＝6，则点A在（　　）
A．⊙O内 B．⊙O上 C．⊙O外 D．无法确定
【解析】解：∵OA＝6＞5，
∴点A与⊙O的位置关系是点在圆外，
故选：C．
2．（2021秋 莘县期中）已知半径为5的圆，直线l上一点到圆心的距离是5，则直线和圆的位置关系为（　　）
A．相切 B．相离 C．相切或相交 D．相切或相离
【解析】解：∵若直线L与⊙O只有一个交点，即为点P，则直线L与⊙O的位置关系为：相切；
若直线L与⊙O有两个交点，其中一个为点P，则直线L与⊙O的位置关系为：相交；
∴直线L与⊙O的位置关系为：相交或相切．
故选：C．
3．（2021秋 溧水区期中）已知⊙O的半径为4，直线l上有一点M．若OM＝4，则直线l与⊙O的位置关系是（　　）
A．相交 B．相离或相交 C．相离或相切 D．相交或相切
【解析】解：当OM垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d＝4＝r，⊙O与l相切；
当OM不垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d＜4＝r，⊙O与直线l相交．
故直线l与⊙O的位置关系是相切或相交．
故选：D．
4．（2021 安阳一模）如图，PA是⊙O的切线，A为切点，连接OP交⊙O于点C，点B在⊙O上，且∠ABC＝24°，则∠APC等于（　　）
A．31° B．42° C．53° D．64°
【解析】解：连接OA，
∵∠ABC＝24°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝48°，
∵PA是⊙O的切线，
∴∠OAP＝90°，
∴∠APC＝90°﹣∠AOP＝42°，
故选：B．
5．（2021秋 沙坪坝区校级期中）如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，C是圆上一点，连接AC、BC，若∠ACB＝62°，则∠P的度数为（　　）
A．56° B．62° C．66° D．68°
【解析】解：连接OA、OB，
由圆周角定理得：∠AOB＝2∠ACB＝124°，
∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣124°＝56°，
故选：A．
6．（2020秋 北碚区校级期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠CAB＝30°，∠ACB＝105°，CD⊥AB于点D且CD＝2，则⊙O的半径为（　　）
A．2 B．4 C．4 D．4
【解析】解：如图，连接OA，OC，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∵∠CAB＝30°，CD＝2，
∴AC＝2CD＝4，
∵∠ACB＝105°，∠ACD＝60°，
∴∠CBA＝45°，
∵∠COA＝2∠CBA＝2×45°＝90°，
在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC2＝OA2+OC2，
∵OA＝OC，
∴OA＝AC＝4，
∴⊙O的半径为4，
故选：B．
7．（2020秋 衢江区期末）如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，且PA＝8，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长为（　　）
A．32 B．24 C．16 D．8
【解析】解：∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，
∴PA＝PB＝8，
∵CD切⊙O于点E，
∴CA＝CE，DB＝DE，
∴△PCD的周长＝PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝PC+AC+BD+PD＝PA+PB＝16．
故选：C．
8．（2021 荆门一模）如图，点O为△ABC的内心，∠A＝60°，OB＝2，OC＝4，则△OBC的面积是（　　）
A． B． C．2 D．4
【解析】解：如图，过点C作CH⊥BO的延长线于点H，
∵点O为△ABC的内心，∠A＝60°，
∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝90°+A＝120°，
∴∠COH＝60°，
∵OB＝2，OC＝4，
∴OH＝2
∴CH＝2，
∴△OBC的面积＝OB CH＝2×2＝2．
故选：B．
9．（2021 安徽模拟）如图，O为Rt△ABC的内心，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，OD∥AB交BC于点D，则CD的值为（　　）
A． B． C．8 D．
【解析】解：如图，设圆O与Rt△ABC分别切于点E、F、G，
设OE＝OF＝OG＝x，
∵圆O与Rt△ABC分别切于点E、F、G，
∴OE⊥AC，OF⊥AB，OG⊥BC，
∴四边形OEAF为矩形，
∵OE＝OF，
∴四边形OEAF为正方形，
∴AE＝AF＝OE＝OF＝x，
∵AB＝6，AC＝8，
∴BG＝BF＝6﹣x，CG＝CE＝8﹣x，
∵BC＝，
∴6﹣x+8﹣x＝10，
∴x＝2，
∴CE＝CA﹣AE＝8﹣2＝6，
∵OD∥AB，∠A＝90°，OE⊥AC，
∴D、O、E三点共线，
∴OE∥AB，
∴，
∴，
∴CD＝，
故选：A．
10．（2021秋 滨城区期中）已知PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C是⊙O上不同于点A、点B的一个动点，若∠P＝54°，则∠ACB的度数是（　　）
A．63° B．117° C．53°或127° D．117°或63°
【解析】解：连接OA，OB，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OA⊥AP，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵∠APB＝54°，
∴∠AOB＝126°，
当C在优弧ACB上时，∠ACB＝∠AOB＝63°；
当C′在弧AB上时，∠AC′B＝180°﹣∠ACB＝117°，
则∠ACB的度数为63°或117°，
故选：D．
11．（2020 高青县一模）如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，交于BC的中点D，过点D作直线EF与⊙O相切，交AC于点E，交AB的延长线于点F．若△ABC的面积为△CDE的面积的8倍，则下列结论中，错误的是（　　）
A．AC＝2AO B．EF＝2AE C．AB＝2BF D．DF＝2DE
【解析】解：连接OD、AD，
∵OB＝OA，BD＝DC，
∴AC＝2OD，
∵OA＝OD，
∴AC＝2OD，A正确，不符合题意；
∵EF是⊙O的切线，
∴OD⊥EF，
∵OB＝OA，BD＝DC，
∴OD∥AC，
∴AE⊥EF，
∵△ABC的面积为△CDE的面积的8倍，D是BC的中点，
∴△ADC的面积为△CDE的面积的4倍，
∴△ADE的面积为△CDE的面积的3倍，
∴AE＝3EC，
∴＝，
∵OD∥AC，
∴＝＝，
∴FA＝2AE，B错误，符合题意；
AB＝2BF，C正确，不符合题意；
＝＝，
∴DF＝2DE，D正确，不符合题意；
故选：B．
12．（2021 鹿城区校级二模）如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B．BC是⊙O的直径，连结AC，若AC＝1，BC＝，则PA＝（　　）
A． B．2 C． D．
【解析】解：连接OP，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠CAB＝90°，
∵AC＝1，BC＝，
∴AB＝＝2，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴CB⊥PB，PA＝PB，
∴∠POB＝∠ACB，
∴tan∠POB＝tan∠ACB＝2，
∴＝2，即＝2，
解得：PB＝，
∴PA＝，
故选：C．
二．填空题
13．（2021秋 西城区校级期中）已知∠AOB＝30°，P是OA上的一点，OP＝4cm，以r为半径作⊙P．若r＝cm，则⊙P与OB的位置关系是 　相离　．
【解析】解：过点P作PC⊥OB，垂足为D，则∠OCP＝90°，
∵∠AOB＝30°，OP＝4cm，
∴PC＝OP＝2cm．
当r＝cm时，r＜PD，
∴⊙P与OB相离，
即⊙P与OB位置关系是相离．
故答案为：相离．
14．（2021秋 下城区校级期中）已知点P到圆上的点的最大距离为11，最小距离为7，则此圆的半径为 　2或9　．
【解析】解：如图，分为两种情况：
①当点P在圆内时，最近点的距离为7，最大距离为11，则直径是18，因而半径是9；
②当点P在圆外时，最近点的距离为7，最大距离为11，则直径是4，因而半径是2．
故此圆的半径为2或9，
故答案为：2或9．
15．（2021秋 姜堰区期中）如图，I是△ABC的内心，∠A＝50°，则∠BIC＝　115°　．
【解析】解：∵∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝130°，
∵△ABC的内心为I，
∴BI和CI分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠IBC＝ABC，∠ICB＝ACB，
∴∠BIC＝180°﹣（∠IBC+∠ICB）
＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣×130°
＝115°，
故答案为：115°．
16．（2021秋 亭湖区月考）矩形ABCD中，边AB＝6cm，AD＝8cm，以A为圆心作⊙A，使B、C、D三点有两个点在⊙A内，有一点在⊙A外，则⊙A的半径r的取值范围是 　8（cm）＜r＜10（cm）　．
【解析】解：连接AC，
∵矩形ABCD，
∴AB＝CD＝6（cm），∠ADC＝90°，
在Rt△ACD中，
AC＝＝10（cm），
当点D在⊙A上时，半径r＝8cm，
当点C在⊙A上时，半径r＝10cm，
∴当点B、C、D三点有两个点在⊙A内，有一点在⊙A外需满足8（cm）＜r＜10（cm），
故答案为8（cm）＜r＜10（cm）．
17．（2021 鞍山一模）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CB＝2，BD平分∠ABC，点P为线段BD上一动点，以P为圆心，以1为半径长作圆，当⊙P与△ACB的边相切时，则BP长为 　2或　．
【解析】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝30°，
∵BC＝2，
∴DC＝，
∴BD＝2DC＝4，
①若⊙P与BC相切于点E，连接PE，则∠PEB＝90°，
∵PE＝1，∠PBE＝30°，
∴PB＝2，
∵BD平分∠ABC，
过点P作PF⊥AB，
∴PE＝PF，
∴此时⊙P与AB相切；
②若⊙P与AC相切于点E，连接PE，则PE⊥AC，
∴PE∥BC，
∴∠DPE＝30°，
∵PE＝1，
∴DE＝，
∴PD＝2DE＝，
∴PB＝BD﹣PD＝4﹣，
综合以上可得，当⊙P与△ACB的边相切时，BP长为2或4﹣．
故答案为2或．
18．（2021秋 常州期中）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝＝45°，AD⊥BC于点D，延长AD交⊙O于点E，若BD＝4，CD＝1，则AD的长是 　　．
【解析】解：如图，连接OA，过O点作OF⊥BC于F，作OG⊥AE于G，
∵⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°，
∴∠BOC＝90°，
∵BD＝4，CD＝1，
∴BC＝4+1＝5，
∴OB＝OC＝，
∴OA＝，OF＝BF＝，
∴DF＝BD﹣BF＝，
∴OG＝，GD＝，
在Rt△AGO中，AG＝＝，
∴AD＝AG+GD＝．
故答案为：．
三．解答题
19．（2021秋 灌南县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝4，点D是AB的中点，若以点D为圆心，r为半径作⊙D，使点B在⊙D内，点C在⊙D外，试求r的取值范围．
【解析】解：连接CD，，过点A作AE⊥BC于点E．过点D作DF⊥BC于点F，显然DF∥AE，
∵AB＝AC＝2，BC＝4，
∴BE＝BC＝2，
∴AE＝＝4，，
∵点D是AB中点，即DF是中位线
∴DF＝AE＝2，BF＝BE＝1，
∴CF＝3，
∴CD＝＝，
又DB＝AB＝，
∴r的取值范围是＜r＜．
20．（2021秋 东城区校级期中）如图在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB长为半径的圆经过点D，交BC于点E，交AB于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若CE＝2，CD＝4，求半径的长．
【解析】（1）证明：如图，连接OD，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠OBD＝∠DBC，
∴∠ODB＝∠DBC，
∴OD∥BC，
∴∠ODA＝∠C＝90°，
∵AC经过⊙为的半径OD的端点D，且AC⊥OD，
∴AC是⊙O的切线．
（2）如图，设⊙O的半径为r，则OB＝OG＝r，
作OG⊥BE于点G，则BG＝EG，∠OGB＝90°，
∵∠ODC＝∠C＝∠OGC＝90°，
∴四边形ODCG是矩形，
∵CE＝2，CD＝4，
∴OG＝CD＝4，CG＝OD＝r，
∴BG＝EG＝r﹣2，
∵OB2＝OG2+BG2，
∴r2＝42+（r﹣2）2，
解得r＝5，
∴⊙O的半径长为5．
21．（2021 南浔区模拟）如图，AB为⊙O的直径，PQ是⊙O的切线，E为切点，AC⊥PQ于C，交⊙O于D．
（1）求证：AE平分∠BAC；
（2）若AD＝EC＝2，求⊙O的半径．
【解析】（1）证明：连接OE，
∴OA＝OE，
∴∠OEA＝∠OAE，
∵PQ切⊙O于E，
∴OE⊥PQ，
∵AC⊥PQ，
∴OE∥AC，
∴∠OEA＝∠EAC，
∴∠OAE＝∠EAC，
∴AE平分∠BAC；
（2）解：过点O作OM⊥AC于M，
∴AM＝MD＝AD，
∵AD＝EC＝2，
∴AM＝MD＝1，
又∠OEC＝∠ACE＝∠OMC＝90°，
∴四边形OECM为矩形，
∴OM＝EC＝2，
在Rt△AOM中，OA＝＝＝，
即⊙O的半径为．
22．（2021 临海市一模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC，四边形ABCD是平行四边形，边CD与⊙O交于点E，连接AE．
（1）求证：AE＝AD；
（2）若∠B＝72°，求证：点E是的中点．
【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠D，
∵四边形ABCE为⊙O的内接四边形，
∴∠ABC+∠AEC＝180°，
∵∠AED+∠AEC＝180°，
∴∠ABC＝∠AED，
∴∠D＝∠AED，
∴AE＝AD；
（2）∵AB＝AC，∠B＝72°，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°，∠AEC＝180°﹣∠B＝108°，
∴∠BAC＝180°﹣72°×2＝36°，
∵AB∥CD，
∴∠ACE＝∠BAC＝36°，
∴∠EAC＝180°﹣∠AEC﹣∠ACE＝36°，
∴∠ACE＝∠EAC，
∴＝，即点E是的中点．
23．（2020秋 宁蒗县期末）已知：在△ABC中，∠C＝90°，⊙I是Rt△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，连接IE、IF．
（1）四边形IECF是什么特殊的四边形？并说明理由．
（2）若AC＝8，BC＝6，求半径IE的长．
【解析】解：（1）四边形IECF是正方形，理由如下：
∵⊙I是Rt△ABC的内切圆，即AC、BC都是⊙I的切线，
∴∠IEC＝∠IFC＝90°，
∵∠C＝90°，
∴四边形IECF是矩形，
∵IE＝IF，
∴四边形IECF是正方形；
（2）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝＝10，
由切线长定理可知：
AE＝AD，BD＝BF，CE＝CF，
设半径IE的长为x，则CE＝CF＝x，
∴AE＝AD＝8﹣x，BD＝BF＝6﹣x，
∴（8﹣x）+（6﹣x）＝10，
解得x＝2，
∴IE的长为2．
24．（2021 江都区模拟）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线交于点D，过点B作BE⊥BA，交DC延长线于点E，连接OE，交⊙O于点F，交BC于点H，连接AC．
（1）求证：∠ECB＝∠EBC；
（2）连接BF，CO，若BF＝5，sin∠FBC＝，求AC的长．
【解析】解：（1）证明：∵BE⊥BA于点，
∴BE是⊙O的切线，而又已知EC是⊙O的切线，C为切点，
∴EC＝EB，
∴∠ECB＝∠EBC；
（2）如图所示，连接BF、CO，
∵EC＝EB，OC＝OB，
∴EO⊥BC，
∴∠CHF＝∠CHO＝90°，CH＝BH，
∵在Rt△BFH中，BF＝5，sin∠FBC＝，
∴FH＝BF sin∠FBC＝5×＝3，
∴由勾股定理得：BH＝4，
设OB＝OF＝x，在Rt△BOH中，由勾股定理得：
x2＝42+（x﹣3）2，
∴x＝，
∴OH＝，
∵O为AB中点，H为BC中点，
∴AC＝2OH＝．
∴AC的长为．
25．（2021 夹江县模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，OD⊥AB交AC于点E，∠D＝2∠A．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求证：DE＝DC；
（3）若OD＝5，CD＝3，求AE的长．
【解析】（1）证明：连接OC，如图，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠A，
∴∠COB＝∠A+∠ACO＝2∠A，
又∵∠D＝2∠A，
∴∠D＝∠COB．
又∵OD⊥AB，
∴∠COB+∠COD＝90°，
∴∠D+∠COD＝90°，即∠DCO＝90°，
∴OC⊥DC，
又点C在⊙O上，
∴CD是⊙O的切线；
（2）证明：∵∠DCO＝90°，
∴∠DCE+∠ACO＝90°，
又∵OD⊥AB，
∴∠AEO+∠A＝90°，
又∵∠A＝∠ACO，∠DEC＝∠AEO，
∴∠DEC＝∠DCE，
∴DE＝DC；
（3）解：∵∠DCO＝90°，OD＝5，DC＝3，
∴OC＝＝＝4，
∴OA＝OC＝4，
又DE＝DC＝3，
∴OE＝OD﹣DE＝2，
在Rt△AEO中，由勾股定理得：AE2＝OA2+OE2＝42+22＝20，
∴AE＝2．
26．（2020秋 大冶市期末）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D、过D作直线DG∥BC．
（1）求证：DG是⊙O的切线；
（2）求证：DE＝CD；
（3）若DE＝2，BC＝8，求⊙O的半径．
【解析】（1）证明：连接OD交BC于H，如图，
∵点E是△ABC的内心
∴AD平分∠BAC，
即∠BAD＝∠CAD，
∴，
∴OD⊥BC，BH＝CH，
∵DG∥BC，
∴OD⊥DG，
∴DG是⊙O的切线；
（2）证明：连接BD，
∵点E是△ABC的内心，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠DBC＝∠BAD，
∴∠DEB＝∠BAD+∠ABE＝∠DBC+∠CBE＝∠DBE，
即∠BED＝∠DBE，
∴BD＝DE，
∵，
∴BD＝CD，
∴DE＝CD；
（3）解：连接OD，OB，如图，
由（1）得OD⊥BC，BH＝CH，
∵BC＝8，
∴BH＝CH＝4，
∵DE＝2，BD＝DE，
∴BD＝2，
在Rt△BHD中，BD2＝BH2+HD2，
∴（2）2＝42+HD2，解得：HD＝2，
在Rt△BHO中，
r2＝BH2+（r﹣2）2，解得：r＝5．
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