2021-2022学年人教版九年级上 24.4弧长和扇形面积同步练习（含解析）

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人教版九年级上 24.4弧长和扇形面积同步练习
一．选择题
1．（2021秋 江干区校级期中）已知圆心角度数为60°，半径为30，则这个圆心角所对的弧长为（　　）
A．20π B．15π C．10π D．5π
2．（2021秋 锡山区期中）已知圆锥的底面半径为3cm，母线长为4cm，则这个圆锥的侧面积是（　　）
A．24πcm2 B．12πcm2 C．20cm2 D．20πcm2
3．（2021 金华模拟）用一个圆心角为150°，半径为12的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（　　）
A．2.5 B．5 C．6 D．10
4．（2021 五华区校级模拟）“云南十八怪”中第二怪“摘下斗笠当锅盖”，是指云南以江鞭草、山锅盖草、斑茅草和嫩竹篾片、篾丝编织成锅盖，形似斗笠，用斗笠锅盖做饭煮菜，透气保温，做出来的饭菜清香可口．如图，斗笠锅盖可以近似看为一个圆锥，若一个斗笠锅盖的底面直径为60cm，高度为40cm，则该斗笠锅盖的表面积大约为（　　）
A．725πcm2 B．1500πcm2 C．300πcm2 D．600πcm2
5．（2021 东胜区一模）如图，四边形ABCD是半径为2的⊙O的内接四边形，连接OA，OC．若∠AOC：∠ABC＝4：3，则的长为（　　）
A． B． C． D．
6．（2021秋 柯桥区期中）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，点O为BC的中点，以O为圆心，OB长为半径作半圆，交AC于点D，则图中阴影部分的面积是（　　）
A． B． C． D．
7．（2021 包头一模）如图，点A，B，C在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，若对角线AC＝2，则的长为（　　）
A． B． C． D．
8．（2021 苍溪县模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB．已知∠CDB＝30°，CD＝4，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．2π B．π C． D．
9．（2021 天山区一模）如图，矩形纸片ABCD中，AD＝9cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为（　　）
A．5.4cm B．6cm C．7.2cm D．7.5cm
10．（2021 杭州校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4．把△ABC分别绕直线AB，BC和AC旋转一周，所得几何体的表面积分别记作S1，S2，S3，则表面积最大的是（　　）
A．S1 B．S2 C．S3 D．无法确定
二．填空题
11．（2021秋 海曙区校级期中）已知半径为2cm的扇形的面积为6cm2，则扇形的弧长是 　 　cm．
12．（2021 兰州）如图，传送带的一个转动轮的半径为18cm，转动轮转n°，传送带上的物品A被传送12πcm，则n＝　 　．
13．（2021春 白云区校级月考）将两边长分别是4m和6m的矩形以其一边所在的直线为轴旋转一周，所得的几何体的侧面积是 　 　cm2．
14．（2021秋 西湖区校级期中）如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB＝30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点．若⊙O的半径为5，则GE+FH的最大值是 　 　；此时的长度是 　 　．
15．（2021秋 东城区校级期中）已知：如图，半圆O的直径AB＝12cm，点C，D是这个半圆的三等分点，则∠CAD的度数是　 　，弦AC，AD和围成的图形（图中阴影部分）的面积S是 　 　．
16．（2021 临淄区一模）在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．如图所示，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△AB'C'．则图中阴影部分的面积为 　 　．
三．解答题
17．（2021秋 灌南县期中）如图，在单位长度为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A（1，4）、B（﹣3，4）、C（﹣4，3），请在网格图中进行如下操作：
（1）用直尺画出该圆弧所在圆的圆心M的位置，则圆心M点的坐标为 　 　；
（2）若扇形MAC是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面半径r．
18．（2020秋 宜州区期末）“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的民族性运动，如图所示是一个陀螺的立体结构图．已知底面圆的直径AB＝8cm，圆柱体部分的高BC＝6cm，圆锥体部分的高CD＝3cm，求出这个陀螺的表面积（结果保留π）．
19．（2021秋 海曙区校级期中）已知：如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且BC＝6cm，AC＝8cm，∠ABD＝45°．
（1）求AB的长；
（2）求BD的长；
（3）求图中阴影部分的面积．
20．（2020秋 望江县期末）如图：已知AB为圆O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，连接AC，OC，BC．
（1）求证：∠ACO＝∠BCD；
（2）若EB＝5cm，CD＝10cm，求圆O的直径；
（3）在（2）的条件下，求劣弧BC的长．
21．（2021秋 日照期中）如图，从一直径为1米的圆形铁皮中剪出一个圆心角为90度的最大扇形ABC．
求：（1）剪掉后的剩余部分的面积；
（2）用所剪得的扇形ABC围成一个圆锥，该圆锥的底面半径是多少？
（3）如果从剪掉的部分中给圆锥配一个底，请问是否够用？
22．（2020 和平区二模）如图，AB是⊙O的弦，直线BC与⊙O相切于点B，AD⊥BC，垂足为D，连接OA，OB．
（1）求证：AB平分∠OAD；
（2）当∠AOB＝100°，⊙O的半径为6cm时．
①直接写出扇形AOB的面积约为　 　cm2（结果精确到1cm2）；
②点E是⊙O上一动点（点E不与点A、点B重合），连接AE，BE，请直接写出∠AEB＝　 　°．
23．（2021 贵阳）如图，在⊙O中，AC为⊙O的直径，AB为⊙O的弦，点E是的中点，过点E作AB的垂线，交AB于点M，交⊙O于点N，分别连接EB，CN．
（1）EM与BE的数量关系是 　 　；
（2）求证：＝；
（3）若AM＝，MB＝1，求阴影部分图形的面积．
答案与解析
一．选择题
1．（2021秋 江干区校级期中）已知圆心角度数为60°，半径为30，则这个圆心角所对的弧长为（　　）
A．20π B．15π C．10π D．5π
【解析】解：圆心角是60°，半径为30的扇形的弧长是＝10π，
故选：C．
2．（2021秋 锡山区期中）已知圆锥的底面半径为3cm，母线长为4cm，则这个圆锥的侧面积是（　　）
A．24πcm2 B．12πcm2 C．20cm2 D．20πcm2
【解析】解：圆锥的侧面积＝2π×3×4÷2＝12πcm2．
故选：B．
3．（2021 金华模拟）用一个圆心角为150°，半径为12的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（　　）
A．2.5 B．5 C．6 D．10
【解析】解：扇形的弧长＝＝10π，
设圆锥的底面半径为R，则2πR＝10π，
所以R＝5．
故选：B．
4．（2021 五华区校级模拟）“云南十八怪”中第二怪“摘下斗笠当锅盖”，是指云南以江鞭草、山锅盖草、斑茅草和嫩竹篾片、篾丝编织成锅盖，形似斗笠，用斗笠锅盖做饭煮菜，透气保温，做出来的饭菜清香可口．如图，斗笠锅盖可以近似看为一个圆锥，若一个斗笠锅盖的底面直径为60cm，高度为40cm，则该斗笠锅盖的表面积大约为（　　）
A．725πcm2 B．1500πcm2 C．300πcm2 D．600πcm2
【解析】解：∵斗笠锅盖的底面直径为60cm，
∴底面圆的半径为30cm，
∴圆锥的母线长为＝50（cm），
∴该斗笠锅盖的表面积＝×60π×50＝1500π（cm2）．
故选：B．
5．（2021 东胜区一模）如图，四边形ABCD是半径为2的⊙O的内接四边形，连接OA，OC．若∠AOC：∠ABC＝4：3，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【解析】解：∵四边形内接于⊙O，∠AOC＝2∠ADC，
∴∠ADC+∠ABC＝∠AOC+∠ABC＝180°．
又∠AOC：∠ABC＝4：3
∴∠AOC＝144°．
∵⊙O的半径为2，
∴劣弧AC的长为＝π．
故选：D．
6．（2021秋 柯桥区期中）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，点O为BC的中点，以O为圆心，OB长为半径作半圆，交AC于点D，则图中阴影部分的面积是（　　）
A． B． C． D．
【解析】解：连接OD．
∵AC＝4，AB＝2，
∴AC＝2AB，
∵∠ABC＝90°，
∴∠C＝30°，
∴∠DOB＝2∠C＝60°，
∵BC＝AB＝2，
∴OC＝OD＝OB＝，
∴S阴＝S△ACB﹣S△COD﹣S扇形ODB＝×2×2﹣××﹣
＝2﹣﹣
＝﹣．
故选：A．
7．（2021 包头一模）如图，点A，B，C在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，若对角线AC＝2，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【解析】解：连接OB，交AC于D，
∵四边形OABC是平行四边形，OC＝OA，
∴四边形OABC是菱形，OB⊥AC，
∵OA＝OB＝BC，
∴△OAB是等边三角形，∠AOB＝60°，
在Rt△OAD中，AD＝AC＝，
∴OA＝＝2，
∴的长是＝．
故选：C．
8．（2021 苍溪县模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB．已知∠CDB＝30°，CD＝4，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．2π B．π C． D．
【解析】解：连接OD，
∵CD⊥AB，
∴CE＝DE＝CD＝2，
故S△OCE＝S△ODE，
即可得阴影部分的面积等于扇形OBD的面积，
又∵∠CDB＝30°，
∴∠COB＝60°，
∴OC＝4，
故S扇形OBD＝＝，
即阴影部分的面积为π，
故选：C．
9．（2021 天山区一模）如图，矩形纸片ABCD中，AD＝9cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为（　　）
A．5.4cm B．6cm C．7.2cm D．7.5cm
【解析】解：设圆锥的底面的半径为rcm，则DE＝2rcm，AE＝AB＝（9﹣2r）cm，
根据题意得＝2πr，
解得r＝，
所以AB＝9﹣2r＝9﹣2×＝6（cm）．
故选：B．
10．（2021 杭州校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4．把△ABC分别绕直线AB，BC和AC旋转一周，所得几何体的表面积分别记作S1，S2，S3，则表面积最大的是（　　）
A．S1 B．S2 C．S3 D．无法确定
【解析】解：∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴AC＝＝5．
△ABC绕直线AB旋转一周，所得几何体为圆锥，底面半径为BC＝4，此圆锥的表面积为底面圆面积加扇形表面积，即S1＝π×42+π×4×5＝36π；
△ABC绕直线BC旋转一周，所得几何体为圆锥，底面半径为AB＝3，此圆锥的表面积为底面圆面积加扇形表面积，即S2＝π×32+π×3×5＝24π；
△ABC绕直线AC旋转一周，所得几何体为两个共底面的圆锥，底面半径为，此圆锥的表面积为两个扇形表面积之和，即S3＝π××3+π××4＝．
∴S1＞S2＞S3．
故选：A．
二．填空题
11．（2021秋 海曙区校级期中）已知半径为2cm的扇形的面积为6cm2，则扇形的弧长是 　6　cm．
【解析】解：设扇形的弧长为acm，
∵半径为2cm的扇形的面积为6cm2，
∴＝6，
解得：a＝6，
即扇形的弧长为6cm，
故答案为：6．
12．（2021 兰州）如图，传送带的一个转动轮的半径为18cm，转动轮转n°，传送带上的物品A被传送12πcm，则n＝　120°　．
【解析】解：∵物品A被传送的距离等于转动了n°的弧长，
∴＝12π，
解得：n＝120°，
故答案为：120°．
13．（2021春 白云区校级月考）将两边长分别是4m和6m的矩形以其一边所在的直线为轴旋转一周，所得的几何体的侧面积是 　480000π　cm2．
【解析】解：这个长方形绕一边所在直线旋转一周后是圆柱．
当把矩形6m的一边所在直线为轴旋转一周，那么圆柱的底面半径为4m，高为6m，
∴圆柱的侧面积为4π×2×6＝48π（m2）＝480000π（cm2）；
当把矩形4m的一边所在直线为轴旋转一周，那么圆柱的底面半径为6m，高为4m，
∴圆柱的侧面积为6π×2×4＝48π（m2）＝480000π（cm2）；
故答案为480000π．
14．（2021秋 西湖区校级期中）如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB＝30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点．若⊙O的半径为5，则GE+FH的最大值是 　7.5　；此时的长度是 　5π或π　．
【解析】解：如图，连接OA、OB，
∵∠ACB＝30°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB为等边三角形，
∵⊙O的半径为5，
∴AB＝OA＝OB＝5，
∵点E，F分别是AC、BC的中点，
∴EF＝AB＝，
要求GE+FH的最大值，即求GE+FH+EF（弦GH）的最大值，
∵当弦GH是圆的直径时，它的最大值为：5×2＝10，
∴GE+FH的最大值为：10﹣＝7.5．
∵GH是直径，点E、F分别是AC、BC的中点，
∴AC⊥GH或AC是直径，
当AC⊥GH时，BC是直径，
∴的长度是5π；
当AC是直径时，∠BOC＝120°，
∴的长度是＝π；
故答案为：7.5，5π或π．
15．（2021秋 东城区校级期中）已知：如图，半圆O的直径AB＝12cm，点C，D是这个半圆的三等分点，则∠CAD的度数是　30°　，弦AC，AD和围成的图形（图中阴影部分）的面积S是 　6πcm2　．
【解析】解：连接CO、OD，CD，
∵C、D是这个半圆的三等分点，
∴CD∥AB，∠COD＝60°，
∴∠CAD的度数为：30°，
∵OC＝OD，
∴△OCD是等边三角形，CD＝OC＝AB＝6cm，
∴△OCD与△CDA是等底等高的三角形，
∴S阴影＝S扇形OCD＝π×62＝6πcm2．
故答案为：30°，6πcm2．
16．（2021 临淄区一模）在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．如图所示，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△AB'C'．则图中阴影部分的面积为 　　．
【解析】解：∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，
∴AB＝BC＝，AC＝2BC＝2，
∴图中阴影部分面积＝S扇形ACC′﹣S扇形ADB′﹣S△AB′C′＝﹣﹣×1×＝，
故答案为：；
三．解答题
17．（2021秋 灌南县期中）如图，在单位长度为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A（1，4）、B（﹣3，4）、C（﹣4，3），请在网格图中进行如下操作：
（1）用直尺画出该圆弧所在圆的圆心M的位置，则圆心M点的坐标为 　（﹣1，1）　；
（2）若扇形MAC是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面半径r．
【解析】解：（1）如图，圆心M点的坐标为（﹣1，1）．
故答案为：（﹣1，1）；
（2）根据勾股定理可得，MA＝MC＝＝，
AC＝＝，
∴MA2+MC2＝AC2，
∴△ACM为等腰直角三角形，∠AMC＝90°，
根据题意得2πr＝，解得r＝，
即该圆锥的底面圆的半径长r为．
18．（2020秋 宜州区期末）“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的民族性运动，如图所示是一个陀螺的立体结构图．已知底面圆的直径AB＝8cm，圆柱体部分的高BC＝6cm，圆锥体部分的高CD＝3cm，求出这个陀螺的表面积（结果保留π）．
【解析】解：根据题意，圆柱的底面积＝π×42＝16π（cm2），
圆柱的侧面积＝2π×4×6＝48π（cm2），
圆锥的母线长为＝5cm，
所以圆锥的侧面积＝×2π×4×5＝20π（cm2），
所以这个陀螺的表面积＝16π+48π+20π＝84π（cm2）．
19．（2021秋 海曙区校级期中）已知：如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且BC＝6cm，AC＝8cm，∠ABD＝45°．
（1）求AB的长；
（2）求BD的长；
（3）求图中阴影部分的面积．
【解析】解：（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∵BC＝6cm，AC＝8cm，
∴AB＝＝＝10（cm）；
（2）连接OD，
∵∠ABD＝45°，OD＝OB，
∴∠ODB＝∠ABD＝45°，
∴∠DOB＝180°﹣∠ODB﹣∠ABD＝90°，
∵AB＝10cm，
∴OB＝OA＝5cm，
∴OD＝5cm，
∴BD＝＝＝5（cm）；
（3）过O作OE⊥BD于E，
∵OD＝OB＝5cm，BD＝5cm，S△DOB＝，
∴，
解得：OE＝，
∴阴影部分的面积S＝S扇形DOB﹣S△ODB＝﹣×＝（π﹣）cm2
20．（2020秋 望江县期末）如图：已知AB为圆O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，连接AC，OC，BC．
（1）求证：∠ACO＝∠BCD；
（2）若EB＝5cm，CD＝10cm，求圆O的直径；
（3）在（2）的条件下，求劣弧BC的长．
【解析】解：（1）∵CE＝ED，
∴∠BCD＝∠BAC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠ACO＝∠BCD；
（2）设⊙O的半径为Rcm，则OE＝OB﹣EB＝（R﹣5）cm，
CE＝CD＝×10＝5cm，
在Rt△CEO中，由勾股定理可得：
OC2＝OE2+CE2，
即R2＝（R﹣5）2+（5）2，
解得R＝10．
∴圆O的直径2R＝20cm；
（3）在Rt△OEC中，OE＝10﹣5＝5＝OC，
∴∠OCE＝30°，
∴∠EOC＝60°，
∴劣弧BC的长是＝cm．
21．（2021秋 日照期中）如图，从一直径为1米的圆形铁皮中剪出一个圆心角为90度的最大扇形ABC．
求：（1）剪掉后的剩余部分的面积；
（2）用所剪得的扇形ABC围成一个圆锥，该圆锥的底面半径是多少？
（3）如果从剪掉的部分中给圆锥配一个底，请问是否够用？
【解析】解：（1）连接BC，
∵∠CAB＝90°，AB＝AC，
∴BC＝1米，∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴AB＝AC＝BCcos45°＝，
∴S扇形ABC＝＝（米2），
则剪掉后的剩余部分的面积为：π×（）2﹣
＝﹣
＝（米2）；
（2）设该圆锥的底面半径是r米，
用所剪得的扇形ABC围成一个圆锥，底面圆的周长为：＝π（米），
则π＝2πr，
解得：r＝米，该圆锥的底面半径是米；
（3）如果从剪掉的部分中给圆锥配一个底，不够用．理由如下：
如图，剪掉的部分中③的面积最大．
连接AO并延长交于点D，交⊙O于点E，
则DE＝1﹣．
由（2）可知，能与扇形围成圆锥体的底面圆的直径d＝2r＝2×＝（米），
又∵DE＝1﹣＜d＝，即：围成圆锥体的底面圆的直径大于DE，
故不能围成圆锥体．
22．（2020 和平区二模）如图，AB是⊙O的弦，直线BC与⊙O相切于点B，AD⊥BC，垂足为D，连接OA，OB．
（1）求证：AB平分∠OAD；
（2）当∠AOB＝100°，⊙O的半径为6cm时．
①直接写出扇形AOB的面积约为　31　cm2（结果精确到1cm2）；
②点E是⊙O上一动点（点E不与点A、点B重合），连接AE，BE，请直接写出∠AEB＝　50或130　°．
【解析】（1）证明：∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB，
∵OB⊥CB，AD⊥BC，
∴OB∥AD，
∴∠OBA＝∠DAB，
∴∠OAB＝∠DAB，
∴AB平分∠OAD；
（2）①∵∠AOB＝100°，⊙O的半径为6cm，
∴扇形AOB的面积为：≈31（cm2），
故答案为：31；
②当点E在优弧AB上时，
∵∠AOB＝100°，
∴∠AEB＝50°，
当点E在劣弧AB上时，
∠AEB＝180°﹣50°＝130°，
故答案为：50或130．
23．（2021 贵阳）如图，在⊙O中，AC为⊙O的直径，AB为⊙O的弦，点E是的中点，过点E作AB的垂线，交AB于点M，交⊙O于点N，分别连接EB，CN．
（1）EM与BE的数量关系是 　BE＝EM　；
（2）求证：＝；
（3）若AM＝，MB＝1，求阴影部分图形的面积．
【解析】解：（1）∵AC为⊙O的直径，点E是的中点，
∴∠ABE＝45°，
∵AB⊥EN，
∴△BME是等腰直角三角形，
∴BE＝EM，
故答案为BE＝EM；
（2）连接EO，
∵AC是⊙O的直径，E是的中点，
∴∠AOE＝90°，
∴∠ABE＝∠AOE＝45°，
∵EN⊥AB，垂足为点M，
∴∠EMB＝90°
∴∠ABE＝∠BEN＝45°，
∴＝，
∵点E是的中点，
∴＝，
∴＝，
∴﹣＝﹣，
∴＝；
（3）连接AE，OB，ON，
∵EN⊥AB，垂足为点M，
∴∠AME＝∠EMB＝90°，
∵BM＝1，由（2）得∠ABE＝∠BEN＝45°，
∴EM＝BM＝1，
又∵BE＝EM，
∴BE＝，
∵在Rt△AEM中，EM＝1，AM＝，
∴tan∠EAB＝＝，
∴∠EAB＝30°，
∵∠EAB＝∠EOB，
∴∠EOB＝60°，
又∵OE＝OB，
∴△EOB是等边三角形，
∴OE＝BE＝，
又∵＝，
∴BE＝CN，
∴△OEB≌△OCN（SSS），
∴CN＝BE＝
又∵S扇形OCN＝＝，S△OCN＝CN×CN＝×＝，
∴S阴影＝S扇形OCN﹣S△OCN＝﹣．
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