2021-2022学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册第五章函数应用测试卷（Word含解析）

第五章《 函数的应用》检测卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40，在每小题.选项中，只有一项是符合题目要求的
1.函数 有零点、但不能用二分法求出，则c的值是( )
A.4 B.2 C.1
2.[2021天津一中高一期末]函数 的零点所在区间为（ ）
1) B.(1.e)
3.[新乡一中高一期末]若幂函数 的图象过点(2，2)，则函数g(x)=f(x)-3的零点是()
A. B.9 D.(9,0)
4.给出下列函数，其中在(0，+∞)上是增函数且不存在零点的函数的是()
5.方程 的解的个数是()
A.1 B.2 C.3 D.4
6.[2021泰安一中高一期中]设f(x)=3ax+1-2a在(-1，1)上存在， 则实数a的取值范围是( )
C.(-∞,-1)
7.[2020全国Ⅲ卷]Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型： 其中K为最大确诊病例数.当 (t*) 95K时，标志着已初步遏制疫情，则t 约为( ) (1n19≈3)
A. 60 B. 63 C. 66 D. 69
8.[2021天津市耀华中学期末]已知函数 若函数g(x)=f(-x)+f (x)有且仅有4个不同的零点，则实数k的取值范围是
( )
A、(-∞、-4) B.(4,+∞) C. (-∞,0)U(4,+∞)
D. (-∞,4)U(4,+∞)
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分
9.关于函数 正确的说法是()
A.f(x)有且仅有一个零点
B.f(x)的定义域为{x|x≠1}
C.f(x)在(1，+∞)上单调递增
D.f(x)的图象关于点(1，2)对称
10.已知函数 的零点依次为a，b，c，则()
A.a>0 B.b>0 C.c=0 D.b>c>a
11.某工厂生产一种溶液，按市场要求该溶液的杂质含量不得超过0.1%，而这种溶液最初的杂质含量为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少。若使这种溶液的杂质含量达到市场要求，则过滤次数可以为(参考数据：lg2≈0. 301，lg3≈0. 477) ( )
A.6 B.7 C.8 D.
12.[核心素养·逻辑推理]已知函数 若0A.f(x)有且只有一个零点
B.f(x)的零点在(0，1)内
C. f(x)的零点在(a，b)内
D.f(x)的零点在(c，+∞)内
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
13.【北京市昌平区高一期末】已知函数f(x)在(-2，2)上存在零点，且满足f(-2) f(2)>0，则函数f(x)的一个解析式为 .(只需写出
一个即可）
14.［上海市七宝中学高一期末］用二分法求函数. 在区间(2，3)内的零点时，取区间(2，3)的中点2.5，则f(x)的下一个有零点的区间是
15.函数 若0≤m16.[2021东北育才学校月考]已知函数 其中a>0.①若a=1，则不等式f(x)≤2的解集为____②若存在实数b，使函数g(x)=f(x)-b有两个零点，则实数a的取值范围是__(本题第一空2分，第二空3分)
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17.(10分)[核心素养·数学建模]通过市场调查，得到一枚某纪念章的市场价y(单位：元)与上市时间x(单位：天)的关系如下：
上市时间x 4 10 36
市场价y 90 51 90
(1)根据上表，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y与上市时间x的关系： ③y=a(b>0且b=1)；
(2)利用你所选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格
18.(12分)已知函数
(1)作出函数f(x)的图象；
(2)说明函数f(x)的单调区间(不需要证明)；
(3)若函数y=f(x)的图象与函数y=m的图象有4个交点，求实数m的取值范围.
19.(12分)[2021东莞一中高一月考]已知函数
(1)求函数y=log2x在区间[1，32]上的最大值与最小值；
(2)求函数f(x)的零点；
(3)求函数f(x)在区间[1，32]上的值域.
20.(12分)[2021人大附中高一期中]已知二次函数 c∈R).
(1)已知f(x)≤0的解集为{x|-1≤x≤1} 求实数b，c的值；
(2)已知f(x)满足f(1)=0，且关于x的方程f(x)+x+b=0的两个实数解分别在区间(-3，-2)，(0，1)内，求实数b的取值范围.
21.(12分)[2021深圳中学高一期中]已知函数 的图象关于直线x=1对称，且函数y=f(x)+2x为偶函数，函数g(x)=1-2x
(1)求函数f(x)的表达式；
(2)求证：方程 在区间[0，1]上有唯一实数根；
(3)若存在实数m，使得f(m)=g(n)，求实数n的取值范围.
22.(12分)[2021石家庄一中高一期末]给出下面两个条件：①函数f(x)的图象与直线y=-1只有一个交点；②函数f(x)的两个零点的差的绝对值为2.在这两个条件中选择一个，将下面问题补充完整，使函数f(x)的解析式确定.
已知二次函数 满足f(x+1)-f(x)=2x-1，且 .
(1)求f(x)的解析式；
(2)若对任意 恒成立，求实数m的取值范围；
(3)若函数 有且仅有一个零点，求实数t的取值范围.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
答案
1.D【解析】易知 是增函数，f(1)=e-5<0 0，所以f(1)f(2)<0，所以函数f(x)的零点所在区间为(1，2).故选D.
2.C【解析】A，B，D中的图象对应的函数零点两侧函数值不异号，所以不能用二分法求零点.故选C、
3.A【解析】由 得 所以a<0；由g(b)=In b+b=0，得lnb=-b，所以01，所以a4.【解析】在同一坐标系中画出y=与y=+b的图象(图略)，可知当故(x)>0.故选B
5.【解析】对于M(e)=1000( 它显然是个减函数，这与M(10)6.D【解析】 又f(-2)=-2，所以c=2，所以f(x)= x≤0时，由 解得 当x>0时，y=f(x)-x的零点为x=3.所以函数y=f(x)-x的零点个数为3，故选D.
7.B【解析】由题意知 即 解得h=10，故 点，当T=35℃时，由 得 两边取对数，化简得 即约需要25min可降温到35℃，故选B.
8.A【解析】令f(x)=0，得 .函数f(x)的零点是函数y=llnxl图象和函数 图象交点的横坐标，画出这两个函数的图象（图略），不妨设 且 即 .09.AB【解析】对于选项 故不能用二分法求零点的近似值.对于选项D，y=lx-2l≥0，故不能用一零点的近似值.易知选项A，B有
10.BC【解析】当x≤0时，f(x)=2，由题意得方程2+x-m=0无实数解，则m>(x+2)m[=2，所以m>2；当x>0时， 由题意得方程 无实数解，则 所以m<4.综上，可知实数m的取值范围是(2，4)，故选BC.
11.AD【解析】很明显函数 是R上的增函数，且f(1)=0，所以α=1，结合“零点伴侣”的定义可得l1-βl≤1，则0≤β≤2，据此可知函数 在区间[0，2]上存在零点，即方程 在区间[0，2]上存在实数根，整理可得 ×∈[0，2]，根据对勾函数的性质，知h(x)在区间[0，1]上单调递减，a∈[2,3]
12.CD【解析】当k>0时， 的图象如图1所示、令f(f(x))+1=0，即f(f(x))=-1，在图中画出直线y=-1，易知直线y=-1与函数f(x)的图象有2个交点，设其横坐标分别为y=t(与函数f(x)的图象有2个交点，直线y=1y与函数f(x)的图象有(1)，则 再画出直线y=t1与y=t2，结合图象可知，直线2个交点，所以此时y=f(f(x))+ 有4个零点.
12.CD【解析】当k>0时， 的图象如图1所示、令f(f(x))+1=0，即f(f(x))=-1，在图中画出直线y=-1，易知直线y=-1与函数f(x)的图象有2个交点，设其横坐标分别为,则 再画出直线y=t1与y=t2，结合图象可知，直线2个交点，所以此时y=f(f(x))+ 有4个零点.
当k<0时 的图象如图2所示.令 0，即f(f(x))=-1，在图中画出直线y=-1，易知直线y=-1与函数/(x)的图象有1个交点，交点的横坐标为y，再画出直线 结合图象可知直线 与函数f(x)的图象有1个交点，所以此时 仅有1个零点.
综上，当k>0时，函数y=f(f(x))+1有4个零点，当k<0时，函数y=f(f(x))+1有1个零点，所以C，D正确.故选CD.
13.4【解析】：a是函数f(x)=2-1og2x的零点， 解得a=4.
14. 10【解析】由题意得 则 因为再经过m min，桶1中的水只有3升，所以 即 又 所以 所以 解得m=10.
15. 【解析】因为函数f(x)的图象过点 所以 解得a=-1.令g(x)=0，则f(x)=k有三个不同的实数根，等价于函数y=f(x)与y=k的图象有三个不同的交点.作出f(x)的图象，如图所示，因为 所以 或k=1.
16.7 7【解析】由题图1可知：若(g(x))=0，则g(x)=-1或g(x)=0或g(x)=1由题图2可知，当g(x) 时，x=-1或x=1；当g(x)=0时 或x=0或 当g(x)=1时，x=2或x=-2.故m=7.若g(f(x))=0，则f( 或或f(x)=0由题图1知，当f(x)=时，x的值有2个；当 时，x的值有2个；当f(x)=0时，x=-1或x=1或x=0，故α=7.
16.7 7【解析】由题图1可知：若(g(x))=0，则g(x)=-1或g(x)=0或g(x)=1由题图2可知，当g(x) 时，x=-1或x=1；当g(x)=0时 或x=0或 当g(x)=1时，x=2或x=-2.故m=7.若g(f(x))=0，则f( 或或f(x)=0由题图1知，当f(x)=时，x的值有2个；当 时，x的值有2个；当f(x)=0时，x=-1或x=1或x=0，故α=7.
17.[解析】(1)若a=0，则 与题意不符,a≠0.
由题意得 (2分)
即 实数a的取值范围为(5分)
(2)若a=1，则
(7分)
.函数/(x)的零点在(0，)上，
方程f(x)=0在区间 上的根为(10分）
18.【解析】(1)依题意可设，当x≥0时，(x)=k(x-1)(x-3).由f(0)=6，得3k=6，..k=2，
(2分）
当x<0时，-x>0，则 又f(x)是偶函数， (4分 ）
(5分）
(2)依题意知f(x)=2a-2有两个不同的实数根，即y=f(x)与y=2a-2在同一坐标系中的图象有两个不同的交点(7分）
作出函数f(x)的图象，如图所示.
由图，可知只需满足条件2a-2=-2或2a-2>6，
..a=0或a>4，(11）
即实数a的取值范围是{0|U(4，+∞).(12）
19.【解析】(1)由题意知
所以当n=1时
即1. 解得p=-0.5，(3
所以
故改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型为r。
(2)由题意可得
整理得≥32.
两边同时取对数，得0.
整理得 (8分)
将lg2=0.3代入，得
所以至少进行6次改良工艺才能使该企业所排放的废气中含有的污染物又，所以n≥6才能数量达标. (12分)
20.【解析】(1)因为 所以f(x)=
由函数f(x)是偶函数可知f(x)=f(-) (2分)
即x=-2kx对一切xeR恒成立， （5分）
(2)函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，
即方程 有且只有一个实根.(6分)
化简得方程 有且只有一个实根.
令t=2x>0，则方程 有且只有一个正实根.(7分)
当a=1时 不符合题意；(8分)
当a>1时，函数 的图象是开口向上的抛物线，且恒过点(0，-1)，所以方程 恒有一个正实根；(9分)
当a<1时，要使方程 有且只有一个正实根，
只需 ，解得a=-3.(11分)
综上，实数a的取值范围是{-3}U(1，+∞).(12分)
21.【解析】(1)显然f(x)的定义域为(0，+∞)，
设x+y=2是(0，+ac)内的任意两个不相等的实数，且x1因为
所以
所以 故f(x)在定义域(0，+∞)上是减函数.(4分)
(2)因为f(1
所以
所以f(x)有零点.(7分)
所以f(
又f(x)在(0，+∞)上为减函数，所以J(x)的零点在区间 内，故n=10.(12分)
22.【解析】(1):f(1)
(1分)
对于方程f(x)=0，
(2分)
>0恒成立.
又a>0，'.函数f(x)有两个不同的零点.(4分)
(2)由x1，x2是函数f(x)的两个不同的零点，
得x1，x2是方程f(x)=0的两个根.
(5分)
的取值范围是 (7分)
(3):f(0)=cf(2)=4a+2b+c,
由(1)知3a+2b+2c=0，
.f(2)=a-c.(8分)
(i)当c>0时，有f(0)>0，又a>0，
·函数f(x)在区间(0，1)内至少有一个零点(10分)
(ii)当c≤0时，f(2)=a-c>0，f(1)<0.
..函数f(x)在区间(1，2)内至少有一个零点
综上所述，函数f(x)在区间(0，2)内至少有一个零点.(12分)