2021-2022学年 京改版数学 七年级上册3.8 角平分线 课后培优练习 （Word版 含答案）

3.8 角平分线
一、单选题
1．如图，O为直线上一点，平分，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　）
A．ABC 的三条中线的交点
B．ABC 三边的垂直平分线的交点
C．ABC 三条角平分线的交点
D．ABC 三条高所在直线的交点
3．如图，直线AB、CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，∠MON=90°．若∠AOM=35°，则∠CON的度数为( )
A．35° B．45° C．55° D．65°
4．如图，∠AOB=α，OA1、OB1分别是∠AOM和∠MOB的平分线，OA2、OB2分别是∠A1OM和∠MOB1的平分线，OA3、OB3分别是∠A2OM和∠MOB2的平分线，…，OAn、分别是∠An-1OM和∠MOBn-1的平分线，则∠AnOBn的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，直线AB、CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM＝35°，则∠CON的度数为（　　）
A．45° B．55° C．65° D．75
6．如图，，，平分，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．若，OB在内部，OM、ON分别平分和，若，则度数为（ ）．
A． B． C． D．
8．己知：；②；③；④，其中能够得到射线OM是的平分线的有（ ）．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
9．如图，OC是的平分线，OD是的平分线，那么下列各式中正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
10．如图，在竖直墙角中，可伸长的绳子的端点固定在上，另一端点在上滑动，在保持绳子拉直的情况下，，的平分线与交与点，，当时，则（　　）
A． B． C． D．
11．如图，，射线平分，以为一边作，则（ ）
A．15° B．45° C．15°或30° D．15°或45°
12．如图，将书页斜折过去，使角的顶点A落在处，BC为折痕，BD为的平分线，则（ ）
A． B． C． D．
13．已知射线在的内部，下列4个表述中：①；②；③；④，能表示射线是的角平分线的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
14．如图，是的平分线，，，则_____，______，______．
15．如图，O是AB上一点，OD平分∠BOC，∠1＝20°，∠2的度数是__________．
16．如图，直线和相交于点，平分，，若，则的度数为______．
17．如图，，OD、OE分别平分和，，则_______．
18．从直线AB上一点O任意引射线OC，若OD、OE分别平分和，则_______．
19．从一个角的顶点出发，把这个角分成两个_______的角的_______，叫做这个角的平分线．
20．如图，将一副直角三角尺的直角顶点C 叠放在一起，若CE、CD分别平分∠ACD与∠ECB，则计算∠ECD=___________度．
三、解答题
21．已知点P在∠MON内．
（1）如图1，点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，连接OG、OH、OP．
①若∠MON=50°，则∠GOH=______；
②若PO=5，连接GH，请说明当∠MON为多少度时，GH=10；
（2）如图2，若∠MON=60°，A、B分别是射线OM、ON上的任意一点，当PAB的周长最小时，求∠APB的度数．
22．已知，
（1）如图1，、分别平分和，若，则是______；
（2）如图2，、分别平分和，若，求的度数（写推理过程）．
（3）若、分别平分和，，则的度数是________（在稿纸上画图分析，直接填空）．
23．已知：如图①所示，OC是内部一条射线，且OD平分，OE平分．
（1）若，，则的度数是______．
（2）若，，求的度数，并根据计算结果直接写出与之间的数量关系．（写出计算过程）
（3）如图③所示，射线OC在的外部，且OD平分，OE平分．试着探究与之间的数量关系．（写出详细推理过程）
24．如图，已知∠AOB是直角，∠BOC=60°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．
（1）求∠EOF的度数；
（2）若∠AOC=x°，∠EOF=y°．则请用x的代数式来表示y；
（3）如果∠AOC+∠EOF=156°，则∠EOF是多少度？
25．如图，∠AOB的平分线OM，ON为∠MOA内的一条射线，OG为∠AOB外的一条射线．某同学经过认真分析，得到一个关系式是∠MON＝（∠BON－∠AON），你认为这个同学得到的关系式正确吗？若正确，请把得到这个结论的过程写出来．
参考答案
1．A
解：∵OC平分∠AOD，
∴∠AOC=∠COD=50°，
∴∠BOD=180°-2×50°=80°，
∵∠BOD=4∠DOE，
∴∠DOE=∠BOD=20°，
故选A．
2．C
解：∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等，
∴要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在△ABC 三条角平分线的交点．
故选：C．
3．C
解：∵射线OM平分∠AOC，∠AOM=35°，
∴∠MOC=35°，
∵ON⊥OM，
∴∠MON=90°，
∴∠CON=∠MON-∠MOC=90°-35°=55°．
故选：C．
4．C
解：∵∠AOB=α，OM是∠AOB中的一射线，
∴∠AOM+∠MOB=α，
∵OA1、OB1分别是∠AOM和∠MOB的平分线，
∴∠A1OM=，∠B1OM=
∴∠A1OB1=∠A1OM+∠B1OM=+=，
∵OA2、OB2分别是∠A1OM和∠MOB1的平分线，
∴∠A2OM=，∠B2OM=，
∴∠A2OB2=∠A2OM+∠B2OM=+=，
∵OA3、OB3分别是∠A2OM和∠MOB2的平分线，
∴∠A3OM=，∠B3OM=，
∴∠A3OB3=∠A3OM+∠B3OM=+=，
…，
∵OAn、分别是∠An-1OM和∠MOBn-1的平分线，
∴∠AnOM=，∠BnOM=，
∴∠AnOBn=∠An-1OM+∠Bn-1OM=+=，
故选择C．
5．B
∵OM平分∠AOC，∠AOM＝35°，
∴，
∵ON⊥OM，
∴，
∴；
故选B．
6．C
解：∵∠AOB=120°，∠AOC=∠BOC，
∴∠AOC=∠AOB=30°，∠BOC=∠AOB=90°，
∵OM平分∠BOC，
∴∠BOM=∠COM=∠BOC=45°，
∴∠AOM=∠AOC+∠COM=75°，
故选C．
7．C
如图所示，
∵，OM平分，
∴，
∴，
∵ON平分，
∴．
故选：C．
8．B
解：①若OM在∠AOB的内部，，则OM是的平分线，若OM在∠AOB的外部，则OM不是的平分线，故①错误；
②若OM在∠AOB的内部，，则OM是的平分线，若OM在∠AOB的外部，则OM不是的平分线，故②错误；
③∵，
∴OM在∠AOB的内部，
又∵，
∴OM是的平分线，故③正确；
④∵，
∴OM在∠AOB的内部，
但无法证明，
∴OM不一定是的平分线，故④错误，
故选：B．
9．D
是的平分线，是的平分线，
，
，
即
故选：D．
10．C
解：由题意得：，
∴，
∵的平分线与交与点，
∴，
∵是的一个外角，
∴
，
，
∵，
∴，
，
∴，
，
，
．
故选：．
11．D
解：∵∠AOB=60°，射线OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC=AOB=30°，
又∠COP=15°
①当OP在∠BOC内，
∠BOP=∠BOC-∠COP=30°-15°=15°，
②当OP在∠AOC内，
∠BOP=∠BOC+∠COP=30°+15°=45°，
综上所述：∠BOP=15°或45°．
故选：D．
12．B
由题意可知，因为BD为的平分线，所以，
所以．
故选：
13．C
解：射线 OC 在 ∠AOB 的内部，
①∵∠AOC=∠AOB，
∴∠AOB=2∠AOC=∠AOC+∠BOC，
∴∠AOC=∠BOC，
∴OC平分∠AOB，
即OC是∠AOB的角平分线，此表述正确．
②∵∠AOC=∠BOC，
∴OC平分∠AOB，
即OC是∠AOB的角平分线，此表述正确；
③∵∠AOB=2∠BOC=∠AOC+∠BOC，
∴∠AOC=∠BOC，
∴OC平分∠AOB，
即OC是∠AOB的角平分线，此表述正确；
④∵∠AOC+∠BOC=∠AOB，
∴假如∠AOC=30°，∠BOC=40°，∠AOB=70°，符合上式，但是OC不是∠AOB的角平分线，此表述错误．
故选：C．
14．
∵，，
∴；
∴；
∵是的平分线，
∴．
故答案为：；；．
15．80°
∠1=20°，
∠BOC=180°-∠1=180°-20°=160°，
OD平分∠BOC ，
∠2=80°，
故答案为：80°．
16．50°
解：∵平分，
∴
∴
∴
故答案为
17．40
解：∵OD平分，，
∴，
又∵，
∴，
又∵OE平分，
∴，
故答案为：40．
18．
解：∵OD，OE分别是∠AOC，∠BOC的平分线，
∴∠AOD＝∠COD＝∠AOC，∠BOE＝∠COE＝∠BOC，
∵∠AOC＋∠BOC＝180°，即2∠COD＋2∠COE＝180°，
∴∠DOE＝∠DOC＋∠COE＝90°，
故填：90．
19．相等 射线
解：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线．
故答案为：相等，射线
20．45
解：由题意可知，
又∵平分
∴
故答案为45
21．（1）①100°；②当时，；（2）
解：（1）①关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，
，
平分，
同理得，ON平分，
，
故答案为：100°；
②O=5，
当时，
在同一直线上，
；
（2）如图，分别作点P关于OM、ON的对称点，连接交于点A、B，连接PA，PB，
则AP=，此时PAB周长的最小值等于的长，
由对称性可得，
同理可得
．
22．（1）38；（2）；（3）45°或135°
解：（1）∵，OE平分，
∴，
∵，
∴，
∵OD平分，
∴，
故答案为：38；
（2）∵OD平分，，，
∴，，
∵OE平分，
∴，
∴；
（3）如图3所示，当OE，OD都在∠AOB外部时，
∵OE，OD分别平分∠AOC，∠BOC，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
当如图1所示，DE在∠AOB内部，OD在∠AOB外部时，
由（2）可知此时
如图所示，当OD在∠AOB内部，OE在∠AOB外部时，
∵OE，OD分别平分∠AOC，∠BOC，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴；
如图5所示，当OD，OE都在∠AOB内部时，
同理可得，，
∵，，
∴，
∴，
∴；
∴综上所述，或，
故答案为：45°或135°．
23．（1）65°；（2）（或），见解析；（3）．见
（1）∵OD平分，OE平分，
∴，，
又∵，，
∴；
故答案是：．
（2）方法1：
∵OE平分，，
∴，
∵OD平分，，
∴，
∴，
与之间的关系为：（或）；
方法2：
∵OD平分，OE平分，
∴，，
∴，
，
，
，
，
∵，，
∴，
与之间的关系为：（或）；
（3）∵OD平分，OE平分，
∴，，
∴．
24．（1）45°；（2）y＝45°与x无关；（3）45°
解：（1）∵∠AOB是直角，∠BOC＝60°，
∴∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝90°＋60°＝150°，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，
∴∠EOC＝∠AOC＝×150°＝75°，∠COF＝∠BOC＝＝30°，
∴∠EOF＝∠EOC－∠COF＝75°－30°＝45°；
（2）∵∠AOB是直角，∠AOC＝x°，
∴∠BOC＝∠AOC－∠AOB＝x°－90°，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，
∴∠EOC＝∠AOC＝ x°，∠COF＝∠BOC＝（x°－90°），
∴∠EOF＝∠EOC－∠COF＝x°－（x°－90°）＝45°；
（3）根据（2）的规律发现，∠EOF的度数只与∠AOB有关，
∠EOF＝ ∠AOB＝×90°＝45°．
25．正确，理由见解析
解：正确，理由如下：
∵∠AOB的平分线OM，
∴∠AOM＝∠MOB
又∵∠MON＝∠AOM－∠AON=∠MOB－∠AON=（∠BON－∠MON） －∠AON
即有∠MON＝∠BON－∠MON －∠AON
∴ 2∠MON＝∠BON－∠AON
∴∠MON＝（∠BON－∠AON）．