2021-2022学年京改版八年级数学上册12.11 勾股定理课后培优（word版含解析）

12.11 勾股定理
一、单选题
1．一个直角三角形的斜边长为，一条直角边长为，则它的另一条直角边的长度为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点E是AB的中点，点D是AC边上一点，且DE⊥AB，连接DB．若AC＝6，BC＝3，则CD的长（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°．∠B＝30°．点D、E、F分别为边AC、AB、CB上的点，且△DEF为等边三角形，若AD＝CD．则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图在Rt中，，，，在上截取，在上截取，在数轴上，为原点，则点对应的实数是（ ）
A． B． C． D．
5．如图所示，已知是的角平分线，于点，，，，则的长为（ ）．
A．3 B．6 C．9 D．12
6．如图，在长方体透明容器（无盖）内的点处有一滴糖浆，容器外点处的蚂蚁想沿容器壁爬到容器内吃糖浆，已知容器长为，宽为，高为，点距底部，请问蚂蚁需爬行的最短距离是（容器壁厚度不计）（ ）
A． B． C． D．
7．△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为（　　）
A．42 B．32 C．42或32 D．14或4
8．在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，则点A到BC的距离为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，尺规作图：（1）分别以B，C为圆心，BC长为半径作弧，两弧交于点D；（2）连接DB、DA、DC，DA交BC于点E，则下列结论中错误的是（　　）
A．AD垂直平分BC
B．S四边形ABDC＝AD BC
C．若∠BAC＝120°，则DE＝3AE
D．若∠BAC＝60°，则BC垂直平分AD
10．如果一个直角三角形的两边长度分别6和2，则第三边的长度为（ ）
A． B． C．或 D．8
11．一等腰三角形，腰长10cm，底长16cm，则底边上的高是（ ）
A．8cm B．6cm C．10cm D．12cm
12．如图，在中，，为上一点，且，如果的面积为40，那么的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
13．如图，点D在△ABC的边AC上，将△ABC沿BD翻折后，点A恰好与点C重合，若BC=5，AC=6，则BD的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
14．如图，∠ADB＝90°，正方形ABCG和正方形AEFD的面积分别是100和36，则以BD为直径的半圆的面积是 ___．（结果保留π）
15．如图，一只蚂蚁从长、宽都是3cm，高是8cm的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它需要爬行的最短路线的长是_______．
16．如图，在RtABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当ABP为等腰三角形时，t的取值为_________．
17．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线、交于点．若，，则______．
18．直角三角形三边长分别为3，4，a，则a＝_______．
三、解答题
19．一轮船在大海中航行，它先向正北方向航行千米，接着它又掉头向正东方向航行千米．
（1）此时轮船离出发点多少千米？
（2）若轮船每航行千米需耗油升，那么在此过程中轮船共耗油多少升？
20．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为BC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交AE于点D且∠BCF＝∠CAE，CG平分∠ACB交AD于点G．
（1）如图1，求证：CF＝AG；
（2）如图2，延长CG交AB于H，连接BG，过点C作CP∥BG交AE的延长线于点P，求证：PA＝CP+CF；
（3）如图3，在（2）问的条件下，当∠GBC＝2∠FCH时，若AG＝8，求BC的长．
21．一架长为米的梯子，顶端靠在墙上，梯子底端到墙的距离米．
（1）求的长；
（2）如图梯子的顶端沿墙向下滑动米，问梯子的底端向外移动了多少米？
22．如图，△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，点D为BC边上一点．
（1）如图1，若AD＝AM，∠DAM＝120°．
①求证：BD＝CM；
②若∠CMD＝90°，BD＝2，求CD的长；
（2）如图2，点E为线段CD上一点，且BD＝1，AB＝2，∠DAE＝60°，求DE的长．
参考答案
1．C
解：由勾股定理可得：另一条直角边的长度=，
故选：C．
2．A
解：∵点E是AB的中点，DE⊥AB，
∴DE是线段AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
则CD=AC-AD=6-BD，
在Rt△BCD中，BD2=CD2+BC2，即BD2=（6-BD）2+32，
解得，BD=，
∴AD=，
∴CD=AC-AD=6-=，
故选：A．
3．D
∵∠C=90°，∠B=30°
可设AC=1，故AB=2AC=2，BC=
∵AD＝CD，AD+CD=1
∴AD=，
过点D作DH⊥AB于H点，
∴∠ADH=90°-∠A=30°
∴AH=，DH=
∵△DEF是等边三角形
∴DF=DE，∠C=∠DHE=90°，∠FDE=60°
∴∠CFD+∠CDF=∠CDF+∠HDE=180°-30°-60°=90°
∴∠CFD=∠HDE
∵∠FCD=∠DHE=90°，DF=ED
∴△DCF≌△EHD（AAS）
∴CF=DH，HE=
∴BF=-=，BE=2--=，AE==
∴=
故选D．
4．A
解：∵∠OAB= 90°，OA= 2，AB= 1，
∴OB=
∵BC= AB= 1，
∴OC=OB- BC=-1，
∴ OP=-1，
∴P点对应的实数是-1，
故选：A．
5．C
∵是的角平分线，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴;
故选B．
6．D
解：沿着上面和棱将A点翻折至处，则新长方体的长、宽、高分别为5cm，3cm，7cm，
将容器展开：
∵
∴蚂蚁需爬行的最短距离是
故选：D
7．C
解：情况一：如下图，△ABC是锐角三角形，
∵AD是高，
∴AD⊥BC，
∵AB=15，AD=12，
∴在Rt△ABD中，BD=9，
∵AC=13，AD=12，
∴在Rt△ACD中，DC=5，
∴△ABC的周长为：15+13+9+5=42；
情况二：如下图，△ABC是钝角三角形，
在Rt△ADC中，AD=12，AC=13，
∴DC=5，
在Rt△ABD中，AD=12，AB=15，
∴DB=9，
∴BC=BD-CD=9-5=4，
∴△ABC的周长为：15+13+4=32；
∴△ABC的周长为：42或32．
故选：C．
8．A
解：∵在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴，
设点A到BC的距离为h，
由得：，
解得：，
即点A到BC的距离为，
故选：A．
9．B
解：由作图方法可知，△BCD是等边三角形，
∴BD=CD，∠BDC=60°
又∵AB=AC，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
∴∠BDA=∠CDA，∠BAE=∠CAE=30°，
∴由三线合一定理可知AD垂直平分BC，故A选项不符合题意；
∴∠DEB=∠AEB，
∴，
∴，
∴，故B选项符合题意；
当∠BAC＝120°时，则∠ABE=30°，
∴，
∴，
∴，故C选项不符合题意；
∵∠BAC=60°，
∴∠BAE=∠BDE=30°，
∴AB=DB，
又∵BC⊥AD，
∴BC垂直平分AD，故D选项不符合题意，
故选B．
10．C
解：当6为斜边时，第三边为；
当6不是斜边时，第三边长为，
则第三边长是或．
故选C．
11．B
解：如图所示：
∵△ABC是等腰三角形，
∴BD=CD=BC=8，
在Rt△ABD中，则底边上的高为：AD=；
故选：B
12．A
∵的面积为40，
∴，
∴，
在中，；
故选A．
13．D
解：∵将△ABC沿BD翻折后，点A恰好与点C重合，
∴△ABD≌△CBD，
∴∠ADB=∠CDB=90°，AD=CD=，
在Rt△BCD中，
BD===4．
故选D．
14．
∵正方形ABCG和正方形AEFD的面积分别是100和36，
∴AB2=100，AD2=36，
∵∠ADB＝90°，
∴在中，，
∴半圆面积：．
故答案为：．
15．10cm
解：如图1所示：
（cm），
如图2所示：
（cm）．
∵10<，
∴蚂蚁爬行的最短路程是10cm．
故答案为：10cm．
16．5或8或
解：在中，，
，
由题意，分以下三种情况：
①如图1，当时，
，即，
（等腰三角形的三线合一），
，
（秒）；
②如图2，当时，
（秒）；
③如图3，当时，
设，则，
在中，，即，
解得，
即，
则（秒）；
综上，的值为5或8或，
故答案为：5或8或．
17．169
解：∵四边形是“垂美”四边形，
∴AC⊥BD，
∴，
∴
∵，
∴169，
故答案为：169．
18．5
当a为斜边时，，
当长4的边为斜边时，
或．
故答案为：5或．
19．（1）17千米；（2）9.2升
解：（1）如图所示，O为轮船出发点，A为轮船掉头的地点，B是轮船掉头后向正东方向航行15千米后的地点
∵一轮船在大海中航行，它先向正北方向航行8千米，接着它又掉头向正东方向航行15千米，
∴OA=8千米，AB=15千米，∠BAO=90°，
∴千米，
∴此时轮船离出发点17千米，
答：此时轮船离出发点17千米；
（2）由题意得在此过程中轮船共耗油升，
答：在此过程中轮船共耗油9.2升．
20．（1）见解析；（2）见解析；（3）BC=4+4．
证明：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠B=∠CAB=45°，
∵CG平分∠ACB，
∴∠ACG=∠BCG=45°，
∴∠B=∠ACG，
在△BCF和△CAG中，
，
∴△BCF≌△CAG（ASA），
∴CF=AG；
（2）解：∵PC∥BG，
∴∠PCB=∠CBG，
∵AC=BC，∠ACG=∠BCG，CG=CG，
∴△ACG≌△BCG（SAS），
∴∠CAG=∠CBG，
∵∠PCG=∠PCB+∠BCG=∠PCB+45°=∠CBG+45°，
∠PGC=∠GCA+∠CAG=∠CBG+45°，
∴∠PCG=∠PGC，
∴PC=PG，
由（1）知CF=AG，
∴PA=AG+PG，
∴PA=CF+CP；
（3）过点G作GM⊥AB，垂足为M，
设∠FCH=x°，则∠GBC=2x°，
∴∠BCF=∠EAC=∠GBC=2x°，
∵∠BCH=45°，
∴2x+x=45，
解得x=15，
∴∠FCH=15°，
∴∠BCF=∠GBC=30°，
由（2）得：△ACG≌△BCG，
∴BG=AG=8，
在Rt△BGM中，GM=BG=4，BM=4，
在Rt△CGM中，CM=GM=4，
∴BC=4+4．
21．（1）8米；（2）米
解：（1）一架长米的梯子，顶端靠在墙上，梯子底端到墙的距离米，∠C=90°，
．
答：的长为米．
（2），，
，
又∠C=90°，
，
．
答：梯子的底端向外移动了米．
22．（1）①见解析②4（2）．
（1）①证明：
∵∠BAC＝∠DAM＝120°，
∴∠BAC ∠DAC＝∠DAM ∠DAC，
即∠BAD＝∠CAM，
∵AB＝AC，AD＝AM，
∴△ABD≌△ACM（SAS），
∴BD＝CM；
②解：∵∠BAC＝120°，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACD＝30°，
由①知：△ABD≌△ACM，
∴∠ACM＝∠B＝30°，
∴∠DCM＝60°，
∵∠CMD＝90°，
∴∠CDM＝30°，
∴CM＝CD，
∵BD＝CM，
∴
∴CD=4；
（2）如图，线段AD绕点A逆时针旋转120°到AM，连接CM，EM，过M作MQ⊥BC于Q，过点A作AH⊥BC，
由（1）同理得△ABD≌△ACM，
∴∠ACM＝∠B＝30°＝∠ACB，∠BAD＝∠CAM，
∴∠MCQ＝60°，
Rt△QMC中，∠CMQ=90°=∠MCQ=30°
∴CQ＝CM，
∵CM=BD=1
∴CQ=，MQ=
∵AH⊥BC，∠B=30°
∴AH=
∴BH=
∴BC=2BH=2
设DE＝x，
∵∠DAE＝60°，∠BAC＝120°，
∴∠BAD＋∠EAC＝∠EAC＋∠CAM＝60°，
∴∠DAE＝∠EAM，
∵AD＝AM，AE＝AE，
∴△ADE≌△AME（SAS），
∴EM＝DE＝x，
由勾股定理得：EM2＝MQ2＋QE2，
∴x2＝（）2＋（2-1--x）2，
解得：x＝，
∴DE＝．