2021-2022学年 京改版数学 九年级上册21.4 圆周角 课后习题（Word版含解析）

21.4 圆周角
一、单选题
1．如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝30°，AB＝2，则⊙O的半径为（ ）
A． B． C． D．
2．已知四边形ABCD内接于，，则的度数为（ ）．
A．30° B．60° C．120° D．140°
3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的度数是（ ）
A．40 B．80 C．50 D．45
4．如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝52°，则∠ABO的度数是（　　）
A．52° B．26° C．38° D．104°
5．如图，已知⊙O的直径AD＝10．任一圆周角∠ACB＝45°，则弦AB的长为（　　）
A．5 B．5 C．5 D．5
6．如图，BC是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，若∠AOC＝58°，则∠OAB的度数是（　　）
A．20° B．25° C．29° D．30°
7．如图，是的直径，、是上两点， ，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝40°，则∠BCO的度数为（　　）
A．30° B．40° C．50° D．80°
9．如图，点、、均在上，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，已知CD为⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若弧CE的度数是92°，则∠C的度数是（ ）
A．46° B．88° C．24° D．23°
11．如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，AB＝CD，∠AOB＝42°，则∠CED＝（　　）
A．42° B．48° C．21° D．16°
12．如图，点A、B、C是⊙O上的三点，若∠BOC＝80°，则∠A的度数是（　　）
A．40° B．60° C．80° D．100°
13．如图，在中，点、、在上，若，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＝120°，则∠BOD＝___°．
15．如图所示，四边形内接于，为延长线上一点，，则______．
16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD＝110°，则∠DCE＝__________．
17．已知正方形ABCD边长为2，E、F分别是BC、CD上的动点，且满足，连接AE、BF， 交点为P点，则PD的最小值为_________．
18．如图，，则______．
19．如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，∠CAB＝24°，则∠ADC的度数为___．
20．如图，为半圆弧的中点，为弧上任意一点，且与交于点，连接． 若，则的最小值为_________
21．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为5，∠B＝135°，则弦AC的长为_______．
三、解答题
22．如图，⊙O是三角形ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E．
（1）求证：∠BAD=∠CAD；
（2）若BC长为8，DE=3，求⊙O的半径长．
23．如图，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，与△ABC的外接圆交于点D，∠EAC＝120°．
（1）连OB，OC，求∠BOC；
（2）连DB，DC，求证：DB＝DC；
（3）探究线段AD，AB，AC之间的数量关系，并证明你的结论．
24．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作圆O，交BC于点D，交AC于点E．
（1）求证：BD＝CD．
（2）若弧DE＝50°，求∠C的度数．
参考答案
1．B
解：如图所示，连接OA，OB，
∵∠C=30°，
∴∠OAB=60°，
∵OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴OA=AB=2，
∴圆O的半径为2，
故选B．
2．C
解：如图，四边形ABCD内接于，
故选C
3．C
解：∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=40°，
∴∠BOC=180° ∠OBC ∠OCB=100°，
∴∠A=∠BOC=50°.
故选：C.
4．C
解：∵∠ACB=52°，
∴∠AOB=2∠ACB=104°，
∵OB=OA，
∴∠ABO=∠BAO=（180°-∠AOB）= （180°-104°）=38°，
故选C．
5．B
解：连接OB．∵∠ACB＝45°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝90°，
∵AO=BO=5
∴△AOB是等腰直角三角形
∴AB＝．
故选：B．
6．C
∵OA=OB
∴∠OAB=∠OBA
∵∠OBA、∠AOC对着同一段弧
∴
∴∠OAB=29゜
故选：C
7．C
，
，
，
故选：C．
8．C
解：∵△ABC内接于⊙O，
∴∠BOC＝2∠A＝80°，
∵OB＝OC，
∴∠BCO＝∠CBO＝50°，
故选：C．
9．B
解：∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
10．D
解：如图，连接OE，
∵弧CE的度数是92°，
∴∠COE＝92°，
∴∠CDE＝∠COE＝46°，
∵OADE，
∴∠AOD＝∠CDE＝46°，
∴∠C＝∠AOD＝23°，
故选：D．
11．C
解： 点A、B、C、D、E在上，，，
，
，
故选：C．
12．A
解：∵与是同弧所对的圆心角与圆周角，，
∴，
故选：A．
13．A
解：∵，
∴∠C=．
故答案为：A．
14．
解： 四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＝120°，
故答案为：
15．50°
由圆周角定理得，∠D=∠AOC=50°，
由圆内接四边形的性质得，∠CBE=∠D=50°；
答案应为：50°．
16．125°度
解：∵∠BOD＝110°，
∴∠，
∴∠DCE＝，
故答案为：125°．
17．
解：如图所示：
在正方形ABCD中，，，
在和中，
，
∴ ，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
根据圆周角定理，作一个以AB为直径的圆，角所对的弦是直径，
∴点P在以AB为直径的圆上，如图所示：
∵E、F分别是BC、CD上的动点，
∴当点E到达点C时，此时点F到达点D，此时即为PD的最小值，
在中，，
∴，
∴，
故答案为：．
18．##
解：如图，作圆周角
四边形为的内接四边形，
故答案为：
19．114°
解：连接BD，如图：
∵AB是半圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠CAB＝∠BDC＝24°，
∴∠ADC＝∠BDC+∠ADB＝24°+90°＝114°．
故答案为：114°．
20．
解：如图，设半圆弧所在圆的圆心为，连接，分别过点作的垂线，两垂线交于点，延长至点，使得，连接，
为半圆弧的中点，
，
又，
四边形是正方形，
，
在中，，
，
，
是等腰直角三角形，，
由圆周角定理得：，
，即，
，
，
又，
点四点共圆，且所在圆的圆心为点，
，
由三角形的三边关系定理、两点之间线段最短得：，即，当且仅当点共线时，等号成立，
则的最小值为，
故答案为：．
21．
如图所示，连接、、，
四边形是的内接四边形，
，
，
，
，
的半径为5，
，
故答案为：．
22．（1）见解析；（2）
(1)证明：∵直径AD⊥弦BC
∴弧BD=弧BC，
∵点A在圆上
∴∠BAD=∠CAD；
(2)解：连接OB
∵直径AD⊥弦BC，BC=8
∴BE=4，∠OEB=90°
设圆的半径是x，则OE=x-DE
∵DE=3
∴OE=x-3
由勾股定理得：
∴．
23．（1）120°；（2）见解析；（3）AC＝AD+AB，理由见解析．
（1）解：连接OB，OC，
∵∠EAC＝120°，
∴∠BAC＝60°．
∴∠BDC＝∠BAC＝60°．
∴∠BOC＝2∠BDC＝2×60°＝120°；
（2）证明：∵AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，
∴∠DAC＝∠EAC＝＝60°．
∴∠DBC＝∠DAC＝60°．
由（1）知∠BDC＝60°，
∴∠BDC＝∠DBC＝60°．
∴△BDC是等边三角形．
∴BD＝CD；
（3）解：AC＝AD+AB，理由如下：
如图，延长AD至F，使DF＝AB，连接CF，
∵四边形ABCD是⊙O的内角四边形，
∴∠ADC+∠ABC＝180°．
∵∠ADC+∠CDF＝180°，
∴∠ABC＝∠CDF．
由（2）知△BDC是等边三角形，
∴BC＝CD．
∴△FDC≌△ABC（SAS）．
∴∠ACB＝∠DCF，AC＝CF．
∴∠ACF＝∠BCD＝60°．
∴△ACF是等边三角形．
∴AC＝AF＝AD+AB．
24．（1）证明过程见解析；（2）65°
（1）证明：连接AD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝DC；
（2）解：连接OE，OD．
∵的度数＝50°，
∴∠DOE＝50°，
∴∠DAC＝∠DOE＝25°，
∵AD⊥BC，
∴∠C＝90°﹣25°＝65°．