(共40张PPT)
今年9月11日,第十五号台风“卡努”登陆浙江,A市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方向125km的B处，正以15km/h的速度沿BC方向移动．
（1）已知A市到BC的距离AD=35km，那么台风中心从B点移到D点经过多长时间？
（2）如果在距台风中心40km的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市受到台风影响的时间是多长？（结算结果精确到1分钟）
A
B
C
D
125
35
E
F
40
第三章 中心对称与
中心对称图形
复习与回顾（1）
知识点
1、图形的旋转
在平面内，将一个图形绕一个定点旋转一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转，这个定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角。
2、旋转的性质
2、旋转的性质
旋转前、后的图形全等。
对应点到旋转中心的距离相等。
每一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等。
中心对称
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这一点对称。也称这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，两个图形中的对应点叫做对称点。
中心对称性质
①中心对称是旋转的一种特例，因此，
成中心对称的两个图形具有旋转图形的一切性质。
②成中心对称的2个图形，对称点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
中心对称图形
把一个平面图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形。这个点就是它的对称中心。
中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。
下列图形中不是轴对称图形而是中心对称图形的是（ ）
A．等边三角形 B．平行四边形 C．矩形 D．菱形
等腰三角形、等边三角形、矩形、正方形和圆这五种图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的图形种数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
如图1将三角形绕直线旋转一周，可以得到图（E）所示的立体图形的是（ ）
A．图（A） B．图（B）
C．图（C） D．图（D）
简单练习
如图，将点阵中的图形绕点O按逆时针方向旋转900，画出旋转后的图形.
·
如图，△DEF是由△ABC旋转得到的，请作出它的旋转中心
·
如图，已知ΔABC是直角三角形，BC为斜边。若AP=3，将ΔABP绕点A逆时针旋转后，能与ΔACP′重合，求PP′的长。
P′
P
C
B
A
简单练习
如图，将点阵中的图形绕点O按逆时针方向旋转900，画出旋转后的图形.
O
如图，已知有一块边长为a的正方形的模板ABCD；将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在A处，另两条直角边分别与CB相交于F，与CD的延长线相交与E．则四边形AECF的面积是 ．
E
D
C
B
A
a
F
如图直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至ED，连AE、CE，则△ADE的面积是 （ ）
A．1 B．2
C．3 D．不能确定
E
A
D
C
B
F
G
平行四边形
性质
①平行四边形的对边平行；
②平行四边形的对边相等；
③平行四边形的对角相等；
④平行四边形的对角线互相平分。
判定
①2组对边分别平行的四边形是平行四边形；
②2组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③2组对角分别相等的四边形是平行四边形；
④对角线互相平分的四边形是平行四边形；
⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
如图是一个平行四边形土地ABCD，后来在其边缘挖了一个小平行四边形水塘DFGH，现准备将其分成两块，并使其满足：两块地的面积相等，分割线恰好做成水渠，便于灌溉，请你在图中画出分界线（保留作图痕迹），简要说明理由.
如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线与AD、BC分别相交于点E、F。试探求OE与OF是否相等，并且说明理由。
如图，在□ABCD中，点E、F在AC上，且AF=CE，点G、H分别在AB、CD上，且AG=CH，AC与GH相交于点O，
试说明：（1）EG∥FH，
（2）GH、EF互相平分。
在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＞BC，BC=6cm，P、Q分别从A、C同时出发，P以1cm/s的速度由A向D运动，Q以2cm/s的速度由C出发向B运动，几秒后四边形ABQP是平行四边形？
如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线OM⊥AC．已知ΔCDM的周长是22㎝．则□ABCD的周长是 ㎝．
A
D
C
B
M
O
矩形的定义
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，通常也叫长方形。
矩形的性质
①矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一切性质；
②矩形既是轴对称图形也是中心对称图形，对称轴是对边中点连线所在直线，有两条，对称中心是对角线的交点。
③矩形的对角线相等；
④矩形的四个角都是直角。
矩形的判定
①有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②对角线相等的平行四边形是矩形；
③有3个角是直角的四边形是矩形。
简单练习
如图，矩形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于E，对角线AC、BD交于O，若∠OAE＝15°。
（1）试说明：OB＝BE；
（2）求∠BOE的度数.
O
D
C
B
A
E
7、如图在四边形ABCD中，AB=2，CD=1， ∠A=45°， ∠B= ∠ D=90°， 则四边形ABCD的面积是____。
A
D
C
B
E
作辅助线不破坏关键角
例17、如图已知△ABC中，AB=AC，D是BC上的一点，E、F分别为AB、AC上的点，DB=CF，CD=BE，G为EF的中点，则DG与EF之间有何关系。
G
A
C
B
D
E
F
如图，将矩形ABCD沿着直线BD折叠使点C落在点 C＇处，BC＇交AD于E，AD=8，AB=4，求△BED的面积。
C′
E
D
C
B
A
如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，EC平分∠BED。
（1）△BEC是否为等腰三角形？为什么？
（2）若AB=1，∠ABE=45°，求BC的长
菱形的定义
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
菱形的性质
①菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一切性质；
②菱形既是轴对称图形也是中心对称图形，对称轴是两条对角线所在直线，对称中心是对角线的交点。
③菱形的四条边相等；
④菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
菱形的判定
①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
②四边都相等的四边形是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形
菱形的面积特殊计算公式
菱形面积等于对角线积的一半
简单应用
已知：如图，菱形ABCD的周长为8cm，∠ABC：∠BAD=1：2，对角线AC、BD相交于点O，求AC的长及菱形的面积。
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点E、F。四边形AFCE是菱形吗？为什么？
已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，AE是角平分线，交CD于点F，
EG⊥AB，G为垂足。试说明四边形CEGF是菱形。
正方形的定义
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形
正方形的性质
①正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质。
②正方形既是轴对称图形也是中心对称图形，对称轴有四条，对称中心是对角线的交点
正方形的判定
①有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形
②有一组邻边相等矩形形是正方形；
③有一个角是直角的菱形是正方形
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系
简单应用
如图，在⊿ABC中，∠C=90°，∠BAC、∠ABC的角平分线交于点D，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F。问四边形CFDE是正方形吗 请说明理由
G
已知：如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，，D为AB边上一点，
求证：（1）△ACE≌△BCD；
（2）
例16、如图，已知过△ABC的顶点C在△ ABC的形外作直线EF，若AE⊥EF，BF⊥EF，D是AB的中点； （1）试说明△ DEF是等腰三角形； （2）如果直线EF经过△ ABC的内部，其余条件不变，则上述结论是否成立？说明理由。
E
A
D
B
F
C
G
E1
F1
H(共21张PPT)
中心对称图形（一）
复习课(1)
A'
B'
B
O
A
图形的旋转
中心对称
旋转1800
A'
B'
B
O
A
复习回顾
A
B
C
O
D
平行四边形
复习回顾
A
B
C
O
D
矩形
复习回顾
A
B
C
D
O
菱形
复习回顾
A
B
C
O
D
正方形
复习回顾
①平行四边形的对边平行；
②平行四边形的对边相等；
③平行四边形的对角相等；
④平行四边形的对角线互相平分。
①2组对边分别平行的四边形是平行四边形；
②2组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
④对角线互相平分的四边形是平行四边形。
性质
判定方法
性质
①矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一切性质；
②矩形的四个角都是直角；
③矩形的对角线相等。
判定方法
①有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②有3个角是直角的四边形是矩形；
③对角线相等的平行四边形是矩形。
①菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边相等；
③菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
性质
判定方法
①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
②四边都相等的四边形是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
性质
判定方法
正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的
性质。
①有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行
四边形是正方形
②有一组邻边相等的矩形是正方形；
③有一个角是直角的菱形是正方形。
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系
1．矩形的两条对角线的夹角为600，较短的边长为12cm，
则对角线长为 cm.
2．菱形的周长为20，一条对角线长为6，则另一条对角线长为 ，菱形的面积为 .
3．如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线OM⊥AC．已知ΔCDM的周长是22㎝．则□ABCD的周长是 ㎝．
4．如图，正方形ABCD绕点A旋转后得到正方AB′C′D′
① 旋转角是 度
② 若AB=1，则C′ D= .
24
45
44
24
8
例1： 如图，平行四边形 ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别交于点E，F．
试说明四边形AFCE是菱形．
解：
在□ ABCD中， AD//BC
∴∠ EAO=∠ OCF, ∠ AEO=∠OFC
∵AO=CO
∴Δ AOE≌Δ COF
∴OE=OF
∴四边形AFCE是平行四边形
∵EF⊥AC
∴四边形AFCE是菱形
例2：如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB//DE，AF//DC，E，F两点在边BC上，且四边形AEFD是平行四边形．
（1）AD与BC有何等量关系？请说明理由；
（2）当AB=DC时，试说明□AEFD是矩形．
A
D
C
F
E
B
解：
理由如下：
∴四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形.
∵ AD//BC，AB//DE，AF//DC
∴AD=BE，AD=CF
∵四边形AEFD是平行四边形
∴AD=EF
∴AD=BE=EF=FC
∴BC=3AD
(1)BC=3AD
(2) ∵四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形
∴AB=DE，AF=DC
∴DE=AF
∵AB=DC
又∵四边形AEFD是平行四边形
∴四边形AEFD是矩形
例3：如图，矩形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于E，对角线AC、BD交于O，若∠OAE＝15°。（1）试说明：OB＝BE；（2）求∠BOE的度数.
O
D
C
B
A
E
解：
（1）在矩形ABCD中，AE平分∠BAD
∴ ∠BAE=45 °
∴ ∠BAO=60 °
∵∠OAE＝15°
∵矩形ABCD中，OA=OB
∴△OAB是等边三角形
∴ AB=OB
∴AB=BE
∴OB=BE
（2）∵ △OAB是等边三角形
∴ ∠ABO=60 °
∴ ∠OBC=30 °
∴ ∠BOE=75 °
∵ OB=BE
例4：如图，正方形ABCD，AC、BD相交于点O，点E在AC上，连接BE，作AG⊥BE，垂足为G，且交直线BD于F。
（1）试说明：OE＝OF；
（2）若点E在AC的延长线上，其余条件不变，（1）的结论还成立吗？画出图形，并说明理由。
E
F
O
G
D
C
B
A
解：
(1)在正方形ABCD中， AO=BO,∠AOF= ∠BOE=90 °
∵ AG⊥BE
∴ ∠AGB=90 °
∵∠AFO=∠BFG
∴ ∠OAF=∠OBE
∴ △AOF≌△BOE
∴ OE=OF
A
B
C
D
O
E
F
G
(2)在正方形ABCD中， AO=BO,∠AOF= ∠BOE=90 °
∵ AG⊥BE
∴ ∠FGB=90 °
∵∠OBE=∠GBF
∴ ∠AFO=∠BEO
∴ △AOF≌△BOE
∴ OE=OF
例4：如图，正方形ABCD，AC、BD相交于点O，点E在AC上，连接BE，作AG⊥BE，垂足为G，且交直线BD于F。
（1）试说明：OE＝OF；
（2）若点E在AC的延长线上，其余条件不变，（1）的结论还成立吗？画出图形，并说明理由。
解：
如图,直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，
AD＝2，BC＝3，将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至ED，连AE、CE，则△ADE的面积是( )
A．1 B．2 C．3 D．不能确定
E
A
D
C
B
F
G
A
通过本堂课的学习，
说说你的收获和体会(共17张PPT)
中心对称图形复习
系统回顾
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系：
一个角是直角
一组邻边相等
一组邻边相等
一个角是直角
正方形
菱形
矩形
平行四边形
一组邻边相等
一个角是直角
系统回顾
（二）几种特殊的中心对称图形的性质、判定
平行四边形 矩形 菱形 正方形
性
质 对称性
边
角
对角线
判定
基
础
训
练
1．判断正误：
（1）一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形。（ ）
（2）四边相等的四边形是菱形。（ ）
（3）对角线互相垂直的平行四边形是正方形。（ ）
（4）两组对边分别相等且有一个角是直角的四边形是矩形（ ）
（5）对角线互相垂直的四边形是菱形（ ）
×
√
×
√
×
基
础
训
练
2．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质有 （填写序号）
（1）四条边都相等
（2）对角相等
（3）对角线相等
（4）轴对称图形
（5）中心对称图形
（6）每一条对角线平分一组对角
（4）
（1）
（6）
基
础
训
练
3．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB=2，AC=4，BD= ，△AOB是 三角形。
4．在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，如果AC=8，BD=6，那么菱形的周长= ，菱形的面积 。
20
等边
4
24
基
础
训
练
5．一个矩形的两条对角线互相垂直，则这个矩形是 ；
一个菱形的两条对角线相等，这个菱形是 。
6． 一个平行四边形绕着它的对角线的交点旋转90°，能够与它本身重合，则该四边形是（ ）
A．矩形 B．菱形
C．正方形 D．无法确定
正方形
正方形
C
典
型
例
题
例1．矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE//AC，CE//DB，试问：OE与CD的位置关系怎样？说明理由。
典
型
例
题
例2．如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点（点O不与A、C两点重合），过点O作直线MN∥BC，直线MN与∠BCA的平分线相交于点E，与∠DCA（△ABC的外角）的平分线相交于点F．
(1)OE与OF相等吗？为什么？
典
型
例
题
例2．如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点（点O不与A、C两点重合），过点O作直线MN∥BC，直线MN与∠BCA的平分线相交于点E，与∠DCA（△ABC的外角）的平分线相交于点F．
(2)探究：当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．
典
型
例
题
例2．如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点（点O不与A、C两点重合），过点O作直线MN∥BC，直线MN与∠BCA的平分线相交于点E，与∠DCA（△ABC的外角）的平分线相交于点F．
(3)在(2)中，当∠ACB等于多少时，四边形AECF为正方形．(不要求说理由)
巩固训练
1.平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC=6cm，BD=8cm则边AB长度x的取值范围是 。
2．如图，AD是△ABC的高，DE∥AC，DF∥AB，则△ABC满足条件 时，四边形AEDF是菱形。
1cm＜x＜7cm
AB=AC
巩固训练
3.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC、∠ABC的角平分线交于点D，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F。问四边形CFDE是正方形吗 请说明理由。
G
拓展提高
如图，E、F分别是四边形ABCD的边BC、AD的中点， G、H分别是对角线BD、AC的中点。试说明：
（1）EF与GH互相平分；
拓展提高
如图，E、F分别是四边形ABCD的边BC、AD的中点， G、H分别是对角线BD、AC的中点。试说明：
（2）AB、CD满足什么条件时，四边形EGFH是菱形？并说明理由。
拓展提高
如图，E、F分别是四边形ABCD的边BC、AD的中点， G、H分别是对角线BD、AC的中点。试说明：
（3）四边形EGFH有可能是正方形吗 如果有可能，请你说明AB、CD满足的条件。
M
