2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.1 数列的概念 讲义

4.1 数列的概念
知识点1 数列及其有关概念
(1)按照 排列的 称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的 ．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的 (通常也叫做 )，排在第二位的数称为这个数列的 ……排在第n位的数称为这个数列的 ．
(2) 数列的一般形式可以写成 ，简记为 ．
知识点2 通项公式
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的 ．
知识点3 数列的分类
(1)按项数分类，项数有限的数列叫做 数列，项数无限的数列叫做 数列．
(2)按项的大小变化分类，
从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做 ；
从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做 ；
各项相等的数列叫做 ；
从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做 ．
知识点4 递推公式
如果数列{an}的第1项或前几项已知，并且数列{an}的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式．递推公式也是数列的一种表示方法．
知识点5 数列的表示法
数列的表示方法有通项 、 、 、 ．
知识点6 数列的单调性
判断一个数列的单调性，可以利用递增数列、递减数列、常数列的定义进行，通常转化为判断一个数列{an}的任意相邻两项之间的大小关系来确定．
(1)若an＋1－an 0恒成立，则数列{an}是递增数列；
(2)若an＋1－an 0恒成立，则数列{an}是递减数列；
(3)若an＋1－an 0恒成立，则数列{an}是常数列．
典例讲解
考向一 根据通项求某项
【例1】已知数列，则数列的第4项为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】若数列的通项公式为，则（ ）
A．27 B．21 C．15 D．13
【变式2】已知数列，1，，，，…，，…，则是它的（ ）.
A．第22项 B．第23项 C．第24项 D．第28项
.
【变式3】已知数列的通项公式为，则的值是（ ）
A．9 B．13 C．17 D．21
考向二 根据项写通项公式
【例2】数列的一个通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】数列，3，，，…，则是这个数列的第（ ）
A．8项 B．7项 C．6项 D．5项
【变式2】数列3，7，13，21，31，…的通项公式是（ ）
A． B． C． D．不存在
考向三 根据递推公式求项
【例3】数列满足，（为正整数，），则（ ）
A．43 B．28 C．16 D．7
【变式1】在数列中，，，则（ ）
A．-2 B．1 C． D．
【变式2】已知数列满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3】数列中，若，，则（ ）
A．29 B．2563 C．2569 D．2557
考向四 公式法求通项
【例4】已知数列{an}的前项和为，，则数列的通项公式为_____________
【变式1】已知数列的前n项和，则______．
【变式2】已知数列的前项和为，则数列的通项公式为_________.
考向5 数列的单调性
【例5】设函数f(x)＝数列{an}满足an＝f(n)，n∈N*，且数列{an}是递增数列，则实数a的取值范围是________．
【变式】已知数列{an}，其通项公式为an＝3n2－n(n∈N*)，判断数列{an}的单调性．
课后练习（一）
1．下列叙述正确的是(　　)
A．数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列
B．数列0,1,2,3，…可以表示为{n}
C．数列0,1,0,1，…是常数列
D．数列{}是递增数列
2．数列2,3,4,5，…的一个通项公式为(　　)
A．an＝n，n∈N* B．an＝n＋1，n∈N*
C．an＝n＋2，n∈N* D．an＝2n，n∈N*
3．已知数列{an}的通项公式为an＝，n∈N*，则该数列的前4项依次为(　　)
A．1,0,1,0 B．0,1,0,1
C.，0，，0 D．2,0,2,0
4．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－n－50，n∈N*，则－8是该数列的(　　)
A．第5项 B．第6项
C．第7项 D．非任何一项
5．数列1,3,6,10，…的一个通项公式是(　　)
A．an＝n2－n＋1 B．an＝
C．an＝ D．an＝n2＋1
6．数列，，，，…的第10项是(　　)
A. B.
C. D.
7．如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为(　　)
.
A．an＝n，n∈N* B．an＝，n∈N*
C．an＝，n∈N* D．an＝n2，n∈N*
8．设an＝＋＋＋…＋(n∈N*)，那么an＋1－an等于(　　)
A. B.
C.＋ D.－
9.已知数列{an}的通项公式an＝，n∈N*，则a1＝________；an＋1＝________.
10．数列3,5,9,17,33，…的一个通项公式是________．
11．323是数列{n(n＋2)}的第________项．
12．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式．
(1)－1,7，－13,19，…；
(2)0.8,0.88,0.888，…；
(3)，，－，，－，，…；
(4)，1，，，….
13．在数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式an是n的一次函数．
(1)求{an}的通项公式；
(2)判断88是不是数列{an}中的项？
14．已知数列，n∈N*.
(1)求这个数列的第10项；
(2)是不是该数列中的项，为什么？
(3)求证：该数列是递增数列；
(4)在区间内有无数列中的项？若有，有几项？若没有，请说明理由．
课后练习（二）
1．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是(　　)
A．an＋1＝an＋n，n∈N*
B．an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2
C．an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N*
D．an＝an－1＋(n－1)，n∈N*，n≥2
2．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＋1＝0(n∈N*)，则此数列的通项an等于(　　)
A．n2＋1 B．n＋1 C．1－n D．3－n
3．已知an＋1－an－3＝0，则数列{an}是(　　)
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．不能确定
4．已知数列{an}的首项为a1＝1，且满足an＋1＝an＋，则此数列的第4项是(　　)
A．1 B.
C. D.
5．数列{an}中，a1＝1，对所有的n≥2，n∈N*，都有a1·a2·a3·…·an＝n2，则a3＋a5等于(　　)
A. B.
C. D.
6．已知a1＝1，an＝an－1＋3(n≥2，n∈N*)，则数列的通项公式为(　　)
A．an＝3n＋1 B．an＝3n
C．an＝3n－2 D．an＝3(n－1)
7．若a1＝1，an＋1＝，则给出的数列{an}的第4项是(　　)
A. B.
C. D.
8．已知数列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，则数列中最大项的值是(　　)
A．107 B．108
C．108 D．109
9.在数列{an}中，，，则的值为（ ）
A. B.
C. 5 D. 以上都不对
10.已知数列{an}的通项公式为，则　　
A. 100 B. 110 C. 120 D. 130
11．已知数列{an}满足an＋1＝若a1＝，则a2 017＝________.
12．数列{an}的通项公式为，若{an}是递减数列，则λ的取值范围是（　　）
A. (－∞,4) B. (－∞,4] C. (－∞,6) D. (－∞,6]
13.已知数列{an}的通项公式是，那么这个数列是（ ）
A. 递增数列 B. 递减数列 C. 摆动数列 D. 常数列
14.数列{an}满足若，则等于（ ）
A. B. C. D.
15.若数列{an}满足a1·a2·a3·…·an＝n2＋3n＋2，则数列{an}的通项公式为________．
16.已知数列{an}中，a1＝a，a2＝2－a，an＋2－an＝2，若数列{an}单调递增，则实数a的取值范围为________．
4.1 数列的概念参考答案
典例讲解
考向一 根据通项求某项
【例1】【答案】B【解析】依题意.故选：B.
【变式1】【答案】A【解析】因为，所以，故选：A.
【变式2】【答案】B 【解析】因为题中数列的第项为，而，
所以是题中数列的第23项.故选：B.
【变式3】 【答案】C【解析】把n=5代入=4n－3中得到所求为17．故选C．
考向二 根据项写通项公式
【例2】【答案】C【解析】数列1，-3，5，-7，9，…的一个通项公式．故选C．
【变式1】【答案】C 【解析】列，3，，，，可化为：数列，，，，，
则数列的通项公式为：，当时，则，
解得：，故是这个数列的第6项.故选：C．
【变式2】【答案】C 【解析】依题意可知，所以
.故选：C
考向三 根据递推公式求项
【例3】【答案】C
【解析】因为，（为正整数，），
令，所以；令，所以．故选：C．
【变式1】【答案】C
【解析】因为，，所以，，，
所以数列是周期为3的周期数列，所以．故选：C
【变式2】【答案】C
【解析】因为，
所以
解得.故选：C
【变式3】【答案】D【解析】数列中，若，，
可得，所以是等比数列，公比为2，首项为5，
所以，．
考向四 公式法求通项
【例4】【答案】
【解析】当时，；
当时，，而.
故数列的通项公式为.
【变式1】【答案】
【解析】当时，，当时，，经验证，当时，，所以数列的通项公式是
【变式2】【答案】
【解析】，而，
当时，，故.填.
考向5 数列的单调性
【例5】[答案]　2[分析]　分段数列递增首先要确保各段递增，再使得两段相邻处满足一定的条件即可．
[解析]　由题意知an＝因为数列{an}递增，所以
当n≤7时，3－a>0，即a<3；当n>7时，a>1；
且a72或a<－9.故a的取值范围为2【变式】解：方法一：an＝3n2－n，an＋1＝3(n＋1)2－(n＋1)，则an＋1－an＝3(n＋1)2－(n＋1)－(3n2－n)＝6n＋2>0，即an＋1>an(n∈N*)，故数列{an}是递增数列．
方法二：an＝3n2－n，an＋1＝3(n＋1)2－(n＋1)，则
＝＝·>1.
又an>0，故an＋1>an，即数列{an}是递增数列．
课后练习（一）
1．答案　D
解析　由数列的通项an＝知，an＋1－an＝－＝>0，即数列{}是递增数列
2．答案　B
解析　这个数列的前4项都比序号大1，所以，它的一个通项公式为an＝n＋1，n∈N*.
3．答案　A 解析　当n分别等于1,2,3,4时，a1＝1，a2＝0，a3＝1，a4＝0.
4．答案　C 解析　解n2－n－50＝－8，得n＝7或n＝－6(舍去)．
5．答案　C解析　令n＝1,2,3,4，代入A、B、C、D检验．即可排除A、B、D，故选C.
6．答案　C 解析　由数列的前4项可知，数列的一个通项公式为an＝，n∈N*，
当n＝10时，a10＝＝.
7．答案　C
解析　∵OA1＝1，OA2＝，OA3＝，…，OAn＝，…，∴a1＝1，a2＝，a3＝，…，an＝.
8．答案　D
解析　∵an＝＋＋＋…＋∴an＋1＝＋＋…＋＋＋，
∴an＋1－an＝＋－＝－.
9.答案　1　
解析　a1＝＝1，an＋1＝＝.
10．答案　an＝2n＋1，n∈N*
11．答案　17
解析　由an＝n2＋2n＝323，解得n＝17(负值舍去)．
∴323是数列{n(n＋2)}中的第17项．
12．解　(1)符号问题可通过(－1)n或(－1)n＋1表示，其各项的绝对值的排列规律：后面数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5)，n∈N*.
(2)将数列变形为(1－0.1)，(1－0.01)，(1－0.001)，…，∴an＝，n∈N*.
(3)各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的分子均比分母小3.因此把第1项变为－，
因此原数列可化为－，，－，，…，
∴an＝(－1)n·，n∈N*.
(4)将数列统一为，，，，…，对于分子3,5,7,9，…是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn＝2n＋1，对于分母2,5,10,17，…，联想到数列1,4,9,16，…，即数列{n2}，可得分母的通项公式为cn＝n2＋1，
∴可得原数列的一个通项公式为an＝，n∈N*.
13．解　(1)设an＝kn＋b，k≠0.则解得∴an＝4n－2，n∈N*.
(2)令an＝88，即4n－2＝88，解得n＝22.5 N*.
∴88不是数列{an}中的项．
14．(1)解　设f(n)＝＝＝.
令n＝10，得第10项a10＝f(10)＝.
(2)解　令＝，得9n＝300.此方程无正整数解，∴不是该数列中的项．
(3)证明　∵an＝＝＝1－，
∴an＋1－an＝－＝＝＞0，n∈N*，
∴{an}是递增数列．
(4)解　令∴当且仅当n＝2时，上式成立，
故区间内有数列中的项，且只有一项为a2＝.
课后练习（二）
1．答案　B
解析　由已知得a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，
a5－a4＝5，…，an－an－1＝n，n∈N*，n≥2，故选B.
2．答案　D
解析　∵an＋1－an＝－1.
∴an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝2＋＝2＋(－1)×(n－1)＝3－n.
3．答案　A解析　an＋1－an＝3＞0，故数列{an}为递增数列．
4．答案　B解析　a2＝a1＋＝1；a3＝a2＋＝；a4＝a3＋＝.
5．答案　C
解析　a1a2a3＝32，a1a2＝22，a1a2a3a4a5＝52，a1a2a3a4＝42，则a3＝＝，a5＝＝.故a3＋a5＝.
6．答案　C
解析　∵an＝an－1＋3，∴an－an－1＝3.∴a2－a1＝3，a3－a2＝3，a4－a3＝3，…，an－an－1＝3，
以上各式两边分别相加，得an－a1＝3(n－1)，∴an＝a1＋3(n－1)＝1＋3(n－1)＝3n－2，故选C.
7．答案　C解析　a2＝＝＝，a3＝＝＝，a4＝＝＝.
8．答案　B
解析　由已知得an＝－2n2＋29n＋3＝－22＋108，由于n∈N*，故当n取距离最近的正整数7时，an取得最大值108.∴数列{an}中的最大值为a7＝108.
9.【答案】：A
【详解】依题意，故数列是周期为的周期数列，故，故选A.
10.【答案】：C【详解】数列{an}的通项公式为，则.
11．答案　解析　计算得a2＝，a3＝，a4＝，
故数列{an}是以3为周期的周期数列，
又知2 017除以3余1，所以a2 017＝a1＝.
12．【答案】：C
【详解】∵数列{an}是递减数列，∴an＞an+1，∴﹣2n2+λn＞﹣2（n+1）2+λ（n+1），解得λ＜4n+2，
∵数列{4n+2}单调递增，∴n＝1时取得最小值6，∴λ＜6．
13.【答案】：A
【详解】，，
，因此，数列是递增数列.
14.【答案】：B
【详解】因为，所以，所以数列具有周期性，周期为4，所以.
15.【解析】a1·a2·a3·…·an＝(n＋1)(n＋2)， 当n＝1时，a1＝6；
当n≥2时，
故当n≥2时，an＝，所以an＝
16.【解析】由an＋2－an＝2可知数列{an}的奇数项、偶数项分别递增，若数列{an}单调递增，则必有a2－a1＝(2－a)－a＞0且a2－a1＝(2－a)－a＜an＋2－an＝2，可得0＜a＜1，故实数a的取值范围为(0，1)．
【答案】(0，1)