2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.1椭圆的定义及性质 基础专练
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.1椭圆的定义及性质 基础专练 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 524.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-14 10:23:59 | ||
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文档简介
椭圆的定义及性质基础专练
一、单选题
1．已知椭圆一个焦点，离心率为，则椭圆的标准方程（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，已知椭圆C的中心为原点O，为C的左焦点，P为C上一点，满足，且，则椭圆C的方程为（ ）
A． B． C． D．
3．已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．椭圆上恰有4个不同的点满足，其中，，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．已知是椭圆的左右焦点，点是过原点且倾斜角为的直线与椭圆的一个交点，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆C的离心率是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．已知椭圆的左、右两个焦点分别为，，P为椭圆上一动点，，则下列结论正确的有（ ）
A．的周长为8 B．的最大面积为
C．存在点P使得 D．的最大值为5
8．某学校航天兴趣小组利用计算机模拟“天问一号火星探测器”，如图，探测器在环火星椭圆轨道近火星点M处制动（俗称“踩刹车”）后，以的速度进入距离火星表面的环火星圆形轨道（火星的球心为椭圆的一个焦点），环绕周期为．已知R为火星的半径，远火星点N到火星表面的最近距离为，则（ ）
A．椭圆轨道的离心率为
B．圆形轨道的周长为
C．火星半径为
D．近火星点与远火星点的距离为
第II卷（非选择题）
三、填空题
9．一般地，我们把离心率为的椭圆称为“黄金椭圆”．则下列命题正确的________．（填序号）
①若是“黄金椭圆”，则
②若，且点在以，为焦点的“黄金椭圆”上，则的周长为
③若是左焦点，，分别是右顶点和上顶点，则
④设焦点在轴上的“黄金椭圆”左右顶点分别为，，“黄金椭圆”上动点（异于，），设直线，的斜率分别为，，则
10．已知圆和圆，动圆M与圆C1内切，与圆C2外切，则动圆圆心M点的轨迹方程是_______．
四、解答题
11．在平面直角坐标系中，为椭圆的左，右焦点，，直线与交于两点，且四点共圆.
（1）求椭圆的方程；
（2）为上的一点(非长轴的端点)，线段，的延长线分别与交于点，求的最大值.
12．椭圆：的左右焦点分别为，，P为椭圆C上一点.
（1）当P为椭圆C的上顶点时，求；
（2）若，求满足条件的点P的个数；（直接写答案）
（3）直线与椭圆C交于A，B，若，求k.
试卷第2页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
1．D
因为椭圆一个焦点，所以椭圆的的焦点在横轴上，且，
又因为该椭圆的离心率为，所以有，
所以，因此椭圆的方程为：，
故选：D
2．B
解：由题意可得c＝，设右焦点为F′，
由|OP|＝|OF|＝|OF′|知，∠PFF′＝∠FPO，∠OF′P＝∠OPF′，
所以∠PFF′＋∠OF′ P＝∠FPO＋∠OPF′，
由∠PFF′＋∠OF′P＋∠FPO＋∠OPF′＝180°知∠FPO＋∠OPF′＝90°，即 PF⊥PF′．
在Rt△PFF′中，由勾股定理，得，
由椭圆定义，得，从而 a＝6，得，
于是 ，
所以椭圆的方程为．
故选：B．
3．A
因为方程表示椭圆，且焦点在y轴上，则有：，解得：．
故选：A
4．D
设，则，即，
化简得到：，即椭圆与圆有4个交点，故，.
故.
故选：D.
5．C
不妨设M在第一象限，由，两边平方后化简得：
，所以.
在Rt△中，
∵，
∴，
由椭圆定义可知：
所以离心率.
故选：C.
6．B
设交点坐标分别为、，则，
∴两式作差得，而是交点的中点，
∴，结合已知直线方程，有，又，
∴，可得.
故选：B.
7．AB
解：对A，由椭圆，可得的周长为：，故A正确；
对B，当P为椭圆短轴顶点时，的面积最大，且最大面积为：，故B正确；
对C，当P为椭圆短轴顶点时，为最大，此时，即为锐角，所以不存在点P使得，故C错误；
对D，由椭圆，所以，又，所以，所以，故D错误.
故选：AB.
8．ABD
如图
以线段的中点为原点，所在直线为x轴，以的方向为x轴正方向建立直角坐标系，则可设轨道所在的椭圆的标准方程为，则由已知，
所以，故离心率为，A正确；
以的速度进入距离火星表面的环火星圆形轨道，环绕周期为，所以环绕的圆形轨道周长为，半径为，所以火星半径为，所以B正确，C错误；
因为近火星点与远火星点的距离为，D正确．
故选：ABD．
9．②③④
解：对①，未指明焦点在轴还是轴上
当焦点在轴上时，，
因为是“黄金椭圆”，即，
解得：，故①错误；
对②，设椭圆的标准方程为：
由题知，，，解得：
所以则的周长为：，故②正确；
对③，设椭圆的标准方程为：，
由题知，，，
要使椭圆为“黄金椭圆”，则，即
所以，
，即
所以
所以，故③正确；
对④，设椭圆的标准方程为：，
设，，
所以
由点在椭圆上，得
化简为：
所以
因为为 “黄金椭圆”上的点
所以，即
所以，故④正确.
故答案为：②③④
10．
由题可得圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，
设动圆M的半径为，
因为动圆M与圆C1内切，则由题可知圆M在圆内部，所以，
因为动圆M与圆C2外切，所以，
则，
所以圆心M点的轨迹是以为焦点的椭圆，即，则，
所以圆心M点的轨迹方程是.
故答案为：.
11．（1）
设，又，互相平分且四点共圆，
∴，是圆的直径且是圆心，
∴，，，又，
∴，故椭圆的方程为；
（2）
由（1）知：，设，直线为，代入得，则，且，，
∴，
连接，则，
∵，当且仅当时取等号，
∴，故面积的最大值为.
12．（1）
因为椭圆：的左右焦点分别为，，P为椭圆C的上顶点
所以，，
所以，，所以
（2）
若，满足条件的点P的个数为0
（3）
设，联立可得
所以
所以
解得答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
一、单选题
1．已知椭圆一个焦点，离心率为，则椭圆的标准方程（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，已知椭圆C的中心为原点O，为C的左焦点，P为C上一点，满足，且，则椭圆C的方程为（ ）
A． B． C． D．
3．已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．椭圆上恰有4个不同的点满足，其中，，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．已知是椭圆的左右焦点，点是过原点且倾斜角为的直线与椭圆的一个交点，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆C的离心率是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．已知椭圆的左、右两个焦点分别为，，P为椭圆上一动点，，则下列结论正确的有（ ）
A．的周长为8 B．的最大面积为
C．存在点P使得 D．的最大值为5
8．某学校航天兴趣小组利用计算机模拟“天问一号火星探测器”，如图，探测器在环火星椭圆轨道近火星点M处制动（俗称“踩刹车”）后，以的速度进入距离火星表面的环火星圆形轨道（火星的球心为椭圆的一个焦点），环绕周期为．已知R为火星的半径，远火星点N到火星表面的最近距离为，则（ ）
A．椭圆轨道的离心率为
B．圆形轨道的周长为
C．火星半径为
D．近火星点与远火星点的距离为
第II卷（非选择题）
三、填空题
9．一般地，我们把离心率为的椭圆称为“黄金椭圆”．则下列命题正确的________．（填序号）
①若是“黄金椭圆”，则
②若，且点在以，为焦点的“黄金椭圆”上，则的周长为
③若是左焦点，，分别是右顶点和上顶点，则
④设焦点在轴上的“黄金椭圆”左右顶点分别为，，“黄金椭圆”上动点（异于，），设直线，的斜率分别为，，则
10．已知圆和圆，动圆M与圆C1内切，与圆C2外切，则动圆圆心M点的轨迹方程是_______．
四、解答题
11．在平面直角坐标系中，为椭圆的左，右焦点，，直线与交于两点，且四点共圆.
（1）求椭圆的方程；
（2）为上的一点(非长轴的端点)，线段，的延长线分别与交于点，求的最大值.
12．椭圆：的左右焦点分别为，，P为椭圆C上一点.
（1）当P为椭圆C的上顶点时，求；
（2）若，求满足条件的点P的个数；（直接写答案）
（3）直线与椭圆C交于A，B，若，求k.
试卷第2页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
1．D
因为椭圆一个焦点，所以椭圆的的焦点在横轴上，且，
又因为该椭圆的离心率为，所以有，
所以，因此椭圆的方程为：，
故选：D
2．B
解：由题意可得c＝，设右焦点为F′，
由|OP|＝|OF|＝|OF′|知，∠PFF′＝∠FPO，∠OF′P＝∠OPF′，
所以∠PFF′＋∠OF′ P＝∠FPO＋∠OPF′，
由∠PFF′＋∠OF′P＋∠FPO＋∠OPF′＝180°知∠FPO＋∠OPF′＝90°，即 PF⊥PF′．
在Rt△PFF′中，由勾股定理，得，
由椭圆定义，得，从而 a＝6，得，
于是 ，
所以椭圆的方程为．
故选：B．
3．A
因为方程表示椭圆，且焦点在y轴上，则有：，解得：．
故选：A
4．D
设，则，即，
化简得到：，即椭圆与圆有4个交点，故，.
故.
故选：D.
5．C
不妨设M在第一象限，由，两边平方后化简得：
，所以.
在Rt△中，
∵，
∴，
由椭圆定义可知：
所以离心率.
故选：C.
6．B
设交点坐标分别为、，则，
∴两式作差得，而是交点的中点，
∴，结合已知直线方程，有，又，
∴，可得.
故选：B.
7．AB
解：对A，由椭圆，可得的周长为：，故A正确；
对B，当P为椭圆短轴顶点时，的面积最大，且最大面积为：，故B正确；
对C，当P为椭圆短轴顶点时，为最大，此时，即为锐角，所以不存在点P使得，故C错误；
对D，由椭圆，所以，又，所以，所以，故D错误.
故选：AB.
8．ABD
如图
以线段的中点为原点，所在直线为x轴，以的方向为x轴正方向建立直角坐标系，则可设轨道所在的椭圆的标准方程为，则由已知，
所以，故离心率为，A正确；
以的速度进入距离火星表面的环火星圆形轨道，环绕周期为，所以环绕的圆形轨道周长为，半径为，所以火星半径为，所以B正确，C错误；
因为近火星点与远火星点的距离为，D正确．
故选：ABD．
9．②③④
解：对①，未指明焦点在轴还是轴上
当焦点在轴上时，，
因为是“黄金椭圆”，即，
解得：，故①错误；
对②，设椭圆的标准方程为：
由题知，，，解得：
所以则的周长为：，故②正确；
对③，设椭圆的标准方程为：，
由题知，，，
要使椭圆为“黄金椭圆”，则，即
所以，
，即
所以
所以，故③正确；
对④，设椭圆的标准方程为：，
设，，
所以
由点在椭圆上，得
化简为：
所以
因为为 “黄金椭圆”上的点
所以，即
所以，故④正确.
故答案为：②③④
10．
由题可得圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，
设动圆M的半径为，
因为动圆M与圆C1内切，则由题可知圆M在圆内部，所以，
因为动圆M与圆C2外切，所以，
则，
所以圆心M点的轨迹是以为焦点的椭圆，即，则，
所以圆心M点的轨迹方程是.
故答案为：.
11．（1）
设，又，互相平分且四点共圆，
∴，是圆的直径且是圆心，
∴，，，又，
∴，故椭圆的方程为；
（2）
由（1）知：，设，直线为，代入得，则，且，，
∴，
连接，则，
∵，当且仅当时取等号，
∴，故面积的最大值为.
12．（1）
因为椭圆：的左右焦点分别为，，P为椭圆C的上顶点
所以，，
所以，，所以
（2）
若，满足条件的点P的个数为0
（3）
设，联立可得
所以
所以
解得答案第1页，共2页
答案第1页，共2页