2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册4.5.1 函数的零点与方程的解 课件（26张ppt）

(共26张PPT)
4.5.1 函数的零点与方程的解
方程解法时间图 · 中国
公元50年—100年
一次方程、二次方程
和三次方程根
11世纪·北宋·贾宪
三次方程正根数值解法
13世纪·南宋秦九韶
任意次代数方程正根解法
7世纪·隋唐·王孝通
三次或三次以上方程
方程解法时间图 · 西方
一次方程、二次方程
的一般解法
1541年·意大利
塔尔塔利亚
三次方程一般解法
1802～1829
挪威·阿贝尔
证明了五次以上一般方程没有求根公式
记载了费拉里的四次方程一般解法
9世纪·阿拉伯
花拉子米
1545年·意大利
卡尔达诺
解方程的历史
二次函数与二次方程
在人类用智慧架设的无数座从已知通向未知的金桥中，方程的求解是其中璀璨的一座。目前为止，我们学习了一次方程和二次方程的求解，尤其是二次方程。
我们已经学习了用二次函数的观点认识一元二次方程。我们知道，二次函数的图象与轴的交点有几个，对应的二次方程的实数解就有几个。
随着学习的不断深入，我们会遇到其他方程的求解。我们就会不禁的思考，二次函数与二次方程的关系能否套用到一般函数与方程。例如这样不能用公式求解的方程，是否也能采用类似的方法，用相应的函数来研究它的解的情况呢？
答案是肯定的，所以我们需要先得到一个新的概念：零点。
我的解是3和-1
我的根有点难度，等你们学完这节你们就会了！！！
探究新知
1.求下列方程的解
知识探究
我们已经学习过用二次函数的观点来认识一元二次方程和不等式，知道一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 的解就是对应二次函数 y=ax2+bx+c (a≠0)的零点.
问题1: 完成下列表格. 验证方程的根，对应函数的零点，以及函数图象与x轴的交点的关系，并说说什么是函数的零点？
一元二次方程 x2－2x－3=0 x2－2x+1=0 x2－2x+3=0
方程的根
二次函数
函数的零点
函数的图象以及与x轴的公共点
x1=-1,x2=3
x1=x2=1
没有实数解
y=x2－2x－3
y= x2－2x+1
y= x2－2x+3
-1, 3
1
没有零点
(-1, 0)
(3, 0)
(1, 0)
结论:1.方程根的个数就是函数图象与x轴交点的个数.
2.方程的实数根就是函数图象与x轴交点的横坐标.
零点：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
问题1: 函数的零点是一个点吗？
零点不是一个点，零点指的是一个实数.
问题2: 试归纳函数零点的等价说法？
方程f (x)=0有实数根
函数y=f (x)有零点．
函数y=f (x)的图象与x轴有交点
概念：
数
形
问题2: 类比二次函数的零点，对于一般函数 y=f(x)，你能说说什么是函数 y=f(x)的零点吗？
2).区别:
1).联系:
①数值上相等：求函数零点就是求方程的解.
②存在性相同：
函数y=f(x)有零点
方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图象与x轴有交点
零点对于函数而言，解对于方程而言．
函数的零点与方程的解有什么联系和区别？
函数零点概念的理解
根据零点的概念判断与填空:
(1)任何函数都有零点.（ ）
(2) 的零点是 . （ ）
(3)如图所示，函数 的零点是
×
×
函数零点的求解
练习：
求函数零点的方法：
【类题通法】
函数零点存在性定理
第1组
第2组
上面两组镜头，哪一组能说明人一定曾渡过河
A
B
x
0
y
问题3:
问题3: 由以上可知，当我们无法用公式解方程f(x)=0时，我们可以用怎样的方法来求其实数解？
利用函数y=f(x)的性质和图象，找出函数的零点，从而得到方程的解。
问题4: 对于二次函数 f(x)=x2-2x-3 ，观察它的图象，发现它在区间[2,4]和[-2,0]各有一个零点.
(1)这时，函数图象与x轴有什么关系？
(2)你认为应如何利用函数 f(x) 的取值规律来刻画这种关系？
①在零点及其附近，函数图象连续不断；
②函数图象在零点处穿过了x轴。
函数图象在区间(2,4)上，函数图象从下到上穿过了x轴，即
f(2)<0 ，f(4)>0，∴ f(2)f(4)<0.
在区间(-2,0)上，函数图象从上到下穿过了x轴，即
f(-2)>0 ，f(0)<0 ，∴ f(-2) f(0)<0.
(3)再任意画几个函数图象，观察零点所在的区间，以及在这这一区间上函数图象与x轴的关系. 类似地，你得到用函数 f(x) 的取值规律的方法吗？
函数图象在区间[1,3]上连续不断；并在(1,3)上从上到下穿过了x轴。
函数图象在区间[2,4]上连续不断；并在(2,4)上从下到上穿过了x轴。
函数图象在区间[0,2]上连续不断；并在(0,2)上从下到上穿过了x轴。
问题5: 由以上的分析，你能说说在区间(a,b)上，y=f(x)在什么样的情况下一定有零点？
一般地，如果函数 y=f(x) 在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有 f(a) f(b)<0 ，那么，函数 y=f(x)在区间 (a,b) 内至少有一个零点， 即
存在 c ∈ (a,b), 使得 f(c) =0 , 这个c也就是方程 f(x)=0 的解.
函数零点存在性定理
问题6：(1)如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上有 f(a) f(b)<0，那么 函数 y=f(x)在区间 (a,b) 内是否一定有零点？
(2)如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上是连续不断的一条曲线，那么函数 y=f(x)在区间 (a,b) 内是否一定有零点？
“在区间[a,b]上图象连续不断”和“f(a) f(b)<0”这两个条件缺一不可。
(3)如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上是一条连续不断的曲线，且在区间 (a,b) 内有零点，是否一定有f(a) f(b)<0 ？
(4)如果函数 y=f(x) 在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有 f(a) f(b)<0 ，那么函数 y=f(x)在区间 (a,b) 内有零点，但是否只有一个零点呢？
(5)如何理解函数零点存在定理？
如果函数 y=f(x) 在区间[a,b]具有单调性呢？
a
b
（不变号零点）
（变号零点）
理解此定理时应注意以下几个问题：
(1)此定理不可逆. 即
若函数y=f(x)同时满足上述两个条件，则y=f(x)在区间(a,b)内一定存在零点，但有零点，却不一定满足上述两个条件.
因此 ，上述两个条件是函数y=f(x)在区间(a,b)内存在零点的充分不必要条件。
(2)此定理不能确定零点的个数. 即
若函数y=f(x)同时满足上述两个条件，则y=f(x)在区间(a,b)内一定存在零点，但零点不一定只有一个。
但若函数y=f(x)在区间(a,b)内还同时具有单调性，则函数在这区间(a,b)上只有一个零点.
(5)如何理解函数零点存在定理？
练习
下列三图分别是同一个函数在不同范围的图象，你能仅根据其中的某一图象，得出函数在某一个区间上只有一个零点的判断？为什么？(教材P144练习第1题)
不能。
因为当自变量在不同的范围内取值时，图象呈现的细节有可能不相同。
在本题中，当x∈(-200,200),x∈(-20,20),x∈(-2,2)时，看到的零点个数是不同的。所以确定函数的零点往往需要函数的了解函数的性质，并借助相关的定理
例1.求方程lnx+2x－6=0实数解的个数
例 1
解：
设函数f(x)=lnx+2x－6，则f(x)的定义域为(0,+∞)，列表，并作出f(x)的图象
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
f(x) -4 -1.3069 1.0986 3.3863 5.6094 7.7918 9.9459 12.0794 14.1972
f(2)<0, f(3)>0，
即 f(2) f(3)<0.
由函数零点存在定理，
f(x)在(2,3)内至少有一个零点.
又∵ f(x)=lnx+2x－6是增函数,
∴ f(x)是只有一个零点,
方程lnx+2x－6=0有1个实数解.
由表和图象得
f(x)=lnx+2x－6
思考1：以上解法中，列表和作图都借助了工具。事实上，本题还可以先判定函数是增函数，再让x在定义域内取值，由f(x)的符号来得出零点的个数。
除此之外，你还有别的解法吗？
例1.求方程lnx+2x－6=0实数解的个数
另解：
由lnx+2x－6=0得 lnx =-2x+6
设f(x)=lnx, g(x)=-2x+6.
作出函数 f(x)和 g(x)的图象，如右.
由图知，
函数f(x)和 g(x)的图象只有一个公共点P(x0, y0)，其中x0∈(2,3)
∴方程lnx =-2x+6只有一个解,
即lnx+2x－6=0有1个实数解.
f(x)=lnx
g(x)=-2x+6
减函数
增函数
思考2：如何判定函数y=f(x)零点(或方程f(x)=0的解)的个数？
思路1.解方程法：
思路2.性质法：
一是直接解方程f(x)=0或判断方程解的个数;
根据函数f(x)的性质和零点存在定理进行判断
二是利用函数图象. 由函数f(x)=0得g(x)=h(x)，再分别作出g(x)和h(x)的图象，则两图象的交点个数得出结论
C
B
D
操作演练，素养提升
例2. 判断函数 f(x)=4-3x+log2 x有多少个零点？
解：
思路2：转化判断方程4-3x+log2 x=0根的个数.
思路1：在定义域内，让x取一些值，由f(x)的正负来判断；
另解：
由 f(x)=4-3x+log2 x=0得
log2 x=3x -4
设f(x)=log2 x, g(x)=3x -4
作出f(x)和g(x)的图象
由图可得
函数f(x)和g(x)的图象有两个公共点。
∴方程4-3x+log2 x=0有两个实数解，即
f(x)=4-3x+log2 x有2个零点。
g(x)=3x -4
f(x)= log2 x
例2. 判断函数 f(x)=4-3x+log2 x有多少个零点？
思考1：这种解法好不好，为什么？若 f(x)=4+3x+log2 x呢？
不好。
一是事先并不知道各个零点所在的大致区间，二是x取哪一些值不好把握。
但若如例2中，函数是增函数或减函数，则这种方法则比较方便。
思考2：你能用例2的方法来判断方程4-3x+log2 x=0根的个数吗？
增函数
增函数
2、方程、函数、函数图象之间的关系
方程f(x)＝0有实数根 函数y＝f(x)的图象与_____有交点 函数
y＝f(x)有_____．
3、函数零点的存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是________的一条曲线，并且有__________.那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得________，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
1、函数的零点
对于函数y＝f(x)，把使______________叫做函数y=f(x)的零点．
f(x)=0的实数x
课堂小结
x轴
零点
连续不断
f(a)·f(b)<0
f(c)=0
课堂小结：
　　
１.函数零点的定义；
2.函数的零点与方程的根的等价关系；
3.零点的求法；
4.零点的存在性定理 ；
5.确定函数的零点大致区间的方法；
6.三种思想：函数与方程思想；数形结合思想；转化与化归思想.
你学会了吗？
1.函数零点与方程解的关系:
2.用函数方程思想，数形结合思想，求函数零点、
确定零点个数、求零点所在区间．
作业: 课本P155 习题4.5 2、3题
课堂小结
函数
方程
零点
解
数 值
存在性
个 数