江苏省扬州市宝应县2021-2022学年高二上学期期中测试数学试题（Word版含答案）

宝应县2021—2022学年度第一学期期中测试试题
高二数学
(考试时间120分钟，满分150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.若点A(0，1)，B(，4)在直线l1上，l1⊥l2，则直线l2的倾斜角为()
A.-30° B.30° C.150° D.120°
2.直线l过点(1，2)，且纵截距为横截距的两倍，则直线的方程是()
A. B. C.或 D.或
3.公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究发现了黄金分割数，简称黄金数．离心率等于黄金数的倒数的双曲线称为黄金双曲线．若双曲线是黄金双曲线，则()
A. B. C. D.
4.点M，N，是圆上的不同两点，且点M，N，关于直线对称，则该圆的半径等于()
A. B. C.3 D.1
5.已知方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，则实数的范围是()
A. B. C. D.且
6.抛物线的准线方程是()
A. B. C. D.
7.若直线与圆相交，则P(a，b)
A.在圆上 B.在圆外 C.在圆内 D.以上都有可能
8.已知⊙M：，直线l：，P为l上动点．过点P作⊙M切线PA，PB，切点为A，B，当最小时，直线AB方程为()
A. B. C. D.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9.下列有关双曲线的命题中，叙述正确的是()
A.顶点(，0) B.离心率 C.渐近线方程 D.焦点(，0)
10.下面叙述错误的是()
A.经过点P(1，1)，倾斜角为θ的直线方程为
B.若方程表示圆，则
C.直线和直线间的距离为
D.若椭圆的一个焦点坐标为(0，3)，则长轴长,10
11.下列说法正确的是()
A.直线的倾斜角的取值范围为
B.“c=5”是“点(2，1)到直线距离为3”的充要条件
C.直线l：恒过定点(3，0)
D.直线与直线平行，且与圆相切
12.过抛物线焦点作直线交抛物线于A，B两点，M为线段AB中点，则
A.以线段AB为直径的圆与直线相离
B.以线段BM为直径的圆与轴相切
C.当时，
D.的最小值为4
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.若直线与直线平行，则实数m=______________．
14.过点(，)，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为______________．
15.大约在2000多年前，我国的墨子给出了圆的概念“一中同长也”，意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等．这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下定义要早100多年．现有一动点P满足，其中O为坐标原点，若M，则的最小值为______________．
16.已知斜率k(k>0)为的直线过抛物线C：的焦点F且与抛物线C相交于A，B两点，过A，B分别作该抛物线准线的垂线，垂足分别为A1，B1，若，则k=______________．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本题满分10分)
在ΔABC中，已知点A(3，2)，AC边上的中线BM所在直线的方程为，AB边上的高所在直线的方程为．
(1)求直线AB的方程；
(2)求B点的坐标．
18.(本题满分12分)
求满足下列条件的曲线的方程：
(1)离心率为，长轴长为8的椭圆的标准方程；
(2)与椭圆有相同焦点，且经过点(1，)的双曲线的标准方程．
19.(本题满分12分)
已知圆C1的圆心为原点，且与直线相切，直线l过点M(1，2)．
(1)求圆C1的标准方程；
(2)若直线被圆C1所截得的弦长为，求直线l的方程．
20.(本题满分12分)
已知抛物线C：，点A(2，0)，B(-2，0)，过点A的直线l与C交于M，N两点．
(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；
(2)证明：∠ABM=∠ABN．
21.(本题满分12分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，圆O：交y轴于A，B两点，交直线于M，N两点．
(1)若，求k的值；
(2)设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，试探究斜率之积k1·k2是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
(3)证明：直线AM，BN的交点必然在一条定直线上，并求出该定直线的方程．
22.(本题满分12分)
已知椭圆的离心率为，右准线方程为．
(1)求椭圆方程；
(2)P(0，1)，A、B为椭圆的左右顶点，过A作斜率为k1的直线交椭圆于E，连接EP并延长交椭圆于F，记直线BF的斜率为k2，若k1＝3k2，求直线EF的方程．
2021-2022学年度第一学期期中测试试题高二数学
参考答案及评分标准
一、单项选择题(每小题5分，计40分)
1.C 2.C 3.B 4.C 5.C 6.D 7.B 8.D
二、多项选择题(每小题5分，计20分)
9.CD 10.AC 11.ACD 12.ACD
三、填空题(每小题5分，计20分)
13.－2 14. 15.1 16.
四、解答题(共6道题，计70分)
17．解：(1)由AB边上的高所在直线的方程为得
则..............2分
又∵A(3，2)，
∴直线AB的方程为
即(或)...........5分
(2)因为AC边上的中线过点B，
则联立直线方程：
解得：
即点B坐标为(4，0).....................10分
18．解：(1)根据题意，椭圆的长轴长为8，离心率为，
则2a=8，，解得：a=4，c=3；则，
若椭圆的焦点在x轴上，其方程为，.....................3分
若椭圆的焦点在y轴上，其方程为，..............6分
综上可得：椭圆的标准方程为或；
(2)根据题意，椭圆的焦点为(0，4)和(0，－4)，
设所求双曲线的方程为，且c=4，则有 ①，..........8分
又双曲线经过点(1，)，则有 ②.........10分
联立①②解得：..........11分
故双曲线的方程为：......................12分
19．解：(1)根据已知可得圆C1的半径为，圆心为(0，0)，
所以圆C1的方程为.......................5分
(2)根据题意，圆C1：，其圆心C1(0，0)，半径R=2，
又直线l过点M(1，2)且与圆相交，
则可设直线l的方程为，即，
直线l被圆C所截得的弦长为，则圆心到直线的距离，
则有，解得m=0或；
故直线l的方程为x=1或3x－4y+5=0......................12分
(注：少了x=1扣2分)
20.解：(1)当l与x轴垂直时，x=2，代入抛物线解得y=2，
所以M(2，2)或M(2，－2)，
所以直线BM的方程为：，或：...................6分
(2)证明：设直线l的方程为l：x=ty+2，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立直线l与抛物线方程得
，消x得，...........8分
即，，...........….9分
..........11分
所以直线BN与BM的倾斜角互补，
∴∠ABM=∠ABN.........................12分
21．解：(1)圆O的圆心为(0，0)，到直线的距离为
∵，由此解得k2=1，k=1.............2分
(2)将代入圆О方程，
并整理得，得，...............4分
该方程必有两根，且为M，N的横坐标．故设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由韦达定理，.......................6分
∵A(0，2)，
∴，
同理
于是
即证得恒为定值－3...............................................8分
(3)注意到AN⊥BN，设直线BN的斜率为，则，即.
直线AM：，
直线BN：的交点满足，
即，解得，
故直线AM，BN交点必在定直线上．证明完毕..................12分
22.【解析】(1)由题意得，解得
所以椭圆的方程为...................................3分
(2)方法1：显然直线EF的斜率存在，故设其方程为，
由，消去y得，显然△>0，
设E(x1，y1)，F(x2，y2)，则...................5分
因为，所以，(下面给出两种处理方案)
方案1：，即
因为，所以上式即...........6分
即，即................10分
所以1－k=0或舍去)，所以k=1.
所以直线EF的方程为...................12分
方案2：平方得 ①
又因为E(x1，y1)，F(x2，y2)在椭圆上，所以， ②
将②代入①可得：，即，......….9分
所以，即
解得或(舍去)
所以直线EF的方程为............................12分
方法2：直线AE的方程为，由
消去y得，
因为此方程有一根为－2，所以由韦达定理可得，故
所以E，..........................5分
同理可得F，因为，所以F..................6分
由E，.F，P三点共线得
即，............................8分
即，所以，...........10分
所以直线EF的斜率为
所以直线EF的方程为..............................12分