河南省商丘市部分学校大联考2021-2022学年高二上学期12月阶段性测试（二）文科数学试题（Word版含答案解析）

商丘市部分学校大联考2021-2022学年高二上学期12月阶段性测试（二）
文科数学
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡的指定位置．
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共12小题，毎小题5分，共60分．在毎小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
3.双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
4.已知等差数列的各项均为正数，且，则其前13项之和为（ ）
A.21 B.26 C.36 D.39
5.已知圆的左、右两个焦点分別为，P是C上的点，，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
6.若等差数列的公差为d，前n项和为，设甲：d＞0，乙：为递增数列，则（ ）
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 C.甲是乙的充要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
7.若不等式在时恒成立，则实数a的最大值为（ ）
A.0 B.2 C. D.3
8.已知x，y满足约束条件，则z＝2x＋y的最大值是（ ）
A.7 B.6 C.5 D.3
9.已知△ABC的面积是，AB＝1，BC＝3，则AC＝（ ）
A. B. C.或 D.或
10.在等比数列中，若，则（ ）
A.3 B. C. D.－3
11.若抛物线的焦点坐标为，过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且，则弦AB的中点到y轴的距离为（ ）
A. B.2 C.3 D.4
12.设A是双曲线的左顶点，分别是E的左、右焦点，点P，Q在y轴上，且Q是线段OP（O为坐标原点）的中点，直线与的交点为R．若RA⊥x轴，则E的离心率为（ ）
A. B. C.2 D. 3
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知是等差数列，为其前n项和，若，则 ．
14.若，则的最小值为 ．
15.如图所示，一架敌方侦察机向正东方向匀速飞行抵近我方侦察，地面雷达首次探测到该侦察机时其在北偏西75°方向，仰角为30°，2min后侦察机飞行到北偏东60°方向，假设该侦察机保持3km的飞行高度不变，则其飞行速度为 km/h．
16.已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，点P是椭圆上任意一点，则的最小值为 ．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.（10分）
已知a为非零实数，集合．
（Ⅰ）若，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
18.（12分）
已知等差数列和等比数列满足．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）求的前n项和．
19.（12分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（Ⅰ）求cosC的值；
（Ⅱ）若c＝4，3sinA＝2sinB，求a和b的值．
20.（12分）
设数列满足．
（Ⅰ）求的通项公式
（Ⅱ）记数列的前n项和为，是否存在实数k，使得对任意恒成立？若存在，求出k的最小值；若不存在，请说明理由．
21.（12分）
已知抛物线的焦点到准线的距离为1．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）已知点在C上，且线段AB的中垂线l的斜率为，求l在y轴上的截距的取值范围．
22.（12分）
已知椭圆的在、右焦点分别为，离心率为为圆的圆心．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设过点的直线l与C交于A，B两点，求的面积的最大值．
商丘市部分学校大联考2021-2022学年高二上学期12月阶段性测试（二）
理科数学 答案
一、选择题：本题共12小题，毎小题5分，共60分．
1.答案 B
命题意图 本题考查的是一元二次不等式的解法与集合的运算．
解析 ，所以．
2.答案 C
命题意图 本题考查的是全称命题的否定．
解析 将全称量词改为存在量词，再将大于号改为小于等于号．
3.答案 A
命题意图 本题考查双曲线的标准方程和性质．
解析 双曲线的渐近线方程为．
4.答案 D
命题意图 本题考查的是等差数列的性质和前n项和．
解析 因为的各项均为正数，所以，所以．
5.答案 A
命题意图 本题考查的是椭圆的几何性质．
解析 设椭圆的半焦距为，则，由题意知，所以．由椭圆定义知，故离心率．
6.答案 C
命题意图 本题考查的是等差数列的判定和性质以及充分必要条件的判断．
解析 由于，所以，则数列也是等差数列，公差为，所以是为递增数列的充要条件．
7.答案 B
命题意图 本题考查的是基本不等式的应用．
解析 不等式在时恒成立，即不等式在时恒成立．，当且仅当，即x＝1时，等号成立，所以a≤2，所以实数a的最大值为2．
8.答案A
命题意图 本题考查的是线性规划的简单应用．
解析 作出可行域，如图中阴影部分所示，易知在点B（3，1）处z取得最大值，故．
9.答案 C
命题意图 本题考查的是三角形的面积公式以及余弦定理在解三角形中的应用．
解析 因为，所以，所以或．当时，根据余弦定理有，所以；当时，根据余弦定理有，所以．
10.答案 D
命题意图 本题考查的是等比数列的性质．
解析 因为数列是等比数列，所以，又因为，所以．
11.答案 A
命题意图 本题考查抛物线的性质、抛物线与直线的位置关系．
解析 因为抛物线的焦点坐标为，所以p＝1，抛物线方程为．过焦点的直线与抛物线将于A，B两点，设，由抛物线的定义得，，所以，则，所以弦AB的中点到y轴的距离为．
12.答案 D
命题意图 本题考查的是双曲线的方程及几何性质．
解析 设双曲线E的焦点为2c（c＞0），由题意可得，设直线的斜率为k，易知，因为，所以直线的斜率为，则直线和的方程分别为，两方程联立可解得，即点R的横坐标为．又因为RA⊥x轴，所以，因此双曲线E的离心率．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.答案 27
命题意图 本题考查的是等差数列的通项公式和前n项和．
解析 设公差为d，则，解得．
14.答案
命题意图 本题考查的是利用基本不等式求最值．
解析 ，当且仅当和同时成立，即时等号成立．
15.答案
命题意图 本题考查解三角形的应用．
解析 如图所示，在Rt△ABD中可知∠ABD＝30°，AD＝3，所以．在△ABC中，∠ACB＝30°，∠ABC＝135°，根据正弦定理可得，所以该侦察机的飞行速度为．
16.答案 0
命题意图 本题考查椭圆的标准方程和几何性质．
解析 由题意得，设P点坐标为，则．，，由可得，所以，故当时，取得最小值0．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.命题意图 本题考查充分、必要条件的应用以及一元二次不等式的解法．
解析 （Ⅰ）由条件知B＝（－2，3）．……………………1分
，
当a＞0时，，由可得；………………3分
当a＜0时，，由可得．………………4分
综上可知，a的取值范围是．………………5分
（Ⅱ）因为是的必要不充分条件，
即，所以．………………6分
当时，，
由，可得，解得；………………8分
当时，，
由，可得，解得．………………9分
综上，实数a的取值范围是．………………10分
18.命题意图 本题考查等差数列与等比数列的性质．
解析 （Ⅰ）设的公差为d，
由题意知，又，所以d＝3，………………3分
所以．………………5分
（Ⅱ）设的公比为q．
由题意知，解得q＝5或q＝－4………………8分
若q＝5，则，所以；………………10分
若q＝－4，则，所以．………………12分
19.命题意图 本题考查的是正余弦定理在解三角形中的应用．
解析 （Ⅰ）由条件及正弦定理可得，…………2分
因为，所以，………………4分
所以，………………5分
得．………………6分
（Ⅱ）因为3sinA＝2sinB．所以3a＝2b．………………7分
由余弦定理可得，………………8分
即，将代入可得，解得b＝3，………………10分
所以．……………………12分
20.命题意图 本题考查的是数列通项公式的求法以及数列求和．
解析 （Ⅰ）因为，
所以当时，，……………………2分
两式相减得，所以．………………3分
又由题设可得，满足上式，………………4分
从而的通项公式为．………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知．………………7分
则．……………………10分
因为，所以，所以，
因此，k的最小值为2．………………12分
21.命题意图 本题考查的是抛物线的定义以及直线与抛物线的位置关系．
解析 （Ⅰ）由题意知p＝1，
所以C的方程为y2＝2x．………………4分
（Ⅱ）由题意可设l的方程为，则直线AB的方程为y＝2x＋m，
由，消去x可得．………………5分
由题意知判别式，得．………………6分
设线段AB的中点为，则，………………7分
再由，可得．………………8分
又点N在直线l上，所以，于是，………………10分
所以，
所以l在y轴上的截距的取值范围为．………………12分
22.命题意图 本题考查椭圆的方程与性质，椭圆与直线的位置关系．
解析 （Ⅰ）设椭圆的半焦距为c（c＞0）．
易得左焦点，
．……………………2分
，可得b＝1，
故椭圆C的方程为．………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知左、右焦点分别为，………………6分
设，易知直线l的斜率不为0，设l：x＝my－2，
由得，………………7分
则，
的面积，…………9分
设，则，………………11分
当且仅当，即时，的面积取得最大值，最大值为．………………12分