湖北省“荆、荆、襄、宜”四地七校联盟2022届高三上学期11月联考数学试题（Word版含答案解析）

湖北省“荆、荆、襄、宜”四地七校联盟2022届高三上学期11月联考
数学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语，函数与导数，不等式，三角函数与解三角形，平面向量，复数，数列。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则
A． B． C． D．
2．已知命题：，则
A．该命题为假命题，其否定是，
B．该命题为假命题，其否定是，
C．该命题为真命题，其否定是，
D．该命题为真命题，其否定是，
3．若，则
A． B． C． D．
4．已知是等差数列的前项和，若，则
A．22 B．45 C．50 D．55
5．设，，，则
A． B． C． D．
6．在中，角，，的对边分别为，，，则“”是“为等腰三角形”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知函数，若，则的取值范围为
A． B． C． D．
8．已知是半径为的圆的内接正方形，是圆上的任意一点，则的值为
A．8 B．16 C．32 D．与的位置有关
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知向量，，，若，则
A． B． C． D．
10．已知等比数列的前项和，则
A． B．等比数列的公比为2
C． D．
11．三个函数，，在同一平面直角坐标系中的部分图象如图所示，则
A．为 B．为 C．为 D．为
12．已知函数，则下列说法正确的是
A．在上单调递增
B．在上单调递减
C．若函数在处取得最小值，则
D．，
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡的相应位置。
13．已知，，且，则的最小值是________。
14．已知为复数，且，则的最大值为________。
15．悬链线是平面曲线，是柔性链条或缆索两端固定在两根支柱顶部，中间自然下垂所形成的外形，在工程中（如悬索桥、双曲拱桥、架空电缆）有广泛的应用。当微积分尚未出现时，伽利略猜测这种形状是抛物线，直到1691年莱布尼兹和伯努利利用微积分推导出悬链线的方程，其中为参数。当时，我们可构造出双曲函数（双曲正弦函数和双曲余弦函数），则函数的最小值为________。
16．已知数列的首项，其前项和为，且满足，则当取得最小值时，________。
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，。
（1）求的解析式；
（2）求曲线在处的切线与曲线的公共点坐标。
18．（12分）如图，在中，，，边的中垂线交于，交于，且。
（1）求的值；
（2）求的面积。
19．（12分）已知函数在一个周期内的图象如图所示。
（1）求的解析式及图象对称中心的坐标；
（2）设，且，求。
20．（12分）已知数列满足，。
（1）证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式；
（2）已知正项等比数列的前项和为，且，，若，求数列的前项和。
21．（12分）已知函数。
（1）若在上单调递增，求的取值范围；
（2）已知，若在区间内的图象上存在两点，使得在这两点处的切线相互垂直，求的取值范围。
22．（12分）已知函数。
（1）讨论零点的个数。
（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：。
湖北省“荆、荆、襄、宜”四地七校联盟2022届高三上学期11月联考
数学考试参考答案
1．B【解析】本题考查集合的交集，考查运算求解能力。
因为，，所以。
2．C【解析】本题考查命题，考查逻辑推理的核心素养。
因为函数的值域为全体实数，所以，，故该命题是真命题，其否定是， 。
3．A【解析】本题考查三角恒等变换，考查运算求解能力。
将两边平方可得，则，。
4．D【解析】本题考查等差数列的性质，考查运算求解能力。
由题意得，，则，故。
5．B【解析】本题考查指数、对数的大小，考查逻辑推理的核心素养。
因为，所以。因为，所以。又，所以。
6．A【解析】本题考查充分必要条件，考查逻辑推理的核心素养。
因为，所以由正弦定理可知，，则，此时
为等腰直角三角形，当为等腰三角形时，不一定成立，所以
是“为等腰三角形”的充分不必要条件。
7．B【解析】本题考查函数的单调性，考查数形结合的数学思想。
因为，所以为奇函数，又因为当时，单调递增，所以在上单调递增。因为，所以，则，即，解得，所以的取值范围为。
8．B【解析】本题考查平面向量的运算，考查化归与转化的数学思想。
。
9．BCD【解析】本题考查平面向量的运算，考查运算求解能力。
由，得，则，，，所以，，
。
10．BC【解析】本题考查等比数列，考查运算求解能力。
因为，所以当时，，所以，所以等比数列的公比为2。当时，，所以，则，。因为，所以数列是等比数列，其首项为4，公比为4，所以。
11．BC【解析】本题考查三角函数的图象，考查数学抽象以及逻辑推理的核心素养。
，，的最小正周期分别为，，，易知为。当时，
取得最大值；当时，取得最小值；当时，
取得最小值。结合图象可知，为，为，故选BC。
12．ACD【解析】本题考查导数的应用，考查逻辑推理的核心素养。
，令，则，所以在上单调递减，在, 上单调递增，所以，所以在上单调递增。
令，则。令，则在上恒成立，则在上单调递增。又，所以，，则在上单调递减，在上单调递增，即。又，，所以，故选ACD。
13．16【解析】本题考查基本不等式，考查运算求解能力。
由，可得，所以（当且仅当
，即，时，等号成立）。
14．4【解析】本题考查复数的四则运算，考查逻辑推理的核心素养。
15．【解析】本题考查函数的最值，考查运算求解能力。
，
所以函数的最小值为。
16．5【解析】本题考查数列的递推关系，考查逻辑推理的核心素养。
由题意，可得，。
令，则，即是常数列，所以，故。
当时，；当时，。故当时，取得最小值。
17．解：（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，则，
设，则，所以，
所以
（2）当时，，则，
又，所以曲线在处的切线方程为，即。
当时，切线与曲线的公共点坐标为；
当时，联立方程解得，，即公共点的坐标为。
综上，曲线在处的切线与曲线的公共点坐标为和。
18．解:（1）如图，连接，则，
在中，。
因为，所以，
解得。
（2）由（1）可知，
则。
因为，所以。
19．解:（1）由图可知解得，
，则，
又，且函数在附近单调递增，所以，
所以。
由，解得，
所以函数图象对称中心的坐标为。
（2）由，可得。
因为，所以，又，所以，
所以，
。
20．（1）证明：由，可得，
则，所以数列是等比数列。
故，则。
（2）解：设数列的公比为，令，则，所以。
又，解得或（舍去），所以，
，。
所以，①
，②
①－②得，
故。
21．解：（1），因为在上单调递增，所以。
又因为在上恒成立，所以，解得。
所以的取值范围为。
（2）
由题可知，存在，使得，
所以，即，
则。
因为，所以，则的取值范围为。
22．（1）解：已知，令，则或。
因为，所以。设，则。
令，则；令，则。
所以函数在上单调递减，在上单调递增，且。
综上，当时，只有一个零点；当时，恰有两个零点；当时，有三个零点。
（2）证明：因为，所以，为两个不同的零点，
不妨设，则。
令，
则对任意的恒成立，
所以函数在上单调递增，所以，
即当时，，
又，所以，
因为，，且在上单调递增，所以，故，得证。