第四章 数列
4.1数列(提升练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1．已知数列的通项公式为，则下面哪一个数是这个数列的一项（ ）
A．18 B．21
C．25 D．30
2．在数列中，，，且，则（ ）
A．22 B．-22
C．16 D．-16
3．已知数列，，它的最小项是（ ）
A. 第1项 B. 第2项
C. 第3项 D. 第2项或第3项
4．大衍数列，来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，，则此数列的第20项为（ ）
A. 220 B. 200 C. 180 D. 162
5．已知数列的通项公式为，前n项和为，则当取得最小值时n的值为（ ）
A．6 B．5
C．4 D．7
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．已知数列的前4项为2，0，2，0，则该数列的通项公式可能为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知数列满足，且，则（ ）
A． B．
C． D．
8．对于数列，定义：，称数列是的“倒差数列”下列叙述正确的有（ ）
A．若数列单调递增，则数列单调递增
B．若数列是常数列，数列不是常数列，则数列是周期数列
C．若，则数列没有最小值
D．若，则数列有最大值
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．已知数列的前项和为，若，则__________．
10．已知数列满足：任意，都有，且，那么____________
11．已知函数令得数列，若数列为递增数列，则实数的取值范围为_______．
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．在数列{an}中，已知a1＝2，a17＝66，通项an是关于n的一次函数．
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 88是否是数列{an}中的项？
13．已知在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，以后各项由an＝an－1＋an－2(n≥3)给出．
(1) 写出此数列的前5项；
(2) 通过公式bn＝构造一个新的数列{bn}，写出数列{bn}的前4项．
14．已知数列的通项公式为，数列的通项公式为.
（1）是不是数列中的一项？
（2）判断数列的单调性，并求最小项；
（3）若，求满足最小的的值.第四章 数列
4.1数列(提升练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1．已知数列的通项公式为，则下面哪一个数是这个数列的一项（ ）
A．18 B．21
C．25 D．30
【答案】D
【解析】因为，所以数列是递增数列，
当时，，当时，，
当时，，当时，，故选：D．
2．在数列中，，，且，则（ ）
A．22 B．-22
C．16 D．-16
【答案】C
【解析】令，则，又，，所以；再令，则，所以，故选：C
3．已知数列，，它的最小项是
A. 第1项 B. 第2项 C. 第3项 D. 第2项或第3项
【答案】D
【解析】设为数列的最小项，则，
代入公式可得
解得，故n可取的值为2或3． 故选:D．
4．大衍数列，来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，，则此数列的第20项为（ ）
A. 220 B. 200 C. 180 D. 162
【答案】B
【解析】设数列为0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，，
则偶数项的通项公式为，
所以． 故选:B．
5．已知数列的通项公式为，前n项和为，则当取得最小值时n的值为（ ）
A．6 B．5
C．4 D．7
【答案】B
【解析】当或，
当取得最小值时，即取得最小值，
n的值为. 故选:B.
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．已知数列的前4项为2，0，2，0，则该数列的通项公式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】因为数列的前4项为2，0，2，0，选项A：不符合题设；
选项B：
，符合题设；
选项C：，不符合题设；
选项D：
，符合题设．故选：BD．
7．已知数列满足，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】由题意，，A正确，，C正确；
，所以数列是周期数列，周期为3．
，B错；，D正确．故选：ACD．
8．对于数列，定义：，称数列是的“倒差数列”下列叙述正确的有（ ）
A．若数列单调递增，则数列单调递增
B．若数列是常数列，数列不是常数列，则数列是周期数列
C．若，则数列没有最小值
D．若，则数列有最大值
【答案】BD
【解析】对于，函数在和上单调递增，但在整个定义域上不是单调递增，可知数列单调递增，数列不是单调递增（如，则，），错误；
对于，是常数列，可设，则，
，
不是常数列，，，整理得：，
，数列是以为周期的周期数列，正确；
对于，若，则，
①当为偶数时，且单调递增，，
且单调递增，此时；
②当为奇数时，且单调递减，，
且单调递减，此时；
综上所述：既有最大值，又有最小值，错误；正确. 故选：BD.
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．已知数列的前项和为，若，则__________．
【答案】
【解析】由已知条件，知：当时，；
当时，；
当n=1时不满足上式，所以，故答案为：．
10．已知数列满足：任意，都有，且，那么____________
【答案】
【解析】由已知，，
可得，，，
，，
，
故答案为：
11．已知函数令得数列，若数列为递增数列，则实数的取值范围为_______．
【答案】
【解析】
令得数列
且数列为递增数列，
得
解得，即： 故答案为：
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．在数列{an}中，已知a1＝2，a17＝66，通项an是关于n的一次函数．
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 88是否是数列{an}中的项？
【答案】（1）an＝4n－2；（2）不是
【解析】 (1) 设an＝kn＋b，则由a1＝2，a17＝66，
得解得所以an＝4n－2.
(2) 令4n－2＝88，得n＝22.5，所以88不是数列{an}中的项．
13．已知在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，以后各项由an＝an－1＋an－2(n≥3)给出．
(1) 写出此数列的前5项；
(2) 通过公式bn＝构造一个新的数列{bn}，写出数列{bn}的前4项．
【答案】(1) a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8.
(2)b1＝，b2＝，b3＝，b4＝.
【解析】 (1) a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8.
(2) b1＝＝，b2＝＝，b3＝＝，b4＝＝.
14．已知数列的通项公式为，数列的通项公式为.
（1）是不是数列中的一项？
（2）判断数列的单调性，并求最小项；
（3）若，求满足最小的的值.
【答案】（1）是数列中的第七项；（2）数列是单调递增数列；最小项是第一项；（3）32
【解析】（1）假设是数列中的一项，则有，
解得，所以
因此，，即是数列中的第七项
（2）
对任意，，
所以数列是单调递增数列，
最小项是第一项，
（3）
由得
所以的最小值为.
