第四章 数列
4.1数列(基础练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1．数列1，，的一个通项公式是（ ）
A． B．
C． D．
2．在数列中，，（，），则（ ）
A． B．1
C． D．2
3．已知数列的前项和，则数列的第4项是（ ）
A．1 B．6
C．5 D．2
4．“天支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅、癸酉、甲戌、乙亥、丙子、…、癸未、甲申、乙酉、丙戌、…、癸巳，…共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽．2021年是“干支纪年法”中的辛丑年，那么2016年是“干支纪年法”中的（ ）
A．丙申年 B．丙午年 C．甲辰年 D．乙未年
5．设数列前n项和为，已知，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．已知数列满足，，则下列各数是的项的有（ ）
A． B．
C． D．
7．下列四个选项中，不正确的是（ ）
A. 数列，，，，的一个通项公式是
B. 数列的图象是一群孤立的点
C. 数列1，，1，，与数列，1，，1，是同一数列
D. 数列，，，是递增数列
8．若数列满足，，则数列中的项的值可能为（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．已知数列 的前 项和，则 等于_______
10．已知数列满足，若，则=_______-
11．若数列{an}为单调递增数列，且，则a3的取值范围为__________．
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．写出下面各数列的一个通项公式：
（1）9，99，999，9 999，…；
（2），2，，8，，…；
13．数列中，.
（1）是数列中的第几项？
（2）为何值时，有最小值？并求最小值.
14．已知数列的前项和，
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前多少项和最大．第四章 数列
4.1数列(基础练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1．数列1，，的一个通项公式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】 ，，，， ，
故选:B．
2．在数列中，，（，），则（ ）
A． B．1
C． D．2
【答案】A
【解析】，，，
可得数列是以3为周期的周期数列，．故选：A．
3．已知数列的前项和，则数列的第4项是（ ）
A．1 B．6
C．5 D．2
【答案】B
【解析】由题可得，故选：B．
4．“天支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅、癸酉、甲戌、乙亥、丙子、…、癸未、甲申、乙酉、丙戌、…、癸巳，…共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽．2021年是“干支纪年法”中的辛丑年，那么2016年是“干支纪年法”中的（ ）
A．丙申年 B．丙午年 C．甲辰年 D．乙未年
【答案】A
【解析】依题意，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，
子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．2021年是辛丑年，2020年为庚子，2019年是己亥年，2018年是戊戌年，2017年是丁酉年，2016年是丙申年.
故选：A.
5．设数列前n项和为，已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】当时，，整理得，
又，得，，得，
，得，故选：C．
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．已知数列满足，，则下列各数是的项的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】因为数列满足，，
；；；
数列是周期为3的数列，且前3项为，，3；故选:BD．
7．下列四个选项中，不正确的是（ ）
A. 数列，，，，的一个通项公式是
B. 数列的图象是一群孤立的点
C. 数列1，，1，，与数列，1，，1，是同一数列
D. 数列，，，是递增数列
【答案】ACD
【解析】对于A，当通项公式为时，，不符合题意，故选项A错误；
对于B，由数列的通项公式以及可知，数列的图象是一群孤立的点，故选项B正确；
对于C，由于两个数列中的数排列的次序不同，因此不是同一数列，故选项C错误；
对于D，，，，是递减数列，故选项D错误． 故选：ACD．
8．若数列满足，，则数列中的项的值可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】数列满足，，依次取代入计算得，，，，，因此继续下去会循环，数列是周期为4的周期数列，所有可能取值为：．故选：ABC
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．已知数列 的前 项和，则 等于_______
【答案】
【解析】当时，，
当时，由，得，
验证当时，满足上式．故数列的通项公式．
故答案为：．
10．已知数列满足，若，则=_______-
【答案】1
【解析】时，；时，；
时，．故答案为：1
11．若数列{an}为单调递增数列，且，则a3的取值范围为__________．
【答案】(-∞，6)
【解析】当n≥2时，，
因为数列{an}为单调递增数列，所以对n≥2(n∈N)恒成立，
即λ＜2n+1对n≥2(n∈N)恒成立，所以λ＜8，所以，
故a3的取值范围为(-∞，6)．故答案为：(-∞，6)
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．写出下面各数列的一个通项公式：
（1）9，99，999，9 999，…；
（2），2，，8，，…；
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）各项加1后，变为10，100，1 000，10 000，…，新数列的通项公式为，
可得原数列的一个通项公式为.
（2）数列的项有的是分数，有的是整数，可将各项统一成分数再观察：，
所以它的一个通项公式为.
13．数列中，.
（1）是数列中的第几项？
（2）为何值时，有最小值？并求最小值.
【答案】（1）第项；（2）或时，最小值为
【解析】（1）令，即，
解得：或（舍）
（2）由，因为，开口向上，对称轴
所以或时，有最小值为 .
14．已知数列的前项和，
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前多少项和最大．
【答案】(1) (2) 前16项的和最大
【解析】（1）当时，；当时，；
所以：；
（2）因为；
所以前16项的和最大．
