2021-2022学年湖南省邵阳市邵阳县八年级（上）期中数学试卷（Word版 含解析）

2021-2022学年湖南省邵阳市邵阳县八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列式子：，，，3x+，中，是分式的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（3分）如图，AB∥DE，AF＝DC，若要证明△ABC≌△DEF，还需补充的条件是（　　）
A．AC＝DF B．AB＝DE C．∠A＝∠D D．BC＝EF
3．（3分）如图，△ABC≌△BAD，点A和点B，点C和点D是对应点．如果∠D＝70°，∠CAB＝50°，那么∠DAB度数是（　　）
A．80° B．70° C．60° D．50°
4．（3分）若式子中的x、y都扩大2倍，则分式的值（　　）
A．不变 B．扩大2倍 C．扩大4倍 D．缩小2倍
5．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB、AC于点D、E．若AB＝5，AC＝4，则△ADE的周长是（　　）
A．9 B．10 C．12 D．14
6．（3分）若方程＝有增根，则a的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2
7．（3分）分式﹣可变形为（　　）
A．﹣ B． C．﹣ D．
8．（3分）货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同，已知小车每小时比货车多行驶20千米，求两车的速度各为多少？设货车的速度为x千米/小时，依题意列方程正确的是（　　）
A． B． C． D．
9．（3分）已知，则的值是（　　）
A．28 B．30 C．32 D．34
10．（3分）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝4cm，且△ABD的周长为16cm，则△ABC的周长为（　　）
A．24cm B．22cm C．20cm D．18cm
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．（3分）科学家测得新冠病毒的直径约为0.0000103cm，用科学记数法表示为　 　．
12．（3分）如图，在△ABC中，D、E分别是AB，AC上面的点，若已知∠1＝∠2，BE＝CD，AB＝9，AE＝2，则CE＝　 　．
13．（3分）若2x＝2，4y＝4，则2x﹣2y的值为　 　．
14．（3分）如图，AD，CE是△ABC的两条高，已知AD＝5，CE＝4，AB＝8，则BC的长是　 　．
15．（3分）当x＝　 　时，分式的值为零．
16．（3分）如图，点D在△ABC边BC的延长线上，CE平分∠ACD，∠A＝80°，∠B＝40°，则∠ACE的大小是　 　度．
17．（3分）当m＝　 　时，分式方程会出现增根．
18．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若△ABC与△EBC的周长分别是40cm，24cm，则AB＝　 　cm．
三、解答题（第19-25小题每题8分，26小题10分，共66分）
19．（8分）先化简，再求值：÷+，其中a＝﹣1．
20．（8分）如图，在等边三角形ABC中，点B、P、Q三点在同一条直线上，且∠ABP＝∠ACQ，∠BAP＝∠CAQ．
（1）判断△APQ是什么形状，并说明理由；
（2）求∠BQC的度数．
21．（8分）解方程：
（1）＝；
（2）+＝3．
22．（8分）如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且AE＝AB．
（1）若∠BAE＝40°，求∠C的度数；
（2）若△ABC周长26cm，AC＝10cm，求DC长．
23．（8分）已知＝＝，求的值．
24．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：
（1）FC＝AD；
（2）AB＝BC+AD．
25．（8分）今年新冠疫情期间，某公司计划将1200套新型防护服进行加工，分给甲乙两个工厂，甲工厂单独完成任务，比乙工厂单独完成任务多用10天，乙工厂每天加工数量是甲的1.5倍，甲工厂每天费用200元，乙工厂每天费用350元．
（1）求甲乙两个工厂每天分别能加工多少套？
（2）从经济角度考虑，选用哪个工厂较好？
26．（10分）如图，BE、CF分别是△ABC的边AC、AB上的高，且BP＝AC，CQ＝AB．求证：
（1）AP＝AQ；
（2）AP⊥AQ．
2021-2022学年湖南省邵阳市邵阳县八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列式子：，，，3x+，中，是分式的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】判断分式的依据是看代数式的分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式，然后找出分式的个数．
【解答】解：，3x+，的分母中含有字母，属于分式，共有3个．
故选：B．
2．（3分）如图，AB∥DE，AF＝DC，若要证明△ABC≌△DEF，还需补充的条件是（　　）
A．AC＝DF B．AB＝DE C．∠A＝∠D D．BC＝EF
【分析】根据平行线的性质得出∠A＝∠D，求出AC＝DF，根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【解答】解：AB＝DE，
理由是：∵AB∥DE，
∴∠A＝∠D，
∵AF＝DC，
∴AF+FC＝DC+FC，
∴AC＝DF，
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF（SAS），即选项B正确，
选项A、C、D都不能推出△ABC≌△DEF，即选项A、C、D都错误，
故选：B．
3．（3分）如图，△ABC≌△BAD，点A和点B，点C和点D是对应点．如果∠D＝70°，∠CAB＝50°，那么∠DAB度数是（　　）
A．80° B．70° C．60° D．50°
【分析】根据全等三角形的性质得到∠DBA＝∠CAB＝50°，根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：△ABC≌△BAD，点A和点B，点C和点D是对应点，
∴∠DBA＝∠CAB＝50°，
∴∠DAB＝180°﹣70°﹣50°＝60°，
故选：C．
4．（3分）若式子中的x、y都扩大2倍，则分式的值（　　）
A．不变 B．扩大2倍 C．扩大4倍 D．缩小2倍
【分析】先根据题意列出算式，再根据分式的基本性质进行化简即可．
【解答】解：＝＝＝，
所以式子中的x、y都扩大2倍，那么分式的值扩大2倍，
故选：B．
5．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB、AC于点D、E．若AB＝5，AC＝4，则△ADE的周长是（　　）
A．9 B．10 C．12 D．14
【分析】先由角平分线的定义得∠DBF＝∠CBF，∠ECF＝∠BCF，再由平行线的性质得∠DFB＝∠CBF，∠BCF＝∠EFC，则∠DBF＝∠DFB，∠ECF＝∠EFC，得DB＝DF，EF＝EC，即可解决问题．
【解答】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，
∴∠DBF＝∠CBF，∠ECF＝∠BCF，
∵DE∥BC，
∴∠DFB＝∠CBF，∠BCF＝∠EFC，
∴∠DBF＝∠DFB，∠ECF＝∠EFC，
∴DB＝DF，EF＝EC，
∴△ADE的周长＝AD+DE+AE
＝AD+DF+EF+AE
＝AD+BD+EC+AE
＝AB+AC
＝5+4
＝9．
故选：A．
6．（3分）若方程＝有增根，则a的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计算即可求出a的值．
【解答】解：去分母得：x﹣1＝a，
由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，
代入整式方程得：a＝1，
故选：B．
7．（3分）分式﹣可变形为（　　）
A．﹣ B． C．﹣ D．
【分析】根据分式的基本性质进行解答即可．
【解答】解：由分式的基本性质，把分式的分子和分母同时乘以﹣1得，（﹣1）×（﹣）＝．
故选：D．
8．（3分）货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同，已知小车每小时比货车多行驶20千米，求两车的速度各为多少？设货车的速度为x千米/小时，依题意列方程正确的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】题中等量关系：货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同，列出关系式．
【解答】解：根据题意，得
．
故选：C．
9．（3分）已知，则的值是（　　）
A．28 B．30 C．32 D．34
【分析】将代入＝（x﹣）2﹣4计算可得答案．
【解答】解：∵，
∴
＝（x﹣）2﹣4
＝62﹣4
＝36﹣4
＝32．
故选：C．
10．（3分）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝4cm，且△ABD的周长为16cm，则△ABC的周长为（　　）
A．24cm B．22cm C．20cm D．18cm
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AC＝2AE＝8cm，AD＝DC，求得AB+BD+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC＝16cm，于是得到结论．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，AE＝4cm，
∴AC＝2AE＝8cm，AD＝DC，
∵△ABD的周长为16cm，
∴AB+BD+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC＝16（cm），
∴△ABC的周长为AB+BC+AC＝16+8＝24（cm），
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．（3分）科学家测得新冠病毒的直径约为0.0000103cm，用科学记数法表示为　1.03×10﹣5cm　．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：0.0000103cm用科学记数法表示为1.03×10﹣5cm．
故答案为：1.03×10﹣5cm．
12．（3分）如图，在△ABC中，D、E分别是AB，AC上面的点，若已知∠1＝∠2，BE＝CD，AB＝9，AE＝2，则CE＝　7　．
【分析】根据AAS即可证明△ABE≌△ACD，根据该全等三角形的对应边相等证得结论．
【解答】（1）证明：在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（AAS）．
∴AB＝AC＝9，AE＝AD＝2，
∴CE＝AC﹣AE＝9﹣2＝7．
故答案为：7．
13．（3分）若2x＝2，4y＝4，则2x﹣2y的值为　　．
【分析】根据幂的乘方运算法则可得4y＝22y＝4，再根据同底数幂的除法法则计算即可，
【解答】解：∵2x＝2，4y＝22y＝4，
∴2x﹣2y＝2x÷22y＝2÷4＝．
故答案为：．
14．（3分）如图，AD，CE是△ABC的两条高，已知AD＝5，CE＝4，AB＝8，则BC的长是　6.4　．
【分析】利用三角形的面积可得CB AD＝AB CE，再代入数据即可．
【解答】解：∵AD，CE是△ABC的两条高，
∴S△ACB＝CB AD＝AB CE，
∵AD＝5，CE＝4，AB＝8，
∴×BC×5＝，
解得：BC＝6.4，
故答案为：6.4．
15．（3分）当x＝　﹣0.5　时，分式的值为零．
【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子＝0；（2）分母≠0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
【解答】解：分式的值为零，则1+2x＝0，解得x＝﹣0.5．
又∵1﹣2x≠0，解得x≠0.5．
∴x＝﹣0.5．
故答案为﹣0.5．
16．（3分）如图，点D在△ABC边BC的延长线上，CE平分∠ACD，∠A＝80°，∠B＝40°，则∠ACE的大小是　60　度．
【分析】由∠A＝80°，∠B＝40°，根据三角形任意一个外角等于与之不相邻的两内角的和得到∠ACD＝∠B+∠A，然后利用角平分线的定义计算即可．
【解答】解：∵∠ACD＝∠B+∠A，
而∠A＝80°，∠B＝40°，
∴∠ACD＝80°+40°＝120°．
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝60°，
故答案为60
17．（3分）当m＝　﹣1　时，分式方程会出现增根．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根确定出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．
【解答】解：分式方程去分母得：x﹣2＝﹣m，
由分式方程有增根，得到x﹣3＝0，即x＝3，
把x＝3代入整式方程得：m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
18．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若△ABC与△EBC的周长分别是40cm，24cm，则AB＝　16　cm．
【分析】首先根据DE是AB的垂直平分线，可得AE＝BE；然后根据△ABC的周长＝AB+AC+BC，△EBC的周长＝BE+EC+BC＝AE+EC+BC＝AC+BC，可得△ABC的周长﹣△EBC的周长＝AB，据此求出AB的长度是多少即可．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE；
∵△ABC的周长＝AB+AC+BC，△EBC的周长＝BE+EC+BC＝AE+EC+BC＝AC+BC，
∴△ABC的周长﹣△EBC的周长＝AB，
∴AB＝40﹣24＝16（cm）．
故答案为：16．
三、解答题（第19-25小题每题8分，26小题10分，共66分）
19．（8分）先化简，再求值：÷+，其中a＝﹣1．
【分析】原式第一项利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的加法法则计算得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝ +
＝+
＝，
当a＝﹣1时，原式＝＝﹣．
20．（8分）如图，在等边三角形ABC中，点B、P、Q三点在同一条直线上，且∠ABP＝∠ACQ，∠BAP＝∠CAQ．
（1）判断△APQ是什么形状，并说明理由；
（2）求∠BQC的度数．
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到AB＝AC，∠BAC＝60°，根据全等三角形的性质得到AP＝AQ，根据等边三角形的判定定理得到△PAQ是等边三角形；
（2）如图，设BQ，AC交于O，根据对顶角的性质和三角形的内角和定理即可得到结论．
【解答】解：（1）△APQ是等边三角形，
理由：∵△ACB是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
在△ABP与△ACQ中，
，
∴△ABP≌△ACQ（ASA），
∴AP＝AQ，
∵∠BAP+∠PAC＝∠PAC+∠CAQ，
即∠BAC＝∠PAQ＝60°，
∴△PAQ是等边三角形；
（2）如图，设BQ，AC交于O，
∵∠ABP＝∠ACQ，∠AOB＝∠QOC，
∴∠BAC＝∠BQC＝60°．
21．（8分）解方程：
（1）＝；
（2）+＝3．
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）去分母得：x+3＝4x，
解得：x＝1，
检验：把x＝1代入得：x（x+3）≠0，
∴分式方程的解为x＝1；
（2）去分母得：x﹣2＝3x﹣3，
解得：x＝，
检验：把x＝代入得：x﹣1≠0，
∴分式方程的解为x＝．
22．（8分）如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且AE＝AB．
（1）若∠BAE＝40°，求∠C的度数；
（2）若△ABC周长26cm，AC＝10cm，求DC长．
【分析】（1）根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出AB＝AE＝CE，求出∠AEB和∠C＝∠EAC，即可得出答案；
（2）根据已知能推出2DE+2EC＝10cm，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵AD⊥BC，AE＝AB，EF垂直平分AC，
∴AB＝AE＝EC，
∴∠C＝∠CAE，
∵∠BAE＝40°，
∴∠AED＝×（180°﹣40°）＝70°，
∴∠C＝∠AED＝35°；
（2）∵△ABC周长26cm，AC＝10cm，
∴AB+BC＝16（cm），
∴AB+BE+EC＝16（cm），
即2DE+2EC＝16（cm），
∴DE+EC＝8（cm），
∴DC＝DE+EC＝8（cm）．
23．（8分）已知＝＝，求的值．
【分析】设＝＝＝k，根据比例的性质知x＝3k，y＝4k，z＝5k．将它们代入所求的代数式，通过约分求值．
【解答】解：∵当x＝y＝z时，分式无意义，
∴x、y、z均不为0，
∴设＝＝＝k（k≠0），则x＝3k，y＝4k，z＝5k．
所以，＝＝，即的值是．
24．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：
（1）FC＝AD；
（2）AB＝BC+AD．
【分析】（1）根据AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质即可解答．
（2）根据线段垂直平分线的性质判断出AB＝BF即可．
【解答】证明：（1）∵AD∥BC（已知），
∴∠ADC＝∠ECF（两直线平行，内错角相等），
∵E是CD的中点（已知），
∴DE＝EC（中点的定义）．
∵在△ADE与△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴FC＝AD（全等三角形的性质）．
（2）∵△ADE≌△FCE，
∴AE＝EF，AD＝CF（全等三角形的对应边相等），
又∵BE⊥AF，
∴BE是线段AF的垂直平分线，
∴AB＝BF＝BC+CF，
∵AD＝CF（已证），
∴AB＝BC+AD（等量代换）．
25．（8分）今年新冠疫情期间，某公司计划将1200套新型防护服进行加工，分给甲乙两个工厂，甲工厂单独完成任务，比乙工厂单独完成任务多用10天，乙工厂每天加工数量是甲的1.5倍，甲工厂每天费用200元，乙工厂每天费用350元．
（1）求甲乙两个工厂每天分别能加工多少套？
（2）从经济角度考虑，选用哪个工厂较好？
【分析】（1）设甲工厂每天能加工x套新型防护服，则乙工厂每天能加工1.5x套新型防护服，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合甲工厂单独完成任务比乙工厂单独完成任务多用10天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）利用总费用＝每天需要的费用×工作时间，可分别求出选择甲、乙两工厂所需费用，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设甲工厂每天能加工x套新型防护服，则乙工厂每天能加工1.5x套新型防护服，
依题意得：﹣＝10，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是原方程的解且符合题意，
∴1.5x＝60．
答：甲工厂每天能加工40套新型防护服，乙工厂每天能加工60套新型防护服．
（2）选择甲工厂所需费用为200×＝6000（元）；
选择乙工厂所需费用为350×＝7000（元）．
∵6000＜7000，
∴从经济角度考虑，选用甲工厂较好．
26．（10分）如图，BE、CF分别是△ABC的边AC、AB上的高，且BP＝AC，CQ＝AB．求证：
（1）AP＝AQ；
（2）AP⊥AQ．
【分析】（1）首先证明∠FCA＝∠ABP，再加上条件BP＝AC，CQ＝AB可以证明△QAC≌△APB进而得到AP＝AQ；
（2）根据△QAC≌△APB可得∠AQF＝∠PAF，再证明∠FQA+∠FAQ＝90°可得∠FQA+∠PAF＝90°，进而得到∠PAQ＝90°，即可证出AP⊥AQ．
【解答】证明：（1）∵AC⊥BE，AB⊥QC，
∴∠BFP＝∠CEP＝90°，
∴∠BAC+∠FCA＝90°，∠ABP+∠BAC＝90°
∴∠FCA＝∠ABP，
在△QAC和△APB中，，
∴△QAC≌△APB（SAS），
∴AP＝AQ；
（2）∵△QAC≌△APB，
∴∠AQF＝∠PAF，
又AB⊥QC，
∴∠QFA＝90°，
∴∠FQA+∠FAQ＝90°，
∴∠FQA+∠PAF＝90°，
即∠PAQ＝90°，
∴AP⊥AQ．