2021-2022学年北师大版九年级数学下册第3章圆同步达标测评（word解析版）

2021-2022学年北师大版九年级数学下册《第3章圆》同步达标测评（附答案）
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．已知半径为5的圆，直线l上一点到圆心的距离是5，则直线和圆的位置关系为（　　）
A．相切 B．相离 C．相切或相交 D．相切或相离
2．下列各说法中：
①圆的每一条直径都是它的对称轴；②长度相等的两条弧是等弧；③相等的弦对的弧也相等；④平分弦的直径垂直于弦；⑤90°的圆周角所对的弦是直径；⑥任何一个三角形都有唯一的外接圆；其中正确的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．如图，AB为⊙O的直径，∠BED＝20°，则∠ACD的度数为（　　）
A．80° B．75° C．70° D．65°
4．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，点O为BC的中点，以O为圆心，OB长为半径作半圆，交AC于点D，则图中阴影部分的面积是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，半径为2的⊙O与正五边形ABCDE的边AB，DE分别相切于点B，D，则劣弧BD的长为（　　）
A． B． C． D．
6．以半径为4的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（　　）
A． B． C． D．2
7．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝20，CD＝16，则BE的长为（　　）
A．2 B．4 C．5 D．6
8．如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D，且DC+DA＝12，⊙O的直径为20，则AB的长等于（　　）
A．8 B．12 C．16 D．18
9．如图，AB是半⊙O的直径，点C在半⊙O上，AB＝2cm，AC＝6cm．D是上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE．在点D移动的过程中，BE的最小值为（　　）
A．﹣2 B． C． D．2
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为（0，3），点B为（2，1），点C为（2，﹣3）．则△ABC的外心坐标应是（　　）
A．（0，0） B．（1，0） C．（2，﹣1） D．（﹣2，﹣1）
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠C＝120°，则∠BOD＝　 　．
12．如图所示，在同心圆中，大⊙O的弦AB切小⊙O于P，且AB＝8，则圆环的面积为 　 　．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以点C为圆心的圆与边AB相切于点D，交边BC于点E，若BC＝4，AC＝3，则BE的长为 　 　．
14．如图，AB为⊙O直径，矩形ACDE的边DE与⊙O相切，点C在⊙O上，若＝，BD＝，则AB＝　 　．
15．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝＝45°，AD⊥BC于点D，延长AD交⊙O于点E，若BD＝4，CD＝1，则AD的长是 　 　．
16．如图，已知在半径为1的半⊙O中，CD为直径，A为半圆上一动点，连结OA，作OB平分∠AOC交圆于点B，连结BD，分别与AC，AO交于点N，M．若AM＝AN，则△AMD的面积为 　 　．
17．如图所示，在⊙O内有折线OABC，其中OA＝2，AB＝2+4，∠A＝45°，∠B＝30°，则BC的长为 　 　．
18．已知⊙O半径为1，AB、BC是⊙O的弦，且AB＝1、BC＝，则∠ABC的度数是 　 　．
19．如图，正方形ABCD的边长为3，以A为圆心，AB的长为半径画弧，连接AC，以A为圆心，AC的长为半径画弧，交AD的延长线于点E，则图中阴影部分的面积是 　 　．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3．点P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAC＝∠PCB，则线段BP长的最小值是 　 　．
三．解答题（共6小题，满分60分）
21．如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，连接AC、OC、BC．
（1）求证：∠ACO＝∠BCD．
（2）若EB＝6，CD＝20，求⊙O的直径．
22．如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB＝5，AC＝3．连接OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点．
（1）求证：∠CAD＝∠CBA．
（2）求EF：FD的值．
23．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点P在CA的延长线上，∠CAD＝45°．
（1）若AB＝8，求图中阴影部分的面积；
（2）若BC＝AD，AD＝AP，求证：PD是⊙O的切线．
24．如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径．∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作直线l交CA的延长线于点P，且∠ADP＝∠BCD，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F．
（1）求证：DP∥AB；
（2）求证：PD是⊙O的切线；
（3）若AC＝6，BC＝8，求线段PD的长．
25．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点E是斜边AB上的一点，以AE为直径作⊙O交BC于点D，连接DE，∠DOE＝2∠EDB．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若DB＝4，BE＝2，求AB的长．
26．如图，在⊙O中，半径OD⊥直径AB，CD与⊙O相切于点D，连接AC交⊙O于点E，交OD于点G，连接CB并延长交⊙于点F，连接AD，EF．
（1）求证：∠ACD＝∠F；
（2）若tan∠F＝
①求证：四边形ABCD是平行四边形；
②连接DE，当⊙O的半径为3时，求DE的长．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．解：∵若直线L与⊙O只有一个交点，即为点P，则直线L与⊙O的位置关系为：相切；
若直线L与⊙O有两个交点，其中一个为点P，则直线L与⊙O的位置关系为：相交；
∴直线L与⊙O的位置关系为：相交或相切．
故选：C．
2．解：①对称轴是直线，而直径是线段，圆的每一条直径所在直线都是它的对称轴，所以此项错误；
②在同一圆中，长度相等的两条弧是等弧，不在同一圆中不一定是等弧，所以此项错误；
③在同一圆中，相等的弦所对的弧也相等，不在同一圆中，相等的弦所对的弧不一定相等，所以此项错误；
④平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故此项错误；
⑤根据圆周角定理推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径，故此项正确；
⑥根据三角形外接圆的定义可知，任何一个三角形都有唯一的外接圆，故此项正确．
故选：A．
3．解：连接BC．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠DCB＝∠DEB＝20°，
∴∠ACD＝90°﹣∠DCB＝70°，
故选：C．
4．解：连接OD．
∵AC＝4，AB＝2，
∴AC＝2AB，
∵∠ABC＝90°，
∴∠C＝30°，
∴∠DOB＝2∠C＝60°，
∵BC＝AB＝2，
∴OC＝OD＝OB＝，
∴S阴＝S△ACB﹣S△COD﹣S扇形ODB＝×2×2﹣××﹣
＝2﹣﹣
＝﹣．
故选：A．
5．解：连接OB，OD，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠E＝∠A＝180°﹣＝108°．
∵AB、DE与⊙O相切，
∴∠OBA＝∠ODE＝90°，
∴∠BOD＝（5﹣2）×180°﹣90°﹣108°﹣108°﹣90°＝144°，
∴劣弧BD的长为＝π，
故选：A．
6．解：如图1，△ABC为⊙O的内接正三角形，作OM⊥BC于M，连接OB，
∵∠OBC＝∠ABC＝30°，
∴OM＝OB＝2；
如图2，四边形ABCD为⊙O的内接正方形，作ON⊥DC于N，连接OD，
∵∠ODC＝∠ADC＝45°，
∴ON＝DN＝OD＝2；
如图3，六边形ABCDEF为⊙O的内接正六边形，作OH⊥DE于H，连接OE，
∵∠OED＝∠FED＝60°，
∴EH＝OE＝2，OH＝EH＝2，
∴半径为4的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为2，2，2，
∵22+（2）2＝（2）2，
∴以三条边心距所作的三角形为直角三角形，
∴该三角形的面积＝×2×2＝2．
故选：D．
7．解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AB＝20，
∴CO＝OB＝10，AB⊥CD，CE＝DE＝CD，
∵CD＝16，
∴CE＝8，
在Rt△COE中，OE＝，
∴BE＝OB﹣OE＝10﹣6＝4，
故选：B．
8．解：连接OC，过O作OF⊥AB，垂足为F，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∵AC平分∠PAE，
∴∠DAC＝∠CAO，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴PB∥OC，
∵CD⊥PA，
∴∠OCD＝∠CDA＝∠OFD＝90°，
∴四边形DCOF为矩形，
∴OC＝FD，OF＝CD．
∵DC+DA＝12，
设AD＝x，则OF＝CD＝12﹣x，
∵⊙O的直径为20，
∴DF＝OC＝10，
∴AF＝10﹣x，
在Rt△AOF中，由勾股定理得AF2+OF2＝OA2．
即（10﹣x）2+（12﹣x）2＝102，
解得x1＝4，x2＝18．
∵CD＝12﹣x大于0，故x＝18舍去，
∴x＝4，
∴AD＝4，AF＝10﹣4＝6，
∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点，
∴AB＝2AF＝12．
故选：B．
9．解：如图，连接BO′、BC．
∵CE⊥AD，
∴∠AEC＝90°，
∴在点D移动的过程中，点E在以AC为直径的圆上运动，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，∵AC＝6cm，AB＝2cm，
∴BC＝＝＝4（cm），O′E＝3（cm），
在Rt△BCO′中，BO′＝＝＝5，
∵O′E+BE≥O′B，
∴当O′、E、B共线时，BE的值最小，最小值为O′B﹣O′E＝5﹣3＝2，
故选：D．
10．解：如图，根据网格点O′即为所求．
∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，
∴EF与MN的交点O′即为所求的△ABC的外心，
∴△ABC的外心坐标是（﹣2，﹣1）．
故选：D．
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠C＝180°，
∵∠C＝120°，
∴∠A＝180°﹣∠C＝60°，
由圆周角定理得：∠BOD＝2∠A＝120°，
故答案为：120°．
12．解：连接OP，OA，如图，
∵⊙O的弦AB切小⊙O于P，
∴OP⊥AB，
∴AP＝BP＝AB＝4，
∴OA2﹣OP2＝AP2＝16，
∴圆环的面积＝S大半圆﹣S小半圆＝OA2π﹣OP2π＝（OA2﹣OP2）×π＝16π．
故答案为16π．
13．解：在Rt△ACB中，AB＝＝5，
∵以点C为圆心的圆与边AB相切于点D，
∴CD⊥AB，
∵S△ACB＝CD AB＝AC BC，
∴CD＝＝2.4，
∵CE＝CD＝2.4，
∴BE＝BC﹣CE＝4﹣2.4＝1.6．
故答案为：1.6．
14．解：过O点作OM⊥DE于M，OM交AC于N，如图，
设AE＝x，则DE＝4x，
∵四边形ACDE为矩形，
∴AC＝DE＝4x，CD＝AE＝x，DE∥AC，
∴OM⊥AC，
∴AN＝CN＝2x，
∴ON为△ABC的中位线，
∵矩形ACDE的边DE与⊙O相切，
∴OM为⊙O的半径，
∵BC＝BD﹣CD＝﹣x，
∴ON＝BC＝（﹣x）＝﹣x，
∴OM＝ON+MN＝+x，
在Rt△AON中，（﹣x）2+4x2＝（+x）2，
解得x＝，
∴OM＝+×＝，
∴AB＝2OM＝．
故答案为：．
15．解：如图，连接OA，过O点作OF⊥BC于F，作OG⊥AE于G，
∵⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°，
∴∠BOC＝90°，
∵BD＝4，CD＝1，
∴BC＝4+1＝5，
∴OB＝OC＝，
∴OA＝，OF＝BF＝，
∴DF＝BD﹣BF＝，
∴OG＝，GD＝，
在Rt△AGO中，AG＝＝，
∴AD＝AG+GD＝．
故答案为：．
16．解：如图，
∵OB平分∠AOC，
∴∠AOB＝∠COB，
∴＝，
∴∠ADB＝∠BDC，
∵AM＝AN，
∴∠ANM＝∠AMN，
又∵∠AMN＝∠OMD，
∴∠ANM＝∠OMD，
∴△OMD∽△AND，
∴＝＝，∠MOD＝∠NAD，
∵CD是直径，
∴∠NAD＝90°，
∴∠MOD＝90°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝45°，
∴AD＝OD＝，
∴＝＝＝＝，
∴＝，
∴＝，
∴＝，
∴S△ADM＝×1×1×＝．
故答案为：．
17．解：如图，过点O作OH⊥AB于点H，交CB于点J，过点O作OK⊥BC于点K，连接OB．
在Rt△AOH中，∠AHO＝90°，∠A＝45°，OA＝2，
∴AH＝OH＝2，
∵BH＝AB﹣AH＝2+4﹣2＝4，
在Rt△BHJ中，∠HBJ＝30°，
∴HJ＝BH tan30°＝4，
∴OJ＝JH﹣OH＝2，
在Rt△OJK中，OK＝OJ coS30°＝，
在Rt△OBH中，OB＝＝＝2，
在Rt△OKB中，BK＝＝＝7，
∵OK⊥BC，
∴CK＝BK＝7，
∴BC＝14．
18．解：连接OA、OB、OC，
∵⊙O半径为1，
∴OA＝OB＝OC＝1，
∵AB＝1，
∴OA＝OB＝AB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∵OB＝OC＝1，BC＝，
∴OB2+OC2＝BC2，
∴△OBC是直角三角形，∠BOC＝90°，
分两种情况：
①当AB、BC在OB的同侧时，如图1所示：
则∠AOC＝∠BOC﹣∠AOB＝30°，
∴∠ABC＝∠AOC＝15°；
②当AB、BC在OB的异侧时，如图2所示：
则∠AOC＝∠BOC+∠AOB＝150°，
∴∠ABC＝（360°﹣∠AOC）＝（360°﹣150°）＝105°；
综上所述，∠ABC的度数是15°或105°，
故答案为：15°或105°．
19．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝3，∠BAD＝90°，∠DAC＝45°，
∴AC＝AB＝3，
∴图中阴影部分的面积＝[﹣]+（3×3﹣）＝4.5，
故答案为：4.5．
20．解：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACP+∠PCB＝90°，
∵∠PAC＝∠PCB
∴∠CAP+∠ACP＝90°，
∴∠APC＝90°，
∴点P在以AC为直径的⊙O上，连接OB交⊙O于点P，此时PB最小，
在Rt△CBO中，∠OCB＝90°，BC＝3，OC＝2，
∴OB＝＝＝，
∴PB＝OB﹣OP＝﹣2．
∴PC最小值为﹣2．
故答案为：﹣2．
三．解答题（共6小题，满分60分）
21．（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，∠BCD与∠ACE互余，又∠ACE与∠CAE互余，
∴∠BCD＝∠BAC．
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA．
∴∠ACO＝∠BCD；
（2）解：设⊙O的半径为R，则OE＝OB﹣EB＝R﹣6，
CE＝CD＝×20＝10，
在Rt△CEO中，由勾股定理可得：
OC2＝OE2+CE2，
即R2＝（R﹣6）2+102，
解得R＝．
答：⊙O的直径为．
22．（1）证明：∵OC为半径，E为AD中点．
∴OC⊥AD，AC＝CD，
∴∠ABC＝∠CAD；
（2）解：在Rt△ABC中，AB＝5，AC＝3，则BC＝4，
∴sin∠CBA＝＝，
∴sin∠CAD＝，则CE＝，
则AE＝＝＝ED，
∵cos∠CBA＝，则cos∠CAD＝，
则AF＝＝，
∴EF＝AF﹣AE＝﹣＝，
则FD＝AD﹣AF＝﹣＝，
∴EF：FD＝9：7．
备注：也可以利用三角形相似的解答方式如下：
∵AB＝5，AC＝3，则BC＝4，
∵∠CAD＝∠CBA，∠ACB＝∠ACF，
∴△CAF∽△CBA，
∴，即，解得CF＝，则BF＝BC﹣CF＝4﹣＝；
同理可得：△CEF∽△BDF，
∴＝．
23．解：（1）连接OC，OD，
∵∠COD＝2∠CAD，∠CAD＝45°，
∴∠COD＝90°，
∵AB＝8，
∴OC＝AB＝4，
∴S扇形COD＝＝4π，S△OCD＝×OC×OD＝×4×4＝8，
∴图中阴影部分的面积＝S扇形COD﹣S△OCD＝4π﹣8．
（2）证明：∵BC＝AD，
∴＝，
∴∠BOC＝∠AOD，
∵∠COD＝90°，
∴∠AOD＝45°，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵∠AOD+∠ODA+∠OAD＝180°，
∴∠ODA＝67.5°，
∵AD＝AP，
∴∠ADP＝∠APD，
∵∠CAD＝∠ADP+∠APD，∠CAD＝45°，
∴∠ADP＝∠CAD＝22.5°，
∴∠ODP＝∠ODA+∠ADP＝90°，
∴PD是⊙O的切线．
24．（1）证明：∵∠ADP＝∠BCD，∠BCD＝∠BAD，
∴∠ADP＝∠BAD，
∴DP∥AB；
（2）证明：连接OD，如图所示：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，
∴∠ACD＝∠BCD＝45°，
∴∠DAB＝∠ABD＝45°，
∴△DAB是等腰直角三角形，
∵OA＝OB，
∴OD⊥AB，
∵DP∥AB，
∴OD⊥PD，
∴PD是⊙O的切线；
（3）解：在Rt△ACB中，AB＝＝＝10，
∵△DAB为等腰直角三角形，
∴AD＝AB＝5，
∵AE⊥CD，
∴△ACE为等腰直角三角形，
∴AE＝CE＝AC＝3，
在Rt△AED中，DE＝＝＝4，
∴CD＝CE+DE＝3+4＝7，
∵∠PDA＝∠PCD，∠P＝∠P，
∴△PDA∽△PCD，
∴＝＝＝＝，
∴PA＝PD，PC＝PD，
∵PC＝PA+AC，
∴PD+6＝PD，
解得：PD＝．
25．（1）证明：连接OD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC，
∵∠C＝90°，
∴∠ODC＝90°，
∴OD⊥BC，
∵OD为半径，
∴BC是⊙O切线；
（2）∵BC是⊙O切线，
∴BD2＝AB BE，
∴AB＝＝8．
26．（1）证明：∵CD与⊙O相切于点D，
∴OD⊥CD，
∵半径OD⊥直径AB，
∴AB∥CD，
∴∠ACD＝∠CAB，
∵∠EAB＝∠F，
∴∠ACD＝∠F；
（2）①证明：∵∠ACD＝∠CAB＝∠F，
∴tan∠GCD＝tan∠GAO＝tan∠F＝，
设⊙O的半径为r，
在Rt△AOG中，tan∠GAO＝＝，
∴OG＝r，
∴DG＝r﹣r＝r，
在Rt△DGC中，tan∠DCG＝＝，
∴CD＝3DG＝2r，
∴DC＝AB，
而DC∥AB，
∴四边形ABCD是平行四边形；
②延长DO交⊙O于点H，连接HE，如图，OG＝1，AG＝＝，
CD＝6，DG＝2，CG＝＝2，
∵DH为直径，
∴∠HED＝90°，
∴∠H+∠HDE＝90°，
∵DH⊥DC，
∴∠CDE+∠HDE＝90°，
∴∠H＝∠CDE，
∵∠H＝∠DAE，
∴∠CDE＝∠DAC，
而∠DCE＝∠ACD，
∴△CDE∽△CAD，
∴＝，即＝，
∴DE＝．