2021—2022学年北师大版数学九年级下册 3.2圆的对称性 解答题专题训练 （word版含答案）

2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3.2圆的对称性》解答题专题训练（附答案）
1．如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，AD⊥BC，垂足为D，BE交AD于点F，且＝，求证：AF＝BF．
2．如图所示，⊙O中弦AB所对的劣弧为圆的，延长AB到C，使OC＝AB，OC交⊙O于D，求的度数．
3．如图，在⊙O中，C，D是直径AB上的两点，且AC＝BD，EG⊥AB，FH⊥AB，交AB于C、D，点E，G，F，H在⊙O上．
（1）若EG＝8，AC＝2，求⊙O半径；
（2）求证：＝；
（3）若C，D分别为OA，OB的中点，则＝＝成立吗？请说明理由．
4．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，＝，DE⊥AB于点E，连接CD．
（1）求证：AC＝2OE；
（2）若CD＝2，DE＝4，求AC的长．
5．如图，⊙O上依次有A，B，C，D四个点，＝，连接AB，AD，BD，延长AB到点E，使BE＝AB，连接EC，F是EC的中点，连接BF．求证：BF＝BD．
6．BD是⊙O的直径，A是弧BDC的中点，AE⊥BD于点E，AE交直线BC于点F，求证：AF＝BF．
7．如图，A，B，C为⊙O上的三点，D，E分别是、的中点，连接DE，分别交AB，AC于F，G，求证：AF＝AG．
8．如图，MN为半圆O的直径，半径OA⊥MN，C为AM的中点，过点C作BC∥MN交⊙O于点B，连结BO．求证：＝．
9．如图，⊙O的弦AB、DC的延长线相交于点E．
（1）如图1，若为120°，为50°，求∠E的度数；
（2）如图2，若AB＝CD，求证：AE＝DE．
10．如图，在⊙O中，直径为MN，正方形ABCD的四个顶点分别在半径OM、OP以及⊙O上，并且∠POM＝45°，若AB＝1．
（1）求OD的长；
（2）求⊙O的半径．
11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，若EC＝BC，且∠1＝∠2．求证：DC＝BC．
12．如图，在△ACE中，AC＝CE，⊙O经过点A，C，且与边AE，CE分别交于点D，F，点B是劣弧AC上的一点，且＝，连接AB，BC，CD．求证：△CDE≌△ABC．
13．如图，已知AB，CG是⊙O的两条直径，AB⊥CD于点E，CG⊥AD于点F．
（1）求∠AOG的度数；
（2）若AB＝2，求CD的长．
14．如图，在⊙O中，点C是优弧ACB的中点，D、E分别是OA、OB上的点，且AD＝BE，弦CM、CN分别过点D、E．
（1）求证：CD＝CE．
（2）求证：＝．
15．如图，点A、B、C在⊙O上，＝．
（1）若D、E分别是半径OA、OB的中点，如图1，求证：CD＝CE．
（2）如图2，⊙O的半径为4，∠AOB＝90°，点P是线段OA上的一个动点（与点A、O不重合），将射线CP绕点C逆时针旋转90°，与OB相交于点Q，连接PQ，求出PQ的最小值．
16．如图，已知CE是⊙O的直径，弦AB与CD交点P，且AC＝CP，点B关于CE的对称点是点F，点G是上的一点，连接AD，GD，若＝＝．
（1）求证：＝；
（2）若AC＝2，DP＝3，求弦GD的长．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆分别交AC，BC边于点D，E，连接BD，
（1）求证：点E是的中点；
（2）当BC＝12，且AD：CD＝1：2时，求⊙O的半径．
18．已知直径CD⊥弦BF于 E，AB为 O的直径．
（1）求证：＝；
（2）若∠DAB＝∠B，求∠B的度数．
19．如图，AB，CD是⊙O的两条直径，过点A作AE∥CD交⊙O于点E，连接BD，DE，求证：BD＝DE．
20．如图，AB是⊙O的直径，C、P是弧AB上两点，AB＝25，AC＝7．
（1）如图（1），若点P是弧AB的中点，求PA的长；
（2）如图（2），若点P是弧BC的中点，求PA的长．
参考答案
1．证明：延长AD交⊙O于M，
∵BC⊥AD，BC过圆心O，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
∴∠BAF＝∠ABF，
∴AF＝BF．
2．解：过O点作OH⊥AB于H，如图，
∵弦AB所对的劣弧为圆的，
∴∠AOB＝×360°＝90°，
而OA＝OB，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴OH＝AB，∠BOH＝45°，
∵OC＝AB，
∴OH＝OC，
在Rt△OCH中，cos∠COH＝＝，
∴∠COH＝60°，
∴∠BOD＝∠COH﹣∠BOH＝60°﹣45°＝15°，
∴的度数为15°．
3．解：（1）连接EO，
设⊙O半径为r，
∵EG⊥AB，
∴CE＝CG＝EG＝4，
∵AC＝2，
∴OC＝r﹣2，
在Rt△CEO中，OE2＝CE2+OC2，
∴r2＝42+（r﹣2）2，
解得r＝5，
∴⊙O半径为5；
（2）连接OE、OF，
∵AC＝BD，OA＝OB，
∴OC＝OD，
∵EG⊥AB，FH⊥AB，
∴在Rt△COE和Rt△DOF中，
，
∴Rt△COE≌Rt△DOF（HL），
∴∠AOE＝∠BOF，
∴＝；
（3）＝＝成立，理由如下：
∵C，D分别为OA，OB的中点，
∴OC＝，
∴cos∠AOE＝＝，
∴∠AOE＝60°，
同理∠BOF＝60°，
∴∠EOF＝60°，
∴＝＝．
4．（1）证明：连接AD和BD，过D作DM⊥AC，交AC的延长线于M，
∵＝，
∴BD＝CD，∠BAD＝∠MAD，
∵DM⊥AC，DE⊥AB，
∴∠M＝∠AED＝∠BED＝90°，DE＝DM，
∵四边形ACDB是⊙O的内接四边形，
∴∠DCM＝∠B，
在△BED和△CMD中，
，
∴△BED≌△CMD（AAS），
∴BE＝CM，
在Rt△AED和Rt△AMD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AMD（HL），
∴AE＝AM，
∵AE＝OA+OE＝OB+OE，AM＝AC+CM＝AC+BE＝AC+OB﹣OE，
∴OB+OE＝AC+OB﹣OE，
即AC＝2OE；
（2）解：连接OD，设⊙O的半径为R，则OB＝OD＝R，
∵CD＝2，BD＝CD，
∴BD＝2，
在Rt△DEB中，由勾股定理得：BE＝＝＝2，
在Rt△OED中，由勾股定理得：OD2＝OE2+DE2，
即R2＝（R﹣2）2+42，
解得：R＝5，
即OE＝5﹣2＝3，
由（1）知：AC＝2OE，
∴AC＝6．
5．证明：连接AC，
∵AB＝BE，
∴点B为AE的中点，
∵F是EC的中点，
∴BF为△EAC的中位线，
∴BF＝AC，
∵＝，
∴＝，
∴BD＝AC，
∴BF＝BD．
6．证明：如图，设AF交⊙O于点T，连接BT．
∵BD是直径，BD⊥AT，
∴AE＝ET，
∴BT＝BA，
∴∠BAT＝∠BTA，
∵A是弧BDC的中点，
∴＝，
∴AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC，
∵∠ACB＝∠ATB，
∴∠TAB＝∠CBA，
∴AF＝BF．
7．证明：连接OD和OE交AB于M点，交AC于N点，
∵D为的中点，OD过圆心O点，
∴OD⊥AB．
同理OE⊥AC，
∵OD＝OE，
∴∠ODE＝∠OED，
∴90°﹣∠ODE＝90°﹣∠OED，即∠DFM＝∠EGN，
∵∠DFM＝∠AFE，∠EGN＝∠AGF，
∴∠AFE＝∠AGF，
∴AF＝AG．
8．解：延长BC交OA于H，连接OB，如图，
∵OA⊥MN，BC∥OA，
∴BH⊥OA，
∵C点为AM的中点，
∴H点为OA的中点，
即OH＝OA，
在Rt△OBH中，∵cos∠BOH＝＝，
∴∠BOH＝60°，
∴∠BOM＝30°，
即∠BOM＝∠AOM，
∴＝．
9．（1）解：连接AC．
∵为120°，为50°，
∴∠ACD＝60°，∠BAC＝25°，
∵∠ACD＝∠BAC+∠E
∴∠E＝∠ACD﹣∠BAC＝60°﹣25°＝35°；
（2）证明：连接AD．
∵AB＝CD，
∴＝，
∴＝，
∴∠ADC＝∠DAB，
∴AE＝DE．
10．解：（1）如图，
∵四边形ABCD 为正方形，
∴DC＝BC＝AB＝1，∠DCO＝∠ABC＝90°，
∵∠POM＝45°，
∴CO＝DC＝1，
∴OD＝CO＝＝；
（2）BO＝BC+CO＝BC+CD＝1+1＝2，
连接AO，
则△ABO 为直角三角形，
于是 AO＝．
即⊙O的半径为．
11．证明：∵EC＝BC，
∴∠CBE＝∠CEB，
∴∠1+∠CBD＝∠2+∠BAC，
∵∠1＝∠2，
∴∠CBD＝∠BAC，
∵∠BAC＝∠BDC，
∴∠CBD＝∠BDC，
∴BC＝CD．
12．证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC＝∠CDE，
∵＝，
∴∠BAC＝∠DCE，
在△CDE和△ABC中，
，
∴△CDE≌△ABC（AAS）．
13．解：（1）连接OD，
∵AB⊥CD，
∴＝，
∴∠BOC＝∠BOD，
由圆周角定理得，∠A＝∠BOD，
∴∠A＝∠BOD，
∵∠AOG＝∠BOD，
∴∠A＝∠AOG，
∵∠OFA＝90°，
∴∠AOG＝60°；
（2）∵∠AOG＝60°，
∴∠COE＝60°，
∴∠C＝30°，
∴OE＝OC＝，
∴CE＝＝，
∵AB⊥CD，
∴CD＝2CE＝．
14．（1）证明：连接OC．
∵＝，
∴∠COD＝∠COE，
∵OA＝OB，AD＝BE，
∴OD＝OE，∵OC＝OC，
∴△COD≌△COE（SAS），
∴CD＝CE．
（2）分别连接OM，ON，
∵△COD≌△COE，
∴∠CDO＝∠CEO，∠OCD＝∠OCE，
∵OC＝OM＝ON，
∴∠OCM＝∠OMC，∠OCN＝∠ONC，
∴∠OMD＝∠ONE，
∵∠ODC＝∠DMO+∠MOD，∠CEO＝∠CNO+∠EON，
∴∠MOD＝∠NOE，
∴＝．
15．解：（1）连接CO．
∵＝，
∴∠AOC＝∠BOC，
∵D、E分别是半径OA、OB的中点，
∴，，
∴OD＝OE，
在△ODC和△OEC中，
∵OD＝OE，∠AOC＝∠BOC，OC＝OC，
∴△ODC≌△OEC（SAS）
∴CD＝CE；
（2）当CP⊥OA时，∵∠AOB＝90°，∠PCQ＝90°，
∴∠CQO＝90°，即CQ⊥OB．
∵∠AOC＝∠BOC，
∴CP＝CQ，
当CP与OA不垂直时，
如图，过点C作CM⊥OA，CN⊥OB，M、N为垂足．
∵∠AOC＝∠BOC，
∴CM＝CN，
又∵∠AOB＝90°，
∴∠MCN＝90°，
∴四边形CMON是正方形，
∵∠PCQ＝90°，
∴∠PCM＝∠QCN，
∴△PCM≌△QCN（AAS）
∴CP＝CQ，
∴，
∴当CP取得最小值即CM的长时，PQ有最小值，
∴，PQ的最小值为4．
16．（1）证明：∵点B关于CE的对称点是点F，
∴EC⊥BF，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
∴＝．
（2）连接BC、BE、BD，作CH⊥AB于H．
∵CA＝CP，
∴∠CAP＝∠CPA，∠CPA＝∠BPD，
∵∠CAP＝∠BDP，
∴∠BPD＝∠BDP，
∴BP＝BD，
∵＝，
∴∠ABD＝∠CDB，
∴PB＝PD，
∴PB＝PD＝BD，
∴△PDB是等边三角形，
∴∠BDP＝∠BPD＝∠APC＝60°，
∴△ACP是等边三角形，
∵AC＝2，PD＝3，CH⊥AP，
∴AH＝PH＝2，BH＝PB+PH＝3，CH＝，
∴BC＝＝，
∵∠CEB＝∠CDB＝60°，EC是直径，
∴∠CBE＝90°，
∴BE＝BC tan30°＝，
∵EC⊥BF，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
∴＝，
∴DG＝BE＝．
17．（1）证明：连接AE，DE
∵AB是直径，
∴AE⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BE＝EC，
∵∠CDB＝90°，DE是斜边BC的中线，
∴DE＝EB，
∴，
即点E是的中点；
（2）设AD＝x，则CD＝2x，
∴AB＝AC＝3x，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD2＝（3x）2﹣x2＝8x2，
在Rt△CDB中，
（2x）2+8x2＝122，
∴，
∴，
即⊙O的半径是3．
18．（1）证明：∵直径CD⊥弦BF，
∴＝，
∵∠AOC＝∠BOD，
∴＝，
∴＝；
（2）解：由圆周角定理得，∠BOD＝2∠DAB，
∵∠DAB＝∠B，
∴∠BOD＝2∠B，
∵CD⊥BF，
∴∠B＝30°．
19．证明：连接OE，如图，
∵OA＝OE，∴∠A＝∠OEA，
∵AE∥CD，∴∠BOD＝∠A，∠DOE＝∠OEA，
∴∠BOD＝∠DOE，
∴BD＝DE．
20．解：（1）如图（1）所示，连接PB，
∵AB是⊙O的直径且P是的中点，
∴∠PAB＝∠PBA＝45°，∠APB＝90°，
又∵在等腰三角形△APB中有AB＝25，
∴PA＝＝；
（2）如图（2）所示：连接BC．OP相交于M点，作PN⊥AB于点N，
∵P点为弧BC的中点，
∴OP⊥BC，∠OMB＝90°，
又因为AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠OMB，
∴OP∥AC，
∴∠CAB＝∠POB，
又因为∠ACB＝∠ONP＝90°，
∴△ACB∽△ONP
∴＝，
又∵AB＝25，AC＝7，OP＝，
代入得 ON＝，
∴AN＝OA+ON＝16，
∴在Rt△OPN中，有NP2＝OP2﹣ON2＝144
在Rt△ANP中 有PA＝＝20
∴PA＝20．