2021-2022学年北师大版九年级数学下册 3.7切线长定理 同步达标测评（word版含解析）

2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3.7切线长定理》同步达标测评（附答案）
一．选择题（共6小题，满分30分）
1．如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝12，则四边形ABCD的周长为（　　）
A．44 B．42 C．46 D．47
2．如图，一个菱形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿此菱形的四边做无滑动旋转，直至回到原出发位置时，这个圆共转了（　　）
A．6圈 B．5圈 C．4.5圈 D．4圈
3．如图，PA，PB分别切⊙O与点A，B，MN切⊙O于点C，分别交PA，PB于点M，N，若PA＝7.5cm，则△PMN的周长是（　　）
A．7.5cm B．10cm C．12.5cm D．15cm
4．如图，直线AB、CD、BC分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，若OB＝6cm，OC＝8cm，则BE+CG的长等于（　　）
A．13 B．12 C．11 D．10
5．如图，△ABC中，∠A＝60°，BC＝6，它的周长为16．若⊙O与BC，AC，AB三边分别切于E，F，D点，则DF的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
6．如图，一把直尺，60°的直角三角板和光盘如图摆放，A为60°角与直尺交点，AB＝3，则光盘的直径是（　　）
A．3 B． C．6 D．
二．填空题（共8小题，满分40分）
7．如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上的一点，CD是⊙O的切线，D为切点，过点B作⊙O的切线交CD于点E，若AB＝CD＝2，则CE＝　 　．
8．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB＝8，AC＝5，则BD的长为　 　．
9．已知⊙O与△ABC的三边AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，如果BC边的长为10cm，AD的长为4cm，那么△ABC的周长为　 　cm．
10．如图，切线PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，切线EF与⊙O相切于点C，且分别交PA、PB于点E、F，若△PEF的周长为6，则线段PA的长为　 　．
11．如图，菱形ABCD，∠B＝60°，AB＝4，⊙O内切于菱形ABCD，则⊙O的半径为　 　．
12．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB＝38°，则∠P＝　 　°．
13．如图，PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于E点，⊙O的半径是r，△PCD周长为4r，则tan∠APB＝　 　．
14．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，点C、D在⊙O上．若∠P＝102°，则∠A+∠C＝　 　．
三．解答题（共6小题，满分50分）
15．已知PA、PB分别切⊙O于A、B，E为劣弧AB上一点，过E点的切线交PA于C、交PB于D．
（1）若PA＝6，求△PCD的周长．
（2）若∠P＝50°求∠DOC．
16．如图，已知直径与等边三角形ABC的高相等的圆与AB和BC边相切于点D和E，与AC边相交于点F和G，求∠DEF的度数．
17．如图，ABCD是一个梯形，AB∥CD，梯形的两腰与上底均与半圆O相切，已知AD＝3，BC＝4，求CD．
18．如图，PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P＝60°．
（1）求∠BAC的度数；
（2）当OA＝2时，求AB的长．
19．如图，边长为1的正方形ABCD的边AB是⊙O的直径，CF是⊙O的切线，E为切点，F点在AD上，BE是⊙O的弦，求△CDF的面积．
20．如图，AB为⊙O直径，PA、PC分别与⊙O相切于点A、C，PQ⊥PA，PQ交OC的延长线于点Q．
（1）求证：OQ＝PQ；
（2）连BC并延长交PQ于点D，PA＝AB，且CQ＝6，求BD的长．
参考答案
一．选择题（共6小题，满分30分）
1．解：∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，
∴AD+BC＝AB+CD＝22，
∴四边形ABCD的周长＝AD+BC+AB+CD＝44，
故选：A．
2．解：∵菱形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等
∴圆在菱形的边上转了4圈
∵圆在菱形的四个顶点处共转了360°，
∴圆在菱形的四个顶点处共转1圈
∴回到原出发位置时，这个圆共转了5圈．
故选：B．
3．解：∵直线PA、PB、MN分别与⊙O相切于点A、B、C，
∴MA＝MC，NC＝NB，
∴△PMN的周长＝PM+PN+MC+NC＝PM+MA+PN+NB＝PA+PB＝7.5+7.5＝15（cm）．
故选：D．
4．解：∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵CD、BC，AB分别与⊙O相切于G、F、E，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠BCD，BE＝BF，CG＝CF，
∴∠OBC+∠OCB＝90°，
∴∠BOC＝90°，
∴BC＝＝10，
∴BE+CG＝10（cm）．
故选：D．
5．解：∵⊙O与BC，AC，AB三边分别切于E，F，D点，
∴AD＝AF，BE＝BD，CE＝CF，
∵BC＝BE+CE＝6，
∴BD+CF＝6，
∵AD＝AF，∠A＝60°，
∴△ADF是等边三角形，
∴AD＝AF＝DF，
∵AB+AC+BC＝16，BC＝6，
∴AB+AC＝10，
∵BD+CF＝6，
∴AD+AF＝4，
∵AD＝AF＝DF，
∴DF＝AF＝AD＝×4＝2，
故选：A．
6．解：设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，
由切线长定理知OA平分∠BAC，
∴∠OAB＝60°，
在Rt△ABO中，OB＝ABtan∠OAB＝3，
∴光盘的直径为6，
故选：D．
二．填空题（共8小题，满分40分）
7．解：∵CD是⊙O的切线，∴CD2＝CB CA，
∵AB＝CD＝2，∴4＝BC（BC+2），解得BC＝﹣1+，
∵CD是⊙O的切线，BE为⊙O的切线，∴∠CBE＝∠CDO＝90°，
∴△BCE∽△DCO，∴＝，
即＝，
解得，CE＝，
故答案为．
8．解：∵AC、AP为⊙O的切线，
∴AC＝AP，
∵BP、BD为⊙O的切线，
∴BP＝BD，
∴BD＝PB＝AB﹣AP＝8﹣5＝3．
故答案为：3．
9．解：∵⊙O与△ABC的三边AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，BC＝10cm，AD＝4cm，
∴AD＝AF＝4cm，BE＝BD，CF＝CE，
即BD+CF＝BE+CE＝BC＝10cm，
∴△ABC的周长是AB+BC+AC＝AD+BD+BC+CF+AF＝4cm+10cm+10cm+4cm＝28cm，
故答案为：28cm．
10．解：∵EA，EC都是圆O的切线，
∴EC＝EA，
同理FC＝FB，PA＝PB，
∴△PEF的周长＝PF+PE+EF＝PF+PE+EA+FB＝PA+PB＝2PA＝6，
∴PA＝3；
故答案为：3．
11．解：设AB和BC上的切点分别为E、F，连接OA、OE、OB、OF，则OE⊥AB，OF⊥BC，
∵⊙O内切于菱形ABCD，
∴OE＝OF，
∴OB平分∠ABC，
∵∠ABC＝60°，
∴∠ABO＝30°，
同理得∠BAO＝60°，
∴∠AOB＝90°，
∴AO＝AB＝2，OB＝2，
∴S△AOB＝AB OE＝AO OB，
4OE＝2×，
OE＝，
故答案为：．
12．解：∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，PA⊥OA，
∴∠PAB＝∠PBA，∠OAP＝90°，
∴∠PBA＝∠PAB＝90°﹣∠OAB＝90°﹣38°＝52°，
∴∠P＝180°﹣52°﹣52°＝76°；
故答案为：76．
13．解：连接BO并延长交PA的延长线于F，连接OA，
∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于E点，
∴PA＝PB，CE＝CA，DE＝DB，
∴PA+PB＝PC+PD+CD＝4r，
∴PA＝PB＝2r，
∵PA，PB切⊙O于A、B，
∴∠FAO＝∠FBP＝90°，又∠AFO＝∠BFP，
∴△FAO∽△FBP，
∴＝＝，
∴FB＝2FA，
∴FA2+r2＝（2FA﹣r）2，
解得，FA＝r，则FB＝r，
∴tan∠APB＝＝，
故答案为：．
14．解：连接AB，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，
∵∠P＝102°，
∴∠PAB＝∠PBA＝（180°﹣102°）＝39°，
∵∠DAB+∠C＝180°，
∴∠PAD+∠C＝∠PAB+∠DAB+∠C＝180°+39°＝219°，
故答案为：219°．
三．解答题（共6小题，满分50分）
15．解：（1）连接OE，
∵PA、PB与圆O相切，
∴PA＝PB＝6，
同理可得：AC＝CE，BD＝DE，
△PCD的周长＝PC+PD+CD＝PC+PD+CE+DE＝PA+PB＝12；
（2）∵PA PB与圆O相切，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°∠P＝50°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，
在Rt△AOC和Rt△EOC中，
，
∴Rt△AOC≌Rt△EOC（HL），
∴∠AOC＝∠COE，
同理：∠DOE＝∠BOD，
∴∠COD＝∠AOB＝65°．
16．解：过点E作BC的垂线与圆交于点H，与AC交于点O．
连接AH和DH，作AM⊥BC，垂足为M．
∵E为切点，∴EH必过圆心，即EH是直径，
∴DH⊥DE，
∵D、E是切点，∴BD＝BE，
∵∠B＝60°，∴△DBE是正三角形，
∴∠BDE＝∠BAC＝60°，
∴DE∥AC，DH⊥AC，
由已知得，AM＝EH，又AM∥EH，∴四边形AMEH是矩形，
∴AH⊥HE，即AH是切线，
∴AD＝AH，AC垂直平分DH，AC必过圆心，
∴AC与EH的交点O是圆心，
∴OE＝OF，
∵∠COE＝90°﹣∠C＝30°，∴∠OEF＝75°，
∵∠DEO＝∠EOC＝30°，
∴∠DEF＝30°+75°＝105°
法二：过点E作BC的垂线与圆交于点H，与AC交于点O．
∵BC为切线
∴O为圆心，OE⊥BC．
∵OE＝OF
∴∠OFE＝∠OEF．
∴∠OEF＝∠C+∠FEC，∠FEC＝∠OEF﹣∠C
又∵∠OEC＝90°，
∴∠OEF+∠FEC＝90°
即2∠OEF﹣∠C＝90°．
∵∠C＝60°，
∴∠OEF＝75°，∠CEF＝15°．
又∵AC∥DE，∠C＝60°，
∴∠DEC＝120°．
∵∠CEF＝15°，
∴∠DEF＝105°
17．解：如图，连接OE、OA、OF、OB、OG，
∵梯形的两腰与上底均与半圆O相切，
∴OE⊥AD，OF⊥AB，OG⊥BC，
∵AB∥CD，
∴OF是梯形ABCD的高，
∴×AD×OE+×AB×OF+×BC×OG＝×（AB+CD）×OF，
∴×（AB+3+4）×OF＝×（AB+CD）×OF，
解得，CD＝7．
18．解：（1）∵PA，PB是⊙O的切线，
∴AP＝BP，
∵∠P＝60°，
∴∠PAB＝60°，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠PAC＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°．
（2）连接OP，则在Rt△AOP中，OA＝2，∠APO＝30°，
∴OP＝4，
由勾股定理得：，
∵AP＝BP，∠APB＝60°，
∴△APB是等边三角形，
∴．
19．解：设AF＝x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB＝90°，
∴DA⊥AB，
∴AD是圆的切线，
∵CF是⊙O的切线，E为切点，
∴EF＝AF＝x，
∴FD＝1﹣x，
∵CB⊥AB，
∴CB 为⊙O 的切线，
∴CB＝CE，
∴CF＝CE+EF＝CB+EF＝1+x．
∴在Rt△CDF中由勾股定理得到：CF2＝CD2+DF2，
即（1+x）2＝1+（1﹣x）2，
解得x＝，
∴DF＝1﹣x＝，
∴S△CDF＝×1×＝．
20．（1）证明：连接OP．
∵PA、PC分别与⊙O相切于点A，C，
∴PA＝PC，OA⊥PA，
∵OA＝OC，OP＝OP，
∴△OPA≌△OPC（SSS），
∴∠AOP＝∠POC，
∵QP⊥PA，
∴QP∥BA，
∴∠QPO＝∠AOP，
∴∠QOP＝∠QPO，
∴OQ＝PQ．
（2）设OA＝r．
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵OB∥QD，
∴∠QDC＝∠B，
∵∠OCB＝∠QCD，
∴∠QCD＝∠QDC，
∴QC＝QD＝6，∵QO＝QP，
∴OC＝DP＝r，
∵PC是⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∴∠OCP＝∠PCQ＝90°，
在Rt△PCQ中，∵PQ2＝PC2+QC2，
∴（6+r）2＝62+（2r）2，
r＝4或0（舍弃），
∴OP＝＝4，
∵OB＝PD，OB∥PD，
∴四边形OBDP是平行四边形，
∴BD＝OP＝4．