2021-2022学年高一下学期北师大版（2019）必修第二册1.2.1角的概念推广、1.2.2象限角及其表示 课件(共32张PPT)

(共32张PPT)
§ 2.1　角的概念推广
2.2　象限角及其表示
北师大（2019）必修2
聚焦知识目标
1.理解正角、负角和零角的概念。
2.掌握象限角的特征及其表示方法。
3.理解终边相同的角的概念,会表示终边相同的角的集合
数学素养
1.通过角的概念的学习，逐步培养数学抽象素养．
2．借助角的表示，培养逻辑推理素养.
环节一
问题情境
情境引入
1. 观看过山车的运动.
3. 钟表秒针的转动.
2. 体操运动员的转体动作.
思考
1. 如果过山车两边各站一人,当过山车转了两周时,他们观察到的车上的某个座位上的游客进行了怎样的旋转,旋转了多大的角
2. 在运动员"转体一周半动作"中,运动员是按什么方向旋转的,转了多大角
3. 钟表上的秒针(当时间过了 1.5min 时)是按什么方向转动的,转动了多大角
显然,这些角超出了我们已有的认识范围.本节课将在已掌握的 0°~360°角的范围
的基础上,把角的概念加以推广,为进一步研究三角函数作好准备.
环节二
角的概念推广
角的概念
平面内一条射线OA绕着它的端点O按箭头所示方向旋转到终止位置OB,形成角α.其中点O是角α的顶点,射线OA是角α的始边,射线OB是角α的终边.
角的分类
1.在不引起混淆的前提下,“角α”或“∠α”可以简记成“α”.
2.角的范围由0°~360°推广到任意角后,角的加减运算就类似于实数的加减运算.
角的分类
1.用任意角表示下列各角:
(1)顺时针拧螺丝1圈转过的角为　　　　;
(2)将时钟拨慢2 h,分针转过的角为　　　　.
思考
答案(1)-360°　(2)720°
角的分类
下列说法正确的是(　　)
A.最大角是180°
B.最大角是360°
C.角不可以是负的
D.角可以任意大小
思考
解析由角的定义,角可以是任意大小的.故选D
环节三
象限角
象限角
1.在角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合的前提下,才能对象限角进行定义,否则不能判断角的终边在哪一个象限,也就不能称作象限角.
2.若角的终边落在坐标轴上,则这个角不属于任何象限.
当角的顶点与坐标原点重合、角的始边与 x 轴正半轴重合时,角的终边在第几象限,就把这个角叫作第几象限的角.如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限.
说明
象限角
下列各角是第三象限角的是(　　)　　　　　　　　　　　　　
A.15° B.105°
C.215° D.315°
当角的顶点与坐标原点重合、角的始边与 x 轴正半轴重合时,角的终边在第几象限,就把这个角叫作第几象限的角.如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限.
思考
解析因为215°=180°+35°,所以215°是第三象限的角.故选C.
环节四
终边相同的角
终边相同的角
一般地,给定一个角α,所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任何一个与角α终边相同的角,都可以表示成角α与周角的整数倍的和.
集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}要注意以下几点:
(1)式中角α为任意角;
(2)k∈Z这一条件必不可少;
(3)k·360°与α之间是“+”,如k·360°-30°应看成k·360°+(-30°),即与-30°角终边相同;
(4)当α与β的终边相同时,α-β=k·360°(k∈Z),反之亦然.
说明
终边相同的角
一般地,给定一个角α,所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任何一个与角α终边相同的角,都可以表示成角α与周角的整数倍的和.
60°,-660°,-300°,420°,780°的角的终边有什么关系
思考
相同.-660°=60°-2×360°,-300°=60°-360°,
420°=60°+360°,780°=60°+2×360°.
环节五
角的概念辩析
一、角的概念辨析
例1下列命题中,是真命题的是(　　)
A.终边与始边重合的角是零角
B.终边和始边都相同的两个角一定相等
C.象限角为钝角的终边在第二象限
D.小于90°的角是锐角
解析终边与始边重合的角还可能是360°,720°,故A错;终边和始边都相同的两个角可能相差360°的整数倍,如30°与-330°,故B错;钝角的范围是(90°,180°),钝角的终边在第二象限,C正确;小于90°的角可以是零角,也可以是负角,故D错误.故选C.
答案C
一、角的概念辨析
例2.下列命题正确的是(　　)
A．终边在x轴非正半轴上的角是零角
B．第二象限角一定是钝角
C．第四象限角一定是负角
D．若β＝α＋k 360°(k∈Z)，则α与β终边相同
终边在x轴非正半轴上的角为k 360°＋180°，k∈Z，零角为0°，所以A错误；
480°角为第二象限角，但不是钝角，所以B错误；
285°角为第四象限角，但不是负角，所以C错误，故选D．
环节六
终边相同的角
二、终边相同的角
例3. （1）下列各组角中，终边相同的是(　　)
A．495°和－495°　　B．1 350°和90°
C．－220°和140° D．540°和－810°
解∵－220°＝－360°＋140°，∴－220°与140°终边相同．
（2）写出与25°角终边相同的角的集合，并求出该集合中满足不等式－1 080°≤ β＜－360°的角β.
[解]　与25°角终边相同的角的集合为S＝{β|β＝k 360°＋25°，k∈Z}．
令k＝－3，则有β＝－3×360°＋25°＝－1 055°，符合条件；
令k＝－2，则有β＝－2×360°＋25°＝－695°，符合条件；
令k＝－1，则有β＝－1×360°＋25°＝－335°，不符合条件．
故符合条件的角有－1 055°，－695°.
环节七
象限角
象限角
例4. （1）2 020°是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
2 020°＝5×360°＋220°，故2 020°是第三象限角．
（2）若α是第四象限角，则180°－α是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
可以给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．
（3）若α＝k 360°＋45°，k∈Z，则 是第________象限角．
∵α＝k 360°＋45°，k∈Z，∴＝k 180°＋22.5°，k∈Z.
当k为偶数，即k＝2n，n∈Z时，
＝n 360°＋22.5°，n∈Z，∴为第一象限角；
当k为奇数，即k＝2n＋1，n∈Z时，
＝n 360°＋202.5°，n∈Z，∴为第三象限角．
综上，α2是第一或第三象限角．
环节八
角的表示综合应用
角的表示综合应用
例5.（1）集合M＝{x|x＝ ±45°，k∈Z}，
N＝{x|x＝±90°，k∈Z}，则M、N之间的关系为(　　)
A．M＝N B．M N
C．M N D．M∩N＝ ?
对集合M来说，x＝(2k±1) 45°，即45°的奇数倍；对集合N来说，x＝(k±2) 45°，即45°的倍数．选B.
角的表示综合应用
例5.（2）在直角坐标系中，若α与β的终边互相垂直，则α与β的关系为(　　)
A．β＝ α＋90°
B．β＝ α±90°
C．β＝ α＋90°－k 360°，k∈Z.
D．β＝ α±90°＋k 360°，k∈Z.
∵α与β的终边互相垂直，
∴β－α＝±90°＋k 360°，k∈Z，
∴β＝α±90°＋k 360°，k∈Z。选D
角的表示综合应用
例5.（3）已知角β的终边在直线 x－y＝0上．
(1)写出角β的集合S；
(2)写出集合S中适合不等式－360°<β<720°的元素．
[解]　(1)如图，直线x－y＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°范围内，终边落在射线OA上的角是60°，终边落在射线OB上的角是240°，所以以射线OA，OB为终边的角的集合分别为
角的表示综合应用
例5.（3）已知角β的终边在直线 x－y＝0上．
(1)写出角β的集合S；
(2)写出集合S中适合不等式－360°<β<720°的元素．
S1＝{β|β＝60°＋k 360°，k∈Z}，
S2＝{β|β＝240°＋k 360°，k∈Z}，
所以角β的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝60°＋k 360°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋180°＋k 360°，k∈Z}
＝{β|β＝60°＋2k 180°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋(2k＋1) 180°，k∈Z}
＝{β|β＝60°＋n 180°，n∈Z}．
角的表示综合应用
例5.（3）已知角β的终边在直线 x－y＝0上．
(1)写出角β的集合S；
(2)写出集合S中适合不等式－360°<β<720°的元素．
(2)由于－360°<β<720°，即－360°<60°＋n 180°<720°，n∈Z.解得－7360°＋0×180°＝60°；60°＋1×180°＝240°；
60°＋2×180°＝420°；60°＋3×180°＝600°.
∴S＝{－300°，－120°，60°，240°，420°，600°}.
课堂小结
1．核心要点
1.理解正角、负角和零角的概念。
2.掌握象限角的特征及其表示方法。
3.理解终边相同的角的概念,会表示终边相同的角的集合
2．数学素养
1.通过角的概念的学习，逐步培养数学抽象素养．
2．借助角的表示，培养逻辑推理素养.
胡琪老师制作