2021-2022学年度高二上学期人教A版（2019）选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程章末单元练习（Word含答案解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年度高二上学期人教A版（2019）选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程章末单元练习（Word含答案解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 705.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-14 14:46:46 | ||
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文档简介
人教A版（2019）选择性必修一圆锥曲线方程单元练习
一、单选题
1．双曲线的焦点坐标为（ ）
A．， B．
C． D．
2．已知曲线C：mx2＋ny2＝1，下列结论不正确的是（ ）
A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为
C．若mn＜0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±x
D．若m＝0，n＞0，则C是两条直线
3．已知双曲线：的右焦点为，直线与交于，两点（点在第一象限），线段的中点为，为坐标原点．若，，则的两条渐近线的斜率之积为（ ）
A． B．
C． D．
4．抛物线的顶点在坐标原点，开口向上，其准线经过双曲线－＝1的一个顶点，则此抛物线的标准方程为（ ）
A．x2＝8y B．x2＝12y
C．y2＝8x D．y2＝12x
5．如图所示的为陕西博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线的右支与轴及平行于轴的两条直线围成的曲边四边形绕轴旋转一周得到的几何体．若该金杯主体部分的上杯口外直径为，下底座外直径为，杯高为，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的倍，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知点，分别为椭圆的左、右焦点，点在直线上运动，若的最大值为，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．已知倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于,两点， 直线，作于点，于点，则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
8．方程表示的曲线为，下列正确的命题是（ ）
A．曲线不可能是圆；
B．若，则曲线为椭圆；
C．若曲线为双曲线，则或；
D．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则.
第II卷（非选择题）
三、填空题
9．已知椭圆的两个焦点分别为，，，点在椭圆上，若，且的面积为4，则椭圆的标准方程为______．
10．已知，为双曲线上关于原点对称的两点，在第一象限，点与点关于轴对称，，直线交双曲线右支于点，若，则___________.
四、解答题
11．已知椭圆C：=1(a>b>0)的焦点F在直线上，离心率为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若O为坐标原点，过点M(0，2)作直线l交椭圆C于A、B两点，求△AOB面积的最大值.
12．已知点，直线，动点到点的距离等于它到直线的距离.
（1）试判断点的轨迹的形状，并写出其方程；
（2）点在曲线上，若点的坐标为，求的最小值；
（3）过作直线与曲线交于，两点（点在第一象限），若，求弦的长度.
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页
参考答案
1．D
在双曲线中，，，则.
因此，双曲线的焦点坐标为、.
故选：D.
2．B
对于A，当m＞n＞0时，有，
方程化为，表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；
对于B，由m＝n＞0，方程变形为，
该方程表示半径为的圆，故B错误；
对于C，由mn＜0知曲线表示双曲线，其渐近线方程为，故C正确；
对于D，当m＝0，n＞0时，方程变为ny2＝1表示两条直线，故D正确．
故选：B.
3．B
如图，设双曲线的左焦点为，连接，
根据双曲线与直线的对称性，知．
因为，，线段的中点为，
所以，
且，
所以．
根据双曲线的定义，知，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以双曲线的两条渐近线的斜率之积为，
故选：B．
4．A
因为双曲线－＝1，
所以双曲线的下顶点为(0，－2)，
因为抛物线的准线过，
所以＝－2，
解得p＝4，
所以抛物线的方程为x2＝2py，即x2＝8y．
故选：A
5．A
设金杯主体部分的上口外直径为，下底座外直径为，杯高为，且杯身最细处到上杯口的距离是到下底座距离的倍．
所以，，，且、都在双曲线上，
所以，，解得，则，则，
故选：A．
6．C
由题意知，，，直线为，设直线，的倾斜角分别为，，
由椭圆的对称性，不妨设为第二象限的点，即，，则，.
，
当且仅当，即时取等号，又得最大值为，
，即，整理得，故椭圆的的离心率是.
故选：C.
7．BCD
设准线与x轴的交点为E,连接MF,NF,如图由抛物线的定义可得，,由题意可得，,在Rt△EFM中，，在△ 中， ，同理可得，，所以，故A错误，B,D正确；在△ MNF中，,所以，所以，故D正确.
故选：BCD
8．CD
①，当时为曲线C为圆,故A错误；
②若C为椭圆得：解得： 且，故B错误；
③若为双曲线，解得；或，故C正确；
④表示焦点在轴上的椭圆，得 解得，故D正确．
故选：.
9．
由题可知，∴,
又，代入上式整理得，
由得为直角三角形．
又的面积为4，设，，
则解得
所以椭圆的标准方程为．
10．
解：设，则．
由，得，从而有，
又，所以，
又由，
从而得到所以，
所以．
故答案为：
11．（1）由和解得，即可求得椭圆的方程；
（2）设出直线AB的方程代入椭圆方程，利用一元二次方程跟与系数关系得出交点纵坐标的关系，继而表示△OAB的面积，利用基本不等式求最值．
（1）
设F(c，0)，则知c=1，离心率，知a=c，
由，从而a=，b=1，
所以椭圆C的方程为.
（2）
设，由题意可设直线AB的方程为y=kx+2，
由消去y并整理，得，
由，得，
由韦达定理，得， ，
因为点O到直线AB的距离为d=，|AB|=，
所以S△AOB=|AB|·d=，
设，由，知t>0，
于是S△AOB=，
由t+≥8，得S△AOB≤，当且仅当t=4，时等号成立，
所以△AOB面积的最大值为.
12．（1）
由抛物线的定义可知，点的轨迹是以F为焦点为准线的抛物线，因此点的轨迹为抛物线，方程为
（2）
如图，过M做准线的垂线，记垂足为P，由抛物线的定义可知,
所以,显然当三点共线时取最小值，此时，故的最小值为5
（3）
如图，过分别作准线的垂线，记垂足分别为，再过作的垂线记垂足为.
由抛物线的定义可知同时又因为，
故 且
设直线的倾斜角为，易知 所以,
由焦点弦公式
所以弦的长度为
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
一、单选题
1．双曲线的焦点坐标为（ ）
A．， B．
C． D．
2．已知曲线C：mx2＋ny2＝1，下列结论不正确的是（ ）
A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为
C．若mn＜0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±x
D．若m＝0，n＞0，则C是两条直线
3．已知双曲线：的右焦点为，直线与交于，两点（点在第一象限），线段的中点为，为坐标原点．若，，则的两条渐近线的斜率之积为（ ）
A． B．
C． D．
4．抛物线的顶点在坐标原点，开口向上，其准线经过双曲线－＝1的一个顶点，则此抛物线的标准方程为（ ）
A．x2＝8y B．x2＝12y
C．y2＝8x D．y2＝12x
5．如图所示的为陕西博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线的右支与轴及平行于轴的两条直线围成的曲边四边形绕轴旋转一周得到的几何体．若该金杯主体部分的上杯口外直径为，下底座外直径为，杯高为，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的倍，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知点，分别为椭圆的左、右焦点，点在直线上运动，若的最大值为，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．已知倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于,两点， 直线，作于点，于点，则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
8．方程表示的曲线为，下列正确的命题是（ ）
A．曲线不可能是圆；
B．若，则曲线为椭圆；
C．若曲线为双曲线，则或；
D．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则.
第II卷（非选择题）
三、填空题
9．已知椭圆的两个焦点分别为，，，点在椭圆上，若，且的面积为4，则椭圆的标准方程为______．
10．已知，为双曲线上关于原点对称的两点，在第一象限，点与点关于轴对称，，直线交双曲线右支于点，若，则___________.
四、解答题
11．已知椭圆C：=1(a>b>0)的焦点F在直线上，离心率为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若O为坐标原点，过点M(0，2)作直线l交椭圆C于A、B两点，求△AOB面积的最大值.
12．已知点，直线，动点到点的距离等于它到直线的距离.
（1）试判断点的轨迹的形状，并写出其方程；
（2）点在曲线上，若点的坐标为，求的最小值；
（3）过作直线与曲线交于，两点（点在第一象限），若，求弦的长度.
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页
参考答案
1．D
在双曲线中，，，则.
因此，双曲线的焦点坐标为、.
故选：D.
2．B
对于A，当m＞n＞0时，有，
方程化为，表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；
对于B，由m＝n＞0，方程变形为，
该方程表示半径为的圆，故B错误；
对于C，由mn＜0知曲线表示双曲线，其渐近线方程为，故C正确；
对于D，当m＝0，n＞0时，方程变为ny2＝1表示两条直线，故D正确．
故选：B.
3．B
如图，设双曲线的左焦点为，连接，
根据双曲线与直线的对称性，知．
因为，，线段的中点为，
所以，
且，
所以．
根据双曲线的定义，知，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以双曲线的两条渐近线的斜率之积为，
故选：B．
4．A
因为双曲线－＝1，
所以双曲线的下顶点为(0，－2)，
因为抛物线的准线过，
所以＝－2，
解得p＝4，
所以抛物线的方程为x2＝2py，即x2＝8y．
故选：A
5．A
设金杯主体部分的上口外直径为，下底座外直径为，杯高为，且杯身最细处到上杯口的距离是到下底座距离的倍．
所以，，，且、都在双曲线上，
所以，，解得，则，则，
故选：A．
6．C
由题意知，，，直线为，设直线，的倾斜角分别为，，
由椭圆的对称性，不妨设为第二象限的点，即，，则，.
，
当且仅当，即时取等号，又得最大值为，
，即，整理得，故椭圆的的离心率是.
故选：C.
7．BCD
设准线与x轴的交点为E,连接MF,NF,如图由抛物线的定义可得，,由题意可得，,在Rt△EFM中，，在△ 中， ，同理可得，，所以，故A错误，B,D正确；在△ MNF中，,所以，所以，故D正确.
故选：BCD
8．CD
①，当时为曲线C为圆,故A错误；
②若C为椭圆得：解得： 且，故B错误；
③若为双曲线，解得；或，故C正确；
④表示焦点在轴上的椭圆，得 解得，故D正确．
故选：.
9．
由题可知，∴,
又，代入上式整理得，
由得为直角三角形．
又的面积为4，设，，
则解得
所以椭圆的标准方程为．
10．
解：设，则．
由，得，从而有，
又，所以，
又由，
从而得到所以，
所以．
故答案为：
11．（1）由和解得，即可求得椭圆的方程；
（2）设出直线AB的方程代入椭圆方程，利用一元二次方程跟与系数关系得出交点纵坐标的关系，继而表示△OAB的面积，利用基本不等式求最值．
（1）
设F(c，0)，则知c=1，离心率，知a=c，
由，从而a=，b=1，
所以椭圆C的方程为.
（2）
设，由题意可设直线AB的方程为y=kx+2，
由消去y并整理，得，
由，得，
由韦达定理，得， ，
因为点O到直线AB的距离为d=，|AB|=，
所以S△AOB=|AB|·d=，
设，由，知t>0，
于是S△AOB=，
由t+≥8，得S△AOB≤，当且仅当t=4，时等号成立，
所以△AOB面积的最大值为.
12．（1）
由抛物线的定义可知，点的轨迹是以F为焦点为准线的抛物线，因此点的轨迹为抛物线，方程为
（2）
如图，过M做准线的垂线，记垂足为P，由抛物线的定义可知,
所以,显然当三点共线时取最小值，此时，故的最小值为5
（3）
如图，过分别作准线的垂线，记垂足分别为，再过作的垂线记垂足为.
由抛物线的定义可知同时又因为，
故 且
设直线的倾斜角为，易知 所以,
由焦点弦公式
所以弦的长度为
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