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4.4 对数函数
【学习要求】
1.理解对数函数的概念.
2.初步掌握对数函数的图象和性质．
【思维导图】
【知识梳理】
1．对数函数的定义：一般地，我们把函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).
【注】(1)由于指数函数y＝ax中的底数a满足a＞0，且a≠1，则对数函数y＝logax中的底数a也必须满足a＞0，且a≠1.
(2)对数函数的解析式同时满足：①对数符号前面的系数是1；②对数的底数是不等于1的正实数(常数)；③对数的真数仅有自变量x.
2．对数函数的图象和性质
一般地，对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象和性质如下表所示：
a＞1 0＜a＜1
图象
性质 定义域：(0，＋∞)
值域：R
图象过定点(1,0)，即当x＝1时，y＝0
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
非奇非偶函数
3.反函数：对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)和指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
4．对数型复合函数的单调性
复合函数y＝f[g(x)]是由y＝f(x)与y＝g(x)复合而成，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为增函数；若f(x)与g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为减函数.
对于对数型复合函数y＝logaf(x)来说，函数y＝logaf(x)可看成是y＝logau与u＝f(x)两个简单函数复合而成的，由复合函数单调性“同增异减”的规律即可判断．另外，在求复合函数的单调区间时，首先要考虑函数的定义域．
5．对数型复合函数的值域
对于形如y＝logaf(x)(a>0，且a≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下：
(1)分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数；
(2)解f(x)>0，求出函数的定义域；
(3)求u的取值范围；
(4)利用y＝logau的单调性求解．
【高频考点】
高频考点1. 对数函数、对数型函数的定义域
【方法点拨】根据对数函数的定义，结合具体条件，进行求解即可.
【例1】（1）（2021·奉新县第一中学高一月考）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
（2）．（2021·江苏）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
（3）（2021·山东高一课前预习）若函数的定义域为，则（ ）
A．1 B．－1 C．2 D．无法确定
【变式1-1】（2021 重庆期末）函数f（x）＝log2（3+2x﹣x2）的定义域为（ ）
A．[﹣1，3] B．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） C．（﹣1，3） D．（﹣1，+∞）∪[3，+∞）
【变式1-2】（2021 上高县校级月考）已知函数f（x），则f（x）的定义域为（ ）
A．（﹣∞，1）∪（1，+∞） B．（﹣∞，1）∪[2，+∞）
C．（1，] D．（﹣∞，1）∪（，+∞）
【变式1-3】（2021·四川自贡·）函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-4】（2021·陕西宝鸡市·高一期末）若函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
高频考点2. 对数函数、对数型函数的值域
【方法点拨】求对数函数或对数型函数的值域，主要依据对数函数的单调性，来求得函数值域.
【例2】（1）（2021·浙江高一单元测试）已知，则函数的值域是 。
（2）（2021·上海高一课时练习）函数的值域为_________．
（3）．（2021·重庆高一期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是 ．
（4）（2021·全国高一课时练习）已知函数的值域为，则实数a的取值范围是 ．
【变式2-1】（2021 华容县期末）已知函数f（x）＝2x的值域为[﹣1，1]，则函数f（x）的定义域是（ ）
A．[，] B．[﹣1，1] C．[，2] D．（﹣∞，]∪[，+∞）
【变式2-2】（2021 雨花区期末）函数y＝2+log2x（x≥1）的值域为（ ）
A．（2，+∞） B．（﹣∞，2） C．[2，+∞） D．[3，+∞）
【变式2-3】（2021·安徽芜湖一中高一月考）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-4】（2021·河北秦皇岛一中高一期末）已知且，若函数的值域为[1，+∞），则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
高频考点3. 对数（型）函数的单调性问题
【方法点拨】1）掌握对数函数的单调性；2）掌握复合函数的单调性判定规则（同增异减）。
【例2】（1）（2021·湖南省邵东市第三中学高一月考）下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
（2）（2021·山东高一课时练习）函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
（3）（2021·新疆维吾尔自治区阿克苏地区第二中学高一期末）函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
（4）（2021·河北高一专题练习）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C．或 D．或
【变式2-1】（2021·广东高一单元测试）下列函数在其定义域内为减函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2021·四川眉山市·仁寿一中高一开学考试）函数的单调递减区间为___________.
【变式2-3】（2021·云南高一期末）若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围为__________．
【变式2-4】（2021·全国高一专题练习）已知函数（，且）在上是减函数，则实数a的取值范围是________．
高频考点4. 对数式的大小比较
【方法点拨】比较对数值的大小，主要依据对数函数的单调性，同底时可直接利用相应的对数函数比较大小；不同底时，可借助中间量进行比较.
【例4】（1）（2021·全国）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
（2）（2021·广西南宁三中）已知奇函数在上是增函数，若，，，则的大小关系为
A． B． C． D．
【变式4-1】（2021秋 鼓楼区校级期中）已知，b＝log32，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a
【变式4-2】（2021·江苏高一开学考试）已知，，，则，，的大小关系为
A． B． C． D．
【变式4-3】（2021·河北沧州市一中高一开学考试）已知，，，则的大小关系为
A． B． C． D．
【变式4-4】（2021秋 安徽期中）已知0＜a＜b＜1，设m＝blna，n＝alnb，，则m，n，p的大小关系为（ ）
A．m＜n＜p B．n＜m＜p C．p＜m＜n D．p＜n＜m
高频考点5 . 解对数不等式
【方法点拨】对数不等式的三种考查类型：(1)形如m>n的不等式，借助y=x的单调性求解.(2)形如m>b的不等式，应将b化成以a为底数的对数式的形式(b=)，再借助y=x的单调性求解.(3)形如 > (f(x),g(x)>0且不等于1,a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解.
【例5】（1）（2021·全国高一专题练习）不等式log(5＋x)（2）（2021·运城市新康国际实验学校高一开学考试）设函数，则使得成立的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2021秋 辽源期末）不等式log3（2x﹣1）≤1的解集为 ．
【变式5-2】（2021 思明区校级期中）已知函数f（x）满足f（x﹣1）＝lgx，则不等式f（x）＜0的解集为（ ）
A．（﹣∞，1） B．（1，2） C．（﹣∞，0） D．（﹣1，0）
【变式5-3】（2021春 咸宁期末）已知对数函数f（x）的图象过点（4，﹣2），则不等式f（x﹣1）﹣f（x+1）＞3的解集 ．
【变式5-4】（2021·安徽省亳州市第一中学高一月考）已知函数是奇函数，则的解集为_______．
高频考点6. 对数函数的图象及应用
【方法点拨】①对数函数图象的识别：对于所给函数解析式，研究函数的单调性、特殊值等，利用排除法，得出正确的函数图象.
②对数函数图象的应用：对于与对数函数、对数型函数有关的函数的作图问题，一般宜用变换作图法作图，这样有利于从整体上把握函数的性质，从而利用对数函数的图象来比较大小、解不等式、求最值等.
【例6】（2021·广东广州·高一期末）已知函数，，的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（2021 石嘴山模拟）如图，①②③④中不属于函数y＝log2x，y＝log0.5x，y＝﹣log3x的一个是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【变式6-2】（2021 成都期中）函数y＝loga（x+1）（a＞0，且a≠1）与函数y＝x2﹣2ax+1在同一直角坐标系中的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-3】（2021·全国高一专题练习）设幂函数，指数函数，对数函数在同一坐标系中的图象如下图所示，则它们之间的大小关系错误的是（ ）.
A． B．
C． D．
【变式6-4】（2021 南山区校级月考）如图，直线x＝m（m＞1）依次与曲线y＝logax、y＝logbx及x轴相交于点A、点B及点C，若B是线段AC的中点，则（ ）
A．1＜b≤2a﹣1 B．b＞2a﹣1 C．1＜b≤2a D．b＞2a
高频考点7 . 对数型复合函数性质的应用
【方法点拨】借助对数函数的图象和性质来研究对数型复合函数的性质，再结合具体问题，进行求解即可.
【例7】（2020春 丽江期末）已知函数f（x）＝log4（ax2+2x+3）．
（1）若f（x）定义域为R，求a的取值范围；（2）若f（1）＝1，求f（x）的单调区间；
（3）是否存在实数a，使f（x）的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
【变式7-1】（2021.广东高一月考）已知函数.
（1）当时，求；（2）求解关于的不等式；
（3）若恒成立，求实数的取值范围.
【变式7-2】（2021.山东高一期中）已知函数f（x）＝lg（ax﹣bx），a＞1＞b＞0（1）求f（x）的定义域；（2）在函数f（x）的图象上是否存在不同的两点，使过这两点的直线平行于x轴；
（3）当a，b满足什么条件时，f（x）在（1，+∞）上恒取正值．
【变式7-3】（2020 玉林期中）函数y＝lg（3﹣4x+x2）的定义域为M，函数f（x）＝4x﹣2x+1（x∈M）．
（1）求函数f（x）的值域；（2）当x∈M时，关于x方程4x﹣2x+1＝b（b∈R）有两不等实数根，求b的取值范围．
【变式7-4】（2021秋 慈利县期中）已知函数f（x）＝loga（1+ax）（a＞0，a≠1）．
（1）设g（x）＝f（x）﹣log2（1﹣2x），当a＝2时，求函数g（x）的定义域，判断并证明函数g（x）的奇偶性；（2）是否存在实数a，使函数f（x）在[﹣4，﹣2]上单调递减，且最小值为1？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
高频考点8 . 对数函数的实际应用
【方法点拨】从实际问题出发，建立对数（型）函数模型，借助对数函数的图象和性质进行解题，注意要满足实际条件.
【例8】（2021秋 仁寿县校级期中）20世纪30年代，里克特（C．F．Richter）制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大．这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为：M＝lgA﹣lgA0，其中，A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）．（1）假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级（精确到0.1）；（2）5级地震给人的震感已比较明显，计算8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍？
（以下数据供参考：lg2≈0.3010，lg3≈0.4770）
【变式6-1】（2021·重庆高三模拟）我国航天技术的迅猛发展与先进的运载火箭技术密不可分.据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式计算火箭的最大速度()，其中()是喷流相对速度，()是火箭(除推进剂外)的质量，()是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”.已知甲型火箭的总质比为400，经过材料更新和技术改进后，甲型火箭的总质比变为原来的，喷流相对速度提高了，最大速度增加了900()，则甲型火箭在材料更新和技术改进前的喷流相对速度为（ ）(参考数据：，)
A． B． C． D．
【变式6-2】（2021·福建南平市·高三二模）克劳德·香农是美国数学家、信息论的创始人，他创造的香农定理对通信技术有巨大的贡献．技术的数学原理之一便是著名的香农公式：．它表示：在受噪声干挠的信道中，最大信息传递速率取决于信道带宽、信道内信号的平均功率、信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比．按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升至4000，则大约增加（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】（2021 杭州期中）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数，单位是m/s，其中O表示鱼的耗氧量的单位数．
（1）当一条鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是多少？
（2）某条鱼想把游速提高1m/s，那么它的耗氧量的单位数将如何变化？
【变式6-4】在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v（单位：m/s）和燃料的质量M（单位：kg）、火箭（除燃料外）的质量m（单位：kg）的函数关系是v＝2000ln（1）．当燃料质量是火箭质量的百分之几时，火箭的最大速度可达到12km/s？
【课后训练】
全卷共22题 满分：150分 时间：120分钟
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2021·江苏高一专题练习）下列函数是对数函数的是
A． B． C． D．
2．（2021·北京市第四中学顺义分校高一期末）函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·河北石家庄·高一期末）已知函数在上的值域为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·重庆）设，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5.（2021秋 河北月考）函数y的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
6.（2021 榆林一模）已知定义域为R的偶函数f（x）在（﹣∞，0]上是减函数，且2，则不等式f（log4x）＞2的解集为（ ）
A． B．（2，+∞） C． D．
7．（2021 仙游县校级期中）函数f（x）的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
8．（2021 缙云县校级期末）若函数f（x）＝loga（x2﹣ax+5），（a＞0，a≠1）满足对任意的x1，x2，当x1＜x2时f（x1）﹣f（x2）＞0，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＞1 B．0＜a＜2 C．0＜a＜1 D．1＜a＜2
二 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2021 沙坪坝区校级月考）设a＝50.6，b＝0.65，c＝log0.60.5，d＝log50.6，则在a，b，c，d这4个数中（ ）
A．最大数为a B．最小数为b C．最大数为c D．最小数为d
10．（2021春 浙江期中）已知函数f（x）＝|lgx|，则（ ）
A．f（x）是偶函数 B．f（x）值域为[0，+∞）
C．f（x）在[0，+∞）上递增 D．f（x）有一个零点
11．（2021秋 三元区校级月考）已知logb2021＞loga2021＞0，则下列结论正确的是（ ）
A．0.2a＜0.2b B． C．lnb﹣b＞lna﹣a D．若m＞0，则
12．（2021 沭阳县校级月考）如果函数f（x）＝loga|x﹣1|在（0，1）上是减函数，那么（ ）
A．f（x）在（1，+∞）上递增且无最大值 B．f（x）在（1，+∞）递减且无最小值
C．f（x）在定义域内是偶函数 D．f（x）的图象关于直线x＝1对称
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2021·上海高一期中）函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中、，则的最小值为____________.
14．（2021 广州月考）已知函数f（x）＝|ln（x+1）﹣1|，若a＞b且f（a）＝f（b），则a+b的取值范围是 ．
15．（2021·广东阳江·高一期末）函数的值域为R，则的取值范围是________.
16．（2021秋 裕安区校级月考）已知函数f（x）＝loga（2x﹣a）在区间上恒有f（x）＞0，则实数a的取值范围为 ．
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17．（2021秋 邢台月考）设，比校a、b、c的大小，并说明理由．
18．（2021 西湖区校级模拟）已知函数f（x）＝log2（x+1）﹣2．
（1）若f（x）＞0，求x的取值范围．（2）若x∈（﹣1，3]，求f（x）的值域．
19．（2021秋 金台区期中）已知函数f（x）＝logax（a＞0，且a≠1）在区间上的最大值为2．
（1）求a的值；（2）如果0＜a＜1，求使f（f（x）﹣2）＞0成立的x的取值范围．
20.（2021·上海格致中学高三三模）“弗格指数”是用来衡量地区内居民收益差距的一个经济指标，其中b是该地区的最低保障收入系数，a是该地区收入中位系数，x是该地区收入均值系数，经换算后，a、b、x都是大于1的实数，当时，该地区收入均衡性最为稳定.
（1）指出函数的定义域与单调性（不用证明），并说明其实际意义，经测算，某地区的“弗格指数”为0.89，收入均值系数为3.15，收入中位系数为2.17，则该地区的最低保障收入系数为多少（精确到0.01）？（2）要使该地区收入均衡性最为稳定，求该地区收入均值系数的取值范围（用a、b表示）.
21．（2021 莲湖区校级期中）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且x≤0时，f（x）（﹣x+1）
（1）求f（3）+f（﹣1）；（2）求函数f（x）的解析式；（3）若f（a﹣1）＜﹣1，求实数a的取值范围．
22．（2021秋 潍坊月考）如图，已知过原点O的直线与函数y＝log8x的图像交于A，B两点，分别过点A，B作y轴的平行线与函数y＝log2x的图像交于C，D两点．（1）证明O，C，D三点在同一条直线上；（2）当BC∥x轴时，求A点的坐标．
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4.4 对数函数
【学习要求】
1.理解对数函数的概念.
2.初步掌握对数函数的图象和性质．
【思维导图】
【知识梳理】
1．对数函数的定义：一般地，我们把函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).
【注】(1)由于指数函数y＝ax中的底数a满足a＞0，且a≠1，则对数函数y＝logax中的底数a也必须满足a＞0，且a≠1.
(2)对数函数的解析式同时满足：①对数符号前面的系数是1；②对数的底数是不等于1的正实数(常数)；③对数的真数仅有自变量x.
2．对数函数的图象和性质
一般地，对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象和性质如下表所示：
a＞1 0＜a＜1
图象
性质 定义域：(0，＋∞)
值域：R
图象过定点(1,0)，即当x＝1时，y＝0
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
非奇非偶函数
3.反函数：对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)和指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
4．对数型复合函数的单调性
复合函数y＝f[g(x)]是由y＝f(x)与y＝g(x)复合而成，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为增函数；若f(x)与g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为减函数.
对于对数型复合函数y＝logaf(x)来说，函数y＝logaf(x)可看成是y＝logau与u＝f(x)两个简单函数复合而成的，由复合函数单调性“同增异减”的规律即可判断．另外，在求复合函数的单调区间时，首先要考虑函数的定义域．
5．对数型复合函数的值域
对于形如y＝logaf(x)(a>0，且a≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下：
(1)分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数；
(2)解f(x)>0，求出函数的定义域；
(3)求u的取值范围；
(4)利用y＝logau的单调性求解．
【高频考点】
高频考点1. 对数函数、对数型函数的定义域
【方法点拨】根据对数函数的定义，结合具体条件，进行求解即可.
【例1】（1）（2021·奉新县第一中学高一月考）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
（2）．（2021·江苏）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
（3）（2021·山东高一课前预习）若函数的定义域为，则（ ）
A．1 B．－1 C．2 D．无法确定
【答案】（1）C（2）D（3）B
【解析】（1）对于函数，有，解得.
因此，函数的定义域为.故选：C.
（2）由，得，所以，所以．故选：D.
（3）函数的定义域为，则的解集为，
即，且的根，故.故选：B.
【变式1-1】（2021 重庆期末）函数f（x）＝log2（3+2x﹣x2）的定义域为（ ）
A．[﹣1，3] B．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） C．（﹣1，3） D．（﹣1，+∞）∪[3，+∞）
【分析】可看出，要使得f（x）有意义，需满足3+2x﹣x2＞0，从而解出x的范围即可．
【解析】解：要使f（x）有意义，则3+2x﹣x2＞0，解得﹣1＜x＜3，
∴f（x）的定义域为（﹣1，3）．故选：C．
【变式1-2】（2021 上高县校级月考）已知函数f（x），则f（x）的定义域为（ ）
A．（﹣∞，1）∪（1，+∞） B．（﹣∞，1）∪[2，+∞）
C．（1，] D．（﹣∞，1）∪（，+∞）
【分析】由题意，得0，再求解对数不等式即可．
【解析】解：由题意，得0，即1，，∴0，得0，
∴x＜1或x≥2．∴f（x）的定义域为（﹣∞，1）∪[2，+∞）．故选：B．
【变式1-3】（2021·四川自贡·）函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知得，解得，所以函数的定义域为，故选：D
【变式1-4】（2021·陕西宝鸡市·高一期末）若函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为函数的定义域为，所以，所以，
解得：，所以的定义域为，故选：A.
高频考点2. 对数函数、对数型函数的值域
【方法点拨】求对数函数或对数型函数的值域，主要依据对数函数的单调性，来求得函数值域.
【例2】（1）（2021·浙江高一单元测试）已知，则函数的值域是 。
（2）（2021·上海高一课时练习）函数的值域为_________．
（3）．（2021·重庆高一期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是 。
（4）（2021·全国高一课时练习）已知函数的值域为，则实数a的取值范围是
【答案】（1）（2）（3）（4）
【解析】（1）函数在上单调递增所以，即所以函数的值域为
（2）因为，所以，，
因此，，故函数的值域为.答案：.
（3）当时，，则，
所以，函数在区间上的值域包含，
所以，存在，使得，即，
而函数在区间上为增函数，，.
（4）∵函数的值域为，
令，
当时，，不合题意；
当时，，此时，满足题意；
当时，要使函数的值域为，
则函数的值域 包含，
，解得，综上，实数的取值范围是.
【变式2-1】（2021 华容县期末）已知函数f（x）＝2x的值域为[﹣1，1]，则函数f（x）的定义域是（ ）
A．[，] B．[﹣1，1] C．[，2] D．（﹣∞，]∪[，+∞）
【分析】由题意可得﹣1≤21，化简可得 x2≤2．再由x＞0，求得x得范围，即可得到函数f（x）的定义域．
【解析】解：∵已知函数f（x）＝2x的值域为[﹣1，1]，∴﹣1≤21，即 2，化简可得 x2≤2．
再由x＞0 可得 x，故函数f（x）的定义域为[，]，故选：A．
【变式2-2】（2021 雨花区期末）函数y＝2+log2x（x≥1）的值域为（ ）
A．（2，+∞） B．（﹣∞，2） C．[2，+∞） D．[3，+∞）
【分析】根据函数y＝2+log2x可知其在[1，+∞）上单调递增，利用函数的单调性求得，当x＝1时，y有最小值2，从而求得函数的值域．
【解析】解：∵函数y＝2+log2x在[1，+∞）上单调递增，∴当x＝1时，y有最小值2，
即函数y＝2+log2x（x≥1）的值域为[2，+∞）．故选：C．
【变式2-3】（2021·安徽芜湖一中高一月考）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，，因为函数的值域为，所以要能取到的所有数，
当时，满足条件；当时，，得；当时，不成立.
综上可知，.故选：D
【变式2-4】（2021·河北秦皇岛一中高一期末）已知且，若函数的值域为[1，+∞），则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由函数，
当时，，当时，，若时，
函数单调递减，所以，若时，函数单调递增，所以，
又因为分段函数的值域为[1，+∞），所以，，所以.
所以的取值范围是.故选：D
高频考点3. 对数（型）函数的单调性问题
【方法点拨】1）掌握对数函数的单调性；2）掌握复合函数的单调性判定规则（同增异减）。
【例2】（1）（2021·湖南省邵东市第三中学高一月考）下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
（2）（2021·山东高一课时练习）函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
（3）（2021·新疆维吾尔自治区阿克苏地区第二中学高一期末）函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
（4）（2021·河北高一专题练习）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】（1）A（2）C（3）D（4）C
【解析】（1）由幂函数性质知是奇函数，是偶函数，由指数函数性质知不是奇函数也不是偶函数，由绝对值性质和对数函数性质知是偶函数，又是定义域内是增函数．故选：A．
（2）由，
而对数函数在上是减函数，在上是增函数，
所以函数单调递增区间为．故选：C
（3）对于函数，有，解得或，
故函数的定义域为，
内层函数在上单调递减，在上单调递增，外层函数为减函数，
由复合函数的单调性可知，函数的单调递增区间为.故选：D.
（4）函数是由与复合而成，
①当时，因为为减函数，且函数在区间上单调递增，所以在上单调递减，结合的图像可得，解得
②当时，因为为增函数，且函数在区间上单调递增，所以在上单调递增，又因为此时，结合的图像可知此时符合题意综上所述：实数a的取值范围为或.故选：C
【变式2-1】（2021·广东高一单元测试）下列函数在其定义域内为减函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由幂函数的性质，可知A中函数为单调增函数，由一次函数性质可知B中函数为增函数，由对数函数性质可知C中函数为增函数，由指数函数性质，可知D中函数为单调减函数，故选：D.
【变式2-2】（2021·四川眉山市·仁寿一中高一开学考试）函数的单调递减区间为___________.
【答案】
【解析】由得，令，由于函数的对称轴为，开口向上，∴在上递减，在（4，＋∞）递增，
又由函数是定义域内的减函数，∴原函数的单调递减区间为（4，＋∞）．故答案为:
【变式2-3】（2021·云南高一期末）若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围为__________．
【答案】
【解析】由可得，解得，
函数是由和复合而成，
又对称轴为，开口向下，
所以 在上单调递增，在上单调递减，
因为为减函数，所以的单调增区间为，
因为在区间内单调递增，所以，解得，
所以实数的取值范围为，故答案为：．
【变式2-4】（2021·全国高一专题练习）已知函数（，且）在上是减函数，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【解析】令，则，因为，所以递减，由题意知在内递增，所以．又在上恒大于0，所以，即．
综上，实数a的取值范围是：．故答案为：.
高频考点4. 对数式的大小比较
【方法点拨】比较对数值的大小，主要依据对数函数的单调性，同底时可直接利用相应的对数函数比较大小；不同底时，可借助中间量进行比较.
【例4】（1）（2021·全国）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
（2）．（2021·广西南宁三中）已知奇函数在上是增函数，若，，，则的大小关系为
A． B． C． D．
【答案】（1）A（2）C
【解析】（1）因为，，，，，，
所以故选: A .
（2）由题意：，且：，
据此：，结合函数的单调性有：，
即.本题选择C选项.
【变式4-1】（2021秋 鼓楼区校级期中）已知，b＝log32，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a
【分析】利用对数的性质，判断3个数值的大小即可．
【解析】解：0，b＝log32∈（0，1），1，所以a＜b＜c．故选：A．
【变式4-2】（2021·江苏高一开学考试）已知，，，则，，的大小关系为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，，，故选A.
【变式4-3】（2021·河北沧州市一中高一开学考试）已知，，，则的大小关系为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，
，故，所以．故选A．
【变式4-4】（2021秋 安徽期中）已知0＜a＜b＜1，设m＝blna，n＝alnb，，则m，n，p的大小关系为（ ）
A．m＜n＜p B．n＜m＜p C．p＜m＜n D．p＜n＜m
【分析】有题意可知lna＜lnb＜0，所以，1，所以p＞0，再用作商法比较m，n的大小即可．
【解析】解：∵0＜a＜b＜1，∴lna＜lnb＜0，∴，1，∴，即p＞0，
又m＜0，n＜0，∴1，∴m＜n＜0，∴m＜n＜p，故选：A．
高频考点5 . 解对数不等式
【方法点拨】对数不等式的三种考查类型：(1)形如m>n的不等式，借助y=x的单调性求解.(2)形如m>b的不等式，应将b化成以a为底数的对数式的形式(b=)，再借助y=x的单调性求解.(3)形如 > (f(x),g(x)>0且不等于1,a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解.
【例5】（1）（2021·全国高一专题练习）不等式log(5＋x)（2）（2021·运城市新康国际实验学校高一开学考试）设函数，则使得成立的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】（1）{x|－2【解析】（1）不等式满足解得－2（2）定义在上的函数满足，所以为偶函数，
当时，为增函数，
由结合偶函数图象的对称性可知，
两边平方并化简得，解得.
所以不等式的解集为.故选：A
【变式5-1】（2021秋 辽源期末）不等式log3（2x﹣1）≤1的解集为 ．
【分析】由0＜2x﹣1≤3，即可求得不等式log3（2x﹣1）＜1的解集．
【解析】解：∵log3（2x﹣1）≤1，∴0＜2x﹣1≤31＝3，∴x≤2，
∴不等式log3（2x﹣1）≤1的解集为（，2]，故答案为：（，2]．
【变式5-2】（2021 思明区校级期中）已知函数f（x）满足f（x﹣1）＝lgx，则不等式f（x）＜0的解集为（ ）
A．（﹣∞，1） B．（1，2） C．（﹣∞，0） D．（﹣1，0）
【分析】求出函数f（x）的解析式，然后再求不等式f（x）＜0的解集．
【解析】解：令x﹣1＝t，∴x＝t+1，t+1＞0，所以f（t）＝lg（t+1），
函数f（x）的解析式为：f（x）＝lg（x+1），不等式f（x）＜0化为lg（x+1）＜0
即：lg（x+1）＜0所以不等式的解集为：（﹣1，0）故选：D．
【变式5-3】（2021春 咸宁期末）已知对数函数f（x）的图象过点（4，﹣2），则不等式f（x﹣1）﹣f（x+1）＞3的解集 ．
【分析】令f（x）＝logax，由已知可得函数的解析式，利用对数函数的单调性及定义域，可得答案．
【解析】解：令f（x）＝logax，∵函数f（x）的图象过点（4，﹣2），
∴loga4＝﹣2，解得：a∴f（x），
不等式f（x﹣1）﹣f（x+1）＞3可化为：，
即，解得：x∈，故答案为：．
【变式5-4】（2021·安徽省亳州市第一中学高一月考）已知函数是奇函数，则的解集为_______．
【答案】
【解析】根据题意，函数，则，因为奇函数，则有，解得：，所以，
又当时单调递增，且，根据奇函数的性质可得在上单调递增，因为，所以，解得，即原不等式的解集为；故答案为：
高频考点6. 对数函数的图象及应用
【方法点拨】①对数函数图象的识别：对于所给函数解析式，研究函数的单调性、特殊值等，利用排除法，得出正确的函数图象.
②对数函数图象的应用：对于与对数函数、对数型函数有关的函数的作图问题，一般宜用变换作图法作图，这样有利于从整体上把握函数的性质，从而利用对数函数的图象来比较大小、解不等式、求最值等.
【例6】（2021·广东广州·高一期末）已知函数，，的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由图,当时,,当时,又幂函数为增函数且上凸,故.故.故选：A
【变式6-1】（2021 石嘴山模拟）如图，①②③④中不属于函数y＝log2x，y＝log0.5x，y＝﹣log3x的一个是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【分析】直接利用函数的图象和函数的单调性的应用判断结果．
【解析】解：根据函数的图象，函数的底数决定函数的单调性，
当底数a＞1时，函数单调递增，当0＜a＜1时，函数单调递减，
当底数a＞1，满足底数越大函数的图象在x＞1时，越靠近x轴，
故①对应函数y＝log2x的图象，根据对称性，④对应函数y＝log0.5x的由图象，
③对应函数y＝﹣log3x的图象，②与函数的图象相矛盾，故②错误．故选：B．
【变式6-2】（2021 成都期中）函数y＝loga（x+1）（a＞0，且a≠1）与函数y＝x2﹣2ax+1在同一直角坐标系中的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由函数y＝loga（x+1）与函数y＝x2﹣2ax+1的图象特征，结合选项直接得解．
【解析】解：函数y＝x2﹣2ax+1的对称轴为x＝a，且恒过定点（0，1），观察选项可知，选项C可能符合，若选C，则由图象可知，此时0＜a＜1，函数y＝loga（x+1）单调递减，且恒过定点（0，0），符合题意．故选：C．
【变式6-3】（2021·全国高一专题练习）设幂函数，指数函数，对数函数在同一坐标系中的图象如下图所示，则它们之间的大小关系错误的是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对于A：要判断的是幂函数的图像，根据的图像可以判断，故A正确；
对于B：要判断的是指数函数的图像，作出x=1，看交点，交点高，底数越大，所以，故B正确；
对于C、D：要判断的是对数函数的图像，作出y=1，看交点，交点越靠由，底数越大，所以，故D正确， C错误；
故选：C
【变式6-4】（2021 南山区校级月考）如图，直线x＝m（m＞1）依次与曲线y＝logax、y＝logbx及x轴相交于点A、点B及点C，若B是线段AC的中点，则（ ）
A．1＜b≤2a﹣1 B．b＞2a﹣1 C．1＜b≤2a D．b＞2a
【分析】由题意利用对数函数的图象和性质，得出结论．
【解析】解：如图，根据对数函数的图象特征，可得y＝logax、y＝logbx及都是定义域内的增函数，故a＞1，b＞1．由于当x＞1时，logax＞logbx＞0，∴b＞a＞1．
由B是线段AC的中点，得AB＝BC，即logam＝2logbm，即，
所以logab＝2，故b＝a2，又a，b∈（1，+∞），
∴b﹣（2a﹣1）＝a2﹣2a+1＝（a﹣1）2＞0，所以b＞2a﹣1，故B正确且A错误；
根据b＝a2，又a，b∈（1，+∞），可得当1＜a≤2时，1＜b≤2a，但当a＞2时，b＞2a，
故C、D不一定正确，故选：B．
高频考点7 . 对数型复合函数性质的应用
【方法点拨】借助对数函数的图象和性质来研究对数型复合函数的性质，再结合具体问题，进行求解即可.
【例7】（2020春 丽江期末）已知函数f（x）＝log4（ax2+2x+3）．
（1）若f（x）定义域为R，求a的取值范围；（2）若f（1）＝1，求f（x）的单调区间；
（3）是否存在实数a，使f（x）的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
【分析】（1）由题意可得，ax2+2x+3＞0对任意x∈R恒成立，显然a＝0时不合题意，从而必有，由此求得a的取值范围．（2）因为f（1）＝1求得a＝﹣1，这时f（x）＝log4（﹣x2+2x+3）．由﹣x2+2x+3＞0求得函数定义域为（﹣1，3）．令g（x）＝﹣x2+2x+3，求得g（x）的单调区间，即可得到f（x）的单调区间．（3）假设存在实数a使f（x）的最小值为0，则h（x）＝ax2+2x+3应有最小值1，根据，解得a的值，从而得出结论．
【解析】解：（1）因为f（x）的定义域为R，所以ax2+2x+3＞0对任意x∈R恒成立，
显然a＝0时不合题意，从而必有，解得a，即a的取值范围是（，+∞）．
（2）因为f（1）＝1，所以log4（a+5）＝1，因此a+5＝4，a＝﹣1，这时f（x）＝log4（﹣x2+2x+3）．
由﹣x2+2x+3＞0得﹣1＜x＜3，即函数定义域为（﹣1，3）．令g（x）＝﹣x2+2x+3．
则g（x）在（﹣1，1）上单调递增，在（1，3）上单调递减，又y＝log4x在（0，+∞）上单调递增，
所以f（x）的单调递增区间是（﹣1，1），单调递减区间是（1，3）．
（3）假设存在实数a使f（x）的最小值为0，则h（x）＝ax2+2x+3应有最小值1，
因此应有，解得a．故存在实数a，使f（x）的最小值为0．
【变式7-1】（2021.广东高一月考）已知函数.
（1）当时，求；（2）求解关于的不等式；
（3）若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）当时，的解集为，当时；（3）.
【解析】（1）当时，
（2）由得：
或
当时，解不等式可得：或
当时，解不等式可得：或
综上所述：当时，的解集为；
当时，的解集为
（3）由得：
或
①当时，，
或，解得：
②当时，，
或，解得：
综上所述：的取值范围为
【变式7-2】（2021.山东高一期中）已知函数f（x）＝lg（ax﹣bx），a＞1＞b＞0（1）求f（x）的定义域；（2）在函数f（x）的图象上是否存在不同的两点，使过这两点的直线平行于x轴；
（3）当a，b满足什么条件时，f（x）在（1，+∞）上恒取正值．
【答案】（1）（0，+∞）（2）见解析（3）a﹣b≥1
【解析】（1）由ax﹣bx＞0得，由于所以x＞0，即f（x）的定义域（0，+∞）
（2）任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2 ；
f（x1）﹣f（x2）
∵a＞1＞b＞0，∴y＝ax在R上为增函数，y＝bx在R上为减函数，
∴∴，即
又∵y＝lgx在（0，+∞）上为增函数，∴f（x1）＜f（x2）∴f（x）在（0，+∞）上为增函数．
所以任取x1≠x2则必有y1≠y2故函数f（x）的图象L不存在不同的两点使过两点的直线平行于x轴．
（3）因为f（x）是增函数，所以当x∈（1，+∞）时，f（x）＞f（1），
这样只需f（1）＝lg（a﹣b）≥0，即当a﹣b≥1时，f（x）在（1，+∞）上恒取正值．
【变式7-3】（2020秋 玉林期中）函数y＝lg（3﹣4x+x2）的定义域为M，函数f（x）＝4x﹣2x+1（x∈M）．
（1）求函数f（x）的值域；（2）当x∈M时，关于x方程4x﹣2x+1＝b（b∈R）有两不等实数根，求b的取值范围．
【分析】（1）由.3﹣4x+x2＞0，求得x的范围可得 M＝{x＞3或x＜1}；令2x＝t，则t＞8 或0＜t＜2，故f（x）＝g（t）＝（t﹣1）2﹣1≥﹣1，可得函数f（x）的值域．
（2）由题意可得函数y＝t2﹣2t 的图象和直线y＝b有2个交点，数形结合可得b的范围．
【解析】解：（1）∵由.3﹣4x+x2＞0，解得x＞3，或x＜1，∴M＝{x＞3或x＜1}．
∵f（x）＝4x﹣2x+1，令2x＝t，则t＞8 或0＜t＜2．则f（x）＝g（t）＝t2﹣2t＝（t﹣1）2﹣1，
当t＞8时，g（t）＝（t﹣1）2﹣1＞48；当0＜t＜2时，g（t）＝（t﹣1）2﹣1∈[﹣1，0）．
所以值域为[﹣1，0）∪（48，+∞）．
（2）．∵4x﹣2x+1＝b（b∈R）有两不等实数根，∴函数y＝t2﹣2t 的图象和直线y＝b有2个交点，
数形结合可得，﹣1＜b＜0，即b的范围（﹣1，0）．
【变式7-4】（2021秋 慈利县期中）已知函数f（x）＝loga（1+ax）（a＞0，a≠1）．
（1）设g（x）＝f（x）﹣log2（1﹣2x），当a＝2时，求函数g（x）的定义域，判断并证明函数g（x）的奇偶性；（2）是否存在实数a，使函数f（x）在[﹣4，﹣2]上单调递减，且最小值为1？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
【分析】本题第（1）题根据函数的定义域及奇偶性的定义法判断；第（2）题根据复合函数的单调性及最值的取值进行比较即可判断得出结论．
【解析】解：（1）当a＝2时，
g（x）＝f（x）﹣log2（1﹣2x）＝log2（1+2x））﹣log2（1﹣2x）＝log2．
∵，解得x．∴函数g（x）的定义域为{x|x}．
∵函数g（x）的定义域关于原点对称，
g（﹣x）＝log2log2log2log2g（x）．∴g（x）为奇函数．
（2）设t＝1+ax，∵a＞0，∴定义域为{x|x}，而t＝1+ax在定义域上单调递增．
∵复合函数f（x）在[﹣4，﹣2]上单调递减，
∴只有0＜a＜1时，y＝logat单调递减，满足复合函数f（x）单调递减，
此时必须满足4，即0＜a．
f（x）min＝f（﹣2）＝loga（1﹣2a）＝1＝logaa，即1﹣2a＝a，解得a，而0＜a．故a不存在．
高频考点8 . 对数函数的实际应用
【方法点拨】从实际问题出发，建立对数（型）函数模型，借助对数函数的图象和性质进行解题，注意要满足实际条件.
【例8】（2021秋 仁寿县校级期中）20世纪30年代，里克特（C．F．Richter）制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大．这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为：M＝lgA﹣lgA0，其中，A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）．（1）假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级（精确到0.1）；（2）5级地震给人的震感已比较明显，计算8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍？
（以下数据供参考：lg2≈0.3010，lg3≈0.4770）
【分析】（1）根据题目的条件，将数据代入M＝lgA﹣lgA0，利用对数的运算性质进行求解即可；
（2）先根据M＝lgA﹣lgA0求得地震最大振幅关于M的函数，将震级代入分别求出最大振幅，最后求出两次地震的最大振幅之比即可．
【解析】解：（1）lg20000＝lg2+lg104≈4.3
因此，这次地震的震级为里氏4.3级．
（2）由M＝lgA﹣lgA0可得，即，A＝A0 10M．
当M＝8时，地震的最大振幅为A1＝A0 108；当M＝5时，地震的最大振幅为A2＝A0 105；
所以，两次地震的最大振幅之比是：
答：8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的1000倍．
【变式6-1】（2021·重庆高三模拟）我国航天技术的迅猛发展与先进的运载火箭技术密不可分.据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式计算火箭的最大速度()，其中()是喷流相对速度，()是火箭(除推进剂外)的质量，()是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”.已知甲型火箭的总质比为400，经过材料更新和技术改进后，甲型火箭的总质比变为原来的，喷流相对速度提高了，最大速度增加了900()，则甲型火箭在材料更新和技术改进前的喷流相对速度为（ ）(参考数据：，)
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意列出改进前的等式等量关系式，改进后的等是等量关系式，联立即可解出．
【详解】解：设改进前的速度为，则，
，故选：．
【变式6-2】（2021·福建南平市·高三二模）克劳德·香农是美国数学家、信息论的创始人，他创造的香农定理对通信技术有巨大的贡献．技术的数学原理之一便是著名的香农公式：．它表示：在受噪声干挠的信道中，最大信息传递速率取决于信道带宽、信道内信号的平均功率、信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比．按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升至4000，则大约增加（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意设，，然后利用对数的性质计算即可得答案
【详解】设，，则，
又，，故选：B．
【变式6-3】（2021 杭州期中）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数，单位是m/s，其中O表示鱼的耗氧量的单位数．
（1）当一条鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是多少？
（2）某条鱼想把游速提高1m/s，那么它的耗氧量的单位数将如何变化？
【分析】（1）将O＝900代入，直接求得结果．
（2）由v2﹣v1＝1得，即耗氧量变为原来的九倍．
【解析】解：（1）当O＝900时，lm/s
（2）由v2﹣v1＝1得，所以耗氧量增大为原来的9倍
【变式6-4】在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v（单位：m/s）和燃料的质量M（单位：kg）、火箭（除燃料外）的质量m（单位：kg）的函数关系是v＝2000ln（1）．当燃料质量是火箭质量的百分之几时，火箭的最大速度可达到12km/s？
【分析】火箭的最大速度可达到12km/s，即v＝12000，代入题中函数关系式，再将所得对数式化为指数式，化简整理可得的值．
【解析】解：∵v＝2000ln（1），∴令v＝12000得，2000ln（1）＝12000，
∴ln（1）＝6，∴1e6，解得：e6﹣1，
故当e6﹣1时，火箭的最大速度可达到12km/s．
【课后训练】
全卷共22题 满分：150分 时间：120分钟
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2021·江苏高一专题练习）下列函数是对数函数的是
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由对数函数定义可以，本题选C．
2．（2021·北京市第四中学顺义分校高一期末）函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以或，所以函数的定义域为：，故选：C.
3．（2021·河北石家庄·高一期末）已知函数在上的值域为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数的图象，如图所示：
因为函数在上的值域为，由图象可得，
而在上单调递增，故的取值范围是.故选；C
4．（2021·重庆）设，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为为减函数，所以，
因为在单调递减，所以，
因为在单调递增，，
即，，，所以，故选：C.
5.（2021秋 河北月考）函数y的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由x时，y＜0，排除B，D，再取x时，y＞0，故排除C，即可得到答案．
【解析】解：∵由题意可得，解得定义域{x|x＞﹣1且x≠0}，
当x时，y，∴排除B，D；
当x时，y，故排除C，故选：A．
6.（2021 榆林一模）已知定义域为R的偶函数f（x）在（﹣∞，0]上是减函数，且2，则不等式f（log4x）＞2的解集为（ ）
A． B．（2，+∞） C． D．
【分析】由题意知不等式即f（log4x），即 log4x，或 log4x，利用对数函数的定义域和单调性求出不等式的解集．
【解析】解：由题意知 不等式f（log4x）＞2，即 f（log4x），又偶函数f（x）在（﹣∞，0]上是减函数，∴f（x）在[0，+∞）上是增函数，∴log4xlog42，或 log4x，
∴0＜x，或 x＞2，故选：A．
7．（2021 仙游县校级期中）函数f（x）的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【分析】先根据对数函数的真数大于零求定义域，再把复合函数分成二次函数和对数函数，分别在定义域内判断两个基本初等函数的单调性，再由“同增异减”求原函数的递增区间
【解析】解：要使函数有意义，则6+x﹣2x2＞0，解得x＜2，故函数的定义域是（，2）
令t＝﹣2x2+x﹣6则函数t在（，）上递增，在[，2）上递减，
又因函数y在定义域上单调递减，
故由复合函数的单调性知y（6+x﹣2x2）的单调递增区间是[，2）．故选：B．
8．（2021 缙云县校级期末）若函数f（x）＝loga（x2﹣ax+5），（a＞0，a≠1）满足对任意的x1，x2，当x1＜x2时f（x1）﹣f（x2）＞0，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＞1 B．0＜a＜2 C．0＜a＜1 D．1＜a＜2
【分析】对任意的x1，x2，当x1＜x2时f（x1）﹣f（x2）＞0，转化成函数f（x）在（﹣∞，]上单调递减，然后根据符合函数的单调性的性质建立关系式，解之即可求出所求．
【解析】解：对任意的x1，x2，当x1＜x2时f（x1）﹣f（x2）＞0，实质上就是“函数单调递减”的“伪装”，同时还隐含了“f（x）有意义”．事实上由于g（x）＝x2﹣ax+5在x时递减，
从而，由此得a的取值范围为（1，2），故选：D．
二 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2021 沙坪坝区校级月考）设a＝50.6，b＝0.65，c＝log0.60.5，d＝log50.6，则在a，b，c，d这4个数中（ ）
A．最大数为a B．最小数为b C．最大数为c D．最小数为d
【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．
【解析】解：∵a＝50.6＞50.5＞40.5＝2，0＜b＝0.65＜0.60＝1，
1＝log0.60.6＜c＝log0.60.5＜log0.60.36＝2，d＝log50.6＜log51＝0，
∴在a，b，c，d这4个数中最大的为a，最小的为d．故选：AD．
10．（2021春 浙江期中）已知函数f（x）＝|lgx|，则（ ）
A．f（x）是偶函数 B．f（x）值域为[0，+∞）
C．f（x）在[0，+∞）上递增 D．f（x）有一个零点
【分析】可画出函数f（x）的图象，然后根据图象即可判断每个选项的正误．
【解析】解：可画出f（x）＝|lgx|的图象如下图所示：
根据图象可看出f（x）的值域为[0，+∞），f（x）有一个零点．故选：BD．
11．（2021秋 三元区校级月考）已知logb2021＞loga2021＞0，则下列结论正确的是（ ）
A．0.2a＜0.2b B． C．lnb﹣b＞lna﹣a D．若m＞0，则
【分析】推导出a＞b＞1，从而0.2a＜0.2b，，；设y＝lnx﹣x，x＞1，则y′0，从而y＝lnx﹣x，x＞1是减函数，进而lnb﹣b＞lna﹣a；再利用作差数判断D．
【解析】解：∵logb2021＞loga2021＞0，∴，
∴log2021a＞log2021b＞0，∴a＞b＞1，对于A，∵a＞b＞1，∴0.2a＜0.2b，故A正确；
对于B，∵a＞b＞1，∴，，故B错误；
对于C，设y＝lnx﹣x，x＞1，则y′0，∴y＝lnx﹣x，x＞1是减函数，
∵a＞b＞1，∴lnb﹣b＞lna﹣a，故C正确；对于D，∵a＞b＞1，m＞0，
∴0，∴若m＞0，则，故D错误．故选：AC．
12．（2021 沭阳县校级月考）如果函数f（x）＝loga|x﹣1|在（0，1）上是减函数，那么（ ）
A．f（x）在（1，+∞）上递增且无最大值 B．f（x）在（1，+∞）递减且无最小值
C．f（x）在定义域内是偶函数 D．f（x）的图象关于直线x＝1对称
【分析】利用复合函数的单调性确定a的取值范围，然后再利用复合函数的单调性判断选项A，B即可，利用定义域即可判断选项C，由f（2﹣x）＝f（x），即可判断选项D．
【解析】解：因为函数f（x）＝loga|x﹣1|在（0，1）上是减函数，
所以f（x）＝loga（1﹣x）在（0，1）上为减函数，而y＝1﹣x是减函数，故a＞1，
所以当x＞1时，f（x）＝loga（x﹣1），y＝x﹣1是增函数，而a＞1，
则f（x）在（1，+∞）上递增且无最大值，故选项A正确，选项B错误；
函数f（x）＝loga|x﹣1|的定义域为（﹣∞，1）∪（1，+∞），不关于原点对称，
所以f（x）为非奇非偶函数，故选项C错误；因为f（2﹣x）＝loga|2﹣x﹣1|＝loga|x﹣1|＝f（x），
所以f（x）的图象关于直线x＝1对称，故选项D正确．故选：AD．
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2021·上海高一期中）函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中、，则的最小值为____________.
【答案】
【解析】对于函数，令，可得，则，
故函数的图象恒过定点，
因为点在直线上，则，可得，
因为、，所以，，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为.故答案为：.
14．（2021 广州月考）已知函数f（x）＝|ln（x+1）﹣1|，若a＞b且f（a）＝f（b），则a+b的取值范围是 ．
【分析】利用f（a）＝f（b）得出a，b满足关系式（a+1）（b+1）＝e ，代入a+b＝（a+1）+（b+1）﹣2，消去b，构造函数求解．
【解析】解：因为，
所以﹣1＜b＜e﹣1＜a，且﹣ln（b+1）+1＝ln（a+1）﹣1，整理得（a+1）（b+1）＝e ．
所以a+b＝（a+1）+（b+1）﹣2＝（a+1）2，
设g（t）＝t，则g（t）在（e，+∞）上单调递增，
所以g（t）＞g（e）＝2e﹣2．故答案为：（2e﹣2，+∞）
15．（2021·广东阳江·高一期末）函数的值域为R，则的取值范围是________.
【答案】
【解析】∵函数的值域为R，能够取到大于的所有数，
则，解得：或，
∴实数的取值范围是．故答案为：．
16．（2021秋 裕安区校级月考）已知函数f（x）＝loga（2x﹣a）在区间上恒有f（x）＞0，则实数a的取值范围为 ．
【分析】由题意利用对数函数的单调性和特殊点，函数的恒成立问题，求得实数a的取值范围．
【解析】解：函数f（x）＝loga（2x﹣a）在区间上恒有f（x）＞0，
即当a＞1时，2x﹣a＞1，或当0＜a＜1时，0＜2x﹣a＜1．
∴①，或②．由①求得 a∈ ，由②求得 a．
综合可得实数a的取值范围为（，），故答案为：（，）．
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17．（2021秋 邢台月考）设，比校a、b、c的大小，并说明理由．
【分析】由对数的运算性质可得b＞a＞0，进一步分析c＜0得答案．
【解析】解：log2（log48），b＝log2（log23）＝log2（log49），∴b＞a＞0，
又∵0＜log32＜1，∴c＝log3（log32）＜0．∴b＞a＞c．
18．（2021 西湖区校级模拟）已知函数f（x）＝log2（x+1）﹣2．
（1）若f（x）＞0，求x的取值范围．（2）若x∈（﹣1，3]，求f（x）的值域．
【分析】（1）通过f（x）＞0，列出不等式即可求x的取值范围．
（2）x∈（﹣1，3]，求出x+1的范围，利用对数函数的单调性求解求f（x）的值域．
【解析】解：（1）函数f（x）＝log2（x+1）﹣2，
∵f（x）＞0，即log2（x+1）﹣2＞0，∴log2（x+1）＞2，∴x＞3．
（2）∵x∈（﹣1，3]，∴x+1∈（0，4]，∴log2（x+1）∈（﹣∞，2]，
∴log2（x+1）﹣2∈（﹣∞，0]．所以f（x）的值域为（﹣∞，0]．
19．（2021秋 金台区期中）已知函数f（x）＝logax（a＞0，且a≠1）在区间上的最大值为2．
（1）求a的值；（2）如果0＜a＜1，求使f（f（x）﹣2）＞0成立的x的取值范围．
【分析】（1）分类讨论a的范围，利用对数函数的单调性求出函数的最大值，从而得到a的值．
（2）由题意利用对数函数的单调性可得0＜f（x）﹣2＜1，即2＜logax＜3，由此求得a 的范围．
【解析】解：（1）∵函数f（x）＝logax（a＞0，且a≠1）在区间上是单调函数，
当a＞1时，函数为增函数，最大值为loga3＝2，故a．
当0＜a＜1时，函数为减函数，最大值为2，故a．综上可得，a或．
（2）∵0＜a＜1，不等式f（f（x）﹣2）＞0，即loga[f（x）﹣2]＞0，
∴0＜f（x）﹣2＜1，即2＜f（x）＜3，即2＜logax＜3，解得a3＜x＜a2，故x的范围为（a3，a2）．
20.（2021·上海格致中学高三三模）“弗格指数”是用来衡量地区内居民收益差距的一个经济指标，其中b是该地区的最低保障收入系数，a是该地区收入中位系数，x是该地区收入均值系数，经换算后，a、b、x都是大于1的实数，当时，该地区收入均衡性最为稳定.
（1）指出函数的定义域与单调性（不用证明），并说明其实际意义，经测算，某地区的“弗格指数”为0.89，收入均值系数为3.15，收入中位系数为2.17，则该地区的最低保障收入系数为多少（精确到0.01）？
（2）要使该地区收入均衡性最为稳定，求该地区收入均值系数的取值范围（用a、b表示）.
【答案】（1）定义域为，在上 单调递减，实际意义见解析，1.04；（2）.
【分析】（1）由及且可得函数的定义域；由复合函数的单调性可得函数的单调性；将，，代入函数，用计算器可求得；
（2）解不等式可得结果.
【详解】（1）要使函数有意义，则，又且，解得，
所以，函数的定义域为；令，则.
因为，所以当时，函数单调递减；
又，所以在上单调递增，故在定义域上是减函数.
其实际意义是：当该地区收入均值系数大于该地区的最低保障收入系数时，收入均值系数越大，弗格指数越小. 将，，代入函数得，
所以，用计算器可解得.
（2）要使该地区收入均衡性最为稳定，则，即，
又，所以，即，
又，，所以，解得，
即该地区收入均值系数的取值范围是.
【点睛】第（2）问的关键点是解不等式.
21．（2021 莲湖区校级期中）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且x≤0时，f（x）（﹣x+1）
（1）求f（3）+f（﹣1）；（2）求函数f（x）的解析式；（3）若f（a﹣1）＜﹣1，求实数a的取值范围．
【分析】（1）利用函数奇偶性的性质即可求f（3）+f（﹣1）
（2）根据函数奇偶性的性质即可求函数f（x）的解析式；
（3）若f（a﹣1）＜﹣1，将不等式进行转化即可求实数a的取值范围．
【解析】解：（I）∵f（x）是定义在R上的偶函数，x≤0时，f（x）（﹣x+1），
∴f（3）+f（﹣1）＝f（﹣3）+f（﹣1）42＝﹣2﹣1＝﹣3；
（II）令x＞0，则﹣x＜0，f（﹣x）（x+1）＝f（x）∴x＞0时，f（x）（x+1），
则f（x）．
（Ⅲ）∵f（x）（﹣x+1）在（﹣∞，0]上为增函数，∴f（x）在（0，+∞）上为减函数
∵f（a﹣1）＜﹣1＝f（1）∴|a﹣1|＞1，∴a＞2或a＜0
22．（2021秋 潍坊月考）如图，已知过原点O的直线与函数y＝log8x的图像交于A，B两点，分别过点A，B作y轴的平行线与函数y＝log2x的图像交于C，D两点．（1）证明O，C，D三点在同一条直线上；（2）当BC∥x轴时，求A点的坐标．
【分析】（1）设A（x1，log8x1），B（x2，log8x2），由题意可知C（x1，log2x1），D（x2，log2x2），由题意可知kOA＝kOB，即，利用对数的运算性质化简可得kOC＝kOD，即点O，C，D三点在同一条直线上．
（2））由BC∥x轴可得，代入可得0，结合x1＞0求出x1的值，得到A点的坐标．
【解析】证明：（1）设A（x1，log8x1），B（x2，log8x2），
由题意可知C（x1，log2x1），D（x2，log2x2），
∵A，B在过点O的直线上，∴kOA＝kOB，∴，∴，
∴，即kOC＝kOD，∴点O，C，D三点在同一条直线上．
解：（2）∵BC∥x轴，∴log2x1＝log8x2，即3log2x1＝log2x2，∴，
由（1）知，∴3x1log2x1∴0，
∵x1＞0，∴log2x1＝0或∴x1＝1 或，
当x1＝1 时，A，B两点重合，不符合题意，舍去，∴A点的坐标为（，）
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