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4.5 函数的应用（二）
【学习要求】
1、理解函数零点的定义，掌握函数零点的判定方法，了解函数的零点与方程的根的联系．
2、能用二分法求出方程的近似解，了解二分法求方程近似解．
3、会利用已知函数模型解决实际问题，能建立函数模型解决实际问题．
【思维导图】
【知识梳理】
1．函数的零点
(1)定义：对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)几何意义：函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标就是函数y＝f(x)的零点．
(3)结论：方程f(x)＝0有实数根 函数y＝f(x)的图象与x轴有交点 函数y＝f(x)有零点.
2．函数零点的判定定理
条件 结论
函数y＝f(x)在[a，b]上 y＝f(x)在(a，b)内有零点
(1)图象是连续不断的曲线
(2)f(a)f(b)＜0
【注】判断函数y＝f(x)是否存在零点的方法： (1)方程法：判断方程f(x)＝0是否有实数解．
(2)图象法：判断函数y＝f(x)的图象与x轴是否有交点．(3)定理法：利用零点的判定定理来判断．
3．二分法的概念
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
4．用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤
(1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0，给定精确度ε；(2)求区间(a，b)的中点c；
(3)计算f(c)：若f(c)＝0，则c就是函数的零点；若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c[此时零点x0∈(a，c)]；
若f(c)·f(b)＜0，则令a＝c[此时零点x0∈(c，b)]．
(4)判断是否达到精确度ε：即若|a－b|＜ε，则得到零点的近似值为a(或b)；否则重复(2)～(4)．
5．四种函数模型的性质
函数性质 y＝ax(a＞1) y＝logax(a＞1) y＝xn(n＞0) y＝kx＋b(k＞0)
在(0，＋∞)上的增减性 增函数 增函数 增函数 增函数
增长的速度 越来越快 越来越慢 相对较快 不变
图象的变化 越来越陡 越来越平 随n值而不同 直线上升
6．三种增长函数模型的比较
(1)指数函数和幂函数．
一般地，对于指数函数y＝ax(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)，通过探索可以发现，在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有ax＞xn.
(2)对数函数和幂函数．
对于对数函数y＝logax(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)，在区间(0，＋∞)上，随着x的增大，logax增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样，尽管在x的一定变化范围内，logax可能会大于xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有logax＜xn.
(3)指数函数、对数函数和幂函数．
在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是增函数，但它们增长的速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有logax＜xn＜ax.
【高频考点】
高频考点1. 求函数的零点
【方法点拨】1.正确理解函数的零点：
(1)函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．
(2)根据函数零点定义可知，函数f(x)的零点就是f(x)＝0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有实根，有几个实根．即函数y＝f(x)的零点 方程f(x)＝0的实根 函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．
2．函数零点的求法：(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．(2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.
【例1】（1）（2021·河北高一月考）已知函数，则函数的零点为（ ）
A． B．，0 C． D．0
（2）（2021·山东高一单元测试）函数的零点是（ ）
A． B． C． D．
（3）（2021·上海高一月考）设函数，（），若其零点为2，则a=__________．
【变式1-1】（2021·浙江高一专题练习）已知函数则函数的所有零点之和为___________.
【变式1-2】（2021·上海黄浦·格致中学）若指数函数的图象经过点，则函数的零点为_____.
【变式1-3】（2021·上海高一期末）已知函数，则该函数的零点是_________.
【变式1-4】（2021·全国高一专题练习）若是二次函数的两个零点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
高频考点2 . 判断零点所在的区间
【方法点拨】判断函数零点所在区间的方法：
一般而言判断函数零点所在区间的方法是将区间端点代入函数求出函数的值，进行符号判断即可得出结论．此类问题的难点往往是函数值符号的判断，可运用函数的有关性质进行判断．
【例2】（1）（2021·贵州省瓮安第二中学）函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
（2）（2021·江西抚州·高一期末）已知a是函数的零点，则函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2021·广东）函数的零点所在的大致区间是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2021·福建高一期末）函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（2021·湖南师大附中高一期末）若的零点所在的区间为，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-4】（2021·江苏高一）已知函数，若，，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
高频考点3 . 函数零点个数的判断
【方法点拨】判断函数零点个数的主要方法：
(1)利用方程根，转化为解方程，有几个根就有几个零点．
(2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数．
(3)结合单调性，利用f(a)·f(b)＜0，可判定y＝f(x)在(a，b)上零点的个数．
(4)转化成两个函数图象的交点问题．
【例3】（1）（2021·四川省成都市玉林中学高二期中）方程根的个数为（ ）
A．无穷多 B．3 C．1 D．0
（2）（2021·山东高一月考）已知函数，若函数有3个零点，则实数m的取值范围（ ）
A． B． C．（0，1） D．
【变式3-1】（2021·张家口市高一月考）函数的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式3-2】（2021·福建省永泰县第一中学）已知，则函数的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式3-3】（2021·重庆高一期末）（多选）若直线与函数（，且）的图象有两个公共点，则的取值可以是（ ）
A． B． C． D．2
【变式3-4】（2021·广东潮州·）已知函数的图象与直线有三个不同的交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
高频考点4. 用二分法求函数的零点问题
【方法点拨】1.用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则
(1)需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成)．
(2)取区间端点的平均数c，计算f(c)，确定有解区间是[m，c]还是[c，n]，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值．
2．二分法求函数零点步骤的记忆口诀
定区间，找中点；中值计算两边看，
同号丢，异号算，零点落在异号间．
重复做，何时止，精确度来把关口．
【例4】（2021·浙江高一单元测试）根据已给数据：
x 1.5 1.53125 1.5625 1.625 1.75
的近似值 5.196 5.378 5.565 5.961 6.839
在精确度为0.1的要求下，方程的一个近似解可以为（ ）
A． B．1.5 C．1.562 D．1.7
【变式4-1】（2021·毕节三联学校高一期末）若的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，数据如下表：
那么方程的一个近似根（精确到0.1）为（ ）
A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5
【变式4-2】（2021·定远县育才学校高一期中）设函数，用二分法求方程近似解的过程中，计算得到，，则方程的近似解落在区间（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（2021·上海高一专题练习）用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次计算，得f(0)<0，f(0.5)>0，第二次应计算f(x1)，则x1等于（ ）
A．1 B．－1 C．0.25 D．0.75
【变式4-4】（2021·四川遂宁·）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
那么方程的一个近似根（精确度）可以是（ ）
A． B． C． D．
高频考点5 . 一元二次方程根的分布问题
【方法点拨】1.解决一元二次方程根的分布问题，要利用数形结合，结合判别式、对称轴、区间端点的函数值的正负等情况进行求解．
2．二次函数零点的分布问题
二次函数零点的分布一般为下面两个方面问题：(1)一个区间内只有一个根；(2)一个区间内有两个根．
由于我们在初中学过方程根的情况，有时可以根据判别式及根与系数的关系判断，但在多数情况下，还要结合图象，从对称轴、判别式、区间端点的函数值等方面去探究．具体解法如下表：
设二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)对应的方程的根为x1、x2.
根的分布(m＜n＜p) 图象 满足条件
一个区间只有一个根 x1＜m＜x2 f(m)＜0
m＜x1＜n＜x2＜p
一个区间有两个根 m＜x1＜x2＜n
m＜x1＜x2
在(m，n)内有且只有一个根 或 f(m)·f(n)＜0或Δ＝0且－∈(m，n)或或
另外，x1，x2∈(0，＋∞)，即两正根，也可通过满足条件来解决；x1，x2∈(－∞，0)，即两负根，也可通过满足条件来解决；x1，x2一正一负也可通过满足来解决．
【例5】（2021·辽宁高一期中）已知函数f（x）＝3x2－5x＋a．（1）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围；（2）若函数f（x）的一个零点在(－2，0)内，另一个零点在(1，3)内，求实数a的取值范围．
【变式5-1】（2021·重庆高一期中）函数在区间和内各有一个零点，则实数的取值范围是___________.
【变式5-2】（2021·江苏高一月考）函数的零点均是正数，则实数b的取值范围是______.
【变式5-3】（2021·天津高一月考）已知二次函数在区间上至少有一个零点，则的最小值为__________.
【变式5-4】（2021·江苏高一月考）已知函数，．若方程恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围为__________．
高频考点6 . 函数模型的增长差异与模型选取
【方法点拨】
1.三种函数模型的增长规律：
(1)对于幂函数y＝xn，当x＞0，n＞0时，y＝xn才是增函数，当n越大时，增长速度越快．
(2)指数函数与对数函数的递增前提是a＞1，又它们的图象关于y＝x对称，从而可知，当a越大，y＝ax增长越快；当a越小，y＝logax增长越快，一般来说，ax＞logax(x＞0，a＞1)．
(3)指数函数与幂函数，当x＞0，n＞0，a＞1时，可能开始时有xn＞ax，但因指数函数是爆炸型函数，当x大于某一个确定值x0后，就一定有ax＞xn.
2.函数建模是对数据进行函数模拟，选择最符合客观实际的模拟函数．一般思路为：先画出散点图，然后作出模拟函数的图象，选择适当的几种函数模型后，再加以验证．函数模型的建立是最大的难点，另外运算量较大，须借助计算器或计算机进行数据处理，函数模型的可靠性与合理性既需要数据检验，又必须符合实际．
【例6】（2021.山东高一月考）某公司为了实现2019年销售利润1000万元的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：从销售利润达到10万元开始，按销售利润进行奖励，且奖金数额y(万元)随销售利润x(万元)的增加而增加，但奖金数额不超过5万元.现有三个奖励模型：y=0.025x，y=1.003x，y=lnx+1，其中是否有模型能完全符合公司的要求？请说明理由.(参考数据：1.003538≈5，e≈2.71828…，e8≈2981)
【变式6-1】（2021.江苏高一模拟）某种商品进价为每个80元，零售价为每个100元，为了促销，采用买一个这种商品赠送一个小礼品的办法.实践表明：礼品的价格为1元时，销售量增加10%，且在一定范围内，礼品价格为(n+1)元时，比礼品价格为n(n∈N*)元时的销售量增加10%.
（1）写出礼品价格为n元时，利润关于n的函数关系式；
（2）请你设计礼品的价格，以使商店获得最大利润.
【变式6-2】（2021·重庆高一月考）2019年某开发区一家汽车生产企业计划引进一批新能源汽车制造设备，通过市场分析，全年需投入固定成本3000万元，生产（百辆），需另投入成本万元，且,由市场调研知，每辆车售价为6万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.
（1）求出2019年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；
（2）2019年年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？求出最大利润？
【变式6-3】（2021·河北高一期末）为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数），如图所示，根据图中提供的信息，求：
（1）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式；
（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过多少小时候后，学生才能回到教室.
【变式6-4】（2021·昭通市昭阳区第二中学高一期末）黑颈鹤是国家一级保护动物，主要在青藏高原繁殖，云贵高原过冬，是世界上15种鹤类中唯一在高原上繁殖和越冬的鹤类，数量十分稀少．截止2020年11月30日，大山包保护区黑颈鹤迁徙数据再破纪录，达1938只，是至今为止历年来大山包监测到黑颈鹤数量的最高纪录．研究鸟类的专家发现，黑颈鹤的飞行速度(单位：)与其耗氧量之间的关系为 (其中，是实数).据统计，黑颈鹤在静止时其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1．（1）求出，的值；（2）若黑颈鹤为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？
【课后训练】
全卷共22题 满分：150分 时间：120分钟
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2021·山东高一课时练习）若函数经过点，则函数的零点是（ ）
A．0，2 B．0， C．0， D．2，
2．（2021·湖北高一课时练习）若函数的一个零点附近的函数值如下表：
则用二分法可求得方程的一个近似解（精确度为0.04）为（ ）
A．1.5 B．1.375 C．1.4375 D．1.25
3．（2021·山东潍坊·高一期末）方程的根所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
4.（2021·福建师大附中高三其他模拟）视力检测结果有两种记录方式，分别是小数记录与五分记录，其部分数据如下表：
小数记录
五分记录
现有如下函数模型：①，②，表示小数记录数据，表示五分记录数据，请选择最合适的模型解决如下问题：小明同学检测视力时，医生告诉他的视力为，则小明同学的小数记录数据为（附，，）（ ）
A． B． C． D．
5.（2021·山东高三二模）已知函数是定义在区间上的偶函数，且当时，，则方程根的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．（2021·云南弥勒市一中高一月考）若的零点所在的区间为，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7.（2021·福建高三二模）经多次实验得到某种型号的汽车每小时耗油量（单位：）与速度（单位：）（）的数据如下表：
40 60 90 100 120
5.2 6 8.325 10 15.6
为描述与的关系，现有以下三种模型供选择：，，.选出最符合实际的函数模型，解决下列问题：某高速公路共有三个车道，分别是外侧车道、中间车道、内侧车道，车速范围分别是，，（单位：）.为使百公里耗油量（单位：）最小，该型号汽车行驶的车道与速度为（ ）
A．在外侧车道以行驶 B．在中间车道以行驶
C．在中间车道以行驶 D．在内侧车道以行驶
8．（2021·云南丽江·）已知函数，若关于x的方程有四个实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2021·滨海县八滩中学高一期末）已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，则函数g(x)=f(x)-x+3的零点是（ ）
A．1 B．3 C． D．
10．（2021.山东高一月考）若函数在区间上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法中错误的有（ ）
A．若，则不存在实数，使得
B．若，则存在且只存在一个实数，使得
C．若，则可能存在实数，使得
D．若，则可能不存在实数，使得
11.（2021·湖南高一月考）设函数，若函数有五个零点，则实数可取（ ）
A． B． C． D．
12．（2021·江苏高三专题练习）已知函数，若方程有四个不同的实根，，，满足，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2021·江苏高一月考）若方程x2＋(k－2)x＋2k－1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，则实数k的取值范围是____________．
14.（2021·福建高三二模）已知函数则函数的所有零点之和为____.
15.（2021·山东滨州市·高三二模）某同学设想用“高个子系数k”来刻画成年男子的高个子的程度，他认为，成年男子身高160 cm及其以下不算高个子，其高个子系数k应为0；身高190 cm及其以上的是理所当然的高个子，其高个子系数k应为1，请给出一个符合该同学想法 合理的成年男子高个子系数k关于身高x（cm）的函数关系式___________.
16．（2021·北京中关村中学高三期末）炎炎夏日，冰激凌成为非常受欢迎的舌尖上的味道．某商店统计了一款冰激凌6月份前天每天的供应量和销售量，结果如下表：
6月1日 6月2日 6月3日 6月4日 6月5日 6月6日
供应量
销售量
记为月日冰激凌的供应量，为6月日冰激凌的销售量，其中、、、.
用销售指数，（，）来评价从月日开始连续天的冰激凌的销售情况．当时，表示月日的日销售指数．
给出下列四个结论，其中所有正确结论的序号是________．
①在6月1日至6日这天中，最小，最大；
②在6月1日至6日这天中，日销售指数越大，说明该天冰激凌的销售量越大；
③；
④如果6月7日至12日冰激凌每天的供应量和销售量与6月1日至6日每天的供应量和销售量对应相符，则对任意，都有
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17．（2021·北京高一模拟）已知二次函数.
（1）若二次函数有零点，求实数的取值范围；
（2）如果是满足（1）的最大整数，且二次函数的零点是二次函数的一个零点，求的值及二次函数的另一个零点.
18.（2021·陆良县中枢镇第二中学高一月考）改革开放40多年来，从开启新时期到跨入新世纪，从站上新起点到进入新时代，我们党引领人民绘就了一幅波澜壮阔、气势恢宏的历史画卷，谱写了一曲感天动地、气壮山河的奋斗赞歌，40多年来我们始终坚持保护环境和节约资源，坚持推进生态文明建设．昭通市政府也越来越重视生态系统的重建和维护，若市财政下拨一项专款100百万元，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金（单位：百万元）的函数（单位：百万元）：，处理污染项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金（单位：百万元）的函数（单位：百万元）：．
（1）设分配给植绿护绿项目的资金为（百万元），则两个生态项目五年内带来的收益总和为，写出关于的函数解析式和定义域；
（2）生态项目的投资开始利润薄弱，只有持之以恒，才能功在当代，利在千秋．试求出的最大值，并求出此时对两个生态项目的投资分别为多少
19．（2021·重庆高一月考）某口罩生产厂家目前月生产口罩总数为100万，因新冠疫情的需求，拟按照每月增长率为扩大生产规模，试解答下面的问题：
（1）写出第月该厂家生产的口罩数（万只）与月数(个）的函数关系式；
（2）计算第10个月该厂家月生产的口罩数（精确到0.1万）；
（3）计算第几月该厂家月生产的口罩数超过120万只（精确到1月）
（参考数据）：
20．（2021·上海高三二模）设常数，函数．（1）若函数是奇函数，求实数的值；（2）若函数在时有零点，求实数的取值范围．
21．（2021·北京高一模拟）5G技术的价值和意义是在自动驾驶、物联网等领域．其数学原理之一是香农公式：，其中：（单位：）是信道容量或者叫信道支持的最大速度，（单位；）是信道的带宽，（单位：）是平均信号率，（单位：）是平均噪声功率，叫做信噪比．（1）根据香农公式，如果不改变带宽，那么将信噪比从1023提升到多少时，信道容量能提升？（2）已知信号功率，证明：；
（3）现有3个并行的信道上，，，它们的信号功率分别为，，（），这3个信道上已经有一些噪声或者信号功率．根据（2）中结论，如果再有一小份信号功率，把它分配到哪个信道上能获得最大的信道容量？只需写出结论
22．（2021·湖南高三期中）已知函数在上有最小值1．（1）求实数m的值；（2）若关于x的方程恰好有4个不相等的实数根，求实数k的取值范围．
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4.5 函数的应用（二）
【学习要求】
1、理解函数零点的定义，掌握函数零点的判定方法，了解函数的零点与方程的根的联系．
2、能用二分法求出方程的近似解，了解二分法求方程近似解．
3、会利用已知函数模型解决实际问题，能建立函数模型解决实际问题．
【思维导图】
【知识梳理】
1．函数的零点
(1)定义：对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)几何意义：函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标就是函数y＝f(x)的零点．
(3)结论：方程f(x)＝0有实数根 函数y＝f(x)的图象与x轴有交点 函数y＝f(x)有零点.
2．函数零点的判定定理
条件 结论
函数y＝f(x)在[a，b]上 y＝f(x)在(a，b)内有零点
(1)图象是连续不断的曲线
(2)f(a)f(b)＜0
【注】判断函数y＝f(x)是否存在零点的方法： (1)方程法：判断方程f(x)＝0是否有实数解．
(2)图象法：判断函数y＝f(x)的图象与x轴是否有交点．(3)定理法：利用零点的判定定理来判断．
3．二分法的概念
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
4．用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤
(1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0，给定精确度ε；(2)求区间(a，b)的中点c；
(3)计算f(c)：若f(c)＝0，则c就是函数的零点；若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c[此时零点x0∈(a，c)]；
若f(c)·f(b)＜0，则令a＝c[此时零点x0∈(c，b)]．
(4)判断是否达到精确度ε：即若|a－b|＜ε，则得到零点的近似值为a(或b)；否则重复(2)～(4)．
5．四种函数模型的性质
函数性质 y＝ax(a＞1) y＝logax(a＞1) y＝xn(n＞0) y＝kx＋b(k＞0)
在(0，＋∞)上的增减性 增函数 增函数 增函数 增函数
增长的速度 越来越快 越来越慢 相对较快 不变
图象的变化 越来越陡 越来越平 随n值而不同 直线上升
6．三种增长函数模型的比较
(1)指数函数和幂函数．
一般地，对于指数函数y＝ax(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)，通过探索可以发现，在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有ax＞xn.
(2)对数函数和幂函数．
对于对数函数y＝logax(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)，在区间(0，＋∞)上，随着x的增大，logax增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样，尽管在x的一定变化范围内，logax可能会大于xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有logax＜xn.
(3)指数函数、对数函数和幂函数．
在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是增函数，但它们增长的速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有logax＜xn＜ax.
【高频考点】
高频考点1. 求函数的零点
【方法点拨】1.正确理解函数的零点：
(1)函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．
(2)根据函数零点定义可知，函数f(x)的零点就是f(x)＝0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有实根，有几个实根．即函数y＝f(x)的零点 方程f(x)＝0的实根 函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．
2．函数零点的求法：(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．(2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.
【例1】（1）（2021·河北高一月考）已知函数，则函数的零点为（ ）
A． B．，0 C． D．0
（2）（2021·山东高一单元测试）函数的零点是（ ）
A． B． C． D．
（3）（2021·上海高一月考）设函数，（），若其零点为2，则a=__________．
【答案】（1）D（2）B（3）2
【解析】（1）函数当时，令，解得
当时，令，解得（舍去）综上函数的零点为0.故选：D.
（2）将4个选项逐一代入函数，1是函数的零点，故选B
（3）由题得或，因为，所以.故答案为：2
【变式1-1】（2021·浙江高一专题练习）已知函数则函数的所有零点之和为___________.
【答案】
【解析】时，，，由，可得或，或；
时，，，由，可得或，或；
函数的所有零点为，，，，所以所有零点的和为故答案为：．
【变式1-2】（2021·上海黄浦·格致中学）若指数函数的图象经过点，则函数的零点为_____.
【答案】
【解析】设（且），则，解得，，
解方程，即，可得，解得.
因此，函数的零点为.故答案为：.
【变式1-3】（2021·上海高一期末）已知函数，则该函数的零点是_________.
【答案】
【解析】函数的零点即为相应方程的根，所以要求函数的零点，
即x2﹣2x＝0，解得x＝0或x＝2，又，所以舍去，＝0，又，可得x，
所以函数的零点为．故答案为：．
【变式1-4】（2021·全国高一专题练习）若是二次函数的两个零点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令，解得或，不妨设，代入可得.故选：D.
高频考点2 . 判断零点所在的区间
【方法点拨】判断函数零点所在区间的方法：
一般而言判断函数零点所在区间的方法是将区间端点代入函数求出函数的值，进行符号判断即可得出结论．此类问题的难点往往是函数值符号的判断，可运用函数的有关性质进行判断．
【例2】（1）（2021·贵州省瓮安第二中学）函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
（2）（2021·江西抚州·高一期末）已知a是函数的零点，则函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】（1）C（2）B
【解析】（1）因为是连续的减函数，
，，，，
有，所以的零点所在的区间为．故选：C
（2）由题意，a是函数的零点，即，解得，所以函数，
又由在上是增函数，且，，
可得，根据零点存在性定理，可得函数的零点所在的区间为.
故选：B.
【变式2-1】（2021·广东）函数的零点所在的大致区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于函数在上是连续增函数，
由于，，所以，
根据零点存在定理可知，函数的零点所在的大致区间是，故选：．
【变式2-2】（2021·福建高一期末）函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当时，令，即，所以；
当时，令，即，，不在定义域区间内，舍
所以函数零点所在的区间为故选：D
【变式2-3】（2021·湖南师大附中高一期末）若的零点所在的区间为，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为的零点所在的区间为，又函数在R上单调递增，则需，即，解得.故选：C.
【变式2-4】（2021·江苏高一）已知函数，若，，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数，若，，可得，
解得或，则实数的取值范围是，故选：A．
高频考点3 . 函数零点个数的判断
【方法点拨】判断函数零点个数的主要方法：
(1)利用方程根，转化为解方程，有几个根就有几个零点．
(2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数．
(3)结合单调性，利用f(a)·f(b)＜0，可判定y＝f(x)在(a，b)上零点的个数．
(4)转化成两个函数图象的交点问题．
【例3】（1）（2021·四川省成都市玉林中学高二期中）方程根的个数为（ ）
A．无穷多 B．3 C．1 D．0
（2）（2021·山东高一月考）已知函数，若函数有3个零点，则实数m的取值范围（ ）
A． B． C．（0，1） D．
【答案】（1）C（2）C
【解析】（1）方程可化为，设函数和，
在坐标系中分别作出两个函数的图象如图：
∴由图象可知两个函数的交点个数为1个．故方程根的个数为1．故选：C．
（2）因为函数有3个零点，所以有三个实根，即直线与函数的图象有三个交点．作出函数图象，由图可知，实数的取值范围是．选：C．
【变式3-1】（2021·张家口市高一月考）函数的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】函数，由，可得，作出和的图象，
由图象可得它们有2个交点，则的零点个数为2，故选：C.
【变式3-2】（2021·福建省永泰县第一中学）已知，则函数的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】函数的零点，即方程的解，即，即与的交点的横坐标，
因为，在同一平面直角坐标系画出函数图象如下所示：
由函数图象可知与有两个交点，故函数有2个零点 故选：B
【变式3-3】（2021·重庆高一期末）（多选）若直线与函数（，且）的图象有两个公共点，则的取值可以是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】AB
【解析】（1）当时，由题得，
因为，所以此种情况不存在；
（2）当时，由题得，因为，所以.故选：AB
【变式3-4】（2021·广东潮州·）已知函数的图象与直线有三个不同的交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】作函数和的图象，如图所示，可知的取值范围是，
故选D．
高频考点4. 用二分法求函数的零点问题
【方法点拨】1.用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则
(1)需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成)．
(2)取区间端点的平均数c，计算f(c)，确定有解区间是[m，c]还是[c，n]，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值．
2．二分法求函数零点步骤的记忆口诀
定区间，找中点；中值计算两边看，
同号丢，异号算，零点落在异号间．
重复做，何时止，精确度来把关口．
【例4】（2021·浙江高一单元测试）根据已给数据：
x 1.5 1.53125 1.5625 1.625 1.75
的近似值 5.196 5.378 5.565 5.961 6.839
在精确度为0.1的要求下，方程的一个近似解可以为（ ）
A． B．1.5 C．1.562 D．1.7
【答案】C
【解析】，即，令，
则，
，
，
，
，
根据零点存在性定理可知：，使，
又，故的一个近似解可以为：1.562.故选：C.
【变式4-1】（2021·毕节三联学校高一期末）若的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，数据如下表：
那么方程的一个近似根（精确到0.1）为（ ）
A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5
【答案】C
【解析】：根据二分法，结合表中数据，由于，，
所以方程的一个近似根所在区间为 所以符合条件的解为1.4故选：C
【变式4-2】（2021·定远县育才学校高一期中）设函数，用二分法求方程近似解的过程中，计算得到，，则方程的近似解落在区间（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】取，因为，所以方程近似解，
取，因为，所以方程近似解，故选：A.
【变式4-3】2．（2021·上海高一专题练习）用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次计算，得f(0)<0，f(0.5)>0，第二次应计算f(x1)，则x1等于（ ）
A．1 B．－1 C．0.25 D．0.75
【答案】C
【解析】第一次计算，得f(0)<0，f(0.5)>0，可知零点在之间，
所以第二次计算f(x1)，则x1＝＝0.25.故选：C
【变式4-4】（2021·四川遂宁·）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
那么方程的一个近似根（精确度）可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度；
因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度；
因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度；
因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度；
因为，，所以函数在内有零点，
因为，所以满足精确度，
所以方程的一个近似根（精确度）是区间内的任意一个值（包括端点值），根据四个选项可知选C.故选：C
高频考点5 . 一元二次方程根的分布问题
【方法点拨】1.解决一元二次方程根的分布问题，要利用数形结合，结合判别式、对称轴、区间端点的函数值的正负等情况进行求解．
2．二次函数零点的分布问题
二次函数零点的分布一般为下面两个方面问题：(1)一个区间内只有一个根；(2)一个区间内有两个根．
由于我们在初中学过方程根的情况，有时可以根据判别式及根与系数的关系判断，但在多数情况下，还要结合图象，从对称轴、判别式、区间端点的函数值等方面去探究．具体解法如下表：
设二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)对应的方程的根为x1、x2.
根的分布(m＜n＜p) 图象 满足条件
一个区间只有一个根 x1＜m＜x2 f(m)＜0
m＜x1＜n＜x2＜p
一个区间有两个根 m＜x1＜x2＜n
m＜x1＜x2
在(m，n)内有且只有一个根 或 f(m)·f(n)＜0或Δ＝0且－∈(m，n)或或
另外，x1，x2∈(0，＋∞)，即两正根，也可通过满足条件来解决；x1，x2∈(－∞，0)，即两负根，也可通过满足条件来解决；x1，x2一正一负也可通过满足来解决．
【例5】（2021·辽宁高一期中）已知函数f（x）＝3x2－5x＋a．（1）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围；（2）若函数f（x）的一个零点在(－2，0)内，另一个零点在(1，3)内，求实数a的取值范围．
【答案】（1）；（2）(－12，0)．
【分析】（1）由判别式大于零求出实数a的取值范围；
（2）画出的草图，结合零点存在性定理，列出不等式组求出实数a的取值范围．
【详解】（1）由题意得Δ＝25－4×3×a>0，解得．所以a的取值范围是．
（2）由草图可知得，解得．所以a的取值范围是
【点睛】解决问题二的关键在于根据题意画出的草图，结合零点存在性定理得出实数a的取值范围．
【变式5-1】（2021·重庆高一期中）函数在区间和内各有一个零点，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【分析】由二次函数的特点和零点存在定理可构造不等式组求得结果.
【详解】为开口方向向上，对称轴为的二次函数，
，即，解得：，即实数的取值范围为.答案：.
【变式5-2】（2021·江苏高一月考）函数的零点均是正数，则实数b的取值范围是______.
【答案】
【解析】因为函数的零点均是正数，故方程的根都是正根，
故当时，需满足解得.
当时，解得，此时方程为，
方程的根满足题意.综上所述：.故答案为：.
【变式5-3】（2021·天津高一月考）已知二次函数在区间上至少有一个零点，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】
所以
令
因为在上单调递减，在上单调递增，
所以故答案为:
【变式5-4】（2021·江苏高一月考）已知函数，．若方程恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围为__________．
【答案】．
【解析】（方法一）在同一坐标系中画和的图象（如图），问题转化为
与图象恰有四个交点．当与（或与）相切时，与图象恰有三个交点．把代入，得，即，由，得，解得或．又当时，与仅两个交点，或．
（方法二）显然，∴．令，则
∵，∴．结合图象可得或．
高频考点6 . 函数模型的增长差异与模型选取
【方法点拨】
1.三种函数模型的增长规律：
(1)对于幂函数y＝xn，当x＞0，n＞0时，y＝xn才是增函数，当n越大时，增长速度越快．
(2)指数函数与对数函数的递增前提是a＞1，又它们的图象关于y＝x对称，从而可知，当a越大，y＝ax增长越快；当a越小，y＝logax增长越快，一般来说，ax＞logax(x＞0，a＞1)．
(3)指数函数与幂函数，当x＞0，n＞0，a＞1时，可能开始时有xn＞ax，但因指数函数是爆炸型函数，当x大于某一个确定值x0后，就一定有ax＞xn.
2.函数建模是对数据进行函数模拟，选择最符合客观实际的模拟函数．一般思路为：先画出散点图，然后作出模拟函数的图象，选择适当的几种函数模型后，再加以验证．函数模型的建立是最大的难点，另外运算量较大，须借助计算器或计算机进行数据处理，函数模型的可靠性与合理性既需要数据检验，又必须符合实际．
【例6】（2021.山东高一月考）某公司为了实现2019年销售利润1000万元的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：从销售利润达到10万元开始，按销售利润进行奖励，且奖金数额y(万元)随销售利润x(万元)的增加而增加，但奖金数额不超过5万元.现有三个奖励模型：y=0.025x，y=1.003x，y=lnx+1，其中是否有模型能完全符合公司的要求？请说明理由.(参考数据：1.003538≈5，e≈2.71828…，e8≈2981)
【答案】奖励模型能完全符合公司的要求，答案见解析.
【分析】由题意得模型需满足①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x·25%，依次判断三个模型是否满足上述条件即可.
【详解】解：由题意，符合公司要求的模型需同时满足：
当x∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x·25%.
（1）对于y=0.025x，易知满足①，但当x>200时，y>5，不满足公司的要求；
（2）对于y=1.003x，易知满足①，但当x>538时，不满足公司的要求；
（3）对于，易知满足①.
当x∈[10，1000]时，y≤ln1000+1.
下面证明ln1000+1<5.
因为ln1000+1-5=ln1000-4= (ln1000-8)=(ln1000-ln2981)<0，满足②.
再证明lnx+1≤x·25%，即2lnx+4-x≤0.
设F(x)=2lnx+4-x，则F′(x)= -1=<0，x∈[10，1000]，所以F(x)在[10，1000]上为减函数，
F(x)max=F(10)=2ln10+4-10=2ln10-6=2(ln10-3)<0，满足③.
综上，奖励模型能完全符合公司的要求.
【点睛】本题主要考查函数的模型应用.
【变式6-1】（2021.江苏高一模拟）某种商品进价为每个80元，零售价为每个100元，为了促销，采用买一个这种商品赠送一个小礼品的办法.实践表明：礼品的价格为1元时，销售量增加10%，且在一定范围内，礼品价格为(n+1)元时，比礼品价格为n(n∈N*)元时的销售量增加10%.
（1）写出礼品价格为n元时，利润关于n的函数关系式；
（2）请你设计礼品的价格，以使商店获得最大利润.
【答案】（1）；（2）当礼品价格为9元或10元时，商店获得最大利润.
【分析】（1）设未赠礼品时的销售量为m件，根据题意即可得出关系式；
（2）令，可解得，由可解得，即可求解.
【详解】（1）设未赠礼品时的销售量为m件，则当礼品价格为n元时，销售量为m(1+10%)n件，
利润.
（2）令，即，解得，
所以.
令，即，解得，
所以.
答：当礼品价格为9元或10元时，商店获得最大利润.
【变式6-2】（2021·重庆高一月考）2019年某开发区一家汽车生产企业计划引进一批新能源汽车制造设备，通过市场分析，全年需投入固定成本3000万元，生产（百辆），需另投入成本万元，且,由市场调研知，每辆车售价为6万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.
（1）求出2019年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；
（2）2019年年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？求出最大利润？
【答案】（1）；（2）产量为百辆时，该企业所获利润最大，且最大利润为万元.
【解析】（1）当时，，
当时，.
综上所述，．
（2）当时，，所以当时，当时，，在上单调递增，在上单调递减；所以当时，所以当，即年年产量为百辆时，该企业所获利润最大，且最大利润为万元.
【变式6-3】（2021·河北高一期末）为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数），如图所示，根据图中提供的信息，求：
（1）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式；
（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过多少小时候后，学生才能回到教室.
【答案】（1），（2）
【解析】（1）由图可知直线的斜率为，所以图像中线段的方程为，
因为点在曲线上，所以，解得，
所以从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式为，
（2）因为药物释放过程中室内药量一直在增加，即使药量小于0.25毫克，学生也不能进入教室，所以只能当药物释放完毕，室内药量减少到0.25毫克以下时，学生方可进入教室，
即，解得，
所以从药物释放开始，至少需要经过小时，学生才能回到教室
【变式6-4】（2021·昭通市昭阳区第二中学高一期末）黑颈鹤是国家一级保护动物，主要在青藏高原繁殖，云贵高原过冬，是世界上15种鹤类中唯一在高原上繁殖和越冬的鹤类，数量十分稀少．截止2020年11月30日，大山包保护区黑颈鹤迁徙数据再破纪录，达1938只，是至今为止历年来大山包监测到黑颈鹤数量的最高纪录．研究鸟类的专家发现，黑颈鹤的飞行速度(单位：)与其耗氧量之间的关系为 (其中，是实数).据统计，黑颈鹤在静止时其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1．（1）求出，的值；（2）若黑颈鹤为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？
【答案】（1），；（2）270.
【解析】（1）由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s，此时耗氧量为30个单位，故有a＋blog3＝0，即a＋b＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s，故有a＋blog3＝1，
整理得a＋2b＝1.解方程组得,
(2)由(1)知，v＝－1＋log3.所以要使飞行速度不低于2 m/s，
则有v≥2，即－1＋log3≥2，即log3≥3，解得Q≥270,
所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要270个单位
【课后训练】
全卷共22题 满分：150分 时间：120分钟
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2021·山东高一课时练习）若函数经过点，则函数的零点是（ ）
A．0，2 B．0， C．0， D．2，
【答案】C
【解析】函数经过点，，∴，∴，
令，则所以函数的零点是0和．故选：C.
2．（2021·湖北高一课时练习）若函数的一个零点附近的函数值如下表：
则用二分法可求得方程的一个近似解（精确度为0.04）为（ ）
A．1.5 B．1.375 C．1.4375 D．1.25
【答案】C
【解析】由表格中的数据，可知，，
且，所以方程的一个近似解可取1.4375.故选：C．
3．（2021·山东潍坊·高一期末）方程的根所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】方程的根所在的区间即函数的零点所在的区间，
由于：，，，，，
由函数零点存在性定理可得函数零点所在区间为.故选：C
4.（2021·福建师大附中高三其他模拟）视力检测结果有两种记录方式，分别是小数记录与五分记录，其部分数据如下表：
小数记录
五分记录
现有如下函数模型：①，②，表示小数记录数据，表示五分记录数据，请选择最合适的模型解决如下问题：小明同学检测视力时，医生告诉他的视力为，则小明同学的小数记录数据为（附，，）（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据表格中可知函数的单调性，可选择合适的函数模型，然后令，解方程即可得解.
【详解】由表格中的数据可知，函数单调递增，故合适的函数模型为，
令，解得.故选：B.
5.（2021·山东高三二模）已知函数是定义在区间上的偶函数，且当时，，则方程根的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】将问题转化为与的交点个数，由解析式画出在上的图象，再结合偶函数的对称性即可知定义域上的交点个数.
【详解】要求方程根的个数，即为求与的交点个数，
由题设知，在上的图象如下图示，
∴由图知：有3个交点，又由在上是偶函数，
∴在上也有3个交点，故一共有6个交点.故选：D.
【点睛】将问题转化为与的交点个数，利用数形结合思想及偶函数的对称性求交点的个数.
6．（2021·云南弥勒市一中高一月考）若的零点所在的区间为，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为的零点所在的区间为，所以只需，
即，解得.故选：B.
7.（2021·福建高三二模）经多次实验得到某种型号的汽车每小时耗油量（单位：）与速度（单位：）（）的数据如下表：
40 60 90 100 120
5.2 6 8.325 10 15.6
为描述与的关系，现有以下三种模型供选择：，，.选出最符合实际的函数模型，解决下列问题：某高速公路共有三个车道，分别是外侧车道、中间车道、内侧车道，车速范围分别是，，（单位：）.为使百公里耗油量（单位：）最小，该型号汽车行驶的车道与速度为（ ）
A．在外侧车道以行驶 B．在中间车道以行驶
C．在中间车道以行驶 D．在内侧车道以行驶
【答案】A
【分析】首先根据数据选择函数模型，再表示，求函数取得最小值时，的取值.
【详解】由题意，符合的函数模型需要满足在，都可取，且由表可知，随的增大而增大，则该函数模型应为增函数，不符合，
若选择，则，，，与实际数据相差较大，所以不符合，
若选择，则，，，，，最符合实际，
，
当时，取得最小值为.故选：A
【点睛】本题考查利用函数模型解决实际问题，本题的关键是建立函数模型，一个是判断最符合的函数模型，另一个是求.
8．（2021·云南丽江·）已知函数，若关于x的方程有四个实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】作出函数的图象，
关于x的方程有四个实数根，则函数与有四个交点，则，故选：C.
二 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2021·滨海县八滩中学高一期末）已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，则函数g(x)=f(x)-x+3的零点是（ ）
A．1 B．3 C． D．
【答案】ABC
【解析】由题意，若时，，有，
∴，
即，又由时，有，
∴当时，，整理有，解得，
当时，，整理有，解得(舍)，，
∴零点有，.故选：ABC
10．（2021.山东高一月考）若函数在区间上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法中错误的有（ ）
A．若，则不存在实数，使得
B．若，则存在且只存在一个实数，使得
C．若，则可能存在实数，使得
D．若，则可能不存在实数，使得
【答案】ABD
【分析】取特殊函数和特殊区间可知A说法错误；C说法正确；B说法错误；根据零点存在性定理可知，D说法错误.
【详解】取，区间取为，满足，但是在内存在两个零点，故A说法错误；C说法正确；
取，区间取为，满足，但是在内存在三个零点，故B说法错误；
根据零点存在性定理可知，D说法错误.故选：ABD.
【点睛】正确理解零点存在性定理是解题关键.
11.（2021·湖南高一月考）设函数，若函数有五个零点，则实数可取（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【解析】函数有五个零点等价于与有五个不同的交点，作出图像可知，当时，若与有五个不同的交点，
则，，故选：．
12．（2021·江苏高三专题练习）已知函数，若方程有四个不同的实根，，，满足，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】作出函数的图象，可知，即可得到，的关系，由，是方程的两根，利用根与系数关系可得，的关系，由此即可判断出正确选项.
【详解】解：作出函数的图象，方程有四个不同的实根，
即函数与有四个不同的交点，如图所示：
依题意，且，
所以，即，
所以，即，
所以，所以，故选项A错误，选项B正确；
又，是方程的两根，
即，是方程的两根，所以，，
因为方程有四个不同的实根，所以由图可知，
所以，故选项C，选项D均正确．故选：BCD.
【点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质，同时考查含有绝对值的对数型函数的图象变换及函数与方程思想，对于方程根的个数问题常用数形结合的思想解决．
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2021·江苏高一月考）若方程x2＋(k－2)x＋2k－1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，则实数k的取值范围是____________．
【答案】
【解析】设f(x)＝x2＋(k－2)x＋2k－1，
由题意知即解得14.（2021·福建高三二模）已知函数则函数的所有零点之和为____.
【答案】
【解析】利用分段函数，分类讨论，即可求出函数的所有零点，从而得解．
【详解】解：时，，，由，可得或，或；
时，，，由，可得或，或；
函数的所有零点为，，，，所以所有零点的和为
故答案为：．
15.（2021·山东滨州市·高三二模）某同学设想用“高个子系数k”来刻画成年男子的高个子的程度，他认为，成年男子身高160 cm及其以下不算高个子，其高个子系数k应为0；身高190 cm及其以上的是理所当然的高个子，其高个子系数k应为1，请给出一个符合该同学想法 合理的成年男子高个子系数k关于身高x（cm）的函数关系式___________.
【答案】，(只要写出的函数满足在区间上单调递增，且过点和即可.答案不唯一)
【解析】由题意，个数越高，系数越大，因此在上的函数是增函数即可，初始值，，设出函数式代入求解．
【详解】由题意函数是上的增函数，设，，
由，解得，所以，
所以故答案为：
注：在上设其他函数式也可以，只要是增函数，只有两个参数．如，等等．
16．（2021·北京中关村中学高三期末）炎炎夏日，冰激凌成为非常受欢迎的舌尖上的味道．某商店统计了一款冰激凌6月份前天每天的供应量和销售量，结果如下表：
6月1日 6月2日 6月3日 6月4日 6月5日 6月6日
供应量
销售量
记为月日冰激凌的供应量，为6月日冰激凌的销售量，其中、、、.
用销售指数，（，）来评价从月日开始连续天的冰激凌的销售情况．当时，表示月日的日销售指数．
给出下列四个结论，其中所有正确结论的序号是________．
①在6月1日至6日这天中，最小，最大；
②在6月1日至6日这天中，日销售指数越大，说明该天冰激凌的销售量越大；
③；
④如果6月7日至12日冰激凌每天的供应量和销售量与6月1日至6日每天的供应量和销售量对应相符，则对任意，都有
【答案】①④
【分析】本题可通过求出、、、、、得出①正确，然后通过月1日与月2日的数据得出②错误，再然后通过、得出③错误，最后通过销售指数的周期为得出④正确.
【详解】①：，，，
，，，
故最小，最大，①正确；
②：月1日与月2日销售量相同但日销售指数不同，②错误；
③：，
，，③错误；
④：，，
因为以为周期，以为周期，所以销售指数的周期为，
则，④正确，故答案为：①④.
【点睛】本题考查函数模型的实际应用，能否正确理解题意以及应用函数模型解决问题是解决本题的关键，考查计算能力，是难题.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17．（2021·北京高一模拟）已知二次函数.
（1）若二次函数有零点，求实数的取值范围；
（2）如果是满足（1）的最大整数，且二次函数的零点是二次函数的一个零点，求的值及二次函数的另一个零点.
【答案】（1）；（2），另一个零点为4.
【分析】（1）转化条件为，运算即可得解；
（2）由零点的概念可得方程的一个根为2，求出后运算即可得解.
【详解】（1）由题意得，所以，解得.
（2）由（1）可知，所以方程的根，二次函数的零点是，∴二次函数的一个零点是，
∴方程的一个根为2，∴，解得，
∴，解得或，所以二次函数的另一个零点为4.
18.（2021·陆良县中枢镇第二中学高一月考）改革开放40多年来，从开启新时期到跨入新世纪，从站上新起点到进入新时代，我们党引领人民绘就了一幅波澜壮阔、气势恢宏的历史画卷，谱写了一曲感天动地、气壮山河的奋斗赞歌，40多年来我们始终坚持保护环境和节约资源，坚持推进生态文明建设．昭通市政府也越来越重视生态系统的重建和维护，若市财政下拨一项专款100百万元，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金（单位：百万元）的函数（单位：百万元）：，处理污染项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金（单位：百万元）的函数（单位：百万元）：．
（1）设分配给植绿护绿项目的资金为（百万元），则两个生态项目五年内带来的收益总和为，写出关于的函数解析式和定义域；
（2）生态项目的投资开始利润薄弱，只有持之以恒，才能功在当代，利在千秋．试求出的最大值，并求出此时对两个生态项目的投资分别为多少
【答案】（1），；（2）的最大值为52（百万元），分别投资给植绿护绿项目、污染处理项目的资金为40（百万元），60（百万元）．
【解析】（1）由题意可得处理污染项目投放资金为百万元，则，
，．
（2）由（1）可得，
，
当且仅当，即时等号成立． 此时．
所以的最大值为52（百万元），分别投资给植绿护绿项目、污染处理项目的资金为40（百万元），60（百万元）．
19．（2021·重庆高一月考）某口罩生产厂家目前月生产口罩总数为100万，因新冠疫情的需求，拟按照每月增长率为扩大生产规模，试解答下面的问题：
（1）写出第月该厂家生产的口罩数（万只）与月数(个）的函数关系式；
（2）计算第10个月该厂家月生产的口罩数（精确到0.1万）；
（3）计算第几月该厂家月生产的口罩数超过120万只（精确到1月）
（参考数据）：
【答案】（1）；（2）112.7万只；（3）16个月.
【分析】（1）每月增长率为指数式,依据实际条件列出解析式即可；（2）第10个月为时，带入计算可得结果；（3）根据参考数据带入数值计算.
【详解】解: （1）因为每月增长率为,所以第月该厂家生产的口罩数,.
（2）第10个月该厂家月生产的口罩数万只.
（3）是增函数,
当时, ,
当时, ,
所以当时,即第16个月该厂家月生产的口罩数超过120万只.
20．（2021·上海高三二模）设常数，函数．（1）若函数是奇函数，求实数的值；（2）若函数在时有零点，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据奇函数定义可构造方程求得结果；（2）将问题转化为在上有实数解，令，可将问题进一步转化为在有实数解，通过分离变量法可得，由的值域可构造不等式求得的范围.
【详解】（1）由题意知：函数的定义域为，
是奇函数，，即，
即，整理可得：，对任意都成立，
，解得：．
（2）将问题转化为在区间上有实数解，
即关于的方程在区间上有实数解．
设，，，
则原问题等价于关于的方程（*）在区间上有实数解．
当时，方程（*）不成立，，
则方程（*）可化为：，
即函数与函数的图象有公共点．
函数为增函数，则该函数的值域为，
，解得：，即实数取值范围为.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
21．（2021·北京高一模拟）5G技术的价值和意义是在自动驾驶、物联网等领域．其数学原理之一是香农公式：，其中：（单位：）是信道容量或者叫信道支持的最大速度，（单位；）是信道的带宽，（单位：）是平均信号率，（单位：）是平均噪声功率，叫做信噪比．（1）根据香农公式，如果不改变带宽，那么将信噪比从1023提升到多少时，信道容量能提升？（2）已知信号功率，证明：；
（3）现有3个并行的信道上，，，它们的信号功率分别为，，（），这3个信道上已经有一些噪声或者信号功率．根据（2）中结论，如果再有一小份信号功率，把它分配到哪个信道上能获得最大的信道容量？只需写出结论
【答案】（1）提升到2047；（2）证明见解析；（3）把那一小份分配到信道上能获得最大的信道容量．
【分析】（1）先把时，算出来，再令，解得；
（2）利用对数运算化简即可证明；
（3）由（2）可知当时，，随着的增大也会增大，可是增加的速度会越来越慢，所以把那一小份分配到信道上能获得最大的信道容量．
【详解】（1）当时，，
令，得，解得，
所以若不改变带宽，将将信噪比从1023提升到2047时，信道容量能提升
（2）证明：右边
=左边，
所以原式成立．
（3）分配到信道上能获得最大的信道容量．
22．（2021·湖南高三期中）已知函数在上有最小值1．（1）求实数m的值；（2）若关于x的方程恰好有4个不相等的实数根，求实数k的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）先研究时，利用单调性判断不符合题意，再根据对勾函数性质得到最小值，即解得参数；（2）先作出函数的图象，判断方程的根即或的根，再根据题意，结合直线和，进行数形结合得到，即解得结果.
【详解】解：（1）当时，，
若，则在上单调递增，无最小值，所以，
故由对勾函数性质可知，当时，取到最小值，所以；
（2）依题意，，作出函数的大致图象如下：
方程，即，
故或，恰好有4个不相等的实数根.
作直线和，则两直线与函数有4个交点，结合图象可知，解得，
故实数k的取值范围为.
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