(共34张PPT)
1.4 二次函数与一元二次方程的联系
湘教版 九年级下
教学目标
1. 理解二次函数的图象与x轴的交点，与一元二次方程的
根的关系；
2. 会用根的判别式判断二次函数图象与x轴的交点情况；
3. 能用二次函数的图象求一元二次方程的根的估计值；
4. 能利用一元二次方程求二次函数的自变量；
5. 培养合作意识，激发学习兴趣，增强学生自信.
新知导入
1. 怎样判定一元二次方程ax +bx+c=0的根的情况？
①当Δ=＞0时，方程有两个不相等的实数根：
②当Δ=0时，方程有两个相等的实数根：
③当Δ=＞0时，方程没有实数根
。
新知导入
2. 已知二次函数y=x +4x+c的图象与x轴的一个交点的坐标是(-6，0)，则与x轴的另一个交点的坐标是什么？
∵ 二次函数y=x +4x+c的图象的对称轴是x=-2，且二次图象与x轴的交点(-6，0)与另一个交点关于对称轴对称，
∴ y=x +4x+c的图象与x轴的另一个交点是(2，0).
3. 二次函数y=ax +bx+c的顶点坐标及对称轴公式是什么？
新知讲解
对于二次函数y=ax +bx+c，令y=0，则得到一元二次方程ax +bx+c=0。二次函数与一元二次方程有什么关系呢？
画出二次函数y=2x -2x-3的图象，你能从图象中看出它与x轴的交点吗？
二次函数y=2x -2x-3与一元二次方程2x -2x-3=0有怎样的关系？
探究
左图是二次函数y=x -2x-3的图象，观察图象可知，函数y=x -2x-3的图象与x轴的交点坐标分别是：
.
(-1，0)，(3，0)
新知讲解
由交点坐标(-1，0)可知，当x=-1时，y=0，即x -2x-3=0，也就是说，x=-1是一元二次方程x -2x-3=0的一个根。
同理，当x=3时，y=0，即x -2x-3=0，也就是说，x=3是一元二次方程x -2x-3=0的一个根。
新知讲解
一般地，如果二次函数y=ax +bx+c的图象与x轴有两个不同的交点(x ，0)，(x ，0)，那么一元二次方程ax +bx+c=0有两个不相等的实数根：x=x ，x=x .
新知讲解
观察二次函数，，分别说出一元二次方程=0和的根的情况.
新知讲解
二次函数的图象与轴有重合的两个交点，其坐标都是(3，0)，而一元二次方程=0有两个相等的实数根，
.
新知讲解
二次函数的图象与轴没有交点，而一元二次方程=0没有实数根
.
新知讲解
一般地，二次函数y=ax +bx+c的图象与x轴的位置关系有三种：有两个不同的交点、有两个重合的交点、没有交点，这对应着一元二次方程ax +bx+c=0的根有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根和没有实数根.
反过来，由一元二次方程的根的情况，也可以确定相应的二次函数的图象与x轴的位置关系.
新知讲解
从上面的分析可以看出，二次函数与一元二次方程关系密切.那么解一元二次方程能不能借助二次函数呢？
因为求一元二次方程ax +bx+c=0的根就是求二次函数y=ax +bx+c在y=0时，自变量x的值，也就是二次函数图象与x轴交点的横坐标，所以我们可以利用二次函数的图象来求一元二次方程的根。由于作图或观察的误差，所以由图象求得的根，一般是近似的.
新知讲解
例题讲解
例1 求一元二次方程x -2x-1=0的根的近似值(精确到0.1)
分析：因为求一元二次方程x -2x-1=0的根就是求二次函数y=x -2x-1与x轴交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图象上找出它与x轴的交点的横坐标. 这种解一元二次方程的方法叫作图象法.
解： 设二次函数y=x -2x-1.
作出二次函数y=x -2x-1的图象.
可以发现抛物线与x轴的一个交点在-1和0之间，另一个交点在2和3之间.
通过观察或测量，可得抛物线与x轴的交点是横坐标约为-0.4或2.4， 即 一元二次方程 x -2x-1=0的实数根为x1≈0.4，x2≈2.4.
新知导入
我们还可以借助计算器来分析所求方程的实数根.
将二次函数y=x -2x-1在-1至0范围内的部分x值所对应的y值列表如下：
x -1 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0
y 2 1.61 1.24 0.89 0.56 0.25 -0.04 -0.31 -0.56 -0.79 -1
发现：当x=-0.5时，y=0.25＞0；
而当x=-0.4时，y=-0.04＜0.
结合图象可以看出：使y=0的x的值一定在-0.5与-0.4， 之间，即-0.5＜x＜-0.4.
新知导入
题目只要求精确到0.1，这时取x=-0.4或x=-0.5作为所求的根均符合题意。但当x=-0.4时，y=-0.04，比x=-0.5时，y=0.25更接近于0，故选x=-0.4。
同理，借助计算器，我们也可以确定方程 x -2x-1=0的另一个实数根为x=2.4.
新知导入
说一说：如何利用二次函数求一元二次方程的实数根？
①根据一元二次方程设对应的二次函数；
②画出这个二次函数的图象；
③找出二次函数的图象与与x轴的两个交点；
④通过观察或度量，估计交点的横坐标的数值，得出一元二次方程的根的估计值.
我们还可以取x的一些值，用计算器计算函数值，来确定一元二次的根.（比较繁琐，因此一般不采用此方法）
例题讲解
例2 如图，丁丁在扔铅球时，铅球沿抛物线运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度.
(1)当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是多少？
(2)铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置的水平距离是多少？
(3)铅球离地面的高度能否达到3m，为什么？
例题讲解
(1)当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是多少？
解 (1)由抛物线的表达式得
即
即当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是1m或5m.
解得 1，5
.
例题讲解
(2)铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置的水平距离是多少？
由抛物线的表达式得
即
即当铅球离地面的高度为2.5m时，它离初始位置的水平距离是3m.
解得 3
.
例题讲解
(3)铅球离地面的高度能否达到3m，为什么？
由抛物线的表达式得
即
所以铅球离地面的高度不能超过3m.
因为Δ=(-6) -4×1×14=-20＜0，所以方程无实数根.
例题讲解
如何利用一元二次方程求二次函数中的自变量的值？
从例2可以看出，已知二次函数y=ax +bx+c的某一个函数值y=M，求对应的自变量的值时，需要解一元二次方程ax +bx+c=M，这样，二次函数与一元二次方程就紧密地联系起来了。
例题讲解
巩固练习
1. 已知二次函数，则下列说法中不正确的是（ ）
A. 该二次函数的图象的对称轴是x=3
B. 该二次函数的图象与轴有两个交点，
C. 一元二次方程=0的根，
D. 当1＜x＜2时，函数值＞0
D
例题讲解
2. 若二次函数的图象的对称轴经过点(2，0)，则关于的二元一次方程的解是（ ）
A. B.
C. D.
C
课堂总结
1. 二次函数与轴的交点，同一元二次方程的根有什么关系？
二次函数与x轴的交点情况与一元二次方程的根的情况都可用一元二次方程的根的判别式Δ进行判定
.
二次函数与轴的交点的横坐标，就是一元二次方程的根。反之亦然
。
课堂总结
2. 二次函数的图象与轴的交点，对应一元二次方程的根有哪几种情况？
①与轴有两个不同的交点，方程有两个不相等的实数根；
②与轴有两个重合的交点，方程有两个相等的实数根；
③与轴没有交点，方程没有实数根.
课堂总结
3. 二次函数上图象的点的坐标与一元二次方程有什么关系？
二次函数上图象的点的横坐标就是当时，所得一元二次方程的根
。
我们也可以把的值代入求出函数值
。
作业布置
第27页课后练习第1、2、3题：
1. 试判断下列抛物线与x轴的交点情况：
(1) ；
(2)；
(3).
示例：(1)∵Δ=(﹣2) －4×1×(﹣2)=4+8=12＞0，
∴抛物线与x轴有两个不同的交点
。
作业布置
2. 用图象法求一元二次方程=0的根的近似值(精确到0.1).
提示：先设二次函数，再求出它的顶点坐标、对称轴，然后列表取值，画出函数的图象，最后通过观察或测量图象与x轴的交点数值，确定方程=0的根的近似值
.
作业布置
3. 某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程.如图，已知刻画了该公司年初以来累积利润y(万元)与销售时间x(月份)之间的函数关系。试根据图中提供的信息，回答下列问题：
(1) 该公司亏损期是几个月？几月末开始盈利？
(2) 求截止到几月末公司累积利润达到30万元？
(3) 该公司第8月末所获利润是多少？
作业布置
解：(1) 该公司亏损期是4个月，4月末开始盈利.
因此截止到10月末公司累积利润可达到30万元.
即 x -4x-60=0
(2) 当y=30时，有
解得 x1=10，x2=-6(不合题意).
(3)该公司第8月末所获利润为×8=16万元
.
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1.4二次函数与一元二次方程的练习教案
主备人： 审核人： 本章课时序号：8
课 题 二次函数与一元二次方程的联系 课型 新授课
教学目标 1. 理解二次函数的图象与x轴的交点同对应的一元二次方程的根的关系； 2. 能用二次函数的图象求一元二次方程的根的估计值； 3. 能利用一元二次方程解决二次函数中的有关问题； 4. 培养合作意识，激发学习兴趣，增强学生自信.
教学重点 1. 理解二次函数的图象与x轴的交点同对应的一元二次方程的根的关系； 2. 利用二次函数的图象求一元二次方程的根的估计值； 3. 利用一元二次方程解决二次函数中的有关问题.
教学难点 1. 用一元二次方程的判别式判断二次函数的图象与x轴的交点情况； 2. 利用一元二次方程解决二次函数中的有关问题。
教 学 活 动
一、温故导新 1、 怎样判定一元二次方程ax +bx+c=0的根的情况？ 师问生答，ppt展示： （1）当Δ=b 4ac＞0时，一元二次方程ax +bx+c=0有两个不相等的实数根： ， 。 （2）当Δ=b 4ac=0时，一元二次方程ax +bx+c=0有两个相等的实数 。 （3）当Δ=b 4ac＜0时，一元二次方程ax +bx+c=0没有实数根 2、 做一做： 已知二次函数y=x +4x+c的图象与x轴的一个交点的坐标是(-6，0)，则与x轴的另一个交点的坐标是什么？ 学生解答并叙述解题思路：∵ 二次函数y=x +4x+c的图象的对称轴是x=-2，且二次图象与x轴的交点(-6，0)与另一个交点关于对称轴对称， ∴ y=x +4x+c的图象与x轴的另一个交点是(2，0). 教师强调：画二次函数的图象要先确定图象的对称轴，顶点坐标，然后根据对称性作图。 （说明：复习以上知识，目的是为研究二次函数的图象与一元二次方程的关系时，需要准确作图，从而为教学新知打下基础。） 3、 提出问题：对于二次函数y=ax +bx+c，令y=0，则得到一元二次方程ax +bx+c=0。二次函数与一元二次方程有什么关系呢？ 二、教学新知 （一）探究二次函数的图象与x轴的交点坐标，与对应的一元二次方程的根的关系 1、 探究问题 画出二次函数y=2x -2x-3的图象，你能从图象中看出它与x轴的交点吗？ 二次函数y=2x -2x-3与一元二次方程2x -2x-3=0有怎样的关系？ （1）画出二次函数y=2x -2x-3的图象. （2）观察图象，找出图象与x轴的交点坐标分别是： (-1，0)，(3，0). （3）说出交点坐标与方程2x -2x-3=0的根的关系 由交点坐标(-1，0)可知，当x=-1时，y=0，即x -2x-3=0，也就是说，x=-1是一元二次方程x -2x-3=0的一个根。 同理，当x=3时，y=0，即x -2x-3=0，也就是说，x=3是一元二次方程x -2x-3=0的一个根。 2、 归纳结论：一般地，如果二次函数y=ax +bx+c的图象与x轴有两个不同的交点 (x ，0)，(x ，0)，那么一元二次方程ax +bx+c=0有两个不相等的实数根： x=x ，x=x . （二）探究二次函数的图象与x轴的交点的情况与一元二次方程的根的情况的对应关系 1、 探究问题 观察二次函数y=x 6x+9，y=x 2x+2，分别说出一元二次方程x 6x+9=0和x 2x+2的根的情况. （1）学生讨论，课堂互动 生1：二次函数y=x 6x+9的图象与x轴有重合的两个交点，其坐标都是(3，0)，而一元二次方程x 6x+9=0有两个相等的实数根x1=3，x2=3 生2：二次函数y=x 2x+2的图象与x轴没有交点，而一元二次方程x 2x+2=0没有实数根 （2）归纳总结，展示结论 一般地，二次函数y=ax +bx+c的图象与x轴的位置关系有三种：有两个不同的交点、有两个重合的交点、没有交点，这对应着一元二次方程 ax +bx+c=0的根有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根和没有实数根. 反过来，由一元二次方程的根的情况，也可以确定相应的二次函数的图象与x轴的位置关系. 三、讲解例题 1、 师生讨论 师：从上面的分析可以看出，二次函数与一元二次方程关系密切.那么解一元二次方程能不能借助二次函数呢？ 生：因为求一元二次方程ax +bx+c=0的根就是求二次函数y=ax +bx+c在y=0时，自变量x的值，也就是二次函数图象与x轴交点的横坐标，所以我们可以利用二次函数的图象来求一元二次方程的根。由于作图或观察的误差，所以由图象求得的根，一般是近似的. 2、 教学例题1 例1 求一元二次方程x -2x-1=0的根的近似值(精确到0.1) 分析：因为求一元二次方程x -2x-1=0的根就是求二次函数y=x -2x-1与x轴交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图象上找出它与x轴的交点的横坐标. 这种解一元二次方程的方法叫作图象法. 解：设二次函数y=x -2x-1. 作出二次函数y=x -2x-1的图象. 可以发现抛物线与x轴的一个交点在-1和0之间，另 一个交点在2和3之间. 通过观察或测量，可得抛物线与x轴的交点是横坐标约为-0.4或2.4， 即一元二次方程 x -2x-1=0的实数根为x1≈0.4，x2≈2.4. 3、 讲解借助计算器求一元二次方程的根的估计值的方法 （1）列表：将函数y=x -2x-1在-1至0范围内的部分x值所对应的y值列表如下： x-1-0.9-0.8-0.7-0.6-0.5-0.4-0.3-0.2-0.10y21.611.240.890.560.25-0.04-0.31-0.56-0.79-1
（2）观察分析：①当x=-0.5时，y=0.25＞0；而当x=-0.4时，y=-0.04＜0. ②结合图象可以看出：使y=0的x的值一定在-0.5与-0.4之间，即-0.5＜x＜-0.4. ③题目只要求精确到0.1，这时取x=-0.4或x=-0.5作为所求的根均符合题意。但当x=-0.4时，y=-0.04，比x=-0.5时，y=0.25更接近于0，故选x=-0.4。 ④同理，借助计算器，我们也可以确定方程 x -2x-1=0的另一个实数根为x=2.4. 4、 议一议： 如何利用二次函数求一元二次方程的实数根？ 师生互议，得出： ①根据一元二次方程设对应的二次函数； ②画出这个二次函数的图象； ③找出二次函数的图象与与x轴的两个交点； ④通过观察或度量，估计交点的横坐标的数值，得出一元二次方程的根的估计值. 我们还可以取x的一些值，用计算器计算函数值，来确定一元二次的根.（比较繁琐，因此一般不采用此方法）。 5、 教学例题2 例2 如图，丁丁在扔铅球时，铅球沿抛物线运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度. （1）当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是多少？ （2）铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置的水平距离是多少？ （3）铅球离地面的高度能否达到3m，为什么？ 解：（1）由抛物线的表达式得 ， 即 x -6x+5=0 解得 x =1，x =5. 即当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是1m或5m. （2）由抛物线的表达式得 ， 即 x -6x+9=0 解得 x =x =3. 即当铅球离地面的高度为2.5m时，它离初始位置的水平距离是5m. （3）由抛物线的表达式得 ， 即 x -6x+10=0 解得 x =1，x =5. 因为Δ=(-6) -4×1×14=-20＜0，所以方程无实数根. 所以铅球离地面的高度不能超过3m. 6、 如何利用一元二次方程求二次函数中的自变量的值？ 生答师讲，ppt展示： 从例2可以看出，已知二次函数y=ax +bx+c的某一个函数值y=M，求对应的自变量的值时，需要解一元二次方程ax +bx+c=M，这样，二次函数与一元二次方程就紧密地联系起来了。 四、巩固练习 1、 已知二次函数y=2x 6x+4，则下列说法中不正确的是（ ） A. 该二次函数的图象的对称轴是x= 3 B. 该二次函数的图象与轴有两个交点(1，0)，(2，0) C. 一元二次方程2x 6x+4=0的根x =1，x =2 D. 当1＜x＜2时，函数值y＞0 【答案】D 2、 若二次函数y=x +bx的图象的对称轴经过点(2，0)，则关于的二元一次方程x +bx 5=0的解是（ ） A. x =0，x =4 B. x =1，x = 8 C. x = 1，x =5 D. x =1，x =5 【答案】C 五、课堂总结 教师提问，学生回答，并展示下面知识要点 1、 二次函数y=ax +bx+c与x轴的交点，同一元二次方程ax +bx+c=0的根有什么关系？ （1）二次函数y=ax +bx+c与x轴的交点的横坐标，就是一元二次方程ax +bx+c=0的根,反之亦然. （2）二次函数与x轴的交点情况与一元二次方程的根的情况都可用一元二次方程的根的判别式Δ=b 4ac进行判定。 2、 二次函数y=ax +bx+c的图象与x轴的交点，对应一元二次方程ax +bx+=0的根有哪几种情况？ ①二次函数与x轴有两个不同的交点，则一元二次方程有两个不相等的实数根； ②二次函数与x轴有两个重合的交点，则一元二次方程有两个相等的实数根； ③二次函数与x轴没有交点，则一元二次方程没有实数根. 3、 如何利用一元二次方程求二次函数中的自变量的值？ 生：已知二次函数y=ax +bx+c已知二次函数y=ax +bx+c的某一个函数值y=M，求对应的自变量的值时，需要解一元二次方程ax +bx+c=M. 第二、列、解不等式正确，注意不等号的方向. 第三、根据题意，确定答案. 六、作业布置 第27页课后练习第1、2、3题。 1、 试判断下列抛物线与x轴的交点情况： (1) y=x 2x 2； (2) y=9x +12x+4； (3) y=x 2x+3. 示例：(1)∵ Δ=(﹣2) －4×1×(﹣2)=4+8=12＞0， ∴ 抛物线y=x 2x 2与x轴有两个不同的交点。 2、 用图象法求一元二次方程x2+x 1=0的根的近似值(精确到0.1). 提示：先设二次函数y=x +x 1，再求出它的顶点坐标、对称轴，然后列表取值，画出函数的图象，最后通过观察或测量图象与x轴的交点数值，确定方程x2+x 1=0的根的近似值。 3、 某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程.如图，已知刻画了该公司年初以来累积利润y(万元)与销售时间x(月份)之间的函数关系。试根据图中提供的信息，回答下列问题： (1) 该公司亏损期是几个月？几月末开始盈利？ (2) 求截止到几月末公司累积利润达到30万元？ (3) 该公司第8月末所获利润是多少？ 解：(1) 该公司亏损期是4个月，4月末开始盈利. (2) 当y=30时，有30=，即x -4x-60=0。 解得 x1=10，x2=-6(不合题意). 因此截止到10月末公司累积利润可达到30万元. (3)该公司第8月末所获利润为×82 2×8=16万元.
板书设计 1.4二次函数与一元二次方程的联系 1、 二次函数与x轴的交点，与一元二次方程的根的关系 2、 用一元二次方程的根的判别式判定二次函数与x轴的交点情况； 3、 利用一元二次方程求二次函数的自变量。
课后反思
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