(共32张PPT)
1.5 二次函数的应用
湘教版 九年级下
教学目标
1. 理解建立抛物线图形的二次函数模型解决问题的步骤；
2. 能利用二次函数的图象和性质解决几何图形和实际问
题中的最大值的问题；
3. 感悟数形结合与函数模型相结合的解决问题的方法；
4. 培养合作意识，发展学生思维，激发学生的求知欲望.
新知导入
1. 填表：
二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
+1
向上
向下
y轴
(0，0)
向上
y轴
(0，5)
x=-1
(-1，2)
向下
x=-3
(-3，0)
向上
x=3
(3，1)
新知导入
2. 用配方法求下列二次函数的最大值或最小值。
(1) ；
(2) .
解：(1)
.
当=时，有最小值14
.
(2)
.
当=时，有最大值17
.
新知讲解
一座拱桥的纵截面是抛物线的一段，拱桥的跨度是4.9米，水面宽是4米时，拱顶离水面2米，如图．想了解水面宽度变化时，拱顶离水面的高度怎样变化.你能建立函数模型解决这个问题吗？
动脑筋
由于拱桥的纵截面是抛物线的一段，而二次函数的图象是抛物线，因此可建立二次函数模型来刻画。
新知讲解
先建立直角坐标系。为简便起见，我们以拱顶为原点，抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系如图。
再设函数的表达式。由于顶点坐标是(0，0)，因此设这条抛物线的表达式为：
.
新知讲解
然后根据条件求出表达式。已知水面宽4m，拱顶离水面高4m，因此点A(2，-2)在抛物线上，由此得出
解得
因此，这个函数的表达式是
新知讲解
最后利用函数解决问题.在函数中，|x|是水面宽度的一半，是拱顶离水面高度的相反数。这样我们从水面宽度的变化情况可以了解到拱顶离水面高度的变化情况。
算一算：当水面宽为4.6m时，拱顶离水面多少米？
新知讲解
注意根据实际意义确定自变量的取值范围。
由于拱桥的宽度为4.9m，因此自变量x的取值范围是：-2.45≤x≤2.45.
在解决实际问题时，对求得的函数表达式，一般要写出自变量x的取值范围，并在自变量的范围内研究问题。
建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？
新知讲解
实际问题
建立二次函数模型
实际问题的解
利用二次函数的图象和性质求解
新知讲解
如图，用8米的铝材做成一个日字形窗框，试问：窗框的宽和高各为多少时，窗框的透光面积最大？最大面积S(m )是多少？
动脑筋
新知讲解
由于做窗框的长度已确定，而窗框的面积S随矩形一边长的变化而变化。因此设窗框
的宽为xm，则窗框的长为m
.
由于窗框的宽和长都必须大于0，即x＞0，且＞0，所以0＜x＜
.
新知讲解
则窗框的透光面积为
将上式进行配方：
当x=时，S取最大值
.
这时高为
.
则当窗框的宽为，高为时窗框的透光面积最大为
.
例题讲解
例 某网络玩具店引进一批进价为20元/件的玩具，如果以单价30元销售，那么一个月内可售出180件。根据销售经验，提高销售单价会导致销售量下降，即销售单价每上涨
1元，月销售量将相应减少10件.当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？
分析：销售利润随销售单价上涨的元数而变化，因此可根据“总利润=单件利润×销售数量”建立函数模型解答.
例题讲解
解：设每件商品的销售单价上涨x元，一个月内获取的商品总利润为y元。则每月减少的销售量为10x件，实际销售量为(180-10x)件。单件利润为(30+x-20)元。则
y=(10+x)(180-10x),
即 y=-10x +80x+1800(0≤x≤18).
配方得 y=-10(x-4) +1960.
当x=4时，即销售单价为34元时，y取最大值1960.
答：当销售单价定为34元时，该店在一个月内能获得最大利润1960元.
上涨价格不小于0且销售量不小于0
说一说：利用二次函数建立二次函数模型有哪两种类型？
二次函数的应用有两种类型：
一种是利用实际问题的数量关系，设函数和自变量，二次函数模型；
一种是根据几何图形的线段、面积等之间的关系，借助于几何图形的性质、公式建立二次函数模型.
例题讲解
巩固练习
1. 用一条长40cm的铝丝围城一个面积为Scm 的矩形，则下列各数中不可能为S的值的是（ ）
A. 20 B. 40 C. 100 D. 120
D
解析：设矩形的长为xcm，则宽为(20-x)cm，根据题意得
S=x(20-x)=-x +20x=-(x-10) +100.
当x=10时，S有最大值为100。故不可能为S的值的是120.
巩固练习
2. (繁昌县模拟)某大学生利用课余时间在网上销售一种成本为50元/件的商品，每月的销售量y(件)与销售价格x(元/件)之间的函数关系为y=-4x+440，要获得最大利润，该商品的售价应定为（ ）
A. 60元/件 B. 70元/件
C. 80元/件 D. 90元/件
C
提示：设销售利润为W元，则W=(x-50)(-4x+440)，整理后配方，利用二次函数的性质，即可得到答案.
例题讲解
D
3. (建平县模拟)如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动(点Q运动到点B时停止)在运动过程中，四边形PABQ的面积的最小值为（ ）
A. 19cm
B. 16cm
C. 12cm
D. 15cm
例题讲解
解：设运动时间为xs，四边形PABQ的面积为ycm .
在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC=8cm。
则CP=(6-x)cm，CP=2xcm。因此
S△PCQ=(0＜≤4).
易得S△ABC=24cm ，
所以y=S△ABC-S△PCQ=
例题讲解
把配方，
当x=3时，y有最小值为15。
则四边形PABQ的面积的最小值为15cm ，故选D.
所以(0＜≤4).
课堂总结
1. 已知抛物线图形建立二次函数模型的步骤一般有哪些？
①建立恰当而简单的直角坐标系；
②合理设出二次函数的表达式；
③把已知条件转化为点的坐标，求出函数的表达式；
④利用求得的函数的表达式，计算或解决问题。
课堂总结
2. 在几何图形中建立二次函数应注意什么？
①注意数形结合，把相关线段用含自变量的式子表示；
②利用图形的性质、计算公式，建立二次函数模型；
③注意自变量的取值范围，利用二次函数的图形或性质，在自变量的取值范围内解决如求最大值或最小值等问题.
课堂总结
3. 如何利用二次函数求最大利润？
①记住公式：利润=单件利润×数量，利润=售价-成本
②分清自变量与函数，正确写出函数表达式并配方；
③注意自变量的取值范围；
④利用二次函数的性质或顶点坐标公式，求最大利润。
作业布置
1. 如图，是某抛物线形悬索桥的截面示意图，已知悬索桥两端主塔高150m，主塔之间的距离为900m，试建立适当的直角坐标系，求出该抛物线形桥所对应的二次函数表达式。
第31页课后练习第1、2题：
作业布置
解：建立如图所示直角坐标系。因为顶点坐标是(0，0)，因此设这条抛物线的表达式为：。
作业布置
由于主塔之间的距离为900m，所以AB=450m。又已知悬索桥两端主塔高150m，则点A的坐标为(450，150).则
150=a×450 .
解得
则抛物线形桥所对应的二次函数表达式是
其中（-450≤x≤450）。
作业布置
2. 小妍想将一根72cm长的彩带剪成两段，分别围成两个正方形，则她要怎样剪才能让这两个正方形的面积和最小？此时的面积和为多少？
分析：正方形的面积随边长的变化而变化，如果要使两个正方形的面积和最小，则两个正方形的边长要满足特定的条件。设一个正方形的边长xcm，则所需彩带长为4xcm，另一段彩带的长为(72-4x)cm，从而另一个正方形的边长为(18-x)cm，由此建立函数模型即可解决问题。
作业布置
解：设围成的其中一个正方形的边长为xcm，则另一段彩带的长为(18-x)cm，围成两个正方形的面积和为y(cm ).则
y=x +(18-x) .
即 y=2x -36x+324(0≤x≤18).
配方得 y=2(x-9) +162.
因为函数二次项系数2＞0，所以当x=9时， y有最小值162.
作业布置
当x=9时，18-x=9，两个正方形的周长均为36cm.
因此小妍要把彩带剪成相等的两段，即每段36cm时，两个正方形的面积的和最小，此时的面积这和为162cm .
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1.5二次函数的应用教案
主备人： 审核人： 本章课时序号：9
课 题 二次函数的应用 课型 新授课
教学目标 1. 理解建立抛物线图形的二次函数模型解决问题的步骤； 2. 能利用二次函数的图象和性质解决求最大值和最小值问题； 3. 感悟数形结合与函数模型相结合的解决问题的方法； 4. 培养合作意识，发展学生思维，激发学生的求知欲望.
教学重点 1. 分析实际问题中的数量关系，列一元一次不等式解决实际问题； 2. 正确分析问题中的函数关系，利用二次函数的图象和性质解决问题。
教学难点 1. 正确分析几何图形和实际问题的函数关系，建立二次函数模型； 2. 利用二次函数的图象和性质求最大值和最小值。
教 学 活 动
一、温故导新 1、 填表： 二次函数开口方向对称轴顶点坐标向上y轴（0，0）向上y轴（0，5）向下（，2）向下（，0）+1向上（，1）
2、 用配方法求下列二次函数的最大值或最小值。 （1）； （2） . 学生独立解答，指名板演，集体订正。 二、教学新知 （一）已知抛物线图形建立二次函数模型 探究问题： 一座拱桥的纵截面是抛物线的一段，拱桥的跨度是4.9米，水面宽是4米时，拱顶离水面2米，如图．想了解水面宽度变化时，拱顶离水面的高度怎样变化.你能建立函数模型解决这个问题吗？ 1、 分析： 由于拱桥的纵截面是抛物线的一段，而二次函数的图象是抛物线，因此可建立二次函数模型来刻画。 2、 讲解建立二次函数模型的步骤 （1）先建立直角坐标系 为简便起见，我们以拱顶为原点，抛物线的对称轴 为y轴，建立直角坐标系如图。 （2）设函数的表达式。 由于顶点坐标是(0，0)，因此设这条抛物线的表达式为：. （3）根据条件求出表达式 已知水面宽4m，拱顶离水面高4m，因此点A(2，-2)在抛物线上，由此得出 . 解得 . 因此，这个函数的表达式是：. （4）利用函数解决问题 在函数中，|x|是水面宽度的一半，y是拱顶离水面高度的相反数。这样我们从水面宽度的变化情况可以了解到拱顶离水面高度的变化情况。 算一算：当水面宽为4.6m时，拱顶离水面多少米？ （5）根据实际意义确定自变量的取值范围 由于拱桥的宽度为4.9m，因此自变量x的取值范围是：-2.45≤x≤2.45. 强调：在解决实际问题时，对求得的函数表达式，一般要写出自变量x的取值范围，并在自变量的范围内研究问题。 3、 归纳已知抛物线图形建立二次函数模型 （1）讨论：建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？ （2）PPT展示： （二）探究求几何图形的面积的最大值问题 探究问题： 如图，用8米的铝材做成一个日字形窗框，试问：窗框的宽和高各为多少时，窗框 的透光面积最大？最大面积S(m )是多少？ 1、 分析：由于做窗框的铝材长度已确定，而窗框的面积S随矩形一边长的变化而变化。因此可建立面积S关于矩形一边长为自变量的函数模型。 2、 设自变量，用变量表示窗框的宽和高 设窗框的宽为xm，则窗框的高为m， 由于窗框的宽和高都必须大于0，即x＞0，且＞0，所以0＜x＜. 3、 建立函数模型 根据长方形面积可得，窗框的透光面积为： 即 （0＜x＜）. 4、 利用二次函数的性质解决求面积的最大值问题 将上述函数配方得 . 当x=时，S取最大值. 此时窗框的高为(m)。 因此当窗框的宽为m，高为2m时，窗框的透光面积最大，最大面积为m . 三、教学例题 例 某网络玩具店引进一批进价为20元/件的玩具，如果以单价30元销售，那么一个月内可售出180件。根据销售经验，提高销售单价会导致销售量下降，即销售单价每上涨1元，月销售量将相应减少10件.当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？ 分析：销售利润随销售单价上涨的元数而变化，因此可根据“总利润=单件利润×销售数量”建立函数模型解答. 解：设每件商品的销售单价上涨x元，一个月内获取的商品总利润为y元。则每月减少的销售量为10x件，实际销售量为(180-10x)件。单件利润为(30+x-20)元。则 y=(10+x)(180-10x), 即 y=-10x +80x+1800(0≤x≤18). （提示：上涨价格不小于0且销售量不小于0，可得到自变量的取值范围） 配方得 y=-10(x-4) +1960. 当x=4时，即销售单价为34元时，y取最大值1960. 答：当销售单价定为34元时，该店在一个月内能获得最大利润1960元. 议一议： 利用二次函数建立二次函数模型有哪两种类型？ PPT展示： 二次函数的应用有两种类型： 一种是利用实际问题的数量关系，设函数和自变量，二次函数模型； 一种是根据几何图形的线段、面积等之间的关系，借助于几何图形的性质、公式建 立二次函数模型. 四、巩固练习 1、 用一条长40cm的铝丝围城一个面积为Scm 的矩形，则下列各数中不可能为S的值的是（ ） A. 20 B. 40 C. 100 D. 120 【答案】D 【解析】设矩形的长为xcm，则宽为(20-x)cm，根据题意得 S=x(20-x)=-x +20x=-(x-10) +100. 当x=10时，S有最大值为100。故不可能为S的值的是120. 2、 (繁昌县模拟)某大学生利用课余时间在网上销售一种成本为50元/件的商品，每月的销售量y(件)与销售价格x(元/件)之间的函数关系为y=-4x+440，要获得最大利润，该商品的售价应定为（ ） A. 60元/件 B. 70元/件 C. 80元/件 D. 90元/件 【答案】C 【提示】设销售利润为W元，则W=(x-50)(-4x+440)，整理后配方，利用二次函数的性质， 即可得到答案. 3、 (建平县模拟)如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动(点Q运动到点B时停止)在运动过程中，四边形PABQ的面积的最小值为（ ） A. 19cm B. 16cm C. 12cm D. 15cm 【答案】D 【解析】解：设运动时间为xs，四边形PABQ的面积为ycm . 在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC=8cm。 则CP=(6-x)cm，CP=2xcm。因此 S△PCQ=(0＜x≤4). 易得 S△ABC=24cm ， 所以 y=S△ABC-S△PCQ=24 ( x +6x)=x 6x+24. 所以 y=x 6x+24(0＜x≤4). 把y=x 6x+24配方，得 y=x 6x+24=(x 3) +15. 当x=3时，y有最小值为15。 则四边形PABQ的面积的最小值为15cm ，故选D. 五、课堂总结 教师提问，学生回答，并展示下面知识要点 1、 已知抛物线图形建立二次函数模型的步骤一般有哪些？ ①建立恰当而简单的直角坐标系； ②合理设出二次函数的表达式； ③把已知条件转化为点的坐标，求出函数的表达式； ④利用求得的函数的表达式，计算或解决问题。 2、 在几何图形中建立二次函数应注意什么？ ①注意数形结合，把相关线段用含自变量的式子表示； ②利用图形的性质、计算公式，建立二次函数模型； ③注意自变量的取值范围，利用二次函数的图形或性质，在自变量的取值范围内解决如求最大值或最小值等问题. 3、 如何利用二次函数求最大利润？ ①记住公式：利润=单件利润×数量，利润=售价-成本； ②分清自变量与函数，正确写出函数表达式并配方； ③注意自变量的取值范围； ④利用二次函数的性质或顶点坐标公式，求最大利润。 六、作业布置 第31页课后练习第1、2题： 1、 如图，是某抛物线形悬索桥的截面示意图，已知悬索桥两端主塔高150m，主塔之间的距离为900m，试建立适当的直角坐标系，求出该抛物线形桥所对应的二次函数表达式。 解：建立如图所示直角坐标系。因为顶点坐标是(0，0)，因此设这条抛物线的表达式为：。 由于主塔之间的距离为900m，所以AB=450m。又已知悬索桥两端主塔高150m，则点A的坐标为(450，150).则 150=a×450 . 解得 . 则抛物线形桥所对应的二次函数表达式是其中（-450≤x≤450） 2、 小妍想将一根72cm长的彩带剪成两段，分别围成两个正方形，则她要怎样剪才能让这两个正方形的面积和最小？此时的面积和为多少？ 分析：正方形的面积随边长的变化而变化，如果要使两个正方形的面积和最小，则两个正方形的边长要满足特定的条件。设一个正方形的边长xcm，则所需彩带长为4xcm，另一段彩带的长为(72-4x)cm，从而另一个正方形的边长为(18-x)cm，由此建立函数模型即可解决问题。 解：设围成的其中一个正方形的边长为xcm，则另一段彩带的长为(18-x)cm，围成两个正方形的面积和为y(cm ).则 y=x +(18-x) . 即 y=2x -36x+324(0≤x≤18). 配方得 y=2(x-9) +162. 因为函数二次项系数2＞0，所以当x=9时， y有最小值162. 当x=9时，18-x=9，两个正方形的周长均为36cm. 因此小妍要把彩带剪成相等的两段，即每段36cm时，两个正方形的面积的和最小，此时的面积这和为162cm .
板书设计 二次函数的应用 1、 建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤 2、 利用二次函数求几何图形的面积的最大值问题 3、 利用二次函数解决实际问题中求最大值或最小值问题（如；利润问题）
课后反思
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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