2021- 2022学年九年级冀教版数学上册第25章25.3相似三角形 讲义

第3讲 相似三角形
教学目标
1.了解相似三角形的含义和相似比的概念
2.相似三角形的表示方法
二、知识点梳理
知识点一、相似三角形的定义
对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。用符号“∽”表示，读作“相似于”。
在△ABC和△A'B'C'中,若∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'，==，则△ABC与△A'B'C'相似，记作“△ABC∽△A'B'C'”，读作“△ABC相似于△A'B'C'”，相似三角形的对应顶点要写在对应的位置。
相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例；
相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等；
例1、如图1，△ADE∽△ACB，其中∠ADE=∠B，那么能成立的比例式是（ ）
图1 图2
A、 B、 C、 D、
变式训练
1、如图2，△EFG∽△ABC，，∠A=60°，那么∠E=_____________.
知识点二 相似三角形的等价关系
(1)对称性：若∽，则∽．
(2)传递性：若∽，且∽，则∽．
知识点三 相似三角形与全等三角形的关系
（1）两个全等的三角形是相似比为k=1的相似三角形，所以全等三角形是相似三角形的特例。
（2）两个等边三角形一定相似，两个等腰三角形不一定相似。
（3）二者的区别在于全等要对应边相等，而相似要求对应边成比例。
知识点四 相似三角形的相似比的确定
相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．
注意：（1）相似比是有顺序的；
（2）对应性，两个三角形相似时，通常把对应顶点写在对应位置，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边；
（3）顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的，若△ABC∽△A'B'C'的相似比为k，则△A'B'C' ∽△ABC的相似比是；
（4）相似比是一个重要概念，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出．
例2、已知△ABC∽△A'B'C'，若AB=10cm，A'B'=15cm，则△A'B'C'和△ABC的相似比是多少？
三、典型例题
考点一、相似三角形的定义
下列命题中，是真命题的是（ ）
A、锐角三角形都相似 B、直角三角形都相似
C、等腰三角形都相似 D、等边三角形都相似
已知△ABC思维三边长分别为，，2，△A'B'C'的两边长分别为1和，如果△ABC和△A'B'C'相似，那么△A'B'C的第三边长应该是（ ）
A、 B、 C、 D、
下列说法正确的是（ ）
A、相似三角形一定全等 B、不相似的三角形不一定不全等
C、全等三角形不一定是相似三角形 D、全等三角形一定是相似三角形
如图，△ABC∽△DEF，相似比为1：2.若BC=1，则EF的长是（ ）
A、1 B、2 C、3 D、4
5、△ABC∽△A'B'C'，且AB=1，A'B'=，B'C'=，则△ABC与△A'B'C'的相似比是_________，△A'B'C'与△ABC的相似比为_________。
考点二、相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例．
如图，△ABC∽△AED，∠ADE=80°，∠A=60°，则∠C等于（ ）
A、40° B、60° C、80° D、100°
如图，Rt△ABC∽Rt△DEF，则∠E的度数为（ ）
A、30° B、45° C、60° D、90°
如图，已知△ACD∽△ABC，下列各式正确的是（ ）
B、
C、 D、
如图，在△ABC中，BC=3，AC=4，若△ABC∽△BDC，则CD=（ ）
A、2 B、 C、 D、
10、如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形的边长分别是3和4及，那么的值是___________。
11、在钝角三角形ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点D从A点出发到B点后停止，动点E从C点出发到A点停止，D点运动速度为1cm/s，E点运动的速度为2cm/s，如果两点同时开始运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是（ ）
A、3s或4.8s B、3s C、4.5s D、4.5s或4.8s
考点三、利用平行线判定三角形相似
如图所示，在ABCD中，点E在AB上，CE、BD交于F，若AE：BE=4：3，且BF=2，则DF=_______.
如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DE∥BC，DE=2，BC=3，则=____.
12题图 13题图 14题图
14、如图所示，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证△ADE∽△EFC;
四、课堂练习
已知△ABC△A'B'C'，如果A=55°，B=100°，则C'的度数等于（ ）
A、55° B、100° C、25° D、30°
若一个三角形的三边长之比为3：5：7，与它相似的三角形的最大边长为21，则最小边的长为（ ）
A、15 B、10 C、9 D、3
3、如图所示，在8×8的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，△OAB都在格点上，请你在网格中画出一个△OCD，使它的顶点在格点上，且使△OCD与△OAB相似，相似比为2：1.
4如图所示，AD与BE相交于点C，△ABC∽△DEC，AC=22，BC=20，EC=30，DE=48.
求AB、CD的长；
能判定AB与DE平行吗？为什么？
五、课后作业
判断下列两组三角形是否相似，并说明理由。
△ABC和△A'B'C'都是等边三角形；
在△ABC中，∠C=90°，AC=BC,在△A'B'C'中∠C=90°，A'C'=B'C';
已知△ABC的各边长之比为2：5：6，与其相似的另一个△A'B'C'的最长边为18cm，求它的最短边是多少。
3、如图，在△APM的边AP上任意取两点B和C，过点B作AM的平行线交PM于点N，过点N作MC的平行线交AP 与点D，求证：PA：PB=PC：PD.