2021 2022学年九年级冀教版数学上册第25章25.2平行线分线段成比例 讲义

第2讲 平行线分线段成比例
一、教学目标
1. 理解平行线分线段成比例定理及其初步证明.
2. 掌握平行线分线段成比例定理及其推论.
二、知识点梳理
知识点一、平行线平分线段成比例的基本事实
图1 图2
问题：1. 什么是平行线等分线段定理？
2. 如图中，AD∥BE∥CF,且AB=BC,则的比值是多少？
3.平行线分线段成比例定理
从图（1）可知，当AD∥BE∥CF，且AB=BC时，则DE=EF,也就是
思考： 若时，有
若时，上面的结论也成立吗？
若为任意实数时，上面的结论也成立吗？
综上可得，平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
方法归纳：（1）画出定理的各种基本图形，对照图形写出相应的结论。
（2）写出其它的对应线段成比例的情况。对应线段成比例可用下面的语言形象表示：
等。
根据图1，线段成比例还可以写为,,,,；
例1、如图3，直线分别交直线 于点A，B，C，交直线于D，E，F，且，已知EF：DF=5：8，AC=24，求AB的长。
图3
变式训练
如图，已知E是平行四边形ABCD中DA边的延长线上一点，且AE=AD，连接EC分别交AB，BD于点F，G，且EG：GC=2：1；
求证：BF=AF.
若BD=12，求DG的长。
知识点二：平行线分线段成比例的基本事实的推论
知识归纳：
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
结论：平行与三角形的一边，并且与其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。
定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形第三边．
例2、已知：如图，在△ACD中，EB∥CD交AC，AD于点B、E，AG、CD于点F、G，
求证：
变式训练：
如图，在△ABC中，EF∥BC，，BC=9，则EF是（ ）
A、3 B、6 C、9 D、无法确定
典型例题
考点一、平行线分线段成比例
如图，已知直线，直线与分别交于A、C、E、B、D、F，AC=4，CE=6，BD=3，则BF=（ ）
A、7 B、7.5 C、8 D、8.5
如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（ ）
A、AD：DF=BC：CE B、BC：CE=DF：AD
C、CD：EF=BC：BE D、CE：EF=AD：AF
如图，若AB∥CD∥EF，则下列各式中，与相等的是（ ）
A、 B、 C、 D、
如图所示，已知AD∥EF∥BC，则下列等式成立的是（ ）
A、AE：AB=DF：FC B、AE：EB=CF：DF
C、EF2=AD·BC D、BA·CF=BE·CD
如图，直线AB∥CD∥EF，若AC=3，CE=4，则的值是（ ）
A、 B、 C、 D、
6、如图，直线，另两条直线分别交于点A、B、C及点D、E、F，且AB=3，DE=4，EF=2，则（ ）
A、BC：DE=1：2 B、BC：DE=2：3 C、BC·DE=8 D、BC·DE=6
考点二、平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE//BC，若AD=6，BD=2，AE=9，则EC的长是（ ）
A、8 B、6 C、4 D、3
如图，在△ABC中，FG∥DE∥BC，已知DF=3，AG=EC=2，则下列四个等式中一定正确的是（ ）
A、FG·DB=6 B、DB·GE=6 C、FG：DE=2：3 D、CE：DB=3：2
如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB，AC上，DE∥BC，已知AE=6，,则EC的长是（ ）
A、4.5 B、8 C、10.5 D、14
如图，已知AB∥CD，AC与BD相交于点O，则下列比例式中不成立的是（ ）
A、OC：OD=OA：OB B、OC：OD=OB：OA
C、OC：AC=OD：DB D、BD：AC=OD：OC
如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则EF：AE=（ ）
A、1：4 B、1：3 C、2：3 D、1：2
6、如图，在△ABC中，AB=4，AC=6，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，AD=3，则AE=______。
考点三、平行于三角形的一边，并且与其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。
7、如图，已知△ABC中，DE∥BC，AD=3，DB=6，AE=2，则EC=___________.
8、如图，已知在平行四边形ABCD中，EF∥AD，DE：EB=2：3，EF=6，那么BC的长为___________。
9、如图，在ABC中，DE∥BC，DE分别与AB、AC相交于点D、E，若EC=1，AC=3，则DE：BC的值为（ ）
A、 B、 C、 D、
如图，在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，则下列结论中错误的是（ ）
A、FA：AE=FB：AD B、FA：CD=AE：BC
C、FA：AB=FE：EC D、FA：AE=AB：DE
四、 课堂练习
1、如图1所示，已知直线，直线与直线分别交于点A、C、E、B、D、F，AC=4.CE=6，BD=3，则BF=（ ）
A、7 B、7.5 C、8 D、8.5
2、如图2所示，已知BC∥DE，AB=15，AC=12，BD=6，则AE的长是______________。
3、如图3所示，已知DE∥BC，AB=5，AC=7，AD=2。则AE的长是__________.
4、如图，已知E是平行四边形ABCD中DA的延长线上的一点，且AE=AD，连接EC分别交AB、BD于点F、G，且EG：GC=2：1.
（1）求证：BF=AF
（2）若BD=12cm，求DG 的长。
五、课后作业：
如图1所示，在△ABC中，DE∥BC,以下结论正确的事（ ）
A、AE：AC=AD：BD B、AE：AC=BD：AB
C、AE：CE=AD:BD D、AC：CE=AD：BD
图1 图2
2、如图2所示，已知平行四边形ABCD中，EF∥AD，DE：EB=2：3，EF=6，则BC的长EF=6，则BC的长为___________。
3、已知：如图3，，AB=3，BC=5，DF=12，求DE和EF的长。
图3
4、已知：如图4，在△ACD中，EB∥CD，BE分别交AC、AD于点B、E，AG分别交BE、CD于点F、G；求证：
图4
5、如图5所示，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB=3：5，求CF：CB的值。
图5