2021 2022学年九年级冀教版数学上册第25章25.1比例线段 讲义

第1讲 比例线段
教学目标
掌握比例的概念
掌握比例线段的基本性质
掌握黄金比例的概念
知识点梳理
知识点一：两线段的比
如果选用同一度量单位，量得线段a，b的长度分别是m、n，那么m和n的比叫做线段a和b的比，记作a：b=m：n或。
说明：（1）线段的比是线段的长度的比，是关于线段比值的运算结果，是一个没有单位的正数。
（2）线段的比必须在同一单位下进行。
例1、如果=0.5m，=20cm，那么：等于（ ）
A、 B、 C、 D、2.5cm
变式训练
A，B两地的实际距离AB=250m，画在图上的距离A'B'=5cm，求图上的距离与实际距离的比。
知识点二、成比例线段
在四条线段a、b、c、d中，如果a和b的比等于c和d的比，那么四条线段a、b、c、d叫做成比例线段或简称比例线段。用式子表示为a：b=c：d或。
注意：
(1)当两个比例式的每一项都对应相同，两个比例式才是同一比例式．
(2)比例线段是有顺序的，如果说是的第四比例项，那么应得比例式为：．
例2、已知四条线段的长度，试判断它们是否成比例。
（1），，
（2）.
变式训练
下列各组线段中，成比例线段是（ ）
A、4，6，5，8 B、2，5，6，8 C、3，6，9，18 D、1，2，3，4
知识点三：比例的性质
1、比例的基本性质：
如果a：b=c：d，或，那么ad=bc。比例的基本性质反过来也成立，即如果ad=bc，那么a：b=c：d，或（b，d0）.
如果a：b=b：c，或，即b2=ac我们就把b叫做a，c的比例中项。
注意：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如，除了可化为，还可化为，，，，，，．
2、更比性质(交换比例的内项或外项)：
3、反比性质(把比的前项、后项交换)：
4、合比性质：
．
注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如： 等等．
等比性质：
如果，那么．
注意：
(1)此性质的证明运用了“设法”，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．
(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．
(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．
例3、已知线段，，；
（1）若：=：，求；
（2）若：=：，求；
变式训练
若2=3=4，且≠0，则的值是（ ）
A、2 B、-2 C、3 D、-3
相关练习：
1若线段a，b，c，d成比例，其中a=5㎝，b=7㎝，c=4㎝，则,d= ．
2若a·b=c·d则有a∶d= ；若m∶x=n∶y, 则x∶y= .
3已知4x－5y=0，则（x＋y）∶（x－y）的值为　　　　．
4若x∶y∶z=2∶7∶5，且x－2y＋3z=6，则x= ，y= ，z= ；
5设==，则=___________，=__________.
知识点四：黄金分割
如图，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC>BC)，且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割, 点C叫做线段AB的黄金分割点，叫作黄金分割数（简称黄金数或黄金比）
注意：（1）；
（2）一条线段有两个黄金分割点。
··
例4、如图25-1-3，已知P是线段AB的黄金分割点，且PA PB，若S1表示以PA为一边的正方形的面积，S2表示长是AB、宽是PB的矩形的面积，则S1________S2。（填“ ”“=”或“<”）
变式训练
已知，线段AB及AB上一点P，当P满足下列哪一种关系时，P为AB的黄金分割点_______.
①AP2=ABPB； ②AP=AB；③PB=AB；④⑤
A、①②③ B、①②③④ C、②③④ D、以上任何一种均可
课堂练习
某机器零件在图纸上的长度是21mm,它的实际长度是630mm，则图纸的比例尺是（ ）
A、1：20 B、1：30 C、1：40 D、1：50
正方形的对角线的长与它的边长之比是（ ）
A、2：1 B、1：2 C、1： D、：1
已知线段AB，在BA 的延长线上取一点C，使CA=3AB，则线段CA与线段CB的比为（ ）
A、3：4 B、2：3 C、3：5 D、1：2
下列各组线段（单位：cm）中，是成比例线段的是（ ）
A、1，2，3，4 B、1，2，2，4 C、3，5，9，13 D、1，2，2，3
四条线的成比例，其中，，，则等于（ ）
A、8cm B、cm C、cm D、2cm
6、已知线段=30cm，=50cm，=3m,=5m，那么这四条线段是否成比例？________（填“是”或“不是”）
下列四组数中：
①3，6，2，4；②，8，5，15；③，2，3，；④1，，，；
成比例的有_____________（填序号）。
已知三个数1，2，，请你再添上一个数，使它们能构成一个比例式，则这个数是__________________。
已知=，则=__________
已知=，那么=（ ）
A、 B、 C、 D、
已知，则的值是（ ）
B、 C、 D、
已知，则=__________.
如果：=2：3 ，则下列各式中不成立的是（ ）
A、 B、 C、 D、
已知，=9，则等于（ ）
A、1 B、8 C、9 D、28
15、若是2，18 的比例中项，则=__________。
16、若线段，且c是的比例中项，则线段c的长度为（ ）
A、 B、 C、18cm D、18cm
17、如果：=3：2，且b是的比例中项，那么：等于（ ）
A、4：3 B、3：2 C、2：3 D、3：4
18、如图，有三个直角三角形，其中OA=AB=BC=CD=1，则线段OA，OD的一个比例中项是（ ）
A、 B、 C、2 D、
19、如果点C是线段AB的黄金分割点（AC BC），则下列正确的是（ ）
A、 B、 C、 D、以上都不对
20、若点C为线段AB的黄金分割点，且AC BC，则下列说法：（1）AB=AC；（2）AC=AB；（3）AB：AC=AC：BC；（4）AC≈0.618AB；其中，正确的有（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
21、从美学角度来说，人的上身长与下身长之比为黄金比时，可以给人一种协调的美感，某女老师上身长约61.80cm，下身长约93.00cm，他要穿约________cm的高跟鞋才能达到黄金比的美感效果（精确到1cm）。
22、如图所示，已知P是线段AB的黄金分割点，且PA PB，若S1表示以PA为边的正方形的面积，S2表示长等于AB，宽是PB的矩形的面积，则S1_______S2（填“ ”“<”或“=”）。
4-2
课后作业
下列各组线段（单位：cm）中，成比例线段是（ ）
A、1，2，3，4 B、1，2，2，4 C、3，5，9，13 D、1，2，2，3
2、美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感。如上图4-2所示，某女士生165cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（ ）
A、4cm B、6cm C、8cm D、10cm
在比例尺为1：200的地图上，测得A，B两地间的图上距离为4.5cm，则A，B两地间的实际距离为 cm.
下列各组线段中是比例线段的是（ ）
A、3cm，5cm，7cm，9cm B、2cm，5cm，6cm，8cm
C、3cm，6cm，8cm，18cm D、1cm，3cm，4cm，7cm
已知，求代数式的值。
6、长为2的线段为边作正方形ABCD，取AB边的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上，如图所示，
求AM、DM的长；
试说明AM2=AD·DM
（3）根据（2）的理论，你能找出图中的黄金分割点吗？